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I .2.3 A pplicat ion l int grat ion dquat ion diff rent iel les du premier ordre
Soit rsoudre lquat ion diffrent ielle du premier ordre :
M (xy) + N (xy)y = 0 (I.3)
o M (xy et N (xy) sont deux fonct ions quelconques de x et de y. On peut rsoudre cet te quat ion enposant :
dU = M (xy)dx + N (xy)dy
Rsoudre lquat ion (I.3) revient rsoudre dU = 0 soit U(xy) = C t e Aprs avoir vrifi que dU est une
diffrent ielle totale, il suffi t donc de dterminer U(xy) selon la mthodologie prsente prcdemment .Nous verrons plus tard comment rsoudre lquat ion (I.3) dans le cas o dU nest pas une diffrent ielle
totale exacte.
On cherche rsoudre lquation diff rentiel le :
y = 1 + 2x y 3
3x 2y 2(I.4)
solut i on :
Cette quation peut se mettre sous la forme :
(1 + 2xy3)dx + 3x2y2dy = 0
Posons :dU = (1 + 2xy3)dx + 3x2y2dy
Rsoudre lquation (I .4) revient dterminer la solution de dU = 0. Ceci est ais si lon peut montrerque dU est une diff rentiel le totale. Soit :
M = 1+ 2xy3etN = 3x2y2
M
y=N
x= 6xy2
do, en intgrant la diff rentiel le totale exacte dU, :
U(xy) = x + x2y3
dU = 0 U = Cte
do :
x + x2y3 = Cte
est solution de (I .4).
I .3.1 Int roduct ion
Soit la diffrent ielle dU :
dU = 2xydx + (4y + 3x2)ydy = 0 (I.5)
Cet te diffrent ielle nest pas totale. En effet :
Soit M (xy) = 2xy et N (xy) = (4y + 3x2)y
M
y= 2y
N
x= 6xy
M
y6=N
x
On ne peut donc pas rsoudre lquat ion (I.5) par la procdure prsente dans la part ie prcdente. Ona alors recours au facteur intgrant .
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I .3.2 Dfinit ion
Soit une diffrent ielle de la forme :
V = P(xy)dx + Q(xy)dy (I.6)
telle que :P
y6=Q
y
Cet te diffrent ielle nest pas exacte. On cherche alors une fonct ion auxiliaire F (xy) telle que :
dU = F (xy)P(xy)dx + F (xy)Q(xy)dy (I.7)
soit une diffrent ielle totale.
Cet te fonct ion F (xy) est appele facteur intgrant de la diffrent ielle V.
I .3.3 Dt erminat ion de fact eurs int grant s monovar iables
I l sagit de t rouver une fonct ion F (xy) qui vrifie la relat ion :
(FP)
y=(FQ)
x(I.8)
Soit :
PF
y+ F
P
y= Q
F
x+ F
Q
x(I.9)
Rest reignons nous ici rechercher des fonct ionsmonovariables F (x) ou F (y). Le cas gnral de fonct ions
mult ivariables sera t rait dans le paragraphe I I.4.1
Si on recherche un facteur facteur intgrant de la forme F (x), il doit vrifier :
FP
y= Q
dF
dx+ F
Q
x
Soit en rarrangeant et en divisant par FQ :
1
Q
P
y=
1
F
dF
dx+
1
Q
Q
x
Soit :1
F
dF
dx=
1
Q(P
yQ
x)
Le facteur intgrant est obtenu par :
F (x) = e
R 1
Q
P
yQ
x
dx
Si on recherche un facteur facteur intgrant de la forme F (y), il doit vrifier :
FQ
x= P
dF
dy+ F
P
y
Soit en rarrangeant et en divisant par FP :
1
P
Q
x=
1
F
dF
dy+
1
P
P
y
Soit :1
F
dF
dy=
1
P(Q
xP
y)
Le facteur intgrant est obtenu par :
-
F (y) = e
R 1
P
Q
xP
y
dy
Dune manire gnrale, on cherchera un facteur intgrant du type F (x) quand :
1
Q(P
yQ
x) = f (x)
et un facteur intgrant du type F (y) quand :
1
P(Q
xP
y) = g(y)
Rsoudre :
y x y = 0 (I.10)
solut ion :
Soit dV = ydx xdyCette diff rentielle nest pas exacte. On cherche F(x,y) telle que :
dU = F (xy)dV
soit une diff rentielle exacte. Si on recherche F (x) alors il faut :
1
F
dF
dx=
1
x(y
y( x)
x)
Soit :1
F
dF
dx=
1
x(1 + 1)
F (x) = e
R 2x dx = e
R 2ln (x )
= e
Rl n (x 2 )
do
F (x) =1
x2
La diff rentiel le :
dU = FdV =1
x2(ydx xdy)
est une diff rentielle totale.Rsoudre lquation dV = 0 revient rsoudre lquation dU = 0. Soit :
U(xy) =
Z
y1
x2dx + k(y) =
y
x+ k(y)
etU
y=
1
x+ k (y)
N (xy) = 1
x
k (y) = 0 k(y) = Cte
Do la solution :
U(xy) = y
x+ Cte = C
y
x= C1
o C1 est une constante relle soit :
y = C1x
La solution de lquation (I .10) est donc une famille de ligne passant par lorigine.
