Download - Materi GT Pertemuan 1
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
1/28
GEOMETRITRANSFORMASI
Pertemuan 1-4
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
2/28
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
3/28
Fungsi bijektif adalah fungsi yg bersifat surjektif
dan injektif.Fungsi surjektif
T : V V disebut surjektif bila BV !V shgT"!#$B% B disebut peta dari ! atau ! disebut
prapeta dari B.
Fungsi injektifT : V V disebut injektif bila:!&!'T"! T"!'#T"!$ T"!'# !&$ !'
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
4/28
Ditentukan !V dan T : V V adalah fungsi
yg didefinisikan sbb:
T"!#$!
'# (ika )! maka T")#$* dg titik * titik
tengah ruas garis !) "!)#.
!pakah T menyatakan suatu transformasi+
,ontoh &.
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
5/28
Q=T(P)
P
R
A S=T(R)
(a-ab:
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
6/28
(elas ! memiliki peta yaitu ! sendiri
!mbil sebarang titik ! pada V karena
ada garis yang melalui ! dan "dua titikpd bidang euclide#. (adi ada satu ruas
garis ! shg ada tepat satu / dengan /
antara ! dan shg !/$/. 0ni berarti
bah-a 1V 23 dengan 3$T"1# yangmemenuhi persyaratan . (adi daerah asal
T adalah V
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
7/28
!pakah T surjektif+
4 Diambil sebarang titik D pada bid V.
4 !kan ditunjukkan 1 V D$T"1#
4 Bila D$! maka D$!$T"!# dg ! V.
4 Bila D! maka dapat dipilih titik 1 dg D titiktengah !1% 1 bersifat tunggal% 1V dan
berlaku D$T"1# "definisi T 2#.
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
8/28
!pakah T injektif+
4 Diambil dua titik sebarang ) dan * dg )* pada V dan
!)* tidak kolinear5segaris.
4 !kan ditunjukkan T")#T"*#.4 !ndaikan T")#$T"*#. !kibatnya T")# segmen !)
dan T"*# segmen !* shg segmen !) dan !*
memiliki dua titik sekutu yaitu ! dan T")#$T"*#.
Berdasarkan aksioma dapat disimpulkan !) dan !*
berimpit 6dg sendirinya T"*# segmen !*7. Terjadi
kontradiksi dg !)* yg tidak segaris.
4 (adi pengandaian salah yg benar adalah T"*#T")#.
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
9/28
8isalkan )* berbeda ")*# dan )*! kolinier.
4 Bila 6)$! atau *$!7maka 6T")#$!$)T"*# atau
T"*#$! $*T")#7.4 Bila )*! maka T")#T"*# 6kontraposisinya7.
!ndaikan T")#$T"*#.
9arena T")# titik tengah segmen )!% T"*# titik
tengah segmen *! 6dg sendirinya )!$*!7% )*!
kolinier maka )$*.
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
10/28
Diketahui pemetaan T didefnisikandengan rumus : T((x!))=(x"!") dengan
Ditan!akan:
Apakah T trans#$rmasi%
=
x
y
y
x
4'
'
,ontoh '.
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
11/28
&a'a*ntuk memuktikan T trans#$rmasi
ditun+ukkan T #ungsi i+ekti#Ami, searang titik A(a)erdasarkan de# A dipetakkan keA"(4a) &ika a dan i, rii, maka 4adan +g i, rii, ni erarti ah'a adadengan tungga, A" !ang merup petadari A &adi krn (A(a).)(/
A"(4a).) #(A)=A" maka T merup
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
12/28
Ami, searang P(p0) di . isa,kan A(p"0") prapetadari P harus,ah T(A)= (0" 4p") ni erarti 0"=p dan4p"=0 atau p" = 024 3arena p0 i, rii, maka 024 rii,
ni erarti ada titik A(024 p) sdm shg T((024 p))= (p4 024)=(p0) &adi karena setiap titik di . adaprapeta di . maka T #ungsi sur+ekti#
Ami, searag titik A(a) dan P(d) dengan AP3arena AP erarti a atau d *ntuk a titik A
dipetakkan ke (4a) dan titik P dipetakkan ke (d4)ni erarti 4a4 sehingga T(A) T(P) &adi T # in+ekti#
3arena T #ungsi sur+ekti# dan in+ekti# erarti T #ungsii+ekti# &adi T trans#$rmasi
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
13/28
B. Unsur Tetap, sifattetap
n5arian atau tidak eruah : unsur-unsur
atau re,asi !ang tertahan thdp trans#$rmasiTitik !ang tertahan terhadap trans#$rmasi T
diseut titik tetap +ika garis garis !g tertahan$,eh trans#$rmasi T diseut grs tetap
3$,ineasi : suatu trans#$rmasi !angdikenakan pada suatu garis menghasi,kan
garis ,agi&ika T k$,ineasi dan g garis T(g)=g" maka g"
erupa garis ,agi
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
14/28
contoh
Diketahu trans#$rmasi T dengan rumus
Ditan!akan:1 6uktikan ah'a T k$,ineasi
7 Tentukan +ika ada garis tetap dari T
=
x
y
y
x
4'
'
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
15/28
C. Hasi !ai "!o#posisi$ %uatransfor#asi
&ika . dan 8 trans#$rmasi hasi, ka,iatau k$mp$sisi . dan 8 ditu,is .8
.8(P)=.(8(P))untuk men!ingkat kadang .8ditu,is .8 dan 88=87
Da,i, 11 : 9asi, ka,i dua trans#$rmasimerupakan trans#$rmasi ,agi
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
16/28
6ukti :isa,kan . dan 8 trans#$rmasi dari idang keidang semu,a
Ami, Q"" searang titik di idang 3arena .trans#$rmasi maka ada Q" sehingga .(Q")=Q""karena 8 trans#$rmasi erarti ada Q sehingga8(Q)=Q" Dgn demikian .8(Q)=Q"" ini erarti
setiap titik pasti merupakan hasi, #ungsi .8thdp sa,ah satu titik pd idang 3arena 8 i+ekti#. i+ekti# maka .8 ada,ah i+ekti# &adi .8ada,ah trans#$rmasiterukti
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
17/28
Searang trans#$rmasi . er,aku ..-1= (identitas) sehingga ..-1(P)=P
isa,kn . dan 8 trans#$rmasi (.8)-1
=8-1.-1Suatu trans#$rmasi . merupakan
suatu n5$,usi &ika . dan .7= inierarti . = .-1
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
18/28
contoh
&ika diketahui trans#$rmasi T1
((x!))=(x7!) dan T7((x!))=(x7!)
