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Sucesionesylogaritmos
1ºdeBachillerato
MatemáticasI
Contenidos
Aritmética:Sucesionesylogaritmos
ImagendeMarcoColínenFlickr.LicenciaCC
1.Sucesiones:númerosordenados
FotografíadeMichaelGaidaenPixabay.Licencia.CC0
De pequeños, a nuestros padres y familiares les hacían mucha gracia cuandoaprendíamosadecirlasvocales:a,e,i,o,u.Oacontarlosprimerosnúmeros:1,2,3,4,5...Después, cuando nos hicimos un poco mayores, no mucho más, seis o siete años,teníamosquerecitaryaprenderlastablasdemultiplicar,porejemplo,ladelsiete,queesunadelasquemástrabajocostaba:
7x1=77x2=147x3=217x4=287x5=35
...Algunos, a los que más le gustan las matemáticas, unos años más tarde,memorizábamos,porejemplo,elcuadradodelosprimerosnúmerosnaturales:
1x1=12x2=43x3=94x4=165x5=25
...Lastressecuenciasanteriores:
1,2,3,4,5...7,14,21,28,35...1,4,9,16,25...
sedenominansucesionesnuméricas.Unaprimeradefinicióndesucesiónseríaladeunconjuntoinfinitodenúmerosordenados.Este temaestádedicadoa conocermejor las sucesionesyalgunasde sus familiasmás famosas:progresionesaritméticas ygeométricas.Aunqueenunprincipiotepuedaparecerunasuntotrivial,sinimportancia,yaverásquelassucesionestienenmáshonduradeloqueaprimeravistapuedaparecer.Haysucesionesmuyfamosas,entreellasladeFibonaccipodemosdecirqueseencuentraenel"topten":
Comohaspodidoverenelvídeoanterior,lasucesióndeFibonacciestápresenteenlanaturalezaoelarte.
1.1.Conceptosbásicos
Terminábamos el apartado anterior hablando de Fibonacci, estaría bien empezar este disfrutando de un vídeo donde seexponeconbellezalamagíadelasucesiónporéldescubierta.
Unasucesiónnuméricaestodoconjuntoordenadodenúmerosreales.
Cadaunodeloselementosdelasucesiónsellamatérmino.Comopuedesver,seutilizanlossubíndicesparaconocerellugarqueocupacadatérminoenlasucesión.Sellamatérminogeneralalqueocupaellugarindeterminado .Dichotérminoseexpresacomo .En muchas ocasiones, los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio sedenominaregladeformación.
Comohemosvistoenelapartado1.sucesionesexistenmuchasymuyfamosas,comopuedenserlasucesióndelosnúmerosprimos.
Primernúmeroprimo 1Segundonúmero
primo 2
Tercernúmeroprimo 3Cuartonúmeroprimo 5Quintonúmeroprimo 7Sextonúmeroprimo 11Séptimonúmero
primo 13
Elprimertérminode lasucesión,sesimbolizacomoa1,elsegundoa2yasísucesivamente,por loque losprimeros términosde lasucesiónsedenotaríancomoa1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=7,a6=11,a7=13...
Otra famosasucesiónes la formadapor loscuadradosde losnúmerosnaturales.Comoyahabrásadivinado, susprimeros términossona1=1,a2=4,a3=9,a4=16...Estatieneportérminogeneralan=n2.Graciasaestaexpresiónpodemosdeterminarcualquiertérminodelasucesión.Porejemplo,paracalculareltérminoquinto,tansolosustituimosnpor5yobtenemosa5=25.
Curiosidad
Importante
PreguntaVerdadero-Falso
Verdadero Falso
VerdaderoVeamoslosprimerostérminosdelasucesiónformadaporlosnúmeroscúbicosa1=1,a2=8,a3=27
Eltercertérminodelasucesióndelosnúmeroscúbicoses27
Solución
1.Opcióncorrecta(Retroalimentación)2.Incorrecto(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)
Indicaloscuatroprimerostérminosdelasucesiónan=2n+1
1,2,3,43,5,9,172,4,8,16-1,1,2,17
Tenencuentaeltérminogeneraldelasucesión.
Correcto
Tenencuentaladefinicióndeltérminogeneral.
Tenencuentaladefinicióndeltérminogeneral.
¿Te gustan los pasatiempos? En general son pequeños divertimentos lógicos que nos hacen pensar y nos evaden durante cierto tiempo de larealidad.AversierescapazdeadivinarestequeteproponemosDelosnúmerosdelasiguientesecuencianumérica,llamadosnúmerostriangulares.
Imagendeelaboraciónpropia
¿Sabríasdecircómocontinúalasecuencia,cuálessonelquintoysextonúmerotriangular?¿Yeldécimo?¿Seríascapazdedarunareglageneralparaconstruirlostodos?
Enelcasodenúmerostriangulares,tenemosque
Puedescomprobarqueeltérminogeneraldelasucesiónformadaporlosnúmerostriangulareses .Másadelanteenelapartado2veremosporqué.
Verificamosqueesciertoparaeltérminoqueocupaelsegundolugar: .Esaexpresiónes laregladeformaciónde losnúmeros triangularesquenospermitesaberelvalordecualquier término,ocupeel lugarque
ocupe.Porejemplo,eltérminoqueocupaellugar100: .Nosiempreesposibleescribireltérminogeneraldeunasucesiónconunaexpresiónalgebraica,aunqueconozcamoslareglaquesirveparahallarsustérminos.Eselcasodelassucesionesrecurrentes,enlasquecadatérminoquedadeterminadoapartirdelosanteriores.LayamencionadasucesióndeFibonacciesdeestetipo.Recuerda, ,yapartirdeltercertérminosecumpleque ,esdecircadatérminoeslasumadelosdosanteriores.
