Download - MEKANIKA KUANTUM DALAM RUANG MOMENTUM …
1
KARYA TULIS ILMIAH
MEKANIKA KUANTUM DALAM RUANG MOMENTUM
CONTOH PARADIGMA SIMETRI DALAM FISIKA
Oleh:
Drs. Ida Bagus Alit Paramarta, M.Si.
Komang Ngurah Suarbawa, S.Si.,M.Si.
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA
2017
2
ABSTRAK
Telah dibahas perumusan penyelesaian persoalan mekanika kuantum dalam ruang
momentum, yang seringkali diabaikan dalam perkuliahan tetapi digunakan dalam
penelitian. Secara khusus dibahas persoalan hamburan untuk mana perwakilam
momentum sangat alami yang belum diketahui dengan baik. Pembahasan
diberikan dengan mengambil contoh sederhana, potensial delta satu dimensi dan
mendapatkan fungsi gelombangnya.
Kata kunci: ruang momentum, potensial delta satu dimensi, keadaan terikat,
hamburan
ABSTRACT
The formulation of quantum mechanical problems in momentum spaces, wich is
largely ignored in traditional courses but used in research is discussed. In
particular, the formulation of scatering problems, for wich the momentum
representation is quite natural, is neither generally well known nor obvious. This
is ilustrated by solving a simple proble, the one dimensional delta potential, for
which the bound state and continuumwave function are found.
Key words: momentum spaces, one dimentional delta potential, bound state,
scattering
3
HALAMAN PENGESAHAN
KARYA TULIS ILMIAH
Judul Karya Ilmiah : Mekanika Kuantum Dalam Ruang Momentum
Contoh Paradigma Simetri Dalam Fisika
Ketua
a. Nama Lengkap : Drs. Ida Bagus Alit Paramarta, M.Si.
b. NIP : 196603061997021004
c. Jabatan Fungsional : Lektor
d. Program Studi : Fisika
e. No. HP : 081337420192
f. Alamat email : [email protected]
Anggota
a. Nama Lengkap : Komang Ngurah Suarbawa, S.Si., M.Si.
b. NIP : 197103081998021004
c. Jabatan Fungsional : Lektor
d. Program Studi : Fisika
Mengetahui Bukit Jimbaran, Januari 2017
Dekan F MIPA Ketua
Ida Bagus Made Suaskara Ida Bagus Alit Paramarta
NIP. 196606111997021001 NIP. 196603061997021004
4
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi
Wasa/Tuhan Yang Maha Esa, ata asung kerta wara nugraha-Nya sehingga
penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik. Makalah ini bertujuan
untuk memberikan tambahan pengetahuan kepada pembaca tentang teori
perwakilan dalam mekanika kuantum.
Pada makalah ini dibahas persoalan penyelesaian persamaan Schrodinger
dalam perwakilan momentum. Penyelesaian persamaan Schrodinger dalam ruang
momentum sangat jarang ditemui dalam buku buku mekanika kuantum. Jika
diinginkan fungsi gelombang dalam ruang momentum, yang biasa dilakukan
adalah dengan melakukan transformasi Fourier terhadap penyelesaian yang telah
diperoleh dalam ruang koordinat. Pembahasan dilakukan dengan mengambil
contoh sederhana yaitu potensial delta satu dimensi dan hamburan.
Penulis menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang elah
membantu baik itu rekan-rekan dosen atas masukannya maupun mahasiswa atas
koreksinya sehingga penulisan makalah ini dapat diselesaikan dengan baik
Penulis menyadari bahwa meskipun segenap kemampuan telah dicurahkan
untuk menyelesaikan karya tulis ilmiah ini tetapi masih banyak kekurangannya.
Untuk itu setiap kritik dan saran untuk kesempurnaan karya tulis ini akan diterima
dengan tangan dan hati terbuka
Bukit Jimbaran, Januari 2017
Penulis
5
DAFTAR ISI
ABSTRAK
KATA PENGANTAR
Daftar Isi
BAB I. PENDAHULUAN 1
BAB II. PERSAMAAN SCHRODINGER DALAM RUANG
MOMENTUM 2
BAB III. PENYELESAIAN DARI KEADAAN TERIKAT
( BOUND STATE ) 4
BAB IV. PERSOALAN HAMBURAN 7
BAB V. KESIMPULAN 12
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
6
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam kuliah mekanika kuantum mahasiswa biasanya dihadapkan pada
persoalan yang diselesaikan dalam konfigurasi ruang ( perwakilan x) dengan cara
menyelesaikan persamaan Schrodinger, sedangkan ruang momentum hanya
diperkenalkan secara formal dan sangat jarang dipergunakan untuk menyelesaikan
suatu persoalan kuantum. Fungsi ruang momentum yang diinginkan dari suatu
persoalan biasanya diperoleh dengan cara melakukan transformasi Fourier dari
jawaban persoalan yang diperolah dalam perwakilan posisi.
