Download - MATURA 2015 Wybrane Wzory Matematyczne
-
Spis treci
1. Wartobezwzgldnaliczby ....................................................................................................................1
2. Potgiipierwiastki ...................................................................................................................................1
3. Logarytmy ................................................................................................................................................2
4. Silnia.Wspczynnikdwumianowy .........................................................................................................2
5. WzrdwumianowyNewtona ...................................................................................................................2
6. Wzoryskrconegomnoenia ...................................................................................................................3
7. Cigi .........................................................................................................................................................3
8. Funkcjakwadratowa ................................................................................................................................4
9. Geometriaanalityczna ..............................................................................................................................4
10. Planimetria ...............................................................................................................................................6
11. Stereometria ...........................................................................................................................................12
12. Trygonometria ........................................................................................................................................14
13. Kombinatoryka .......................................................................................................................................16
14. Rachunekprawdopodobiestwa .............................................................................................................17
15. Parametrydanychstatystycznych ..........................................................................................................18
16. Granicacigu ..........................................................................................................................................18
17. Pochodnafunkcji ....................................................................................................................................19
18. Tablicawartocifunkcjitrygonometrycznych .......................................................................................20
PublikacjawspfinansowanaprzezUniEuropejskwramachEuropejskiegoFunduszuSpoecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpatnie.
Warszawa2015
-
11. WARTO BEZWZGLDNA LICZBY
Warto bezwzgldn liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
Liczba x jest to odlego na osi liczbowej punktu x od punktu 0. Dla dowolnej liczby x mamy:
x x x x= 0 0 0 wtedy i tylko wtedy, gdy == x
Dla dowolnych liczb x, y mamy:
Ponadto, jeli y 0, to xy
xy
= .
Dla dowolnych liczb a oraz mamy:
2. POTGI I PIERWIASTKI
Niech n bdzie liczb cakowit dodatni. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-t potg:
a a ann
= ... razy
Pierwiastkiem arytmetycznym an stopnia n z liczby a nazywamy liczb b tak, e b an = .
W szczeglnoci, dla dowolnej liczby a zachodzi rwno: a a2 = .
Jeeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to an oznacza liczb b < 0 tak, e b an = .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniej.
Niech m, n bd liczbami cakowitymi dodatnimi. Definiujemy:
1mnn m
aa
=
Niech r, s bd dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeli a > 0 i b > 0, to zachodz rwnoci:
= + =a a a a a
a b
r s r s r s r s
r
( )
( )
== a br r r r
r
a ab b
=
rr s
s
a aa
=
Jeeli wykadniki r, s s liczbami cakowitymi, to powysze wzory obowizuj dla wszystkich liczb a 0 i b 0.
-
23. LOGARYTMY
Logarytmem log a c dodatniej liczby c przy dodatniej i rnej od 1 podstawie a nazywamy wykadnik b potgi, do ktrej naley podnie a, aby otrzyma c:
log wtedy i tylko wtedy, gdy abc b a c= =
Rwnowanie:
a caclog =
Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodz wzory:
log log log log log loga a a ar
ax y x y x r x( ) = + = aa a axy
x y= log log
Wzr na zamian podstawy logarytmu:jeeli a > 0 , a 1, b > 0, b 1 oraz c > 0, to
log log
logba
a
c cb
=
Logarytm log10 x mona te zapisa jako log x lub lg x.
4. SILNIA. WSPCZYNNIK DWUMIANOWY
Silni liczby cakowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb cakowitych od 1 do n wcznie:
n n! ...= 1 2
Ponadto przyjmujemy umow, e 0! = 1.Dla dowolnej liczby cakowitej zachodzi zwizek:
= +( )n +( )1 1! n! n
Dla liczb cakowitych n, k speniajcych warunki definiujemy wspczynnik dwumianowy nk
(symbol Newtona):
nk
nk n k
= ( )
!
! !