AplicandolaregladerecurrenciaanteriortenemosqueSi haces clic en el siguiente enlace, puedes acceder a los contenidos del proyecto EDAD en los que se desarrollan los conceptos anteriores,acompañadosdealgunosejemplosyejercicios.
PreguntadeElecciónMúltiple
a.Eltérminogeneraldelasucesiónformadaporlosnúmerosnaturalesesan= .
b.Enelcasodelatablademultiplicardel7a =49.
c.Eltérminogeneraldelasucesiónanterioresan= .
d.Enlasucesióndeloscuadradosa =81.
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Recuerdaslastresprimerassucesionesquevimosalprincipiodeltema:Losnúmerosnaturales:1,2,3,4,5...Latablademultiplicardel7:7,14,21,28,35...Loscuadradosdelosnúmerosnaturales:1,4,9,16,25...Completalassiguientesfrases.
Enesteenlacepuedesaccederaunarecopilacióndepasatiemposnuméricos.Lamayoríadeellossonsecuenciasnuméricas.Todossonentretenidos,peronosconformamosconqueresuelvasel1a,el3completoyel6.Terecomendamosqueescribasenunpapel lasdiferentessucesionesnuméricas,yanalicescondetenimientoquérelaciónexisteentrecadatérminoyelanterior.
1a)Lasecuenciaes0,3,8,15,24...Estudiemoslasdiferenciasentrecadatérminoyelanterior.Estasvuelvenaserotrasecuencia:3,5,7y9.Lasiguientediferenciaserá11,portanto,elsiguientetérminoserá35.3a)Lasecuenciaes60,63,57,66,54,69,51,72...Sinosfijamos,lostérminosimparesseincrementanen3unidades,entantoquelosparesdisminuyenen3.Eltérminoquenospideneselqueocupaellugaroctavo,par,portantoserá72,queseobtienedesumar3a69.3b)1,5,14,30,55,91,140...Lasdiferenciasentredosnúmerosconsecutivosgeneranlasiguientesecuencia:4,9,16,25,36,49.Estacorrespondealcuadradodelosprimerosnúmerosnaturales.Lasiguienteseríaelcuadradode8,esdecir,64.Losumamosa140yobtenemos204,queseráeltérminoquenospiden.6)2,6,30,210,2310...Enestecaso,cadatérminoseobtienedelanteriormultiplicadoporunnúmero,lasecuenciadedichosnúmeroses3,5,7...Yaquícreoquehayunfallo,porqueelsiguientees9,portantoeltérminoquintosería210·9=1890.Peroaparece2310queesiguala210·11,deahílodelfallo.
Actividadderellenarhuecos
Casodeestudio
1.2Monotoníayacotación
Enbiologíasenosenseñaquelosseresvivosnacen,crecen,etc.Enlassucesionessepuedenobservarcomportamientosparecidos.
FotografíadecocoparisienneenPixabay.Licencia.CC0 FotografíadeUnsplashenPixabay.Licencia.CC0
Una sucesión se llamamonótona creciente cuando para todo . Se dice estrictamentecrecientecuando paratodo .
Una sucesión se llamamonótona decreciente cuando para todo . Se dice estrictamentedecrecientecuando paratodo .Unasucesión sellamaalternadacuandoelsignode esdistintodelde paratodo .
Ejemplos
a.Lasucesión esmonótonaestrictamentecrecienteyaque paratodo .b.Lasucesión esmonótonadecrecienteperonoestrictamentedecreciente.c.Lasucesión esmonótonacrecienteydecrecientealmismotiempo.d.Lasucesión esalternada.
Verdadero Falso
Falso
Obviamente,elenunciadoesfalso,yaque,sitomamoslasucesión disminuyealaumentarlavariablen
Indicasiesciertalasiguienteexpresión"Alaumentarn,tambienaumentaelterminon-esimodeunasucesión"
Unasucesión sedicequeesacotadasuperiormentecuandoexisteunnúmeroMllamadocotasuperiordelasucesión,talque paratodo .Unasucesión sedicequeesacotadainferiormentecuandoexisteunnúmeromllamadocotasuperiordelasucesión,talque paratodo .Unasucesión sedicequeesacotadacuandoesacotadasuperioreinferiormentealmismotiempo.
EnlasiguienteescenadeGeogebradeLeonardoAlvarezVelasquezpuedesvisualizarlacotasuperiorylacotainferiordeunasucesión.
Actividad
PreguntaVerdadero-Falso
Actividad
Ejemplos
a.Lasucesión esunasucesiónacotadasuperiormenteyunacota superioresM=3.Secomprueba tambiénquenoesacotadainferiormente.b.Lasucesión esunasucesiónacotadainferiormenteyunacotainferioresm=0.SinembargonoesacotadasuperiormentepuesdadounnúmeroMsiemprepodemosencontrarunnúmeronaturalntalque .c.Lasucesión esunasucesiónacotadadondepodemostomarM=1,m=0.d.Lasucesión noesacotadanisuperiorniinferiormente.