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Soient X (xyz), Y (xyz), Z (xyz) t rois fonct ions cont inues des t rois variables x, y, z et g laforme diffrent ielle :
g = X (xyz)dx + Y(xyz)dy + Z (xyz)dz
g est une forme diffrent ielle totale exacte si :
X
y=Y
x
X
z=Z
x
Y
z=Z
y
Plus gnralement : Soient X 1(x1x2xn ), X 2(x1x2xn ),. . ., X n (x1x2xn ) n fonct ionscont inues des n variables x1, x2y, . . ., xn et g la forme diffrent ielle :
g = X 1(x1x2xn )dx1 + X 2(x1x2xn )dx2 + + X n (x1x2xn )dxn
g est une forme diffrent ielle totale exacte si :
X 1
x ii 6= 1=X ii 6= 1
x1...
X j
x ii 6= j=X ii 6= j
x j...
X n
x ii 6= n=X ii 6= n
xn
Estimation dune erreur
Soit un bloc rectangulaire de longueur x, largeur y et hauteur z. les mesure dun tel bloc conduit aux
valeurs suivantes : x= 10cm, y= 12cm, z= 20cm avec une marge derreur de 0,05 cm. A partir de lexpres-sion de la diff rentielle totale exacte de laire de ce bloc, evaluer approximativement lerreur maximale
concernant laire du bloc ainsi que le pourcentage derreur d aux erreurs de mesures.
solut ion :
laire dun bloc rectangulaire scrit : S = 2(x y + x z + yz)
dS =S
xdx +
S
ydy +
S
zdz
dS = 2(y + z)dx + 2(x + z)dy + 2(x + y)dz
La plus grande erreur que lon peut commettre sur S si dx, dy et dz sont de mme signe (positifs parexemple), do :
dSm ax = 2(12 + 20) 005+ 2(10+ 20) 005+ 2(12+ 10) 005 = 84cm2
Soit un pourcentage derreur de :
er r =100dSm ax
S=
10084
1120= 075%
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Soient trois variables indpendantes x, y et z. Montrer que lexpression :
dU = (3x2yz)dx + z(x3 + 2y)dy + y(x3 + y)dz
est une diff rentielle totale. En dduire lexpression de U(xyz).
solut ion :soit : p = 3x2yz ; q = z(x3 + 2y) ; r = y(x3 + y) dU est une diff rentiel le totale si :
p
y=q
x
p
z=r
x
q
z=r
y
(I.11)
Calculons ces drives partielles :
p
y= 3x2z
q
x= 3x2z
p
z= 3x2y
r
x= 3x2y
q
z= x3 + 2y
r
y= x3 + 2y
(I.12)
dU est bien une diff rentielle totale. On a :
U
x= 3x2yz
do :
U = x3yz + g(yz)
U
y= x3z +
g
y= q = x3z + 2yz
do :g
y= 2yz
soit :
g(yz) = y2z + f (z)
do :U = x3yz + y2z + f (z)
U
z= x3y + y2 +
df
dz= r = x3y + y2
do :df
dz= 0
On obtient alors :U(xyz) = x3yz + y2z + C
o C est une constante relle.
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Soit dZ une diffrent ielle totale. Alors :
Z Z 2
Z 1
dZ = Z2 Z1 = Z
En physique, la fonct ion Z est dite quation dtat, et la valeur de Z ne dpend pas du chemin suivi.
Soit dV un diffrent ielle qui nest pas totale. En physique, on la notera V. Dans ce cas :
Z Z 2
Z 1
dZ 6= Z2 Z1
La valeur de V dpend du chemin suivi.
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Chapit re I I
On donne lenom desystme diff rentiel tout systmedquat ionsentreplusieurs fonct ions inconnuesdune mme variable et leurs drives jusqu un certain ordre.