Zachodz rwnoci:
nk
nn k
=
n nn0
1
=
=1
( )( ) ( )1 2 ... 1!
n n n n knk k
+ =
5. WZR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby cakowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:
a b n a n a b n
ka b n
nn n n n k k+( ) =
+
+ +
+ +
0 11 ... ...
111
+
ab
nn
bn n
-
36. WZORY SKRCONEGO MNOENIA
Dla dowolnych liczb a, b:
a b a ab b a b a a b ab b+( ) = + + +( ) = + + +2 2 2 3 3 2 22 3 3 332 2 2 3 3 2 22 3 3a b a ab b a b a a b ab( ) = + ( ) = + b3
Dla dowolnej liczby cakowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzr:
a b a b a a b a b ab bn n n n n k k n n = ( ) + + + + + +( ) 1 2 1 2 1... ...
W szczeglnoci:
a b a b a b a a
a b
2 2 2
3 3
1 1 1 = ( ) +( ) = ( ) +( )
a
== ( ) + +( ) = ( ) + +( )+ = +( )
a b a ab b a a a
a b a b a
2 2 3 2
3 3
1 1 1 a22 2 3 21 1 1 +( ) + = +( ) +( )ab b a a a a
an n na a a = ( ) + + 1 1 1 2 ....+ +( )a 17. CIGI
Cig arytmetyczny
Wzr na n-ty wyraz cigu arytmetycznego an( ) o pierwszym wyrazie a1 i rnicy r:a a n rn = + ( )1 1
Wzr na sum S a a an n= + + +1 2 ... pocztkowych n wyrazw cigu arytmetycznego:
S a a na n r
nn n=+
=+ ( )
1 12
2 12
Midzy ssiednimi wyrazami cigu arytmetycznego zachodzi zwizek:
a a a nn n n=+ +1 12
2dla
Cig geometrycznyWzr na n-ty wyraz cigu geometrycznego an( ) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:
a a q nnn= 1
1 2 dla
Wzr na sum S a a an n= + + +1 2 ... pocztkowych n wyrazw cigu geometrycznego:
Midzy ssiednimi wyrazami cigu geometrycznego zachodzi zwizek:
a a a nn n n2
1 1 2= + dla
Procent skadany
Jeeli kapita pocztkowy K zoymy na n lat w banku, w ktrym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej i kapitalizacja odsetek nastpuje po upywie kadego roku trwania lokaty, to kapita kocowy Knwyraa si wzorem:
K Kp
n
n
= +
1 100
-
48. FUNKCJA KWADRATOWA
Posta oglna funkcji kwadratowej: f x ax bx c a x R( ) = + + 2 0, , .
Wzr kadej funkcji kwadratowej mona doprowadzi do postaci kanonicznej:
2bpa
= 4
qa
=
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchoku w punkcie o wsprzdnych ( p,q). Ramiona paraboli skierowane s do gry, gdy a > 0 ; do dou, gdy a < 0.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f x ax bx c( ) = + +2
(liczba pierwiastkw trjmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiza rwnania ax bx c
2 0+ + = ), zaley od wyrnika = b ac2 4 :
jeeli < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trjmian kwadratowy nie ma pierwiastkw rzeczywistych, rwnanie kwadratowe nie ma rozwiza rzeczywistych),
jeeli = 0, to funkcja kwadratowa ma dokadnie jedno miejsce zerowe (trjmian kwadratowy ma jeden
pierwiastek podwjny, rwnanie kwadratowe ma dokadnie jedno rozwizanie rzeczywiste): x x b
a1 2 2= =
jeeli > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trjmian kwadratowy ma dwa rne pierwiastki rzeczywiste, rwnanie kwadratowe ma dwa rozwizania rzeczywiste):
x ba
x ba1 22 2
=
= +
Jeli 0, to wzr funkcji kwadratowej mona doprowadzi do postaci iloczynowej:
f x a x x x x( ) = ( ) ( )1 2
Wzory Vitea
Jeeli 0, to
x x ba
x x ca1 2 1 2
+ =
=
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
OdcinekDugo odcinka o kocach w punktach A x y B x yA A= ( ) = ( ), , , B B jest dana wzorem:
AB x x y yB A B A= ( ) + ( )2 2
Wsprzdne rodka odcinka AB:
x x y yA B A B+ +
2 2
,
M = (x, y)
x
y
O
A=(xA , yA)
B=(xB , yB)
-
5 Wektory
Wsprzdne wektora AB
:
AB x x y yB A B A
= [ ],
Jeeli u u u v v v
= [ ] = [ ]1 2 1 2, , , s wektorami, za a jest liczb, tou v u v u v a u a u a u
+ = + +[ ] = [1 1 2 2 1 2, , ]]
Prosta
Rwnanie oglne prostej:
Ax By C+ + = 0,
gdzie A B2 2 0+ (tj. wspczynniki A, B nie s rwnoczenie rwne 0).