Untuk beberapa permasalahan perwakilan momentum lebih alami,
khususnya pada persoalan hamburan. Perlakuan yang biasa dilakukan dalam
menyelesaikan persoalan hamburan adalah mengkonversi persamaan Schrodinger
menjadi persamaan integral dengan menggunakan fungsi Green. Fungsi Green ini
diperoleh dari transformasi Fourier. Cara ini menghasilkan bentuk yang sederhana
dari fungsi Green dalam ruang momentum, di mana operator energi kenetik
diagonal. Bentuk dan penyelesaian dari fungsi Green diberikan pada Lampiran B.
Tujuan dari makalah ini adalah untuk memberikan gambaran dari
penyelesaian persamaan Schrodinger dalam ruang momentum dengan contoh
sederhana berupa gerak partikel satu dimensi dalam potensial delta satu dimensi.
Meskipun potensial ini secara fisik tidak realistik, tetapi sebagian besar
karakteristik persamaan Schrodinger dapat digambarkan dengan penggunaan
potensial ini.
7
BAB II
PERSAMAAN SCHRODINGER DALAM RUANG MOMENTUM
Persamaan Schrodinger dalam perwakilan posisi x dapat dituliskan
sebagai:
)()()()2/( 2 xxVxmpE (1)
Dengan p menyatakan operator x
i
. Fungsi gelombang ruang momentum
)( p didefinisikan sebagai:
(2)
Dengan hubungan sebaliknya:
(3)
Fungsi memainkan peranan yang sama dalam perwakilan p seperti
dalam perwakilan x. Sebagai contoh: kebolehjadian pengukuran momentum
antara p dan p+dp diberikan oleh . Dalam suku , persamaan
Schrodinger (1) menjadi:
(4)
Pada persamaan ini p hanyalah bilangan ( operator energi kenetik seperti
momentum, diagonal dalam perwakilan p ). Sedangkan V(p-p’) tanpa melihat
kehadiran ћ, adalah transformasi Fourier dari V(x):
8
(5)
Pada makalah ini akan diambil potensial berbentuk:
(6)
Dengan C adalah konstanta dengan dimensi energi kali waktu. Untuk potensial ini
diperoleh:
C (7)
Dan persamaan (4) mempunyai bentuk yang sederhana:
(8)
9
BAB III
PENYELESAIAN DARI KEADAAN TERIKAT ( BOUND STATE )
Didefinisikan suatu konstanta α yang untuk sementara belum diketahui:
(9)
Karena akan dicari penyelesaian dari keadaan terikat di mana E<0, maka
dituliskan:
(10)
Atau sebaliknya
(11)
Persamaan (8) dapat dituliskan menjadi:
(12)
Sehingga:
(13)
Jika persamaan (13) ini disubstitusikan ke persamaan (9) diperoleh:
(14)
Yang mungkin hanya jika:
(15)
Karena β adalah akar positif, keadaan ini dapat terpenuhi hanya jika c<0
( potensial atraktif). Untuk kasus ini dari persamaan (11) diperoleh: (Baym,1965)
(16)
10
Fungsi gelombang yang bersesuaian dengan energi ini oleh persamaan (13), di
mana β mempunyai nilai persamaan (15) dan α tetap untuk alasan normalisasi.
Fungsi gelombang hasilnya adalah:
(17)
Fungsi gelombang hasilnya diberikan pada Gambar 3.1
Gambar 3.1. Fungsi gelombang dalam ruang momentum
Suku menunjukan setengah lebar( half-width) dari fungsi gelombang
yang berbentuk Lorentsian ( lebar setengah puncak). Pengukuran momentum
dapat memberikan sembarang nilai, dengan nilai yang paling mungkin adalah nol
dan sebagian besar nilai terletak antara - dan + . Dengan
mensubstitusikan (17) pada (3) dan menghitung hasilnya denan integral
konturuntuk kasus x>0 dan x<0 secara terpisah diperoleh fungsi gelombang
dalam konfigurasi ruang:
(18)
Fungsi gelombang yang digambarkan oleh persamaan (18) diberikan pada
Gambar 3.2.
