Download - Materi Aljabar Fungsi Pecahan Rasional
MAKALAH FUNGSI RASIONAL
DISUSUN OLEH :
1. Wiwin Ria Utami (06081381419056)
2. Diana Putri Puspita Dewi (06081381419057)
3. Sri Utami (06081381419058)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKANMATEMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
FUNGSI RASIONAL
Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak
(polinom). Mislanya
1. y= 2(x+1)3
2. y=2 x+2
x2−4 x+8
Fungsi 1 dan 2 dinamakan fungsi rasioanal sejati karena derajat pembilang kurang
dari derajat penyebut. Sedangkan fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai
jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati . Misalnya:
y= x5+2 x3−x+1x3+5 x
=x2−3+ 14 x+1x3+5 x
Hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut.
Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis fungsi rasional dan cara menggambar
grafiknya.
1. Fungsi y=cx
Fungsi ini tidak memiliki titik potong , nilai dari variable tergantung pada x dan c
Jika : c=+ , x=+ , makanilai y=+¿
c=+ , x=−, makanilai y=−¿
c=−, x=+ , makanilai y=−¿
c=−, x=−,makanilai y=+¿
Contoh soal: Buat grafik fungsi x=9y
Penyelesaian : x= 8y
y=+ , x=+¿
y=−, x=−¿
Titik bantu : y=± 2, x=± 4
y=±1 , x=± 8
Asismtot nya ada di(0,0)
Grafik fungsi x= 8y
:
2. Fungsi y=cx2
Fungsi ini tidak memenuhi untuk menentkan titik potong. X akan selalu positif karena
merupakan dalam bentuk kauadrat yang menentukan adalah nilai dari C
Jika: c=+ , y=+¿
c=−, y=−¿
Contoh soal :
Buat grafik fungsi y=25x2
Penyelesaian: y=25x2
Jika : x=+, y=+dan x=−, y=+berarti grafik berada pada kuadranke I dan II
Gambar x= 8y
Titik bantu x=±1 , y=25 dan x=± 5 , y=5
Grafik fungsi y=25x2 :
3. Fungsi y=ax+bpx+q
p≠ 0 , jika p=0 maka bentuk ini disebut fungsi linier . ap
≠ bq
, jika ap=b
q maka pecahan
tersebut harus disederhanakan. Langkah dalam membuat grafik dengan menentukan:
Titik potong sumbu x , y=0
ax+b=0
x=−ba
(−ba
,0)
Titik potong sumbu y, x=0
y=0+b0+q
y=bq
(0 , bq)
Asimtot datar
Gambar y=25x2
y= ap
Asimtot
px+q=0
x=−qp
Contoh soal : y=2 x−55 x+3
Penyelesaian: y=2 x−55 x+3
Titik potong terhadap sumbu x, y=0
2 x−5=0
x=52
( 52
,0)
Titik potong terhadap sumbu y, x=0
y=0−50+3
y=−53
(0 , −53
)
Asimtot datar
y=25
Asimtot tegak
5 x+3=0
x=−35
Grafik fungsi ¿2x−55 x+3 :
Gambar y=2 x−55 x+3
4. Fungsi y=ax2+bx+cpx+q
Fungsi y=ax2+bx+cpx+q
merupakan bentuk yang ke empat dari macam-macam bentuk fungsi
pecahan. Bentuk fungsi ini sedikit berbeda dari bentuk fungsi sebelumnya, karena fungsi ini
tidak memiliki asimtot datar. Pada fungsi ini hanya memiliki asimtot tegak dan asimtot
miring. Cara mencari asimtot tegak dapat dengan menggunakan rumus px+q=0, dimana
akan didapatkan nilai x dengan rumus x=−q
p , selain itu cara mencari nilai dari asimtot
miring ialah dengan menggunakan rumus y=ax2+bx+cpx+q
dimana y= (mx+n )+ cpx+q dari
rumus itu yang menjadi asimtot miringnya adalah y=mx+n. Misalkan y= 4 x2−20 x+494 x−12
Harga pembilang positif untuk tiap harga x, maka fungsi tidak mempunyai titik nol, lalu
dapat dicari asimtot tegaknya, dari soal itu dapatkan nilai asimtot tegaknya yaitu x=3 cara
mencarinya juga menggunakan rumus asimtot tegak. Tititk potong fungsi dengan sumbu y
adalah (0 ,4 12). Sedangkan asimtot miringnya dapat dicari dengan membagi antara
pembilang dengan penyebut, setelah itu akan didapatkan persamaan y=x−2+ 254 x−12 dari
persamaan itu didapatkan asimtot miringnya yaitu y=x−2 , apabila R itu sesuatu titik pada
garis lengkung yang absisnya x, tentulah ordinatnya x−2+ 254 x−12 , apabila S menyatakan
asimtot miringnya adalah y=x−2 yang absisnya sama tentulah ordinat S sama dengan x−2.