Observons quil est toujours possible, en int roduisant des fonct ions inconnues auxiliaires, de ramener un
systme diffrent iel quelconque un systme dans lequel ne figurent que les drives du premier ordredes fonct ions connues; cest ainsi que le systme :
d2x
dt2+ 5x y = cos2t
d2y
dx2 x + 3y = 0
(I I.1)
qui est du second ordre avec deux fonct ions inconnues, peut se ramner en int roduisant les deux fonct ions
auxiliaires inconnues u =dx
dt, v =
dy
dt, la forme :
du
dt+ 5x y = cos2t
dv
dt x + 3y = 0
dx
dt= u
dy
dt= v
(I I.2)
qui fait intervenir quatre quat ions du premier ordre ent re quatre fonct ions inconnues.Nous nous limiterons ici ltude des systmes du premier ordre de n quations n inconnues. Nous
supposerons, de plus, ces quat ions rsolues par rapport aux drives des fonct ions inconnues. Un tel
systme est dit sous forme canonique :
x1
dt= f 1(x1x2xnt)
...xn
dt= f n (x1x2xnt)
(I I.3)
o x1x2xn dsignent n fonct ions inconnues de la variable t. Ce systme peut scrire;
dx i
dt= f i (x1x2xnt)i = 1n
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Toute solut ion du systme (I I.3) vrifie ncessairement le systme (I I.4) ci-dessous, obtenu en drivant(n 1) fois la premire quat ion et en tenant compte chaque fois des quat ions qui la suivent dans ce
systme et donnentdx1
dt
dxn
dten fonct ion de x1x2xn et t :
dx1
dt= f 1(x1x2xnt)
dx21dt
= 2(x1x2xnt)
...dxn1dt
= n (x1x2xnt)
(I I.4)
Toute fonct ion x1(t) vrifiant le systme est donc solut ion de lquation diff rentielle dordre n :
R
tx1dx1
dt
dn x1
dtn= 0
(I I.5)
obtenue en liminant x2x3xn entre les quat ions (I I.4).
I l rsulte du thorme dexistence des solut ions du systme (I I.3), et nous admett rons sans dmons-
t rat ion que, rciproquement, si :
x1 = F1(tC1C2Cn ) (I I.6)
dsigne lintgrale gnrale de lquat ion (I I.5), lintgrale gnrale du systme (I I.3) sobt ient en portant
dans lesn 1 premiresquat ionsde (I I.4) les valeursdex1dx1
dt
dn 1x
dtn 1, et en rsolvant cesquat ions
en x2x3xn , sans par consquent effectuer aucune intgrat ion nouvelle.
Dterminer les fonctions z(x) et y(x) telles que :
xdy
dx+ y + 2z = 0
xdz
dx 3y 4z = 0
(I I.7)
o x, une variable indpendante.
solut ion :
Cherchons former une quation rsolvante du second ordre en y ; nous avons en drivant la premire
quation du systme (I I .7) :
xd2y
dx2+ 2
dy
dx+ 2
dz
dx= 0 (I I.8)
do en multipliant par x :
x2d2y
dx2+ 2x
dy
dx+ 2x
dz
dx= 0 (I I.9)
En remplaant xdz
dxpar sa valeur tire de la seconde quation du systme (I I .7), puis z par sa valeur tire
de la premire, nous obtenons lquation rsolvante :
x2d2y
dx2 2x
dy
dx+ 2y = 0 (I I.10)
Les solutions de cette quation (quation dEuler) sont de la forme y = xr .Soit : y = r xr 1 et y = r (r 1)x r 2
Do lquation caractristique :
r (r 1) 2r + 2 = 0
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qui a pour racine r = 1 et r = 2. L intgrale gnrale est :
y = Ax + Bx2
En portant ce rsultat dans la premire quation du systme (I I .7), nous obtenons sans intgration nou-
velle :
z = 1
2
y + xdy
dx
= Ax 3
2Bx2 (I I.11)
o A et B sont des constantes relles. On peut facilement vrifier que quelque soient les valeurs des
constantes A et B, les fonctions y(x) et z(x) ainsi trouves vrifient bien le systme dquations diff ren-
tielles (I I .7).
On cherche rsoudre des systmes diffrent iels du premier ordre donns sous forme canonique :
dx1dt
= f 1(x1x2xnt)...
dxndt
= f n (x1x2xnt)
(I I.12)
On suppose que ce systme admet une solut ion unique rpondant aux condit ions init iales : x i = x0i pour
t = t0.