1.3.Límitesdesucesiones
Algunasveceslostérminosquecomponenunasucesiónsoncadavezmásgrandes,otrascadavezmáspequeños,yenuntercercasotiendenaestabilizarsealrededordeunvalordeterminado.Enesteapartadovamosaestudiarestainteresantecaracterísticadelassucesiones.
FotografíadeUnsplashenPixabay.Licencia.CC0
Ellímitedeunasucesiónan,esaquelnúmeroalquetiendelasucesiónalaumentarenormementelavariablen.
Silasucesióntienecomolímiteinfinito,diremosquelasucesióndiverge,mientrasquesiseacercaaunnúmeroreal,diremosqueconvergeadichonúmeroyqueesellímitedelasucesión.
Analicemos la sucesión an=n2+n. Los primeros términos de dicha sucesión son 2,6,12,20,... yapreciamosquetalcomoncrece,eltérminodelasucesiónaumenta,yaqueestamoselevandounnúmeronaturalalcuadradoysumándoledichonúmero.Alhacersen,infinitamentegrande,ellímitededichasucesiónseráinfinito.
Sinembargo,el límitedeunasucesióntambiénpuedesermuypequeño.Lasucesióntiene como primeros términos Al aumentar n, estamos divididiendo 1 entre numerosenormes, ya que estamos elevando 2 a números naturales cada vezmayores. Al dividir entonces
números,cadavezestamosmascercanosa0ydiremosquelasucesión convergeysulímitees0Debemosresaltarqueellímitenuncasealcanza,perocadavezestamosmáspróximoaél. FotografíadedamirbelavicenPixabay.Licencia.CC0
Llamamossucesióninfinitésimaonulasitienelímite0.
Algunosejemplosdesucesionesinfinitésimasonulasloshasvistomásarriba,otrosejemplosson: y .
En laescenadeGeogebradeabajosimueveseldeslizadordándolevaloresan, puedesapreciarcomolosvaloresde lasucesión
tiendena0.Ysianalizasestaotra ,observaráscomo,lasucesiónsevaacercandopocoapocoalnúmero2
Actividad
Actividad
Lasucesióncuyotérminogenerales esestrictamentecrecienteyestáacotadasuperiormentepor3.Portantoesconvergente,sulímiteesunnúmeroirracionalqueserepresentapor"e".
Estenúmeroeslabasedeloslogaritmosneperianosqueveremosenelapartado4deestetema.
Elsiguientevideotepuedeservirdeayudaalahoraderesolverlosdistintosejerciciosdelímitesdesucesionesquesepuedenplantear.
Hallarel .
Lospasosadarparalaresoluciónsonlossiguientes:
Esteresultadosepuedededucirdelsiguientehecho.
Sepuedeobservarquecuandontomavalorescadavezmásgrandes,lostérminosdelasucesiónsevanhaciendocadavezmáspequeños,aproximándosea0.
Actividad
Casopráctico
Objetivos
Terminamosconunenlaceconelquepodrásrepasaryampliarmuchosdeloscontenidostratadoseneltema:
Sucesiones
2.Progresionesaritméticas
ImagenenFlickrdeAgcstudiosbajoCC
JohannCarlFriedrichGauss,llamadoel"príncipedelasmatemáticas",fueunniñoprecoz.Tenía10añosdeedadcuandoundíaenelcolegioelmaestropidióalosalumnos,quizásparaquelodejarántranquiloduranteunbuenrato,quesumaranlos100primerosnúmerosnaturales.Trascurridounospocosminutos,Gaussseacercóalamesadelprofesorconelresultadocorrectodelasuma:5.050.¿Cómoloconsiguió?¿Sumólasciencifrasdeformarápida?¿CuálfueelrazonamientodelpequeñoGauss?Muyfácil,peroalavezingenioso.Gaussescribiódosveceslasucesión,laprimeraenelordennaturalde1a100,ylaotrade100a1.Sediócuentadequelasumadelosparesdenúmerosextremoserasiemprelamisma,101.Dichasumaaparecía100veces,esdecir100·101=10.100eraelresultadodesumardosveceslo que había pedido elmaestro, por tanto, bastaba dividir entre 2 esa cantidad. Así obtuvo el 5.050 quesorprendiótantoalmaestrocomoasuscompañeros.
1 2 3 4 ... 97 98 99 100 100 99 98 97 ... 4 3 2 1Suma 101 101 101 101 ... 101 101 101 101
No es la primera vez que aparece 5.050 en este tema, ¿recuerdas que era el número triángularcorrespondientea100?Elmotivoesbiensencillo.Enrealidad,elnúmerotriangularqueocupaellugarnoesmásquelasumadelos primerosnúmerosnaturales.Porejemplo,elqueocupaelquintolugareselresultadodesumar1+2+3+4+5=15.
Imagendeelaboraciónpropia
Lasucesiónformadaporlosnúmerosnaturaleseselejemplomássencillodeuntipodesucesiónconnombrepropio,laprogresiónaritmética.Comopuedesver,noporsersencillasquieredecirquenosepuedenusarenmuchoscontextos.
2.1.Términogeneral
Nosololostriángulosdeterminanuntipodesucesiónnumérica,tambiénesposiblejugarconlasletrasdelabecedarioparagenerarsucesiones,porejemplo,conlaT.