Jeeli A = 0, to prosta jest rwnolega do osi Ox; jeeli B = 0, to prosta jest rwnolega do osi Oy; jeeli C = 0, to prosta przechodzi przez pocztek ukadu wsprzdnych.
Jeeli prosta nie jest rwnolega do osi Oy, to ma ona rwnanie kierunkowe:
y ax b= +
Liczba a to wspczynnik kierunkowy prostej:a tg=
Wspczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w ktrym dana prosta j przecina.
Rwnanie kierunkowe prostej o wspczynniku kierunkowym a, ktra przechodzi przez punkt P x y= ( )0 0, :
y a x x y= ( ) +0 0
Rwnanie prostej, ktra przechodzi przez dwa dane punkty :
( )( )y y x x y y x xA B A B A A ( ) ( ) = 0
Prosta i punkt
Odlego punktu P x y= ( )0 0, od prostej o rwnaniu Ax By C+ + = 0 jest dana wzorem:
Ax By C
A B0 0
2 2
+ +
+
Para prostych
Dwie proste o rwnaniach kierunkowych:
y a x b y a x b= + = +1 1 2 2
speniaj jeden z nastpujcych warunkw:
s rwnolege, gdy a a1 2=
s prostopade, gdy a a1 2 1=
tworz kt ostry i tg = +a a
a a1 2
1 21
x
y
O
b y = ax + b
-
6Dwie proste o rwnaniach oglnych:
A x B y C A x B y C1 1 1 2 2 20 0+ + = + + =
s rwnolege, gdy A B A B1 2 2 1 0 =
s prostopade, gdy A A B B1 2 1 2 0+ =
tworz kt ostry i tg =
+AB A BA A B B1 2 2 1
1 2 1 2
Trjkt
Pole trjkta ABC o wierzchokach A x y B x y C x yA A B B C C= ( ) = ( ) = ( ), , , , , , jest dane wzorem:
P x x y y y= y x xABC B A C A B A C A ( ) ( ) ( ) ( )
12
rodek cikoci trjkta ABC, czyli punkt przecicia jego rodkowych, ma wsprzdne:
x x x y y yA B C A B C+ + + +
3 3
,
Przeksztacenia geometryczne
przesunicie o wektor u a b
= [ ], przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A x a y b' ,= + +( ) symetria wzgldem osi Ox przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A x y' ,= ( ) symetria wzgldem osi Oy przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A x y' ,= ( ) symetria wzgldem punktu a b,( ) przeksztaca punkt A x y= ( ), na punkt A a x b y' ,= ( )2 2 jednokadno o rodku w punkcie O i skali s 0 przeksztaca punkt A na punkt
A x y' ,= ( ) taki, eOA s OA'
= , a wic, jeliO x y= ( )0 0, , to jednokadno ta przeksztaca punkt A x y= ( ), na punktA sx s x sy s y' ,= + ( ) + ( )( )1 10 0
Rwnanie okrgu
Rwnanie okrgu o rodku w punkcie S a b= ( ), i promieniu r>0:x a y b r( ) + ( ) =2 2 2
lub
10. PLANIMETRIA
Cechy przystawania trjktw
A B
C
D E
F
-
7To, e dwa trjkty ABC i DEF s przystajce ( )ABC DEF , moemy stwierdzi na podstawie kadej z nastpujcych cech przystawania trjktw:
cecha przystawania bok bok bok: odpowiadajce sobie boki obu trjktw maj te same dugoci: AB DE AC DF BC EF= = =, ,
cecha przystawania bok kt bok: dwa boki jednego trjkta s rwne odpowiadajcym im bokom drugiego trjkta oraz kt zawarty midzy tymi bokami jednego trjkta ma tak sam miar jak odpowiadajcy mu kt drugiego trjkta, np.
