Download - Matematika1bangrs
![Page 1: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika 1 1
DETERMINAN
Ronny Susetyoko
![Page 2: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/2.jpg)
Matematika 1 2
Definisi
Asumsikan A adalah suatu matriks bujur sangkar, fungsi determinan, det(A) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
atau Determinan ordo n ialah suatu skalar yang
terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang berordo n.
Notasi :
det(A) atau |A| atau |aij|
![Page 3: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/3.jpg)
Matematika 1 3
Contoh
![Page 4: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematika 1 4
Minor & Kofaktor Determinan
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka Minor elemen aij (Mij) didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan
Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai kij = (-1)i+j Mij
![Page 5: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/5.jpg)
Matematika 1 5
Menghitung Minor dan Kofaktor
![Page 6: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/6.jpg)
Matematika 1 6
Beda Kofaktor & Minor
Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya berbeda tanda. Jika pangkatnya genap maka kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya ganjil maka kij = -mij. Lebih mudahnya apakah kofaktor bertanda + atau – adalah menggunakan ’papan periksa’ sebagai berikut :
![Page 7: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/7.jpg)
Matematika 1 7
Nilai Determinan
a). Aturan Sarrus (n <= 3)
![Page 8: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/8.jpg)
Matematika 1 8
Nilai Determinan
b). Ekspansi Laplace (n >= 3)
Nilai determinan adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
![Page 9: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/9.jpg)
Matematika 1 9
Contoh : Dari soal sebelumnya,
Ekspansi Laplace baris ke – 1 :
Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan hasilnya!
Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak mengandung elemen nol.
![Page 10: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/10.jpg)
Matematika 1 10
Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom semua elemennya nol
2. det(A) = det(AT)
![Page 11: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/11.jpg)
Matematika 1 11
Sifat-Sifat Determinan
3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar).
Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5 menjadi :
![Page 12: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/12.jpg)
Matematika 1 12
Sifat-Sifat Determinan
4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.
5. Nilai determinan berubah tanda jika dua baris/kolom ditukar tempatnya
![Page 13: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/13.jpg)
Matematika 1 13
Sifat-Sifat Determinan
6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j.
Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :
7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlah determinan.
![Page 14: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/14.jpg)
Matematika 1 14
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11a22...ann .
Catatan Untuk mempermudah perhitungan nilai determinan, dapat menggunakan sifat-sifat tersebut.
![Page 15: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/15.jpg)
Matematika 1 15
Contoh
![Page 16: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/16.jpg)
Matematika 1 16
Sifat-Sifat Lain
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B).
Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya jika det(A) 0.
Jika A dapat diinverskan, maka :
![Page 17: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/17.jpg)
Matematika 1 17
Manfaat
penyelesaian sistem persamaan linier menghitung matriks invers menentukan karakteristik suatu sistem
linier
![Page 18: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/18.jpg)
Matematika 1 18
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
![Page 19: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/19.jpg)
Matematika 1 19
Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = x
Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas masalah sistem n persamaan linier dalam n peubah yang dinyatakan dalam bentuk :
Ax = x{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan suatu skalar}
Sistem ini merupakan sistem linier homogen tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai :Ax = x Ax – x = 0 atau dengan menyelipkan matriks identitas dan memfaktor-kannya :
(A - I )x = 0 *)
![Page 20: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/20.jpg)
Matematika 1 20
Contoh
![Page 21: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/21.jpg)
Matematika 1 21
Yang Menarik?
Masalah utama yang menarik dalam sistem linier *) adalah menentukan nilai-nilai di mana sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak-trivial. Nilai disebut suatu nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial dari *) disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan.
Sistem (A - I )x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika :
disebut persamaan karakteristik
Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman & Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar laten atau akar ciri.
![Page 22: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/22.jpg)
Matematika 1 22
Soal Latihan
![Page 23: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/23.jpg)
Matematika 1 23
Soal Latihan
![Page 24: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/24.jpg)
Matematika 1 24
Soal Latihan
![Page 25: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/25.jpg)
Matematika 1 25
MATRIKS
![Page 26: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/26.jpg)
Matematika 1 26
Definisi
Himpunan skalar dari bilangan real/ kompleks yang disusun dalam empat persegi panjang menurut baris/kolom.
