Download - Matriks (Matematika Ekonomi)
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
1/26
MATRIKSFaridatul Masadah
21401072093
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
2/26
Pengertian
Matriks : kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalambaris dan
kolom yang membentuk suatu persegi panjang, sertatermuat di
antara sepasang tanda kurung.
A = atau A =
a11
a12 … a1n
a21 a22 … a2n… … … …
… … … …
… … … …
am1 am2 … amn
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n… … … …
… … … …
… … … …
am1 am2 … amn
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
3/26
Pengertian
Unsur-unsur suatu matriks dilambangkan dengan notasi
aiji = baris
j = kolom
aij berarti unsur matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
Matriks yang terdiri atas m baris dan n kolom dinamakan matriksberukuran m × n atau matriks berorde m × n
Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya (m = ndinamakan matriks bujursangkar (square matrix)
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
4/26
Pengertian
Unsur suatu &ektor dilambangkan dengan huru' kecil sesuai dengannama &ektornya dan diikuti oleh indeks barisnya.!ontoh : a4, a2
imensi suatu &ektor tercermin dari banyaknya unsur pada &ektortersebut.
)ada contoh di atas, &ector a dan b adalah &ector baris berdimensi-*.+edan kan &ector c dan d adalah &ector kolom berdimensi-*.
a =
b =
a = b =
ektor : bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris
atau satu kolom.
ektor baris : matriks sebaris atau matriks baris tunggal
ektor kolom : matriks sekolom atau matriks berkolom tunggal
ektor dilambangkan dengan huru' kecil bercetak tebal atau huru'kecil beranak-panah di atasnya.
!ontoh &ektor baris : !ontoh &ektor kolom :
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
5/26
Kesamaan Matris dan Kesamaan !et"r
ua buah matriks A dan B dikatakan sama
(ditulis : A = B jika keduanya berorde sama dansemua unsur yang terkandung di dalamnya sam(aij = bij. ika matriks A tidak sama dengan
matriks B, ditulis A≠B.!ontoh :
A = B = C =
A = B, AC, dan BC
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
6/26
Kesamaan Matris dan Kesamaan !et"r
ua buah &ector dikatakan sama jika keduanya
sejenis, sedimensi dan semua unsur yangterkandung di dalamnya sama.!ontoh :
a = b =
u = v =a = b, u v, a u v, dan b u v
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
7/26
Kesamaan Matris dan Kesamaan !et"r
/erdasarkan de0nisi matriks dan &ector sebelumnya
maka selain merupakan kumpulan bilangan, matriksdapat pula dipandang sebagai kumpulan &ector. Am×adalah matriks A yang merupakan kumpulan dari mbuah &ector-baris dan n buah &ektor-kolom. adi, A = adalah matriks yang merupakan kumpulan
dari &ector-&ector dan , ,
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
8/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Pen$umlahan dan Pengurangan Matris ua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau
dikurangkan jika keduanya berorde sama. umlah atauselisih dua matriks A = 1aij2 dan B = 1bij2 adalah sebuah
matriks baru C = 1cij2 yang berorde sama, yang unsur-
unsurnya merupakan jumlah atau selisih unsur-unsur A dan B.
A 3 B = C dimana cij = aij 3 bij
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
9/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Pen$umlahan dan Pengurangan Matris !ontoh :
4arena penjumlahan antarbilangan bersi'at komutati' dan
asosiati', padahal matriks adalah kumpulan bilangan, maka
untuk penjumlahan antar-matriks berlaku pula kaidahkomutati' dan kaidah asosiati'.
4aidah 4omutati' : A 5 B = B 5 A
4aidah Asosiati' : A 5 (B 5 C = (A 5 B 5 C
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
10/26
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
11/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Peralian Matris dengan Salar !ontoh :
A = 6 = *
maka 6A = *A = B = =
Untuk perkalian matriks dengan scalar berlaku kaidahkomutati' dan kaidah distributi'.
4aidah 4omutati' : 6A = A6
4aidah istributi' : 6(A 3 B = 6A 3 6B
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
12/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Peralian Antar%matrisua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila
jumlah kolom dari matriks yang dikalikan samadengan jumlah baris dari matriks pengalinya.%asilkali dua buah matriks Am×n dengan Bn×p
adalah sebuah matriks baru Cm×p, yang unsur-
unsurnya merupakan perkalian silang unsur-unsur
baris matriks A dengan unsur-unsur kolom matriksB.
Am×n × Bn×p = Cm×p
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
13/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Peralian Antar%matris !ontoh
A7×8 = B8×7 =
maka A7×8 × B8×7 = C7×7 =
c11 = a11b11 5 a12b21 5 a13b31 = 7.* 5 (-*9 5 .7 = -7
c12 = a11b12 5 a12b22 5 a13b32 = 7. 5(-*(-; 5 .< = ;9
c21 = a21b11 5 a22b21 5 a23b31 = .* 5 7.9 5 >.7 = >>
c22 = a21b12 5 a22b22 5 a23b32 = . 5 7(-; 5 >.< = 97 adi, AB = C =
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
14/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Peralian Antar%matris !ontoh (7
Untuk perkalian antarmatriks berlaku kaidah asosiati' dan
kaidah distributi', tetapi tidak berlaku kaidah komutati'.