Hanya 2 asimtot itu sajalah yang ada pada bentuk keempat dari fungsi pecahan. Adapun
sebab-sebabnya adalah agar supaya titik R=(x , y ) dapat bergerak melalui garis lengkung
ketempat yang jauhnya tak terhingga, mestilah x atau y menjadi besar tak terhingga. Harga y
hanyalah tak berhingga, apabila harga pembilang fungsi yang ditentukan itu menjadi tak
berhingga, ataupun jika penyebutnya mendekati nol tak bersyarat. Bagaimanapun juga, harga
x mestilah menjadi besar tak berhingga, ataupun mendekati 3 tak bersyarat. Dalam hal yang
pertama jarak R terhadap asimtot miring mendekati harga nol dan dalam hal yang kedua,
jarak R terhadap asimtot tegak x=3, selain itu tidak akan ada lagi asimtot yang lainnya.
Selain asimtot hal yang harus dicari adalah harga-harga ekstrim. Yang dapat digunakan untuk
mencari harga-harga ekstrim itu ialah bahwa dikatakan bahwa sesuatu harga x yang riil yang
menghasilkan harga y tersebut, bahwa y umpamanya tidak mungkin sama dengan nol. Harga-
harga x yang dalam hal ini menghasilkan harga-harga y yang ditanyakan itu, dapat dicari
dengan persamaan 4 x2−20 x+494 x−12
= y persamaan ini ekivalen dengan
4 x2−20 x+49− y (4 x−12)4 x−12
=0 dan oleh karena 4 x2−20x+49 tidak dapat dibagi dengan
x−3 , persamaan itu ekivalen pula dengan persamaan
4 x2−4 ( y+5 ) x+12 y+49=0 ........................................ (1)
Akar-akar persamaan ini riil, apabila dipenuhi syarat :
116
D=( y+5)2−(12 y+49 )= y2−2 y−24=( y−6 ) ( y+4 )≥ 0 jadi apabila y ≥6 atau y≤−4.
Untuk y=6 diperoleh x=5 12 , sedangkan untuk y=−4 diperoleh x=
12 . Untuk harga y ini
diskriminan D dari persamaan (1) sama dengan nol, sehingga yang perlu dihitung hanyalah
separuhnya dari hasil jumlah akar-akar pada persamaan (1). Untuk −4< y<6 persamaan (1)
tidak menghasilkan akar-akar yang riil. Dengan demikian ruang diantara garis
y=−4 dan y=6 tidak mengandung titik-titik garis lengkung. Dari situ diperoleh bahwa titik
yang serendah-rendahnya adalah (512
, 6) semua titik yang lain pada cabang atasnya terletak
diatas garis y=6, dan yang tertinggi adalah (12
,−4) semua titik yang lain pada cabang
bawahnya terletak dibawah garis y=−4. Itulah yang merupakan titik ekstrim dari persamaan
yang telah dibuat tadi.
Contoh Soal:
Gambarkan sketsa grafik y= x2−2 x−32 x−9
Penyelesaian :
Titik potong sumbu x
Untuk y=0
ax2+bx+c maka x2−2 x−3=0 diperoleh akar-akarnya ( x−3 )dan( x+1) jadi x1 = 3 dan x2 = -
1, maka (3,0 ) dan(0 ,−1)
Titik potong sumbu y
Untuk x=0
y= (0 )2−2 (0 )−32 (0 )−9
jadi y=−3−9 atau y=−1
3 , maka (0 ,−13 )
Asimtot tegak
px+q=0 , jadi x=−q
p
2 x−9=0 , maka x=92
Asimtot miring
y= x2−2 x−32x−9
maka y=(0,5 x+1,25 ) 8,252 x−9
maka asimtot miringnya adalah y=0,5 x+1,25
5. Fungsi ax2+bx+cpx2+qx+r
Fungsi y= ax2+bx+cpx2+qx+r
merupakan bentuk yang ke lima dari macam-macam bentuk fungsi
pecahan. Pada fungsi ini memiliki asimtot datar dan asimtot tegak, namun selain itu bentuk
fungsi ini juga memiliki titik potong asimtot datar. Cara mencari asimtot tegak ax2+bx+c=0,
selain itu cara mencari nilai dari asimtot datar y= ap . Titik-titik nol y= ax2+bx+c
px2+qx+r diperoleh
dengan jalan mencari harga-harga x dari persamaan ax2+bx+c=0 dengan demikian mungkin
terdapat dua titik nol yang berlainan dan mungkin juga dua titik nol yang berimpit, tapi
mungkin pula perhitungan sama sekali tidak menghasilkan titik nol. Ordinat titik potong
sumbu y ialah cr
untuk r=0dan c≠ 0 titik itu terletak pada tempat yang jauhnya tak berhingga
maka dalam hal ini sumbu y merupakan asimtot dari pada fungsi. Berbicara mengenai kutub
berimpit, apabila penyebut fungsi mempunyai bentuk (kx+1)2 hal itu sesuai dengan
pengertian titik berimpit (titik singgung dengan sumbu-x), yang dipergunakan apabila
pembilang fungsi merupakan kuadrat dari pada suatu bentuk linear dalam x.