![Page 27: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/27.jpg)
Matematika 1 27
Operasi Matriks
Penjumlahan (syarat : ordo sama) Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks
(syarat : jumlah kolom matriks-1 = jumlah baris matriks-2)
![Page 28: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/28.jpg)
Matematika 1 28
Hukum-Hukum
1. A(B + C) = AB + AC H. Distributif I
2. (A + B)C = AC + AB H. Distributif II
3. A(BC) = (AB)C H. Asosiatif
4. AB BA general
5. AB = 0 tidak harus A = 0 atau
B = 0 atau A & B nol.
6. Jika AB = AC belum tentu AB = AC atau B = C
![Page 29: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/29.jpg)
Matematika 1 29
Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom)
2. Matriks Diagonal
![Page 30: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/30.jpg)
Matematika 1 30
Jenis-Jenis Matriks
![Page 31: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/31.jpg)
Matematika 1 31
Jenis-Jenis Matriks
![Page 32: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/32.jpg)
Matematika 1 32
Jenis-Jenis Matriks
![Page 33: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/33.jpg)
Matematika 1 33
Jenis-Jenis Matriks
![Page 34: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/34.jpg)
Matematika 1 34
Jenis-Jenis Matriks
![Page 35: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/35.jpg)
Matematika 1 35
Jenis-Jenis Matriks Yang Lain
Matriks Bidiagonal Atas Matriks Bidiagonal Bawah Matriks Tridiagonal Matriks Hermitian Matriks Singular dll.
![Page 36: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/36.jpg)
Matematika 1 36
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode grafis ( maksimum 3 variabel) Eliminasi Subtitusi Determinan Eliminasi Gauss Gauss-Jordan Gauss-Seidel Dll.
![Page 37: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/37.jpg)
Matematika 1 37
Operasi Dasar
Operasi Dasar Persamaan Pertukaran tempat dua persamaan Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke
persamaan lain
Operasi Dasar Baris Pertukaran tempat dua baris Perkalian baris dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang lain.
Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
![Page 38: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/38.jpg)
Matematika 1 38
Rank (Pangkat) Matriks
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks
Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linier dalam suatu matriks
Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar suatu matriks yang determinannya tidak nol.
![Page 39: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/39.jpg)
Matematika 1 39
Kebebasan dan ketidakbebasan linier
Bebas linier jika p baris mempunyai rank p. Tidak bebas linier jika rank < p.
![Page 40: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/40.jpg)
Matematika 1 40
Solusi Sistem Persamaan Linier
Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan matriks augmented A mempunyai rank yang sama.
Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan jumlah variabel ( r = n).
Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak berhingga.
Jika solusi ada maka dapat diselesaikan dengan Eliminasi Gauss.
![Page 41: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/41.jpg)
Matematika 1 41
Penerapan Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.
Elektronika) Transformasi Linier Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier) Markov Chains Programa Linier Assignment (Penugasan) Database Analisis Komponen Utama (termasuk Trans.Linier) Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata kuliah
Aljabar Matriks.
![Page 42: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/42.jpg)
Matematika 1 42
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan pengembangan dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik .
![Page 43: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/43.jpg)
Matematika 1 43
Augmented Matrix
![Page 44: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/44.jpg)
Matematika 1 44
![Page 45: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/45.jpg)
Matematika 1 45
![Page 46: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/46.jpg)
Matematika 1 46
![Page 47: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/47.jpg)
Matematika 1 47
VEKTOR
![Page 48: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/48.jpg)
Matematika 1 48
![Page 49: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/49.jpg)
Matematika 1 49
![Page 50: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/50.jpg)
Matematika 1 50
![Page 51: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/51.jpg)
Matematika 1 51
![Page 52: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/52.jpg)
Matematika 1 52
![Page 53: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/53.jpg)
Matematika 1 53
![Page 54: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/54.jpg)
Matematika 1 54
![Page 55: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/55.jpg)
Matematika 1 55
BILANGAN KOMPLEKS
![Page 56: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/56.jpg)
Matematika 1 56
![Page 57: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/57.jpg)
Matematika 1 57
![Page 58: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/58.jpg)
Matematika 1 58
![Page 59: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/59.jpg)
Matematika 1 59
![Page 60: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/60.jpg)
Matematika 1 60
![Page 61: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/61.jpg)
Matematika 1 61
![Page 62: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/62.jpg)
Matematika 1 62
![Page 63: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/63.jpg)
Matematika 1 63
![Page 64: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/64.jpg)
Matematika 1 64
![Page 65: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/65.jpg)
Matematika 1 65
![Page 66: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/66.jpg)
Matematika 1 66
![Page 67: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/67.jpg)
Matematika 1 67
FUNGSI
![Page 68: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/68.jpg)
Matematika 1 68
Definisi Fungsi
Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.
