MATEMÁTICA I
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
www.fcav.unesp.br/amanda
HORÁRIO DA DISCIPLINA
Quinta-Feira: 9h (Turma 1) – sala 38
Quinta-Feira: 14h (Turma 2) – sala 38
DISPENSA DE AULA NA DISCIPLINA MAT I
05/04 – XLIII SECITAP (AULA SUSPENSA)
24/05 – Rbras (material on-line)
31/05 – Corpus Christi (AULA SUSPENSA)
Provas
1ª. Prova (P1): 29/03/2018
2ª. Prova (P2): 10/05/2018
3ª. Prova (P3): 14/06/2018
Prova substitutiva: 21/06/2018 (para quem perdeu prova)
Recuperação: 28/06/2018
Trabalhos (T)
Lista de exercícios, atividades em sala, ...
Cálculo da Média Final: 𝑀𝐹 = 0,2 ∙ 𝑃1 + 0,3 ∙ 𝑃2 + 0,3 ∙ 𝑃3 + 0,2 ∙ 𝑇
se 𝑴𝑭 ≥ 𝟓, 𝟎 e frequência ≥ 𝟕𝟎%: APROVADO
se 𝑴𝑭 < 𝟓, 𝟎 e frequência ≥ 𝟕𝟎%: RECUPERAÇÃO
AVALIAÇÕES
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Volume 1. 6ª ed. São
Paulo: Bookman, 2000.
ANTON, H., BIVENS, I. C., DAVIS, S. L. Cálculo. Volume I. 8ª ed.
São Paulo: Bookman, 2007.
BOULOS, P. Pré-cálculo. São Paulo: Makron Books Ltda, 1999.
FERREIRA, R. S. Matemática aplicada às ciências agrárias. Minas
Gerais: Editora UFV, 1999.
MORETTIN, P. A., HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Cálculo: funções
de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.
STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 7ª ed. Cengage Learning, 2016.
SWOKOWSKI, E.D. Cálculo com geometria analítica. Volume I. 2ª
ed. São Paulo: Makron Books, 1995.
Manter silêncio durante as aulas.
Manter os celulares desligados, ou no modo
silencioso, e não utilizar fones de ouvido.
Manter a sala limpa.
Não trazer alimento nem bebidas (somente água).
Respeitar a professora e os colegas de sala.
Utilizar notebook ou tablet somente com a
autorização da professora
REGRAS
MATEMÁTICA I
AULA 1: PRÉ-CÁLCULO
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
Parte 1
• Conjuntos numéricos
• Axiomas para o sistema dos números reais
• Operações fundamentais: adição e multiplicação
• Operações fundamentais: subtração e divisão
Parte 2
•A reta real
•Números complexos
•Valor absoluto de um número
•Ordem de operações
•Potência
•Produtos notáveis e binômio de Newton
•Erros a serem evitados
CONJUNTOS NUMÉRICOS
São, em geral, subconjuntos de ℝ, o conjunto dos números reais.
Números naturais ℕ: São os números empregados em processos de contagem.
Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,...
Números Inteiros ℤ : São os números empregados em processos de contagem,
acrescidos de seus opostos.
Exemplos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
Números racionais ℚ : É o conjunto de todos os números que podem ser
escritos como quocientes 𝑎
𝑏, 𝒃 ≠ 𝟎.
Exemplos:−1
4, −
1
18,1
2,
7
10, 10
50, 20
20, ...
Números irracionais ℚ′ ou I : Todos os números reais que não são racionais
Exemplos: 𝜋 = 3,141592653589793…, 2 = 1,414213562373095… ,
Nem todos os números são reais.
O conjunto ℂ dos números da forma
𝑎 + 𝑏𝑖
onde 𝑎 e 𝑏 são reais e 𝑖2 = −1 , é chamado de
conjunto dos números complexos.
Como todo número real x pode ser representado na forma
𝑥 + 0𝑖, segue que todo número real também é complexo.
Exemplo de números complexos:
NÚMEROS COMPLEXOS
ℂ
ℝ ℚ
I
ℤ ℕ
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Exemplo 1.1 Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os números abaixo
pertencem
a) −7 b) 0,7 c) 7 d) 𝟕
𝟎 e) −7 f)
0
7
OBS.: 7 = 2,645751311064591
Números reais podem ser representados por
pontos em uma reta 𝑟, tal que
a cada número real 𝑎 corresponda exatamente a um
ponto sobre a reta 𝑟, e reciprocamente.