Imagendeelaboraciónpropia
¿CuántoscuadradossonnecesariosparaconstruirlaprimeraT?¿Ylasegunda?¿Ylatercera?¿YlassucesivasT?Enunprincipioparecequebastaconcontarloscuadrados:6paralaprimera,10paralasegunda,14paralatercera...Perosiqueremosconocerlaregladeformacióntendremosquefijarnosunpocomás:6paralaprimeraydespuésseañaden4cuadradosmásalassucesivasT.Vamosaescribirloutilizandolanotacióndesucesiones:
Deloanteriorpodemosdeducirque .Aestetipodesucesionesselasdenominaprogresionesaritméticas.
Sellamaprogresiónaritméticaatodasucesiónenlaquecadatérmino,exceptuandoelprimero,es lasumadelanteriormásunacantidadfijallamadadiferencia.
Esdecir ,donde esladiferenciay .
La sucesión anterior, la formadapor los cuadrados necesarios para ir construyendo las sucesivas T, es unaprogresión aritmética en la que ladiferenciavale4.
a.La sucesión formada por los números naturales es una progresiónaritméticacondiferenciaiguala .
b.Losmúltiplosde7tambiénformanunaprogresiónaritméticaenqued= .
c.La sucesión determinada por las losetas necesarias para rodear lasjardinerasformanunaprogresiónaritméticaenlaqued= .
EnviarImagendemckreynessenFlickr.LicenciaCC
Algunos de los ejemplos de sucesiones que hemos vista hasta ahora sonprogresionesaritméticas.Completalassiguientesafirmaciones.
¿Cuáldelassiguientessucesionessecorrespondenconunaprogresiónaritmética?
5,-5,5,-5,5,-5...
-5,0,5,10,15,20...
1,11,111,1111,11111...
Importante
Actividadderellenarhuecos
PreguntadeSelecciónMúltiple
Solución
1.Incorrecto2.Correcto3.Incorrecto4.Correcto5.Incorrecto
50,42,34,26,18...
2,4,8,16,32...
Enunaprogresiónaritmética,sisonconocidossuprimertérminoyladiferenciaesposibleconocercómodamentecualquiertérmino,esdecir,esmuyfácildeterminarsutérminogeneral.LoanterioryalohemospodidocomprobarenelcasodeloscuadrosquehacenfaltaparairformandolassucesivasTyconlaslosetasnecesariaspararodearlasjardineras.En general, solo hace falta razonar un poco sobre los primeros términos de la progresión aritmética, como se puede ver en la siguientepresentación:
1of7
Unaprogresiónaritméticacuyoprimertérminoes ydediferencia ,tienecomotérminogeneral:
Enelcasodelaslosetas, y ,portanto .
YeneldelasT, y ,portanto .Si haces clic en la siguiente imagen, podrás acceder a las secciones del proyecto EDAD en las que se desarrollan los conceptos anteriores,acompañadosdealgunasactividades.
Actividad
ImagenenFlickrdeIokinbajoCC
LaprimerafiladelpatiodebutacasdelteatroAntonioGalademiciudad,tiene20asientos, el restode filas aumentaen2 asientos respecto a laquetienedelante.¿Cuántosasientostienelafilaqueocupaellugar15?
Lasituaciónseajustaaunaprogresiónaritméticadondeelprimertérmino, ,yladiferencia .Portanto,siqueremossabercuántasbutacashayenlafila15,bastaqueapliquemoslafórmuladeltérminogeneral:
.Porloqueelnúmerodeasientosenlafila15esde48.
Deunaprogresiónaritméticaseconocenelvalordelsegundoyelquintotérmino, y .Determinareltérminogeneraldelaprogresión.
Sabemosqueenunaprogresiónaritméticacadatérminoeslasumadelanteriormásunvalorfijollamadodiferencia, .Entre el segundo y el quinto término se ha sumado 5-2= 3 veces la diferencia. Por tanto , es decir
,despejando y .
Ahorapodemoshallarelprimertérmino, ,yaque .Portanto .Dedondeobtenemosque.
Yapodemoshallareltérminogeneraldelaprogresión
Esdecir .Otrasoluciónposiblesepuedeverenelsiguientevídeo.
Casodeestudio
Casodeestudio
2.2.Suma
RecordemosaGaussysubrillante ideaparasumar los100primerosnúmerosnaturales.¿Podremosgeneralizarlaparasumar los200primerosnúmeros?¿Olosnprimeros?Volvamostambiénalosnúmerostriángulares.¿Cuántospuntostendráelqueocupaellugarn?
Imagendeelaboraciónpropia
Relacionemoslasdossucesionesanteriores.Porunladotenemosladelosnúmerosnaturales1,2,3,4...Porotroladelosnúmerostriangulares.Hagamosmemoria:
Imagendeelaboraciónpropia
Podemosverqueelnúmerotriangularqueocupaellugarnesigualalasumadelosnprimerosnúmerosnaturales:1+2+3+...+n.OperandodeformasimilaracomolohizoGauss,tenemos:
1 2 3 4 ... n-3 n-2 n-1 n
n n-1 n-2 n-3 ... 4 3 2 1
Suma n+1 n+1 n+1 n+1 ... n+1 n+1 n+1 n+1
Portanto,dosveceslasumadelosnprimerosnúmerosnaturalesesigualaln·(n+1).Estoquieredecirquelasumadelosnprimerosnúmerosnaturalesesiguala:
¿Seráposiblerealizarunrazonamientosimilarparalasumadelosprimerostérminosdecualquierprogresiónaritmética?Comprobemosquesíenlasiguientepresentación:
1of14
Lasumadelos primerostérminosdeunaprogresiónaritméticadetérminogeneral esiguala
Importante
Volvamosalnúmerodeasientosquetieneelpatiodebutacasdel teatroAntonioGala,quevimosenelapartadoanterior.Recordemos que la primera fila tenía 20 asientos y que el resto de filas aumenta en 2 asientos respecto a la que tienedelante.Ahoranospreguntamos,cuántosasientoshayenelpatiodebutacassidisponede15filasentotal.