Secara matematis :
![Page 69: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/69.jpg)
Matematika 1 69
Pengertian
X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta (image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x.
Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f-1(y).
![Page 70: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/70.jpg)
Matematika 1 70
Catatan
Fungsi tidak lain adalah pemetaan (mapping).
Peta invers mungkin bisa lebih dari satu elemen.
![Page 71: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/71.jpg)
Matematika 1 71
Hasil Ganda Kartesis
Himpunan semua pasangan-pasangan berurutan atau ordered pairs (x,y) dengan x elemen X dan y elemen Y.
Contoh :
X = {x1,x2} dan Y = {y1, y2,y3}
X x Y = {(x1,y1), (x1,y2), x1,y3)
(x2,y1), (x2,y2), (x2,y3)
(x3,y1), (x3,y2), (x3,y3)}
![Page 72: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/72.jpg)
Matematika 1 72
Komposisi Fungsi
![Page 73: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/73.jpg)
Matematika 1 73
Grafik Fungsi
Grafik fungsi suatu f dari X ke Y ialah himpunan pasangan-pasangan berurutan (x, f(x)) dengan x berjalan pada X (x elemen X) dan f(x) berjalan pada Y (f(x) elemen Y)
y = f(x)
0
10
20
30
40
50
0 10
XY
![Page 74: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/74.jpg)
Matematika 1 74
Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y) disebut variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable).
Dalam pemakaian, domain dari variabel disajikan dengan interval ( himpunan bagian dari himpunan real).
Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.
Variabel Bebas dan Tak Bebas
![Page 75: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/75.jpg)
Matematika 1 75
Ilustrasi Interval
![Page 76: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/76.jpg)
Matematika 1 76
Contoh
![Page 77: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/77.jpg)
Matematika 1 77
Contoh
![Page 78: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/78.jpg)
Matematika 1 78
Soal-soal
![Page 79: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/79.jpg)
Matematika 1 79
LIMIT & KEKONTINUAN
![Page 80: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/80.jpg)
Matematika 1 80
Pemanasan
Jika2x3x
1x2x3)x(f
2
2
Tentukan :
)x(flim)A(3x
)x(flim)B(1x
)x(flim)C(2x
![Page 81: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/81.jpg)
Matematika 1 81
Definisi
f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk
x x0, bila setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 < |x – x0| < berlaku
|f(x) – L| < h. Pernyataan 0 < |x – x0| < berarti untuk
semua x yang memenuhi x0 – < x < x0 +
![Page 82: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/82.jpg)
Matematika 1 82
Ilustrasi
![Page 83: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/83.jpg)
Matematika 1 83
![Page 84: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/84.jpg)
Matematika 1 84
Contoh
![Page 85: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/85.jpg)
Matematika 1 85
Kontinuitas
![Page 86: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/86.jpg)
Matematika 1 86
Kontinuitas
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0 jika limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama.
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0, bila untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan positif sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h untuk |x – x0| < atau x0 – < x < x0 + .
![Page 87: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/87.jpg)
Matematika 1 87
Soal-soal
![Page 88: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/88.jpg)
Matematika 1 88
DIFERENSIAL(Turunan)
![Page 89: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/89.jpg)
Matematika 1 89
Turunan Fungsi Aljabar
![Page 90: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/90.jpg)
Matematika 1 90
Secara Geometri
![Page 91: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/91.jpg)
Matematika 1 91
![Page 92: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/92.jpg)
Matematika 1 92
Turunan Baku
![Page 93: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/93.jpg)
Matematika 1 93
![Page 94: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/94.jpg)
Matematika 1 94
Fungsi dari Suatu Fungsi
![Page 95: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/95.jpg)
Matematika 1 95
![Page 96: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/96.jpg)
Matematika 1 96
Perkalian & Pembagian
![Page 97: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/97.jpg)
Matematika 1 97
Contoh
![Page 98: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/98.jpg)
Matematika 1 98
Soal-soal
![Page 99: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/99.jpg)
Matematika 1 99
Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua? Contoh :
y = uvw y = uv/w y = u/vw y = tu/vw Dll.
