Matematika Teknik Dasar-28 – Definisi Turunan Parsial danPengerjaannya Secara GeometriSebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya
Turunan Parsial
Volume V dari sebuah silinder dengan radius r dan tinggi hdiberikan dari rumus:
V = r2h
Jika dipertahankan nilai r konstan dan menaikkan tinggi h, volume V akan naik.
Maka dalam keadaan ini dapat ditinjau turunan V terhadaph dengan nilai r dipertahankan. Maka;
𝑑𝑉
𝑑ℎ𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛
𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝛿𝑉
𝛿𝑥
r
h
Turunan Parsial
𝑑𝑉
𝑑ℎ𝑟 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛
𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝜕𝑉
𝜕𝑥
Perhatikan nilai ‘delta’.
▪ Diketahui arti dari𝛿𝑉
𝛿𝑥dan
𝑑𝑦
𝑑𝑥.
▪ Diperhatikan𝜕𝑉
𝜕𝑥, ini disebut sebagai turunan parsial V terhadap h dan
menyiratkan bahwa untuk keperluan sekarang, nilai r dianggap sebagaiyang konstan V = r2h
Turunan Parsial
Untuk mendiferensiasi𝛿𝑉
𝛿ℎ, dianggap bahwa semua simbol kecuali V dan h
sebagai konstanta
𝛿𝑉
𝛿ℎ= 𝜋𝑟2. 1 = 𝜋𝑟2
Kemudian jika mendiferensiasi 𝛿𝑉
𝛿𝑟, maka r menyebabkan perubahan pada V
sedangkan h adalah konstan.
𝛿𝑉
𝛿𝑟= 𝜋2𝑟ℎ = 2𝜋𝑟ℎ
Hal ini karena V = 𝜋𝑟2ℎ, dinyatakan sebagai fungsi dua variabel r dan h.
Turunan Parsial
Contoh berikutnya:
Dilihat luas permukaan selimut silinder A=2rh
A adalah fungsi r dan h, jadi dapat dicari 𝜕𝐴
𝜕𝑟dan
𝜕𝐴
𝜕ℎ
▪Untuk mencari 𝜕𝐴
𝜕𝑟dapat diferensiasi pernyataan untuk
A terhadap r, dengan simbol lain adalah konstan
▪Untuk mencari 𝜕𝐴
𝜕ℎdapat diferensiasi pernyataan untuk
A terhadap h, dengan simbol lain adalah konstan
r
hA
Turunan Parsial
Maka jika A = 2rh, maka𝜕𝐴
𝜕𝑟= 2𝜋ℎ dan
𝜕𝐴
𝜕ℎ= 2𝜋𝑟
Contoh lain:
Sebuah fungsi z=x2y3 dicari 𝜕𝑧
𝜕𝑥dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦
a. Untuk mencari 𝜕𝑧
𝜕𝑥, diferensiasikanlah terhadap x, dengan menganggap y
adalah konstanta. 𝜕𝑧
𝜕𝑥= 2𝑥𝑦3
b. Untuk mencari 𝜕𝑧
𝜕𝑦, diferensiasikanlah terhadap y, dengan menganggap x
adalah konstanta. 𝜕𝑧
𝜕𝑦= 𝑥23𝑦2 = 3𝑥2𝑦2
Turunan Parsial
Catatan:
Pada turunan parsial dianggap setiap variabel adalah independen, kecuali variabel yang terhadapnya dilakukan diferensiasi, untuk sementara dianggap sebagai konstanta
Contoh - 1
u = x2 + xy + y2
a. Untuk mencari 𝜕𝑢
𝜕𝑥, dianggap y sebagai konstanta
Diferensiasi parsial x terhadap x2 = 2xDiferensiasi parsial x terhadap xy = y (y adalah faktor konstanta)Diferensiasi parsial x terhadap y2 = 0 (y2 adalah faktor konstanta)
𝜕𝑢
𝜕𝑥= 2𝑥 + 𝑦
b. Untuk mencari 𝜕𝑢
𝜕𝑦, dianggap x sebagai konstanta
Diferensiasi parsial y terhadap x2 = 0 (x2 adalah faktor konstanta)Diferensiasi parsial y terhadap xy = x (x adalah faktor konstanta)Diferensiasi parsial y terhadap y2 = 2y
𝜕𝑢
𝜕𝑦= 𝑥 + 2𝑦
Contoh - 2
z = x3 + y3 – 2x2y𝜕𝑧
𝜕𝑥= 3𝑥2 + 0 − 4𝑥𝑦 = 3𝑥2 − 4𝑥𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 0 + 3𝑦2 − 2𝑥2 = 3𝑦2 − 2𝑥2
Contoh - 3
z = (2x – y) (x + 3y)
Dimana contoh di atas adalah bentuk hasil kali, maka aturan hasil kali biasa akan berlaku pada persamaan di atas
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 2𝑥 − 𝑦 1 + 0 + 𝑥 + 3𝑦 2 − 0 = 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑥 + 6𝑦
= 4𝑥 + 5𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑦= 2𝑥 − 𝑦 0 + 3 + 𝑥 + 3𝑦 0 − 1 = 6𝑥 − 3𝑦 − 𝑥 − 3𝑦
= 5𝑥 − 6𝑦
Contoh - 4
Persamaan 𝑧 =2𝑥−𝑦
𝑥+𝑦′carilah
𝜕𝑧
𝜕𝑥dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Maka dengan menggunakan aturan hasil bagi, dapat dihasilkan:𝜕𝑧
𝜕𝑥=
𝑥 + 𝑦 2 − 0 − 2𝑥 − 𝑦 1 + 0
𝑥 + 𝑦 2=
3𝑦
𝑥 + 𝑦 2
𝜕𝑧
𝜕𝑦=
𝑥 + 𝑦 0 − 1 − 2𝑥 − 𝑦 0 + 1
𝑥 + 𝑦 2=
−3𝑦
𝑥 + 𝑦 2
Contoh - 5
Persamaan z=sin(3x+2y) carilah 𝜕𝑧