AB DE AC DF BAC EDF= = =, ,
cecha przystawania kt bok kt: jeden bok jednego trjkta ma t sam dugo, co odpowiadajcy mu bok drugiego trjkta oraz miary odpowiadajcych sobie ktw obu trjktw, przylegych do boku, s rwne, np. AB DE BAC EDF ABC DEF= = =, ,
Cechy podobiestwa trjktw
To, e dwa trjkty ABC i DEF s podobne ( )ABC DEF , moemy stwierdzi na podstawie kadej z nastpujcych cech podobiestwa trjktw:
cecha podobiestwa bok bok bok: dugoci bokw jednego trjkta s proporcjonalne do odpowiednich dugoci bokw drugiego trjkta,
np.
ABDE
ACDF
BCEF
= =
cecha podobiestwa bok kt bok: dugoci dwch bokw jednego trjkta s proporcjonalne do odpowiednich dugoci dwch bokw
drugiego trjkta i kty midzy tymi parami bokw s przystajce, np.
cecha podobiestwa kt kt kt: dwa kty jednego trjkta s przystajce do odpowiednich dwch ktw drugiego trjkta (wic te i trzecie kty obu trjktw s przystajce): BAC EDF ABC DEF ACB DFE= = =, ,
A B
C
D E
F
-
8Przyjmujemy oznaczenia w trjkcie ABC:
a, b, c dugoci bokw, lecych odpowiednio naprzeciwko wierzchokw A, B, C
2p=a+b+c obwd trjkta, , miary ktw przy wierzchokach A, B, Cha, hb, hc wysokoci opuszczone z wierzchokw
A, B, CR, r promienie okrgw opisanego
i wpisanego
Twierdzenie sinusw
A
C
B
a b
c
A
C
D c
a b hc
B
Twierdzenie cosinusw
a b c bcb a c acc a b ab
2 2 2
2 2 2
2 2 2
222
= +
= +
= +
coscoscos
Wzory na pole trjkta
P R
P a h b h c h
P a b a c
ABC a b c
ABC
= = =
= = =
12
12
12
12
12
1sin sin2
12
12
12
2 2 2
b c
P a b cABC
= = =
sin
sin sinsin
sin sinsin
si
nn sinsin
sin sin
= = P abcRABC ABC 4
2 2 ssin
P rp P p p a p b p cABC ABC = = ( ) ( ) ( )
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trjkcie ABC kt jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = c2.