Exemplo 2. Represente o conjunto 3; −5; 2
3 ; 5; −1,5; −𝜋 sobre
uma reta real.
ℝ
A RETA REAL
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
I) Operações fundamentais: adição e
multiplicação
Propriedades (considere a, b e c números reais arbitrários)
Leis de fechamento: a soma 𝑎 + 𝑏 e o produto
𝑎 ∙ 𝑏 (ou 𝑎𝑏) são números reais únicos.
Leis de comutatividade
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 : a ordem é irrelevante na adição.
𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 : a ordem é irrelevante na multiplicação.
Leis associativas
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 : o agrupamento é
irrelevante em adições repetidas.
𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄: o agrupamento é irrelevante
em multiplicações repetidas.
Leis distributivas: a multiplicação é
distributiva em relação à adição
𝒂 𝒃 + 𝒄 = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 e 𝒂 + 𝒃 𝒄 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
Leis de identidade (elemento neutro)
Existe um único número 0 com a propriedade de que
0 + 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 + 0
Existe um único número 1 com a propriedade de que
1 ∙ 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 ∙ 1
Leis de inverso (elemento inverso)
Para qualquer número real 𝑎, existe um real −𝑎, tal que
𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0
−𝑎 é chamado de inverso aditivo ou oposto de 𝑎.
Para qualquer real a diferente de zero, existe um número real 𝑎;1, tal que
𝑎 ∙ 𝑎;1 = 𝑎;1 ∙ 𝑎 = 1
𝑎;1 é chamado de inverso (multiplicativo) ou recíproco de 𝑎.
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
Exemplo 3. Simplifique a expressão 3 + 𝑥 + 5 utilizando as
leis associativa e comutativa.
3 + 𝑥 + 5 = 𝑥 + 3 + 5 lei comutativa
= 𝑥 + 3 + 5 lei associativa
= 𝑥 + 8
Exemplo 4. Mostre que 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑
utilizando a lei distributiva.
𝒂 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 = 𝒂 𝒄 + 𝒅 + 𝒃 𝒄 + 𝒅 lei distributiva
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 lei distributiva
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
Leis de fator zero
1. para cada número real a, 𝑎 ∙ 0 = 0
2. se 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, então 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0.
Leis para os negativos
1. − −𝑎 = 𝑎
2. −𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏
3. −𝑎𝑏 = −𝑎 𝑏 = 𝑎 −𝑏 = − −𝑎 −𝑏
4. −1 𝑎 = −𝑎
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
II) Operações fundamentais: subtração e divisão
Definição de subtração:
𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + −𝒃
Definição de divisão:
𝒂
𝒃= 𝒂 ÷ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃;𝟏
Desse modo, 𝒃;𝟏 = 𝟏 ∙ 𝒃;𝟏 = 𝟏 ÷ 𝒃 =𝟏
𝒃
Nota: Uma vez que 0 não admite inverso multiplicativo,
𝑎 ÷ 0 não é definido.
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
II) Operações fundamentais: subtração e divisão
Leis para quocientes
1. −𝑎
𝑏=
;𝑎
𝑏=
𝑎
;𝑏= −
;𝑎
;𝑏
2. ;𝑎
;𝑏=
𝑎
𝑏
3. 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 se, e somente se 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
4. 𝑎
𝑏=
𝑘𝑎
𝑘𝑏 para todo 𝑘 ∈ ℝ não nulo (Princípio fundamental de frações)
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
II) Operações fundamentais: subtração e divisão
Propriedades de ordem
Os números reais positivos, denotados por ℝ:, são um
subconjunto dos números reais e apresentam as
seguintes propriedades:
1. Se 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ:, então 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ: e 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ:.
2. Para cada número real 𝑎,
ou 𝑎 ∈ ℝ: e 𝑎 é dito positivo;
ou 𝑎 = 0
ou 𝑎 ∈ ℝ; e 𝑎 é dito negativo.