Elproblemaplanteadoseresuelvesihallamoslasumadelos15primerostérminosdeunaprogresiónaritméticadelaquesabemosque y .
Deunejercicioanteriorsabemosque .Aplicamos la fórmula anterior para la suma de los (en este caso ) primeros términos de una progresiónaritmética,ytenemosque:
Porloqueelnúmerodeasientostotalesdelpatiodebutacases510.
Enunaprogresiónaritméticade20términos,elprimeroes5yeldécimo32.Hallasudiferenciaylasumadesusprimeros20términos.
Delaprogresiónaritméticasabemosque y .Nospidenladiferencia, ,ylasumadelosprimeros20términos, .
Enprimerlugarcalculamos .Sabemosque .Sustituimosvaloresydespejamos :
Ahora, y aplicando la fórmula, hallaremos . Pero antes hay que calcular el valor de.
Portanto,lasumadelosprimeros20terminosserá:
Luegolasumaes335.
Sabiendoqueelprimertérminodeunaprogresiónaritméticaes30yelcuartoes39,hallaladiferenciadelaprogresiónylasumadesusprimeros25términos.
Lospasosaseguirsonidénticosalosdelejercicioanterior.Primerohallamosladiferencia ,paraloqueconocemos y :
,esdecir, .Portanto, .Antesdecalcularlasumadelos25primerostérminostendremosqueconocercuántovale .Operamos:
Casodeestudio
Casodeestudio
Casodeestudio
Yapodemosaplicarlafórmulaytendremosque
.
3.Progresionesgeométricas
ImagenenFlickrdejefedo61bajoCC
Existeunaleyendasobreelsupuestoinventordeljuegodelajedrez,SissaBenDahir.Ciertoreyhindúseencontrabamuytristedebidoalamuertedesuhijo.Paraaliviarsupena,Sissaleenseñóajugaralajedrez.Quedó tancontentoelmonarcaque leofrecióel regaloqueélquisiera.Sissa tan sólo lepidióque ledieraungranodetrigoporlaprimeracasilladeltablerodeajedrez,eldobleporlasegunda,eldobleporlatercerayasísucesivamentehastacompletarlas64casillas.El reyaccedióentresatisfechoysorprendidoa laextrañapetición,peroal realizar loscálculossediocuentadequeleseríaimposiblecumplirla.Elnúmerodegranosdearrozquecorrespondeacadaunadelascasillasesunasucesiónnumérica:
Elprimertérminoes1,lostérminosposterioresseobtienenmultiplicandopor2eltérminoanterior,esdecir:
Podríamosescribirloanteriordelasiguienteforma: y .Estonospermitesabercómodamenteelnúmerodegranosdelaúltimacasilla,la64:
granosdetrigo.Esdecir, granos.Yaúntendríamosquesumartodoslosgranosdelas64casillas.¿EntiendesahoracómosequedóelreycuandosediocuentadelregaloqueledebíaaSissa?Aestetipodesucesionesselesdenominaprogresionesgeométricas.
3.1.Términogeneral
Tehasparadoalgunavezapensaraquevelocidadpuedeextenderseunrumor.SupongamosqueJuanseenteradeunainformaciónqueleresultainteresanteyselacomunicaa3amigosatravésdeunaredsocialtardandounminutoenello.Posteriormenteestos3amigoslatransmitencadauno a otros tres en el siguiente minuto, y así sucesivamente. ¿Cómo evolucionaría el número de personas que tienen conocimiento de lainformaciónalolargodeltiempo?Lasecuenciaqueobtenemosseríalasiguiente:1(Juan),3,9,27,81,243...Encincominutos243personasestaríanaltantodelainformación.¿Tesorprendeesto?Alosfenómenosqueevolucionandeestaformadecimosquesiguenunaprogresióngeométrica.
FotografíadeLoboStudioHamburgenPixabay.Licencia.CC0
Se llamaprogresión geométrica a toda sucesión en la que cada término, exceptuando el primero, es el producto delanteriorporunacantidadfijallamadarazón.
Esdecir ,donde eslarazón,y .
Enlaprogresióngeométricadelosgranosdetrigolarazónes2,unnúmeromayorque1envalorabsoluto.Estoimplicaquelostérminosdelaprogresiónsevayanhaciendomuygrandeenvalorabsoluto,comohemospodidocomprobarconlosgranosquehabríaqueponerenlacasilla64.Perotambiénpodemosconsiderarprogresionesgeométricasenquelarazónesnúmeromenorque1envalorabsoluto.Observacondetenimientolasiguientepresentación.
1of9
Laprogresióngeométricaanterior ,larazón ,yeltérminogeneral .Yaveremoscómopodemoscalcularlassumasdelasdosprogresionesgeométricasanteriores.Aligualqueocurreconlasprogresionesaritméticas,existeunaleydeformaciónparalasgeométricas.