Fungsi itu dapat ditulis dalam bentuk :
p=a+ b
x+ c
x2
p+ qx+ r
x2
untuk|x|→ ∞limitnya sama dengan ap
apabila x itu melukiskan suatu absis yang
tertentu, maka selisih diantara ordinat pada garis lengkung yang bergandengan dan ap sama
dengan 1p2 . 1
x.
pb−aq+ pc−arx
1+ qpx
+ rpx2
untuk|x|→ ∞ mempunyai limit nol. Dengan demikian
y= ap
adalahasimtot datar .
Pada fungsi ini, garis lengkung ittu pada umumnya dipotong pula oleh asimtot datar
y= ap
. Absis titik potong itu dapat ditemukan dari persamaan
ax2+bx+cpx2+qx+r
= ap
atau : (bp−aq ) x+cp−ar=0. Sebelum grafik digambar, hendaklah ditetapkan
dahulu dititik nol, titik potong dengan sumbu y, asimtot-asimtot, titik potog dengan asimtot
datar, kemudian tempat garis lengkung disekitar asimtot-asimtot itu, dan tidak lupa
menghitung harga dari titik ekstrimnya.
Contoh Soal :
Gambarkan grafik dari fungsi y=3 x2−18 x−212 x2−17 x+30
Penyelesaian :
y=3 x2−18 x−212 x2−17 x+30
Titik potong sumbu x
Untuk y = 0
ax2+bx+c=0 maka 3 x2−18 x−21=0 untuk memudahkan mencari akar-akarnya maka
bilang tersebut harus dibagi 3 hingga diperoleh x2−6 x−7 maka akar-akarnya adalah
( x−7 )dan (x+1) jadi diperoleh x1 = 7 dan x2 = -1
Titik potong sumbu y
Untuk x = 0
y= cr
maka diperoleh y=−2130
atau −710
maka(0 ,− 710
)
Asimtot tegak
2 x2−17 x+30=0diperoleh akar−akarnya yaitu (2 x−5 ) ( x−6 ) dengan x1 = 52 atau x2 = 6
Asimtot datar
y= ap
maka diperoleh y=32
Titik potong asimtot datar
3 x2−18 x−212 x2−17 x+30
=32
makadiperoleh
6 x2−36 x−42=6 x2−51 x+90 lalu diperoleh
15 x−132=0 maka x=13215
atau x=445
maka( 445
, 32)
LATIHAN
1. Sketsakan grafik y=16x2
2. Gambarkan grafik fungsi y=−2 x+73 x−5 , kemudian tentukanlah titik-titik potong
grafik itu dengan garis 2 x+3 y=13
3. Tentukan Asimtot dari y=2 x2−20 x+32x2−16 x+60
4. Gambarkan grafik y= x2−6 x−7x2−7 x+6
5. Gambarlah grafik y=2x+3 dan y=18x ; pada salib sumbu itu juga gambarlah
grafik y=2x+3+ 18x
6. Gambarlah sketsa grafik y= x2+3 x+6x+5
7. Carilah asimtot-asimtot dari fungsi y=x+ 1x dan gambarkan grafiknya
8. Gambarlah sketsa grafik y=1
( x−5)2
9. Grafik y=2 x2+5 y−10p x2+qx+r
berasimtot garis y=2, x=1, x=-2 . hitunglah nilai p, q,
dan r serta gambar sketsa grafiknya?
10. Gambarlah sketsa grafik y=2 x2−21 x+522 x−9
Kunci
1. y=16x2
2. y=−2 x+73 x−5 dan 2 x+3 y=13
Titik-titik potongnya adalah (2,3) dan (7,17 ; -0,44)
3. Asimtot tegak x=10 dan x=6 ; Asimtot datar y=2
4. y= x2−6 x−7x2−7 x+6
5. y=2 x+3+ 18x
6. y= x2+3 x+6x+5
7. Asimtot tegak x=0 dan asimtot datar y=x
Grafik: y=x+ 1x
8. Sketsa grafik y=1
( x−5)2
9. Nilai : p=1 , q=1 , dan r=−2Grafiknya:
y=2 x2+5 y−10x2+x−2
10. y=2 x2−21 x+522 x−9
DAFTAR PUSTAKA
Kuipers.L dan Rawuh.1963.Aldjabar Rendah.Jakarta.:Pradnjaparamita
Purcell.Edwin J. dan Dale Varberg. 1987.Kalkulus dan Geometri Analitik.Jakarta:Erlanggai
Irawan.Rully.2014.Grafik Fungsi Rasional. http://soulmath4u.blogspot.com/2013/10/grafik-fungsi-rasional.html (online).diakses 13 mei 2015