Zwizki miarowe w trjkcie prostoktnym
Zamy, e kt jest prosty. Wwczas:
h AD DB
h abca c c
a b b
R c r
c
c
2
1
12
=
=
= =
= =
= =
sin cos
tgtg
aa b c p c+ = 2
-
9 Trjkt rwnoboczny
a dugo bokuh wysoko trjkta
h a R h
P a r h
= =
= =
32
23
34
13
2
Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
Rne proste AC i BD przecinaj si w punkcie P, przy czym speniony jest jeden z warunkw: punkt A ley wewntrz odcinka PC oraz punkt B ley wewntrz odcinka PDlub punkt A ley na zewntrz odcinka PC oraz punkt B ley na zewntrz odcinka PD.Wwczas proste AB i CD s rwnolege wtedy i tylko wtedy, gdy
PAAC
PBBD
=
Czworokty
TrapezCzworokt, ktry ma co najmniej jedn par bokw rwnolegych.Wzr na pole trapezu:
P a b h= + 2
Rwnolegobok Czworokt, ktry ma dwie pary bokw rwnolegych.Wzory na pole rwnolegoboku:
P ah a b AC BD= = = sin sin1
2
C
B A a
h a a
B
A
C
D P
D
B
C PO
A
A B
C D b
a
h
h
a
D C
B A
b
-
10
RombCzworokt, ktry ma wszystkie boki jednakowej dugoci.Wzory na pole rombu:
P ah a AC BD= = = 2 12
sin
DeltoidCzworokt wypuky, ktry ma o symetrii zawierajc jedn z przektnych.Wzr na pole deltoidu:
P AC BD= 12
Koo
Wzr na pole koa o promieniu r:
P r= pi 2
Obwd koa o promieniu r:L r= 2pi
Wycinek koaWzr na pole wycinka koa o promieniu r i kcie rodkowym wyraonym w stopniach:
P r=
pi 2360
Dugo uku AB wycinka koa o promieniu r i kcie rodkowym wyraonym w stopniach:
l r=
2360
pi
Kty w okrgu
Miara kta wpisanego w okrg jest rwna poowie miary kta rodkowego, opartego na tym samym uku.
Miary ktw wpisanych w okrg, opartych na tym samym uku, s rwne.
Miary ktw wpisanych w okrg, opartych na ukach rwnych, s rwne.
r
O
B
A
A C
D
B
r
O
A
C
B
D
a
h a
A B
O
2
-
11
Twierdzenie o kcie midzy styczn i ciciw
A C
B
O
A C
B
O
Dany jest okrg o rodku w punkcie O i jego ciciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okrgu w punkcie A. Wtedy AOB CAB= 2 , przy czym wybieramy ten z ktw rodkowych AOB, ktry jest oparty na uku znajdujcym si wewntrz kta CAB.
Twierdzenie o odcinkach stycznych
Jeeli styczne do okrgu w punktach A i B przecinaj si w punkcie P, to
PA PB=
A
B
P
Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznejDane s: prosta przecinajca okrg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okrgu w punkcie C. Jeeli proste te przecinaj si w punkcie P, to
PA PB PC = 2
C
B
P
A
-
12
Okrg opisany na czworokcie
C
D
A
B
Okrg wpisany w czworokt
A
D
a
C
B
b
c
d
r
11. STEREOMETRIA
Twierdzenie o trzech prostych prostopadych
P m
l
k
Prosta k przebija paszczyzn w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostoktnym prostej k na t paszczyzn. Prosta m ley na tej paszczynie i przechodzi przez punkt P. Wwczas prosta m jest prostopada do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopada do prostej l.