11
Gambar 3.2. fungsi gelombang keadaan terikat dalam konfigurasi ruang
Hasil ini diperoleh dengan menggunakan syarat batas pada x=0; yaitu kontinuitas
tetapi diskontinuitas slope-nya
(Baym, 1965). Setengah lebar pada kasus
ini menggambarkan setengah jarak antara titik di mana berkurang menjadi
1/e dari nilai maksimumnya .
12
BAB IV
PERSOALAN HAMBURAN
Persoalan hamburan sedikit lebih rumit dalam setiap perwakilan. Dalam
perwakilan posisi dicari penyelesaian dari (1) yang untuk x besar mempunyai
bentuk gelombang datar plus gelombang datang. Untuk lebih jelasnya ditinjau
gelombang datang yang mewakili partikel dengan momentum p0 bergerak ke
kanan :
(19)
Konstanta normalisasi dipilih sedemikian rupa sehingga :(Merzbacher,1970)
(20)
Kenyataan bahwa tidak tergantung pada x membuktikan bahwa lokasi
partikel tidak dapat ditentukan, sebagai akibat penentuan momentum partikel yang
pasti.
Dalam ruang momentum, gelombang datar (19) jika disubstitusikan pada (2)
menjadi:
(21)
Fungsi gelombang ini dinormalisasi menurut persamaan :
(22)
Kemunculan fungsi yang lebih umum (genealized function)
menghindarkan keadaan yang tidak ternormalisasi.keadaan ini tidak
dijumpai dalam persoalan keadaan terikat, dimana fungsi keadaannya
ternormalisasi.
Gelombang datar (19) dan (21) memenuhi persamaan Schrodinger:
13
(23a)
(23b)
Di mana energi diberikan oleh:
(24)
Persamaaan (23a) adalah persamaan diferensial, sedangkan (23b) adalah aljabar
biasa dengan mengingat aturan:
(25)
Persoalan berikutnya adalah bagaimana menggambarkan gelombang yang
terhambur dalam ruang momentum. Akan dicari penyelesaian dari persamaan (4),
, dengan sifat bahwa bagian terhambur , hanya memiliki
gelombang yang terhambur. Dirac telah menunjukan untuk kasus tiga dimensi,
bahwa akan murni gelombang terhambur jika mengandung faktor:(Messiah,
1962):
(26)
Dengan P adalah nilai prinsipal Cauchi (Cauchi principal value). Pembatasan ini
menentukan singularitas pada saat mengintegralkan terhadap p.
Kembali dengan persoalan hamburan dengan potensial fungsi delta,
dimulai dari (8) dan mendefinisikan seperti (9) untuk kassus keadaan terikat,
dengan hasil:
(27)
Tidak seperti pada kasus keadaan terikat, kita tidak dapat menyederhanakan
dengan membagi dengan , karena faktor tersebut bernilai nol untuk
, sedangkan pada persamaan (12), selalu bernilai positif.
Harus siberikan perlakuan khusus untuk kasus ini. Jika didefinisikan kebalikan
, adalah nilai prinsipalnya, penyelesaian umum dari (29) dapat dituliskan
menjadi:
14
(28)
Seperti pada kasus keadaan terikat, substitusi (28) pada (9), diperoleh:
(29)
Sampai sejauh ini belum dibahas kondisi dari gelombang yang terhambur. Secara
umum penyelesaiannya harus memiliki bentuk:
(30)
Dengan f(p) adalah fungsi yang ditentukan oleh potensial. Suku pertama ruas
kanan dari (30) adalah , sedangkan sisanya adalah . Dan suku dalam
kurung siku adalah delta Dirac (26), yang dituliskan dengan identitas yang baru
(Messiah, 1962):
(31)
Dengan membandingkan nilai prinsipal pada (30) dan (28) untuk kasus ini, f(p)
adalah konstanta yang tak tergantung pada p:
(32)
Atau dengan menggunakan (29):
(33)
Jika dibandingkan koefisien dari dan dari persamaan (30)
dan (28), diperoleh:
Substitusi dua persamaan terakhir ke paersamaan (33), diperoleh:
15
Yang jika diselesaikan ke λ, memberikan:
(34)
Penyelesaian akhirnya adalah:
(35)
Dengan λ diberikan oleh (32). Transformasi penyelesaian ini ke perwakilan posisi
x, memberikan:
(36)
Hasil ini sesuai dengan yang diperoleh Baym, tetapi dengan cara yang berbeda.