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
II) Operações fundamentais: subtração e divisão
Propriedades de ordem
Considere números 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
se 𝑏 − 𝑎 é positivo, 𝑎 é menor que b, ou seja, 𝑎 < 𝑏
se 𝑏 − 𝑎 é negativo, 𝑎 é maior que b, ou seja, 𝑎 > 𝑏
se 𝑏 − 𝑎 é zero, 𝑎 é igual que b, ou seja, 𝑎 = 𝑏
se 𝑎 é menor ou igual a b, isso é representado por 𝑎 ≤ 𝑏.
se 𝑎 é maior ou igual a 𝑏, e escrevemos isso como 𝑎 ≥ 𝑏.
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
II) Operações fundamentais: subtração e divisão
Considere números 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ,
𝑎 > 0 se, e somente se, 𝑎 é positivo.
se 𝑎 ≠ 0, então 𝑎2 > 0.
se 𝑎 < 𝑏, então 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 para todo 𝑐 ∈ ℝ.
se 𝑎 < 𝑏, então 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐, se 𝑐 > 0𝑎𝑐 > 𝑏𝑐, se 𝑐 < 0
se 𝑎 < 𝑏 e 𝑏 < 𝑐 então 𝑎 < 𝑐.
AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO
O valor absoluto de um número real 𝑥, denotado por 𝑥 ,
é definido por:
𝒙 = 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐦 = 𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟎−𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟎
Representação
Distância entre dois números reais
A distância entre dois números reais 𝑎 e b é |b − 𝑎 |,
que é o comprimento do segmento de reta que liga 𝑎 a b
|𝑥|
𝑥
Observação. 𝑎 + 𝑏 não é igual a 𝑎 + 𝑏
A menos que 𝑎 e 𝑏 tenham o mesmo sinal ou pelo menos
um dos dois for zero.
Se a e b tiverem sinais opostos, então
𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏
• Por exemplo,
|2 + 5| = |2| + |5|
|−2 + 5| = 3 < 7 =|−2| + |5| .
• Em todo caso, |a + b| nunca é maior do que |a| + |b| e
assim temos a importante desigualdade triangular:
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO
O intervalo fechado 𝑎, 𝑏 é o conjunto de todos números
reais 𝑥 tais que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑎 𝑏
Costumamos simplificar a notação acima como {x : a ≤ x ≤ b},
𝑎, 𝑏 = 𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
ficando entendido que 𝑥 ∈ ℝ.
INTERVALOS NUMÉRICOS
O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos:
O intervalo infinito −∞,∞ é toda a reta real ℝ.
Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.
INTERVALOS NUMÉRICOS
Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades.
Representação:
Generalizando, para todo 𝑐 ∈ ℝ,
Representação:
Nesse caso o intervalo 𝑎, 𝑏 = 𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟 , onde 𝑐 =𝑎:𝑏
2 e 𝑟 =
𝑏;𝑎
2
INTERVALOS NUMÉRICOS
Exemplo 5 (Descrevendo intervalos com desigualdades)
Descreva os intervalos (−4, 4) e [7, 13] usando
desigualdades.
Solução:
−4,4 = 𝑥: 𝑥 < 4
Considere o intervalo 7, 13
Ponto médio: 𝑐 =1
2 7 + 13 = 10
Raio: 𝑟 =1
2 13 − 7 = 3
Portanto 7, 13 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 − 10 ≤ 3
Representação:
INTERVALOS NUMÉRICOS
Exemplo (Descrevendo desigualdade com intervalo)
Descreva o conjunto 𝑆 = 𝑥:1
2𝑥 − 3 > 4 em termos de intervalos.
Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta
1
2𝑥 − 3 ≤ 4, assim
1
2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 ≤
1
2𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 + 3 ≤
1
2𝑥 − 3 + 3 ≤ 4 + 3
−1 ≤1
2𝑥 ≤ 7 ⇒ −1 ∙ 2 ≤
1
2𝑥 ∙ 2 ≤ 7 ∙ 2 ⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 14
Note que 1
2𝑥 − 3 ≤ 4 está satisfeito quando 𝑥 ∈ −2, 14 .
O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não
estão em −2, 14 , ou seja, 𝑺 = −∞,−𝟐 ∪ 𝟏𝟒,∞
Representação.
INTERVALOS NUMÉRICOS
ORDEM DE OPERAÇÕES
Em expressões envolvendo combinações de operações, a seguinte
ordem é observada:
1. Primeiramente, execute operações entre símbolos agrupados.
Se os símbolos agrupados estão dentro de outro agrupamento de
símbolos, proceda a partir dos agrupamentos mais internos para os
mais externos.