Na czworokcie mona opisa okrg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwlegych ktw wewntrznych s rwne 180:
+ = + =180
W czworokt wypuky mona wpisa okrg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy dugoci jego przeciwlegych bokw s rwne:
a c b d+ = +
-
13
Przyjmujemy oznaczenia:P pole powierzchni cakowitej Pp pole podstawy Pb pole powierzchni bocznej V objto
Prostopadocian
P ab bc acV abc
= + +( )=
2
gdzie a, b, c s dugociami krawdzi prostopadocianu
Graniastosup prosty
P p hV P hb
p
= =
2
gdzie 2p jest obwodem podstawy graniastosupa
Ostrosup
V P hp= 13
gdzie h jest wysokoci ostrosupa
b
E
B
F
C
G
D
A
H
a
c
A B
C
D E
F G
H
I J
h
B A
E D
S
C O
h
-
14
Walec
P rhP r r h
V r h
b =
= +( )=
22
2
pi
pi
pi
gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokoci walca
Stoek
P rlP r r l
V r h
b =
= +( )
=
pi
pi
pi132
gdzie r jest promieniem podstawy, h wysokoci, l dugoci tworzcej stoka
Kula
P r
V r
=
=
443
2
3
pi
pi
gdzie r jest promieniem kuli
12. TRYGONOMETRIA
Definicje funkcji trygonometrycznych kta ostrego w trjkcie prostoktnym
n s
s c= =
= =si in
co os
=
ac
bc
bc
ac
abtg tg =
ba
h
r O
l
r
h
O
S
r O
C A
B
a
b
c
-
15
Definicje funkcji trygonometrycznych
si
gdzie jest
n
cos
,
=
=
=
yrxr
yx xtg gdy
promieniem wodzcym pu
0
nktu M
2 2 0r x y= + >
Wykresy funkcji trygonometrycznych
2
x
y 1
1 0
32 2
2
x
y 1
1 0
2
32 2
2
x
y
1
1
0 2
32 2
2
2
3
4
2
3
4
y = sin x
y = cos x y = tg x
Zwizki midzy funkcjami tego samego kta
=
sin cossincos ,
2 2 1
2pi pi
+ =
+tg dla k k cakowite
Niektre wartoci funkcji trygonometrycznych
0 30 45 60 90
0pi6
pi4
pi3
pi2
sin 012
22
32
1
cos 1 32
22
12
0
tg 03
31 3
nieistnieje
M = (x, y)
x x
y
O
r
y
-
16
Funkcje sumy i rnicy ktw
Dla dowolnych ktw , zachodz rwnoci:
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
cos
+( ) = + ( ) = +(( ) = = +cos cos sin sin cos cos cos sin sin
( )
Ponadto mamy rwnoci:
tg tg tgtg tg
tg tg tgtg tg
+( ) = +
( ) = + 1 1
ktre zachodz zawsze, gdy s okrelone i mianownik prawej strony nie jest zerem.
Funkcje podwojonego kta
sin sin coscos cos sin cos sin
2 22 2 1 1 2
2
2 2 2 2
=
= = =
=2tg tg
1 2 tg
Sumy, rnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych
sin sin sin cos sin sin cos( ) cos( )
si
( )+ = + = + 22 2
12
nn sin cos sin cos cos cos( ) cos( )
cos
( ) = + = + + 22 2
12
++ =+
= + +
cos cos cos sin cos sin( ) sin( )
cos c
( )22 2
12
oos sin sin= + 22 2
Wybrane wzory redukcyjne
Okresowo funkcji trygonometrycznych
sin sin cos cos+ ( ) = + ( ) = + k k k360 360 180 tg ( ) = tg cakowite, k
13. KOMBINATORYKA Wariacje z powtrzeniami
Liczba sposobw, na ktre z n rnych elementw mona utworzy cig, skadajcy si z k niekoniecznie rnych wyrazw, jest rwna nk.
Wariacje bez powtrze
Liczba sposobw, na ktre z n rnych elementw mona utworzy cig, skadajcy si z rnych wyrazw, jest rwna
n n n k n
n k ( ) +( ) =
( )1 1... !
!
-
17
Permutacje Liczba sposobw, na ktre n (n 1) rnych elementw mona ustawi w cig, jest rwna n!.
Kombinacje
Liczba sposobw, na ktre spord n rnych elementw mona wybra 0 elementw, jest rwna nk
.
14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA
Wasnoci prawdopodobiestwa
Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobiestwa
Niech bdzie skoczonym zbiorem wszystkich zdarze elementarnych. Jeeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe s jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobiestwo zdarzenia A jest rwne
P A A( ) =
gdzie A oznacza liczb elementw zbioru A, za liczb elementw zbioru .