Importante
Unaprogresióngeométricacuyoprimertérminoes yderazón ,tienecomotérminogeneral:
Hallaloscincoprimerostérminosdeunaprogresióngeométricadelaquesabemosque y .
Sabemosque ,portanto: .Despejando,tenemosque .Porloquehaydosprogresionesposibles:Enelcasodeque :1,3,9,27,81.Y,para :1,-3,9,-27,81.
Pararesolverelproblemaplanteado,completalassiguientesfrases.Tenemosquebuscartresnúmerosa,byc,detalformaque3,a,b,cy determinenunaprogresióngeométrica.
Elprimertérminodelaprogresiónes3yel 48.Sabemosquea5=a1·r4,donde eslarazón.Sustituyendo:=3·r4.
Despejandonosquedaquer4= ,portantor= .
Tenemos entonces que los tres números buscados son , y , que junto con 3 y 48 formarán la progresióngeométrica.
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ImagenenFlickrdesergisblogbajoCC
Interpolatresmediosgeométricosentre3y48.Interpolartresmediosgeométricosentredosnúmerosaybquieredecirintercalar tres números c, d y e entre a y b, de tal forma que los cinconúmerosa,c,d,eybformenunaprogresióngeométrica.Esteproblemasepuedeextenderacualquiercantidaddenúmerosentredosnúmerosconocidos.Porejemplo,interpolarseismediosgeométricosentreaybquieredecirintercalarseisnúmerosentreellos,detalformaquelosochonúmeros,ordenadosdemenoramayor,formenunaprogresióngeométrica.Parasabermássobreinterpolacióngeométricapuedesiraesteenlace.
Si haces clic en este enlace, accederás una página del portal Vitutor donde está planteado el problema anterior. Siseleccionaselnúmero3queestárecuadrado,podrásverotraformaderesolverlo.
Importante
Casodeestudio
Actividadderellenarhuecos
3.2.Suma
Delmismomodoqueocurríaconunaprogresiónaritmética,tambiénnospuedeinteresarenalgunasocasionessabercuántovalelasumadelostérminosdeunaprogresióngeométrica.PorejemploparasabercuántosgranosdetrigodeberíaentregarelreyaSissaodemostrarquelasumadelaspotenciasde vale1.Veamoscuálessonlasfórmulasquenospermitensumaralgunosomuchostérminosdeunaprogresióngeométrica.
1of18
Lasumadelos primerostérminosdeunaprogresióngeométricaderazón esiguala:
Silarazónes,envalorabsoluto,menorque1, lasumadelosinfinitostérminosdelaprogresióngeométrica
tomaunvalorfinitoysecalculautilizandolafórmula:
CalculaeltotaldegranosdetrigoquetuvoquedarelreyaSissa.Recuerdaquelaprogresiónformadaporlosgranosquecorrespondenalas64casillasesgeométricacon y .
Resolveremoselproblemautilizandolacalculadoracientífica.Enprimerlugarhallamoselúltimotérmino:
granosdetrigo.
Veamoslasumatotaldegranosentodoeltablerodeajedrez:granosdetrigo.¿Teparecenmuchos?
Demuestraquelasumadelosinfinitostérminosdelasucesiónformadaporlassucesivaspotenciasde es1.
Recuerdaqueesasucesiónesunaprogresióngeométricaenlaque y ,portanto .
Aplicamoslafórmuladelasumadelosinfinitostérminosdeunaprogresióngeométrica,yaquelarazónesmenorque1envalorabsoluto .Portantotenemos:
Actividad
Casodeestudio
Casodeestudio
Queeraelresultadoquenossalíaalirsumandolasáreasdelossucesivostriángulosqueibanrecubriendoelcuadradodeárea1.
Paraterminar lascuriosidades,¿teacuerdasdeSissaBenDahir,elsupuesto inventordelajedrez?Aúntenemospendientesabersielreylepudopagaronolosgranosdetrigoquelecorrespondían.
Yavimosque lasumatotaldegranosdetrigoascendíaa1,844·1019.Siconsideramosque1000granosdetrigopuedenpesarunos30gramos,entoncesungranopesaría0,03gramos.
Portanto,1,844·1019·0,03=5,433·1017gramos,quesignifican5,433·1011toneladasdetrigo,yexpresadoenmillonesdetoneladas,son5,433·105.Lasproduccionmundialdetrigoparalacosecha2012/13esde651,42millonesdetoneladas.Realizandounasimpledivisión,tenemosque543.300:651,42=834,02cosechasmundiales.Esdecir,haríanfalta834añosdeproducciónmundialdetrigoactuales,paraqueelreypagarasudeudaaSissa.Seguroqueelmonarcanosabíanadadeprogresiones.
Pre-conocimiento
4.Terremotoslogarítmicos
loslogaritmosseutilizanparamuchascuestionesdiarias,yentreellasunaquesiproducerealmentemiedocomosonlosterremotosylafamosaescaladeRichter.El11demayode2011enlalocalidadmurcianadeLorca,ocurrióunosdelospeoresterremotosquehansucedidoennuestropais.Previamente,el11demarzodelmismoaño,enJapónladesgracíasacudíaalpaisconunterremotodeescala9.AlgúnperiódicodijoqueelterremotodeJapónfuedeldobledepotenciadelterremotodeLorca.Observalosvideos,¿piensasquelapotenciadelterremotodeJapónfueeldoblequeelterremotodeLorca?