di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x. Solusi : memakai turunan logaritmik (natural)
![Page 100: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/100.jpg)
Matematika 1 100
Contoh
![Page 101: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/101.jpg)
Matematika 1 101
Soal-soal Terapan
![Page 102: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/102.jpg)
Matematika 1 102
Fungsi Implisit
Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y disebut fungsi eksplisit dari x. Contoh :
y = x4 – 3x2 + 1 Y = 3x2 + cos x
Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x. Contoh :
y = xy + sin y – 2 x2 + 2xy + 3y2 = 4
![Page 103: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/103.jpg)
Matematika 1 103
Contoh :
![Page 104: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/104.jpg)
Matematika 1 104
Soal-soal Campuran
![Page 105: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/105.jpg)
Matematika 1 105
Titik Balik (maks/Min)
Macam-macam : Titik maksimum Titik minimum Titik belok
Titik balik : turunan pertama = nol Turunan kedua :
Negatif titik maksimum Positif titik minimum Nol titik belok
![Page 106: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/106.jpg)
Matematika 1 106
Ilustrasi
y=f(x)=x^3/3-25*x+6
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-15 -10 -5 0 5 10 15
y
d2y/dx2=2*x
-25-20-15-10-505
10152025
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
y dy2
dy/dx=x^2-25
-40
-20
0
20
40
60
80
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
y dy
![Page 107: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/107.jpg)
Matematika 1 107
Soal-soal
![Page 108: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/108.jpg)
Matematika 1 108
Soal cerita
![Page 109: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/109.jpg)
Matematika 1 109
Turunan Parsial Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3
Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel z Variabel z bergantung pada variabel x dan y Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y
Bagaimana perubahan z terhadap x jika y konstan?
Bagaimana perubahan z terhadap y jika x konstan?
Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x
yxx
z42
234 yxy
z
434 22
yxxy
z
xyx
z
![Page 110: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/110.jpg)
Matematika 1 110
Soal-soal
Tentukan
Tentukan nilai a dan b berdasarkan informasi data sampel berpasangan (x,y).
3
2 )4(
z
xyxw
3
322 )4(
z
xyxw
3
32
2 )23()4
(
yz
yzxz
xyx
w
2
1
)( ii
n
i
bxayE
zyx
wd
xy
w
yx
wd
z
w
y
w
x
w
322
,,,,,
![Page 111: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/111.jpg)
Matematika 1 111
INTEGRAL
![Page 112: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/112.jpg)
Matematika 1 112
Apa beda sigma & integral?
![Page 113: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/113.jpg)
Matematika 1 113
Integral Baku
![Page 114: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/114.jpg)
Matematika 1 114
Contoh
cedxe xx 55
5
1
cxdxx 76
7
44
cxdxxdxx 2
3
2
1
3
2
cxxdx cosh2sinh2
cxdxx
ln55
cdxx
x 5ln
55
![Page 115: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/115.jpg)
Matematika 1 115
Fungsi Suatu Fungsi Linier
![Page 116: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/116.jpg)
Matematika 1 116
Integral dalam bentuk f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)
![Page 117: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/117.jpg)
Matematika 1 117
Soal-soal
![Page 118: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/118.jpg)
Matematika 1 118
Integral Parsial
![Page 119: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/119.jpg)
Matematika 1 119
Contoh
![Page 120: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/120.jpg)
Matematika 1 120
Soal-soal
![Page 121: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/121.jpg)
Matematika 1 121
Integral Dengan Pecahan Parsial
![Page 122: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/122.jpg)
Matematika 1 122
Contoh
![Page 123: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/123.jpg)
Matematika 1 123
Contoh
![Page 124: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/124.jpg)
Matematika 1 124
Soal-soal
![Page 125: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/125.jpg)
Matematika 1 125
Integral Lipat Dua
![Page 126: Matematika1bangrs](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081506/55841896d8b42a40018b4da7/html5/thumbnails/126.jpg)
Matematika 1 126
Contoh Integral Tertentu