Prawdopodobiestwo warunkowe
Niech A, B bd zdarzeniami losowymi zawartymi w , przy czym P B( ) > 0 . Prawdopodobiestwem warunkowym
P A B|( )
P A B|( ) nazywamy liczb
P A BP A BP B
|( ) = ( )( )
Twierdzenie o prawdopodobiestwie cakowitym
Jeeli zdarzenia losowe B B Bn1 2, , , zawarte w speniaj warunki:
1. B B Bn1 2, , , s parami rozczne, tzn. B Bi j = dla
2. B B Bn1 2 = ,
3. P B i ni( ) > 0 1 dla ,to dla kadego zdarzenia losowego A zawartego w zachodzi rwno
P A P A B P B P A B P B P A B P Bn n( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( ) ( )| | |1 1 2 2
-
18
15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
rednia arytmetyczna
rednia arytmetyczna n liczb a1, a2, ..., an jest rwna:
a a a an
n=+ + +1 2 ...
rednia waona
rednia waona n liczb a1, a2, ..., an, ktrym przypisano dodatnie wagi odpowiednio: w1, w2, ..., wn jest rwna:
w a w a w aw w w
n n
n
1 1 2 2
1 2
+ + + + + +
......
rednia geometryczna
rednia geometryczna n nieujemnych liczb a1, a2, ..., an jest rwna:
a a ann 1 2 ...
Mediana Median uporzdkowanego w kolejnoci niemalejcej zbioru n danych liczbowych a a a an1 2 3 ... jest:
dla n nieparzystych: an+12
(rodkowy wyraz cigu)
dla n parzystych:
12 2 2 1
a an n+( )+ (rednia arytmetyczna rodkowych wyrazw cigu) Wariancja i odchylenie standardoweWariancj n danych liczbowych a1, a2, ..., an o redniej arytmetycznej a jest liczba:
2 12
22 2
12
22 2
2=( ) + ( ) + + ( )
=+ + +
( )a a a a a an
a a an
an n... ...
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.
16. GRANICA CIGU
Granica sumy, rnicy, iloczynu i ilorazu cigw
Dane s cigi a bn n( ) ( ) i , okrelone dla n 1. Jeeli lim
n na a
= oraz lim
n nb b
= , to
lim lim limn n n n n n n
a b a b a b a b
+( ) = + ( ) =
( ) = a b a bn n
Jeeli ponadto bn 0 dla n 1 oraz b 0, to
limn
n
n
ab
ab =
-
19
Suma wyrazw nieskoczonego cigu geometrycznego
Dany jest nieskoczony cig geometryczny a bn n( ) ( ) i , okrelony dla n 1, o ilorazie q. Niech Sn( ) oznacza cig sum pocztkowych wyrazw cigu a bn n( ) ( ) i , to znaczy cig okrelony wzorem S a a an n= + + +1 2 ... dla n 1. Jeeli q
-
20
sincos
tg
0 0,0000 0,0000 901 0,0175 0,0175 892 0,0349 0,0349 883 0,0523 0,0524 874 0,0698 0,0699 865 0,0872 0,0875 856 0,1045 0,1051 847 0,1219 0,1228 838 0,1392 0,1405 829 0,1564 0,1584 8110 0,1736 0,1763 8011 0,1908 0,1944 7912 0,2079 0,2126 7813 0,2250 0,2309 7714 0,2419 0,2493 7615 0,2588 0,2679 7516 0,2756 0,2867 7417 0,2924 0,3057 7318 0,3090 0,3249 7219 0,3256 0,3443 7120 0,3420 0,3640 7021 0,3584 0,3839 6922 0,3746 0,4040 6823 0,3907 0,4245 6724 0,4067 0,4452 6625 0,4226 0,4663 6526 0,4384 0,4877 6427 0,4540 0,5095 6328 0,4695 0,5317 6229 0,4848 0,5543 6130 0,5000 0,5774 6031 0,5150 0,6009 5932 0,5299 0,6249 5833 0,5446 0,6494 5734 0,5592 0,6745 5635 0,5736 0,7002 5536 0,5878 0,7265 5437 0,6018 0,7536 5338 0,6157 0,7813 5239 0,6293 0,8098 5140 0,6428 0,8391 5041 0,6561 0,8693 4942 0,6691 0,9004 4843 0,6820 0,9325 4744 0,6947 0,9657 4645 0,7071 1,0000 45