4aidah Asosiati' : A(BC = (ABC = ABC
4aidah istributi' : A(B 5 C = AB 5 AC
(A 5 BC = AC 5 AB
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
15/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Peng"#erasian !et"r+yarat-syarat dan cara pengoperasian matriks berlaku pula untuk
pengopersian &ector. /egitu juga dengan kaidah-kaidah yangmenyertainya.
ua buah &ector hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan
apabila keduanya sejenis dan sedimensi.
ua buah &ector hanya dapat dikalikan apabila keduanya
berlainan jenis tetapi berdimensi sama.
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
16/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Peralian Matris dengan !et"r+ebuah matriks yang bukan berbentuk &ector hanya dapat
dikalikan dengan sebuah &ector-kolom, dengan catatan jumlahkolom matriks sama dengan dimensi &ector-kolom yang
bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah &ector kolom baru.
Am×n bn×1 = cm×1
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
17/26
Peng"#erasian Matris dan !et"r
Peralian Matris dengan !et"r!ontoh :
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
18/26
&entu%&entu Khas Matris
iagonal utama : diagonal yang mengurutkan secara silang
unsur baris pertama kolom pertama ke unsur baris terakhirkolom terakhir, yakni diagonal yang bergerak dari sudut kiri-atas
menuju ke sudut kanan-ba?ah.
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
19/26
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
20/26
&entu%&entu Khas Matris
Matris (iag"nal
Matriks iagonal ialah matriks bujursangkar yang semuaunsurnya nol kecuali pada diagonal utama.
!ontoh :
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
21/26
&entu%&entu Khas Matris
Matris )"l
Matriks iagonal adalah matriks yang semua unsurnya nol. Baimdilambangkan dengan angka 0.
!ontoh :
02×2 = 02×3 =
+etiap matriks jika dikalikan dengan matriks nol akanmenghasilkan matriks nol.
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
22/26
&entu%&entu Khas Matris
Matris *+ahan
Matriks iagonal (transpose matrix adalah matriks yang merupakan
hasil pengubahan matriks lain yang sudah ada sebelumnya, dimanaunsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsurkolomnya menjadi unsur-unsur baris.
Matriks ubahan biasanya dituliskan dengan menambahkan tandaaksen(C pada notasi matriks aslinya.
Ubahan dari matriks Am×n=[aij ] adalah A’n×m=[a’ ji ]
!ontoh :
A = A’ =
B = B’ =
Ubahan dari suatu matriks ubahan adalah matriks aslinya. adi, (A’)’=A, (B’)’=B.
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
23/26
&entu%&entu Khas Matris
Matris Simetri
Matriks simetrik ialah matriks bujursangkar yang sama denganubahannya. Matriks A dikatakan simetrik apabila A = A’.
!ontoh:
A = A’ = A merupakan matriks simetrik sebab A = A’.
B = B’ = B merupakan matriks simetrik.
ika sebuah matriks simetrik dikalikan dengan ubanhannya maka
hasilnya akan berupa kuadrat dari mayriks tersebut. adi, bila A simetrik maka AA’ = AA = A2. Matriks satuan juga merupakanmatriks simetrik.
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
24/26
&entu%&entu Khas Matris
Matris Simetri Miring
Matriks simetrik ialah matriks bujursangkar yang sama dengan negati&e
ubahannya. Matriks A dikatakan simetrik miring (skew symmetricapabila A = -AD atau AD = -A.
!ontoh :
A = A’ = -A’ =
A merupakan matriks simetrik miring karena A = -A’.
B = B’ = = -B
B merupakan matriks simetrik miring karena B’ = -B.
!iri khas matriks simetrik miring adalah diagonal utamanya terdiri atasbilangan-bilangan nol.
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
25/26
&entu%&entu Khas Matris
Matris &alian
Matriks balikan (inverse matrix adalah matriks yang apabila dikalikan
dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matrikssatuan. ika A merupakan sebuah matriks bujursangkar, makabalikannya dituliskan dengan notasi A-1, dan AA-1 = I.
!ontoh :
A = A-1 = AA-1 = = I
A-1 adalah balikan dari A, sebab AA-1 = I.
B = B-1 = BB-1 = = I
B-1 adalah balikan dari B.
-
8/15/2019 Matriks (Matematika Ekonomi)
26/26
&entu%&entu Khas Matris
Matris Salar, -rt"g"nal, Singular, dan )"nsingu
Matrik ka!ar ialah matriks diagonal yang unsur-unsurnya
sama atau seragam (6. alam hal 6 = 8, matriks scalar yangbersangkutan sekaligus juga adalah matriks satuan. Matriksscalar juga merupakan hasilkali sebuah scalar dengan matrikssatuan, 6I = matriks scalar 6.
Matrik "rt#"$"%a! ialah matriks yang apabila dikalikan denganmatriks ubahannya menghasilkan matriks satuan, AA’ = I.
Matrik i%$u!ar ialah matriks bujursangkar yangdeterminannya sama dengan nol, matriks semacam ini tidakmempunyai balikan.
Matrik %"%-i%$u!ar ialah matriks bujursangkar yangdeterminannya tidak nol, matriks semacam ini mempunyaibalikan.