Untuk x>0, diperoleh:
(37)
Koefisien transmisinya diberikan oleh:
(38)
Dengan cara yang sama untuk x<0, diperoleh:
(39)
Dari persamaan terakhir koefisien refleksi diberikan oleh:
(40)
Pada gambar 3 ditunjukan kebolehjadian . Untuk x>0 nilainya adalah
konstanta , yang menunjukan bahwa yang ditransmisikan adalah
gelombang datar, yaitu persamaan (36). Untuk x<0 berosilasi, yang
menunjukan interferensi antara gelombang datang dan gelombang yang
dipantulkan ( gelombang tegak).
16
Gambar 4.1. Rapat kebolehjadian untuk persoalan hamburan dalam konfigurasi ruang
Sayangnya karena yang diberikan oleh persamaan (35) adalah secara
umum fungsi kompleks, maka baik maupun tidak dapat diplot. Jika
bekerja pada ruang konfigurasi, hanya diketahui secara sifat umum dari
pada limit . Pada ruang momentum penyelesaian pastinya diketahui
seperti persamaan (30). Jika (30) disubstitusikan pada (4) dan menggunakan
(23b), diperoleh persamaan untuk :
(41)
Yang tidaklain adalah amplitudo hamburan dalam perwakilan p. Jika
disubstitusikan , diperoleh:
(42)
Yang merupakan pendekatan Born. Untuk kasus potensial fungsi delta, dari (7)
dan (42) diperoleh:
(43)
17
BAB V
KESIMPULAN
Penyelesaian persoalan keadaan terikat ( bound state) dan hamburan menjadi
lebih sederhana dalam perwakilan momentum. Untuk mendapatkan koefisien
transmisi dan refleksi pada persoalan hamburan, penyelesaian persamaan
Schrodinger dalam perwakilan momentum harus ditrasformasikan balik ke
perwakilan posisi.
18
DAFTAR PUSTAKA
Baym G., 1965, Lecture on Quantum Mechanics, Benyamin, New York
Byron F.W., Fuller R.W., 1969, Mathematics Of Classical And Quantum
Physics, Dover Publications, New York
Dirac P.A.M., 1958, Quantum Mechanics, Oxford University, London
Merzbacher E., 1970, Quantum Mechanics, 2nd edition, Wiley, New York
Messiah A., 1962, Quantum Mechanics, Wiley, New York
19
LAMPIRAN A
Pada lampiran ini akan diturunkan hasil yang digunakan pada BAB IV. Dimulai
dengan persamaan (4), dengan memasukan pada persamaan (4) dan
menggunakan (23b) dan (24), diperoleh persamaan untuk bagian terhambur dari
fungsi gelombang :
(A-1)
Dengan g(p) adalah fungsi yang tergantung pada dan f(p) diberikan oleh (42)dan
(43). Persamaan (A-1) tidak menentukan secara unik, tetapi secara umum dapat
dituliskan:
(A-2)
Karena kedua suku yan terakhir dihilangkan oleh menurut (25). Jika (A-
2) dimasukan ke (3), diperoleh dalam konfigurasi ruang dari bagian terhambur:
(A-3)
Tugas berikutnya adalah menghitung integral terakhir untu x yang besar. Dengan
menggunakan partial-fraction decompotition:
Maka integral dapat dipecah menjadi 1/2p0 dikalikan dengan selisih dua intgral
masing masing dengan bentuk:
(A-4)
Dengan q=-p0dan q=p0 untuk kedua kasus, maka dapat dituliskan:
(A-5)
20
Integral terakhir tidak memerlukan nilai principal karena integral halus dekat p=q.
Dengan , bagian ini akan berkurang paling tidak secepat 1/ ( Teorema
Riemann-Lebesgue). Nilai principal dari integral (A-5) akan didominasi oleh suku
keduan dengan , sehingga harus dihitung dengan cermat.