sincos
tg
46 0,7193 1,0355 4447 0,7314 1,0724 4348 0,7431 1,1106 4249 0,7547 1,1504 4150 0,7660 1,1918 4051 0,7771 1,2349 3952 0,7880 1,2799 3853 0,7986 1,3270 3754 0,8090 1,3764 3655 0,8192 1,4281 3556 0,8290 1,4826 3457 0,8387 1,5399 3358 0,8480 1,6003 3259 0,8572 1,6643 3160 0,8660 1,7321 3061 0,8746 1,8040 2962 0,8829 1,8807 2863 0,8910 1,9626 2764 0,8988 2,0503 2665 0,9063 2,1445 2566 0,9135 2,2460 2467 0,9205 2,3559 2368 0,9272 2,4751 2269 0,9336 2,6051 2170 0,9397 2,7475 2071 0,9455 2,9042 1972 0,9511 3,0777 1873 0,9563 3,2709 1774 0,9613 3,4874 1675 0,9659 3,7321 1576 0,9703 4,0108 1477 0,9744 4,3315 1378 0,9781 4,7046 1279 0,9816 5,1446 1180 0,9848 5,6713 1081 0,9877 6,3138 982 0,9903 7,1154 883 0,9925 8,1443 784 0,9945 9,5144 685 0,9962 11,4301 586 0,9976 14,3007 487 0,9986 19,0811 388 0,9994 28,6363 289 0,9998 57,2900 190 1,0000 0
18. TABLICA WARTOCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
-
PublikacjawspfinansowanaprzezUniEuropejskwramachEuropejskiegoFunduszuSpoecznego.Publikacjajestdystrybuowanabezpatnie.
ISBN978-83-940902-1-0
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawGdaskuul.NaStoku49,80-874Gdasktel.(58)32-05-590,fax(58)32-05-591www.oke.gda.pl,e-mail:[email protected]
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawodziul.Praussa4,94-203dtel.(42)63-49-133,fax(42)63-49-154www.oke.lodz.pl,e-mail:[email protected]
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawJaworznieul.AdamaMickiewicza4,43-600Jaworznotel.(32)78-41-615,fax(32)78-41-608www.oke.jaw.pl,e-mail:[email protected]
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawPoznaniuul.Gronowa22,61-655Poznatel.(61)85-40-160,fax(61)85-21-441www.oke.poznan.pl,e-mail:[email protected]
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawKrakowieos.Szkolne37,31-978Krakwtel.(12)68-32-101,fax(12)68-32-100www.oke.krakow.pl,e-mail:[email protected]
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawWarszawiePlacEuropejski3,00-844Warszawatel.(22)45-70-335,fax(22)45-70-345www.oke.waw.pl,e-mail:[email protected]
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnawomyAl.Legionw9,18-400omatel.(86)47-37-120,fax(86)47-36-817www.oke.lomza.pl,e-mail:[email protected]
OkrgowaKomisjaEgzaminacyjnaweWrocawiuul.Zieliskiego57,53-533Wrocawtel.(71)78-51-894,fax(71)78-51-866www.oke.wroc.pl,e-mail:[email protected]
CentralnaKomisjaEgzaminacyjnaul.JzefaLewartowskiego6,00-190Warszawa
tel.(22)53-66-500,fax(22)53-66-504www.cke.edu.pl,e-mail:[email protected]