TerremotodeLorca TerremotodeJapón
Ambosterremotosfueranexperienciasterribles,perocomopuedesapreciar,losdesastresquecausaronunoyotronosepuedencatalogarcomo"deldoble".EsoesdebidoaquelaescaladeRichtereslogarítmica.¡Oh,no!,otravezladichosapalabreja.Veamosqueesellogaritmoenbase10.
Sellamalogaritmoenbase10delnúmeroxalexponentealquehayqueelevar10paraobtenerdichonúmero.
¿Aquénúmerotenemosqueelevar10paraobtener100,oloqueeslomismo ?Basicamenteesoescalcularellogaritmoenbase10deunnúmero,determinarelexponentealquedebemoselevar10paraobtenerelnúmerodado.Ejemplos:
Sellamalogaritmoenbaseadelnúmeroxalexponentebalquehayqueelevarlabaseparaobtenerdichonúmero.
cona>0yadistintode1Sinoseindicaningunabase,hacemosreferenciaalogaritmosenbase10.
Paraquepuedaspracticarelcálculodelogaritmos,teofrecemoselseguienteappletdeGeogebradePabloMiguelSancerni.
Actividad
Actividad
Solución
1.Incorrecto(Retroalimentación)2.Opcióncorrecta(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)
Solución
1.Incorrecto(Retroalimentación)2.Incorrecto(Retroalimentación)3.Opcióncorrecta(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)
Calculael13425
Piensaenelexponentealquedebeselevar5paraobtener125.
¡Correcto!
Piensaenelexponentealquedebeselevar5paraobtener125.
Piensaenelexponentealquedebeselevar5paraobtener125.
Determina
278143
Piensaenelexponentealquedebeselevar3paraobtener81.
Piensaenelexponentealquedebeselevar3paraobtener81.
¡Correcto!
Piensaenelexponentealquedebeselevar3paraobtener81.
PreguntadeElecciónMúltiple
ImagenenINTEFdeRafaelBastanteCasadobajoCC
El terremoto de Japón tuvo una potencia 9 en la escala de Richter,mientrasqueelteremotodeLorca,enelepicentro,tuvounapotenciade5enlamismaescala.¿Cuántasvecesfueunterremotomayorqueotro?TenencuentaquelaescaladeRichteresunaescalalogarítmicadebase10.
Si el terremoto de Japón tuvo una potencia de 9, esto significa que,porloquelapotenciadelterremotoa=1000000000.
Razonandodemodoanálogo,obtenemosquesi
,entonceslapotenciadelterremotodeLorcab=100000.Siunterremototuvopotencia100000000yotro10000,elprimerofue10000vecesmáspotentequeelotro.
Sellamalogaritmoneperianooenbaseeallogaritmocuyabaseeselnúmeroe=2.718281.LorepresentamosporLoLn.
ImagenenINTEFdeJoaquínRebertéFerránbajoCC
¿Alguna vez te has planteado cómo los científicos determinan laantiguedad de un fósil? Piensa por unmomento que descubres en unaexcavaciónunoshuesosdeunagallina¿Tendrán5000añosolosenterróhace4añoselperrodelvecino?Laexpresiónquedeterminaeltiempodeunfósileslasiguiente
donde x representa el porcentaje de carbono 14 de los restos del fósilencontradorespectodeunespecimenvivo.Si en el fósil que hemos encontrado en nuestra excavación tan solo sedetecta el 10 % de carbono 14 respecto de un especimen vivo, ¿quéestimación podemos hacer de los años que han transcurrido desde que
murioelanimal?
Paradeterminarlaedaddenuestrofósil,tansolodebemossustituirlavariablexporelporcentajedecarbono14quesedetectaenelanimal.
Porlotantonuestrofósiltiene19138años.
Hallaelvalordexenlassiguientesexpresiones
a)
b)
Casodeestudio
Actividad
Casodeestudio
Casodeestudio
Aplicaremosenamboscasosladefinicióndelogaritmo.
a.Buscamos el valor que al elevarlo a , obtenemos 32, es decir . Si elevamos ambasexpresionesa ,obtenemos .
Tenencuentaquehemoselevadoa paraeliminarlapotenciadelaincógnitax.
b.Analogamente calculamos . Buscamos la x de la siguiente expresión . Elevamos ambasexpresionesa2paraeliminarlapotenciadelaincógnita ,porloquex=25.
Calculaelvalordexparalaexpresión
Buscamos el valor de x para la expresión . Elevamos ambas expresiones a para obtener
Así
Casodeestudio
5.Aprendemosamultiplicar
Como todoen lasmatemáticas, los logartimos sedescubrenpor necesidadesde la humanidad. Eneste caso la necesidadde realizar grandesoperaciones aritméticas, en concreto multiplicaciones y divisiones. Gracias a los logartimos, las enormes multiplicaciones relacionadas condistanciasespacialessepodíanconvertirensumas,utilizandounaseriedepropiedades.Lasfamosastablandelogaritmosayudanbanarealizarestastransformaciones.EnestevideoconocerasaVicenteVázquezQueipo,matemáticoespañolquesehizomuyfamosodebidoalaelaboracióndelastablasdelogaritmosdesdeel1hastael2000.