Lensemble des solut ions dpend de n constantes arbit raires C1, C2, . . ., Cn .
Lensemble :
x1 = F1(C1C2Cnt)...
xn = F1(C1C2Cnt)
(I I.13)
const itue lintgrale gnrale du systme. Si lon rsoud le systme (I I.13) par rapport Ci , on peut
exprimer lintgrale gnrale du systme sous la forme
1(x1x2xnt) = C1...
n (x1x2xnt) = Cn
(I I.14)
Les fonct ionsi qui sont des constantes sont dites intgrales premires du systme (I I.12).
Dnemaniregnrale, on appelle intgralepremiredun systmediffrent iel, toutefonct ion dex1x2xnet qui se rduit une constante si lon y remplace x1x2xn par des fonct ions de t const ituant une
solut ion quelconque de ce systme.
On dmont re que , rciproquement , toute intgrale premiredecesystmepeut sexprimer en fonct iondesi seules. les intgralespremiresainsi misesen causes(ou tout autresystmeden intgralespremires
indpendantes) const ituent un systme fondamental dintgrales premires.
Soit x, une variable indpendante. Dterminer les fonctions y(x) et z(x) solutions du
systme :
xdy
dx+ y + 2z = 0
xdz
dx 3y 4z = 0
(I I.15)
solut i on :
-
dx
x=
dy
y + 2z=
dz
3y + 4z(I I.16)
Les galits exprimes dans lquations (I I .16) peuvent scrire :
dx
x=
( 3)dy
( 3)(y + 2z)=
( 2)dz
( 2)(3y + 4z)=
3dy + 2dz
3y + 2z=
d(3y + 2z)
3y + 2z(I I.17)
Daprs lquation (I I .15), les fonctions u1(x) = 3y(x) + 2z(x) et v(x) = x ayant la mme diff rentiel lelogarithmique, elles ont un rapport constant.
1 =3y + 2z
x= C1 (I I.18)
est une intgrale premire du systme (I I .15). Lquation (I I .15) conduit galement :
dx
x=
dy
y + 2z=
dz
3y + 4z=
dy + dz
2(y + z)(I I.19)
Daprs lquation (I I .19), les fonctions u2(x) = y(x) + z(x) et v(x) = x ont des diff rentiel les logari th-
miques proportionnelles, on a donc :
2 =y + z
x2= C2 (I I.20)
o 2 est une intgrale premire du systme (I I .15).
I I .2.1 Gnral i t s sur les quat ions l inaires et homognes aux dr ives par -t iel les du 1 ordre
Soit xn une variable indpendante.
Considrons n 1 fonct ions : x1(xn ), x2(xn ), . . ., x(n 1)(xn ) vrifiant :
dx1
X 1(x1x2xn )=
dx2
X 2(x1x2xn )= =
dxn
X n (x1x2xn )(I I.21)
Ce systme possde (n-1) intgrales premires. Soit f (x1x2xn ) une intgrale premire du systme.Si les fonct ionsdex1, x2, . . ., xn 1 dexn vrifient le systme, f se rduit uneconstanteet sa diffrent ielle
est donc nulle. f
x1dx1 +
f
x2dx2 + +
f
xndxn = 0 (I I.22)
Daprs la relat ion (I I.21), on a :
dx i =X i
X ndxn (I I.23)
Il en rsulte que la fonct ion f vrifie la relat ion :
X 1 f
x1+ X 2
f
x2+ + X n
f
xn= 0 (I I.24)
qui est linaire, homogne par rapport aux drives part ielles f
x iet qui const itue donc une quat ion
linaire et homogne aux drives part ielles du 1er ordre.
Rciproquement , si f est solut ion de lquat ion (I I.25) et si lon y remplace par des fonct ions x1, x2,. . ., xn 1 de xn vrifiant lquat ion (I I.21), la relat ion (I I.22) est vrifie. Donc, f = C est une intgrale
premire de lquat ion (I I.21).
Ainsi, lensemble des solut ions de lquat ion (I I.25) est ident ique lensemble des intgrales premires du
systme diffrent iel (I I.21) que lon appele systme adjoint ou caractristique de lquat ion (I I.25).
Si on connait n 1 intgrales premires dist inctes f 1, f 2, . . ., f n 1 du systme adjoint , toute intgrale
premire f est fonct ion de f 1, f 2, . . ., f n 1 . Lensemble des solut ions de lquat ion linaire et homogne(I I.21) est reprsente par une fonct ion de n 1 intgrales premires du systme adjoint :
f = (f 1xf 2f n 1) (I I.25)
-
1er
1er
Soit Z = (xy) la fonct ion inconue.