Exemplo 6. Calcule 3 3;8∙5; ;1;2∙3
2
3 3;8∙5; ;1;2∙3
2=
3 3;8∙5; ;1;6
2=
3 3;8∙5; ;7
2
3 3;8∙5; ;1;2∙3
2=
3 3;8∙5; ;7
2=
3 3;40; ;7
2=
3 10;40
2=
3 ;30
2
3 3;8∙5; ;1;2∙3
2=
3 ;30
2= −
90
2= −45
2. Calcule expoentes antes de multiplicações e divisões,
a não ser que o agrupamento de símbolos indique o contrário.
Exemplo 7. Calcule 2 + 32 2
2 + 32 2 = 2 + 9 2 = 11 2 = 121
3. Calcule multiplicações e divisões, da esquerda para a
direita, antes de calcular adições e subtrações (também
da esquerda para direita)
a não ser que os símbolos de operações indiquem o contrário.
ORDEM DE OPERAÇÕES
Calcule
a) −5 − 3 2
b) 3 − 4 5 − 6 2 − 8
c) 3 − 8 ∙ 5 − −1 − 2 ∙ 3 ∙ 32 − 52 2
Solução.
ORDEM DE OPERAÇÕES
Definição. Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então a expressão 𝑎𝑛 é
chamada de potência na base 𝑎 e expoente 𝑛.
Note que: 𝒂𝟎 = 𝟏
𝒂𝒏:𝟏 = 𝒂 ∙ 𝒂𝒏
Exemplo:
100 = 1
101 = 10 ∙ 100 = 10
102 = 10 ∙ 101 = 100
103 = 10 ∙ 102 = 1.000
104 = 10 ∙ 103 = 10.000
POTÊNCIAS
Propriedades: Se 𝑎 ≠ 0
e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ então:
i) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚:𝑛
ii)𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚;𝑛
iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
iv) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛
POTÊNCIAS
Potência com expoente negativo
Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎;𝑛 =1
𝑎𝑛
Exemplo: 10;1 =1
10= 0,1; 10;2 =
1
10∙101 =1
100= 0,01
10;3 =1
10∙102 =1
1.000= 0,001; ...
Potência fracionária
Se 𝑎 > 0 e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎𝑛
𝑚 = 𝑎𝑛𝑚
Exemplo: 102 3 = 1023
𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2
𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2
𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3
𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3
𝑥 + 𝑎 𝑛 = 𝑥𝑛 +𝑛
1!𝑎𝑥𝑛;1 +
𝑛 𝑛 − 1
2!𝑎2𝑥𝑛;2 +
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2
3!𝑎3𝑥𝑛;3 + ⋯
+𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2
𝑛 − 1 !𝑎 𝑛;1 𝑥1 + 𝑎𝑛, 𝑛 > 1 inteiro.
PRODUTOS NOTÁVEIS
BINÔMIO DE NEWTON
ERROS A SEREM EVITADOS
ERRO 1. Em uma fração, cancelar uma parcela do
numerador com uma do denominador
3𝑥:5
𝑥=
3𝑥:5
𝑥= 3 + 5 = 8 (ERRADO !!!!)
ERRO 2. Concluir que se 𝑥 < 𝑎 então 𝑐𝑥 < 𝑐𝑎, a
não ser que 𝑐 > 0.
ERRO 3. Escrever 2 > 𝑥 > 6 ao invés de 𝑥 < 2 ou
𝑥 > 6.
ERROS A SEREM EVITADOS
Não confundir
1. − −𝑥 com − −𝑥
Exemplo: − −3 = −3 enquanto que − −3 = 3
2. −𝑥 2 com −𝑥2
Exemplo: −4 2 = 16 enquanto que −42= −16
3. − 𝑎 + 𝑏 com −𝑎 + 𝑏
Exemplo: − 2 + 1 = −3 enquanto que −2 + 1 = −1
4. 𝑥 + 𝑎 2 com 𝑥2 + 𝑎2
Exemplo: 5 + 2 2= 49 enquanto que 52 + 22 = 25 + 4 = 29
5. 𝑥 + 𝑎 com 𝑥 + 𝑎
Exemplo: 4 + 9 = 13 enquanto que 4 + 9 = 2 + 3 = 5
1ª. LISTA DE EXERCÍCIOS