Propiedades
Estas propiedades sonmuy fáciles de recordar, tan solo debes pensar en la definición de logaritmos. Veamos la primerapropiedad ¿Cuáleselexponentealquedebemoselevaraunnúmeroparaqueel resultadosea0?Recuerda laspropiedadesdelosnúmeroexponenciales.Cualquiernúmeroelevadoa0es1,porloque .Puedesrazonarigualconelrestodelaspropiedades.
Solución
1.Incorrecto(Retroalimentación)
Calcula
-1012
Piensaenelexponentealquedebemoselevar4paraobtener4
Piensaenelexponentealquedebemoselevar4paraobtener4
Correcto!!!!
Piensaenelexponentealquedebemoselevar4paraobtener4
Actividad
PreguntadeElecciónMúltiple
2.Incorrecto(Retroalimentación)3.Opcióncorrecta(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)
Solución
1.Incorrecto(Retroalimentación)2.Opcióncorrecta(Retroalimentación)3.Incorrecto(Retroalimentación)4.Incorrecto(Retroalimentación)
Determina
-5015
Piensaenelexponentealquedebemoselevar5paraobtener1
Correcto!!!!
Piensaenelexponentealquedebemoselevar5paraobtener1
Piensaenelexponentealquedebemoselevar5paraobtener1
Operaciones
Ellogaritmodeunproductoeslasumadeloslogaritmos
Ellogaritmodeuncocienteesladiferenciadeloslogaritmos
Ellogaritmodeunapotenciaeselexponentemultiplicadoporellogaritmodelabase
Ellogaritmodeunaraízesellogaritmodelradicandodivididoporelíndice
Elsiguientevídeoteayudaráaentendermejorlaspropiedadesanteriores.
…
Actividad
Sugerencia
Verdadero Falso
FalsoComopuedesobservarenlaspropiedadesdeloslogaritmoslog(a·b)=loga+logb,porloquelog7+log5=log(35),porloquelaafirmaciónesfalsa.
Antonioesunalumnode4.ºdeESOqueensuexamendelogaritmoshaobtenido4.5.Enunadelaspreguntas,Antoniohaindicado losiguiente log (7+5)= log7+ log5ysuprofesor loha tachado.Antonioestáconvencidoqueelejerciciosescorrectoyquesuperaráelexamen.¿PuedesindicarsielrazonamientodeAntonioescorrecto?ElrazonamientodeAntonioescorrecto.
ImagenpropiabajoCC
Sisabemosquelog2≈0.3ylog3≈0.48,calculalossiguientesvalores:
1.log202.log603.log0.34.log45
Utiliza las propiedades vistas en el anterior "Importante". Ten en cuenta siempreque conoces losvaloresdelog10ydelaspotenciasde10,log10=1,log100=2
1.log20=log(2·10)=log2+log10 0.3+1=1.32.log60=log(2·3·10)=log2+log3+log10 0.3+0.48+1=1.783.log0.3=log =log3-log10 0.48-1=-0.52
4.log45=log(9·5)=log9+log5=log9+log =log32+log10-log2=2·log3+log10-log2=0.96+1-0.3=1.66
Noolvidesquealahoradecalcularlogaritmossiempretienesquetenerencuentalabaseaplicada.Porejemplo,sitrabajasconlogaritmosenbase3(log3),sabesquelog33=1,log39=2oquelog327=3.
Sisabemosquelog2≈0.3ylog3≈0.48,calculaelvalordelog2.88.
Enprimerlugar,siempreconvertiremoselnúmérodecimalafracción,porloque
Factorizamos288obtenemosque288=2532
Así
PreguntaVerdadero-Falso
Casodeestudio
Importante
Casodeestudio
Sabiendoqueel yel ,calcule:
Nota:Enesteejercicioseutilizaránlaspropiedadesdelasoperacionesconlogaritmos.
Ejemplooejercicioresuelto
Resumen
Sindudalomáscomplicadodeestetemadesucesionesesmemorizarlasfórmulasqueaparecen,parapoderluegoaplicarlasconseguridad.Porestemotivoteadjuntamosunmapaconceptualconlarecopilacióndetodas:
Imagendeelaboraciónpropia
Sellamalogaritmoenbase10delnúmeroxalexponentealquehayqueelevar10paraobtenerdichonúmero.
Sellamalogaritmoenbaseadelnúmeroxalexponentebalquehayqueelevarlabaseparaobtenerdichonúmero.
cona>0yadistintode1Sinoseindicaningunabase,hacemosreferenciaalogaritmosenbase10.
Importante
Actividad
Actividad
Actividad
Sellamalogaritmoneperianooenbaseeallogaritmocuyabaseeselnúmeroe=2.718281.LorepresentamosporLoLn.
Propiedades
Estas propiedades sonmuy fáciles de recordar, tan solo debes pensar en la definición de logaritmos. Veamos la primerapropiedad ¿Cuál es el exponente al quedebemoselevar a unnúmeropara que el resultado sea0?Recuerda laspropiedadesdelosnúmeroexponenciales.Cualquiernúmeroelevadoa0es1,porloque .Puedesrazonarigualconelrestodelaspropiedades.
Operaciones
Ellogaritmodeunproductoeslasumadeloslogaritmos
Ellogaritmodeuncocienteesladiferenciadeloslogaritmos
Ellogaritmodeunapotenciaeselexponentemultiplicadoporellogaritmodelabase
Ellogaritmodeunaraízesellogaritmodelradicandodivididoporelíndice
Presentaciónlogaritmosdecristinagil2010
Actividad
Actividad
AvisoLegal
Avisolegal
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