maka tentukan T1T7dan kenakanpada x7 !7=1
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
19/28
c. ISOMETRI
Suatu trans#$rmasi * merupakan suatus$metri &h& untuk setiap dua titik P dan Qdipenuhi P"Q"=PQ dengan P"=*(P) dan
Q"=*(Q)Dengan kata ,ain s$metri ada,ah
trans#$rmasi !g mempertahankan +arakDa,i, 17 : s$metri ada,ah 3$,ineasiDa,i, 1; : s$metri mempertahankan esar
sudutDa,i, 14 : s$metri mempertahankan
kese+a+aran
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
20/28
6ukti da,i, 17isa,kan g garis dan titik A 6 pada
g&ika A"=T(A) 6"=T(6) uat garis t!ang menghuungkan A" dan 6"maka adi t=g"dst
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
21/28
6ukti da,i, 1; : ,atihan6ukti da,i, 14 : ,atihan
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
22/28
contoh
Diketahu trans#$rmasi T denganrumus
Ditan!akan:1 6uktikan ah'a T is$metri
=
x
y
y
x
4'
'
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
23/28
&. GRU' TRANSFORMASI
isa,kan S suatu himpunan !g tidakk$s$ng $perasi < pada S 9impunan
S dengan $p < mementuk rup +ikadipenuhi :1 Tertutup > (a S) a (a S)
a
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
24/28
Da,i, 1? : 9impunan Trans#$rmasi men!usun rup6ukti :isa,kan 9 himpunan !g tidak k$s$ng dan $pk$mp$sisi pada 9
Ami, searang . 8 9 .89 (Da,i, 11)> +aditertutup
Ami, searang .8 dan T di 9(8 (.T))(A)=8 ((.T)(A))
= 8(.(T(A)) = (8.)(T(A)) = ((8.)T)(A) +adi krn 8(.T)=(8.)T maka er,aku si#at
ass$siati#
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
25/28
Ada e,emen identitas !aitu Tiap e,emen pun!a in5ers ,ihat see,umn!aDa,i, 1@ : 9impunan k$,ineasi men!usun grup
6ukti :3arena suatu k$,ineasi ada,ah trans#$rmasi makauntuk memuktikan ukup memuktikan si#attertutup (1) dan Tiap e,emen ada in5ers (4)isa,kan . 8 k$,ineasi dan 8(g)=g"
(.8)(g)=.(8(g)) = .(g") = g""
karena 8 k$,ineasi maka g" garis dan karena .k$,ineasi maka g"" garis &adi si#at tertutup terpenuhi
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
26/28
isa,kan . searang k$,ineasi dan gsuatu garis Terdapat garis h
sehingga .(g)=h .-1
(g) = .-1
(.(h))=(.-1.)(h) = (h)=hni erarti ah'a .-1merupakank$,ineasi erarti ada in5ers .sehingga .-1. =
&adi 9impunan k$,ineasi mementukgrup
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
27/28
Contoh
isa,kan idang .ditentukan titik Pdan ,ingkaran (Pa) Suatu
penga'anan # disusun seagaierikut: untuk searang titik Qdiidang . ditarik sinar PQ dan titikQ=(PQ)=#(Q) sedangkan #(P)=P
Apakah # suatu#ungsi%%Apakah # merupakan trans#$rmasi%%
-
7/24/2019 Materi GT Pertemuan 1
28/28
contoh
Ditentukan garis g pada idang .Pemetaan T mema'a 6 +ika 6 di g
ke 6 itu sendiri dan +ika titik A di ,uarg ke titik A" demikian shgdan +arak A" ke g setengah +arak A keg
1 6uktikan ah'a T trans#$rmasi7 6uktikan ah'a T k$,ineasi; Tentukan +ika ada garis tetap dari T
gAA '