(A-6)
Pada bagian terakhir telah digunakan hubungan s=p-q sebagai variable integral.
Dari tabel integaral diketahui bahwa:
, (A-7)
yaitu bernilai untuk x>0 dan – untu x<0. Maka:
(A-8)
Dan dengan , maka:
(A-9)
Yang bersesuaian dengan:
+ (A-10)
Untuk x > 0 gelombang yang keluar bergerak ke kanan adalah .
Untuk menghilangkan gelombang yang datang, , haruslah
dipenuhi:
21
(A-11)
Untuk x < 0 gelombang yang keluar bergerak ke kiri adalah .
Untuk menghilangkan elombang yang datang , haruslah dipenuhi:
(A-12)
Substitusi kedua persamaan terakhir ini ke persamaan (A-2), diperoleh:
(A-13)
Karena fungsi delta, maka:
(A-14a)
(A-14b)
Maka g(p) dapat dikeluarkan dan dengan menggunakan persamaan (31),
diperoleh:
(A-15)
Dengan f(p)=g(p)/2m
22
LAMPIRAN B
FUNGSI DELTA DAN FUNGSI GREEN SATU DIMENSI
B.1. Fungsi delta
Misalkan kita punya persamaan diferensial berbentuk :
(B-1)
Dengan L adalah operator diferensial parsial biasa dan f adalah fungsi tertentu.
Diandaikan L memiliki himpunan fungsi eigen yang ortonormal ,
sehingga berlaku:
(B-2)
Dengan menggunakan sifat di atas maka dapat dituliskan:
(B-3a)
(B-3b)
Penjumlahan sampai tak berhingga mencerminkan ruang Hilbert yang dimensinya
tak berhingga, sifat yang dimiliki oleh himpunan fungsi ortonormal yang
terdiridari tak berhingga elemen. Jika (B-3a) dan (B-3b) disubstitusikan pada (B-
1), diperoleh:
Maka:
Karena tak gayut linier, maka dapat disimpulkan bahwa:
23
, sehingga:
(B-4)
Dengan . Jika untuk beberapa =0, penyelesaian hanya ada untuk
=0. Untuk kasus ini penyelesaian tidaklah unik, sembarang kelipatan
yang berhubungan dengan =0 dapat ditambahkan pada setiap penyelesaian.
Untuk sementara akan ditinjau 0 untuk semua n. Jika paersamaan (B-4)
ditulis secara lebih mendetail:
Maka:
(B-5)
Dengan:
(B-6)
Adalah fungsi Green dalam bentuk penjumlahan tak berhingga dari fungsi eigen.
Jika riil, maka G(x,x’) simetri, yaitu:
G(x,x’)=G(x’,x*).
Sebagaicontoh ditinjau opearator
. Untuk x pada , fungsi eigen
ternormalisasi dari L pada dan hilang pada titik ujungnya adalah:
, dengan n=1,2,...., denagan nilai eigen . Untuk kasus
ini fungsi Green-nya menjadi:
(B -7)
24
Adalah menarik untuk melihat bagaimana jika fungsi Green dioperasikan
bersama L:
Jika penjumlahan dan L ditukar dan dengan menggunakan ,
Untuk sembarang fungsi f(x),
Tetapi karena adalah fungsi yang ortonormal, maka persamaan di atas dapat
dituliskan menjadi:
Fungsi yang memiliki safat ini adalah adalah fungsi delta Dirac,
. Maka dapat dituliskan:
(B-7)
Bentuk persamaan yang akan lebih baik jika dituliskan dalam bentuk:
LK=I (B-8)
Dengan K adalah operator integral yang didefinisikan sebagai:
Maka dinyatakan dalam (B-8), mendapatkan fungsi Green dari operator L adalah
membalik L, sehingga persamaan Ly=f dapat diselesaikan menurut:
25
Analisa menunjukan bahwa jika kita kembali bentuk fungsi Green yang paling
sederhana G(x,x’) persamaan (B-3), diperoleh:
Dengan menggunakan (B-3), persamaan tersebut menjadi:
Atau
(B-9)
B.2 Fungsi Green satu dimensi
Setelah membahas fungsi Green dengaan operator sederhana, selanjutnya
akan dibahas operator yang lebih umum untuk mempelajari fungsi Green. Ditinjau
persamaan untuk gaya dari osilator harmonik teredam,
(B-10)
Dengan tanda titik di atas x menunjukan diferensial terhadap waktu. Juga untuk
alasan penyederhanaan telah dipilih m=1 satuan, γ adalah drag coeficient, ω0