Soient p =Z
x, q =
Z
yses drives part ielles. Soit lquat ion :
P(xyZ)Z
x+ Q(xyZ )
Z
y= R(xyZ ) (I I.26)
et
f (xyZ) = f (xy(xy)) = 0 (I I.27)
une quat ion implicite contenant Z .
Daprs la thorie des fonct ions implicites,
f x + fZ
Z
x= 0
f y + fZ
Z
y= 0
(I I.28)
avec : f x = f
xf y =
f
yf Z =
f
Zdo :
p =Z
x=
f xf Z
q =Z
y=
f y
f Z
(I I.29)
Lquat ion (I I.26) scrit :
P(xyZ )f xf Z
+ Q(xyZ)f y
f Z+ R(xyZ ) = 0 (I I.30)
soit :
P(xyZ) f
x+ Q(xyZ )
f
y+ R(xyZ)
f
Z= 0 (I I.31)
On ramne ainsi lintgrat ion de (I I.26) celle dun quat ion homogne. Si 1 = C1 et 2 = C2 sont deux
intgrales premires du systme adjoint :
dx
P(xyZ)=
dy
Q(xyZ)=
dZ
R(xyZ )(I I.32)
lintgrale gnrale est une fonct ion arbit raire :
= (12)
et lquat ion gnrale des surfaces intgrales de lquat ion (I I.26) peut scrire :
(12) = 0
Rsoudre lquation :
xZ
x+ 2(y a)
Z
y= Z (xy) (I I.33)
solut i on :
Le systme adjoint est :
-
dx
x=
dy
2(y a)=
dZ
Z(I I.34)
De ce systme, on obtient deux intgrales premires :
Z = C1x
x2 = C2(y a)(I I.35)
On a C1 = (C2), soit :
Z (xy) = x(x2
y a)
o dsigne une fonction arbitraire.
I I .4.1 Dt erminat ion dun fact eur int grant de la forme (xy)
Nous avons vu dans le paragraphe I.3.3, comment dterminer les facteurs intgrants dune formediffrent ielle non exacte de la forme F (x) ou F (y). Nous recherchons ici les facteurs intgrants de la
forme (xy)
Soit
V = P(xy)dx + Q(xy)dy
une forme diffrent ielle 2 variables, telle que :
P
y6=Q
y
(xy) est un facteur intgrant , si
dU = P(xy)dx + Q(xy)dy
est une diffrent ielle totale, cest dire si :
(P)
y=(Q)
x
Soit :
Q
x P
y=
P
yQ
x
(I I.36)
Lquat ion (I I.36) est unequat ion linaire aux drives part ielles du 1er ordre. le systmeadjoint scrit :
dxQ
= dyP
= d
P
yQ
x
En intgrant lquat ion diffrent ielle Pdx + Qdy = 0, on t rouve une intgrale premire. Soit (xy) = C1lexpression de cet te intgrale premire. On peut calculer y en fonct ion de x et C1. P(xy) et Q(xy)deviennent alors des fonct ions de x et C1 de sorte que :
=
1
Q
P
yQ
x
dx (I I.37)
est une quat ion diffrent ielle variables spares. En intgrant on trouve :
= C2F (xC1)
soit :
F (x(xy)) = G(xy)
-
et
G(xy)
est la seconde intgrale premire du systme adjoint . On t rouve tous les facteurs intgrants en crivant
que
G(xy)est une fonct ion de (xy), soit :
= G(xy)H [(xy)]
H tant une fonct ion arbit raire dune variable.
Trouver tous les facteurs intgrants de la forme diff rentielle :
V = ydx + xdy
.
solut ion :
Soit M (xy) = y et N (xy) = x.
M
y= 1
N
x= 1
M
y6=N
x la diff rentielle V nest pas exacte
(xy) est un facteur intgrant de V si la forme diff rentiel le
dU = ydx + xdy
est exacte. doit donc vrifier :(( y))
y=(x)
x
soit :
y()
y= +
()
x
soit :
2 + y()
y+()
x= 0
Le systme adjoint cette quation aux drives partielles est :
dx
x=
dy
y=
d
2(I I.38)
Les intgrales premires de ce systme adjoint sont :
y = C1x
x2 =C2
(I I.39)
do :
(xy) =1
x2(
y
x)