adalah akar kuadrat konstanta pegas dan F(t)adalah gaya luar. Diandaikan F(t)
memenuhi trasnformasi Fourier:
Dimana telah diasumsikan F(t) memmenuhi transformasi Fourier, sehingga
menuju nol untuk t besar. Dengan mentransformasi Fourier kedua ruas dari (B-10)
diperoleh:
Misalkan:
26
Maka:
(B-11)
Suku pertama dengan integrasi parsial diperoleh:
Karena x(t) dan hilang untuk x besar maka:
(B-12)
Dengan mengintgralkan parsial sekali lagi dan menggunakan syarat batas di tak
berhingga, diperoleh:
Persamaan (B-11) dapat dituliskan menjadi:
(B-13)
Karena tidak bernilai nol ontuk keadaan riil, maka:
Hasil dari transformasi Fouriernya adalah:
Dengan menggunakan definisi , diperoleh:
27
Akhirnya dapat dijumlahkan sembarang kombinasi linier dari penyelesaian
osilator harminis untuk mendapatkan penyelesaian umumnya:
(B-14a)
Dengan:
(B-14b)
A dan B harus dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhi syarat batas. Untuk
dua penyelesaian persamaan homogin yang tak gayut linier, dapat diambil (Byron,
1969):
(B-15a)
(B-15b)
Berikutnya dapat dihitung G(t,t’). Persamaan (B-14b) dituliskan dalam bentuk:
(B-16)
Dengan, dan
. Hal yang
penting dari k1 dan k2 adalah bahwa bagian imajinernya selalu negatif. Integral
dihitung menggunakan integral kontur pada ruang kompleks k, seperti gambar
berikut.:
28
Gambar B.1. Bidang kompleks k yang menunjukan kontur untuk menghitung integral fungsi Green
untuk osilator harmonik teredam (Byron, 1969).
(B-17)
Pada suku pertama ruas kanan dari (B-17), integral dihitung sepanjang sumbu riil,
sedangkann suku kedua diintegralkan sepanjang setengah lingkaran berjari-jari K,
yang mana:
, dan bernilai sampai .
Misalkan K, jari-jari kontur sangat besar. Karena bagian imajiner dari k1 dan k2
pada setengah bagian bawah bidang kontur, maka kontur C meliputi keduanya dan
intgral dapat dihitung dengan teorema residu. Diperoleh:
29
Faktor (-1) dimasukan karena kontur tertutup pada setengah bagian bawah
sehingga bergerak searah jarum jam. Dengan memasukan nilai k1 dan k2
diperoleh:
Dengan K mendekati , suku pertama ruas kanan dari (B-17) tidak lain adalah
G(t,t’) persamaan (B-16), sehingga:
(B-18)
Dengan:
Tetapi intgral ini bernilai nol untuk K ( teorem Jordan)(Byron, 1969), maka:
t > t’
Untuk t < t’, cara di atas menjadi tidak benar karena integral yang dilibatkan
dalam memperkirakan R bertambah secara eksponensial. Untuk kasus ini dipilih
kontursetengah bagian atas. Tetapi integral I pada (B-17) tidak memiliki
singularitas di dalam kontur, sehingga:
t < t’
Maka dapat disimpulkan:
(B-19a)
30
Penyelesaian umumnya dapat dituliskan menjadi:
(B-19b)
Dengan t0 adalah waktu saat mana kondisi awal (F(t’)) diberikan. Sebagai contoh
misalkan , dimulai saat t = 0. Sistem diandaikan diam pada posisi
setimbangnyapada t = 0, sehingga A=B=0 pada persamaan (B-19b). Maka:
Dengan menghitung integralnya diperoleh:
Dengan dan terletak di kuadran pertama atau
kedua. Syarat batas dan terpenuhi oleh hasil tersebut. Jika
redaman menjadi nol, diperoleh:
Setelah waktu yang sangat lama, gaya F(t) menjadi sangat kecil, diperoleh
gerakan osilasi murni:
Dari hasil ini diperoleh energi akhir sistem. Mula-mula energi sistem nol,
sehingga energi sistem sama dengan energi yang ditransfer ke sistem. Untuk
partikel dengan massa satu satuan:
Maka:
31