𝜕𝑥dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Dalam contoh ini diselesaikan apa yang disebut ‘fungsi dari suatu fungsi’. 𝜕𝑧
𝜕𝑥= cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥
𝜕
𝜕𝑥3𝑥 + 2𝑦 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥3 = 3cos(3𝑥 + 2𝑦)
𝜕𝑧
𝜕𝑦= cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥
𝜕
𝜕𝑦3𝑥 + 2𝑦 = cos 3𝑥 + 2𝑦 𝑥2 = 2cos(3𝑥 + 2𝑦)
Turunan Parsial
Diperhatikan persamaan z=3x2 + 4xy – 5y2
Kemudian bisa diselesaikan 𝜕𝑧
𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦 dan
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 4𝑥 − 10𝑦
Pernyataan 𝜕𝑧
𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦 adalah suatu fungsi x dan y.
Maka bisa dicari turunan parsialnya terhadap x atau y
a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh:𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥dan ditulis sebagai
𝜕2𝑧
𝜕2𝑥, dimana ini mirip dengan turunan kedua
biasa, tetapi dengan 𝜕 parsial
Turunan Parsial
a. Dideferensiasi secara parsial terhadap x, diperoleh:𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑥dan ditulis sebagai
𝜕2𝑧
𝜕2𝑥, dimana ini mirip dengan turunan kedua
biasa, tetapi dengan 𝜕 parsial
𝜕2𝑧
𝜕2𝑥=
𝜕
𝜕𝑥26𝑥 + 4𝑦 = 6; ini disebut turunan parsial kedua z
terhadap x
b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh:𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥dan ditulis sebagai
𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥
Turunan Parsial
b. Dideferensiasi secara parsial terhadap y, diperoleh:𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥dan ditulis sebagai
𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥
diperhatikan bahwa operasi yang ini dilakukan dengan memberikan simbol sebelah kiri dari kedua simbol pada penyebutnya.𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥=
𝜕
𝜕𝑦6𝑥 + 4𝑦 = 4
Turunan Parsial
Jadi bisa didapatkan
z=3x2 + 4xy – 5y2
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 4𝑥 − 10𝑦
𝜕2𝑧
𝜕2𝑥= 6
𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥= 4
Turunan Parsial
Dilakukan cara yang sama untuk pernyataan 𝜕𝑧
𝜕𝑦maka bisa didapatkan
𝜕2𝑧
𝜕2𝑦= -10
𝜕2𝑧
𝜕𝑥.𝜕𝑦= 4
Dari hasil pernyataan bisa didapatkan bahwa
𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥berarti
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥sehingga
𝜕2𝑧
𝜕𝑥.𝜕𝑦berarti
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦
Turunan Parsial
Dengan mengumpulkan hasil-hasil yang diperoleh sebelumnya bisa dikumpulkan pernyataan dari z=3x2 + 4xy – 5y2
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 6𝑥 + 4𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 4𝑥 − 10𝑦
𝜕2𝑧
𝜕2𝑥= 6
𝜕2𝑧
𝜕2𝑦= -10
𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥= 4
𝜕2𝑧
𝜕𝑥.𝜕𝑦= 4
Turunan Parsial
Kita lihat dalam kasus ini bahwa 𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥.𝜕𝑦
Dengan demikian terdapat dua turunan pertama dan empat turunan kedua, walaupun dua turunan memiliki nilai yang sama.
Turunan Parsial
Coba selesaikan persamaan berikut:
z = x cos y – y cos x
▪ Ketika mendiferensiasikan terhadap x, y adalah konstanta (sehingga cos y konstanta)
▪ Ketika mendiferensiasikan terhadap y, x adalah konstanta (sehingga cos x konstanta)
Turunan Parsial
Maka persamaan z = x cos y – y cos x bisa diperoleh
𝜕𝑧
𝜕𝑥= cos 𝑦 + 𝑦. sin 𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑦= −𝑥. sin 𝑦 − cos 𝑥
𝜕2𝑧
𝜕2𝑥= 𝑦. cos 𝑥
𝜕2𝑧
𝜕2𝑦= −𝑥. cos 𝑦
𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥= −sin 𝑦 + sin 𝑥
𝜕2𝑧
𝜕𝑥.𝜕𝑦= −sin 𝑦 + sin 𝑥
Kita lihat dalam kasus ini bahwa 𝜕2𝑧
𝜕𝑦.𝜕𝑥=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥.𝜕𝑦
Turunan Parsial
Sekarang jika V=ln(x2 + y2) buktikanlah bahwa 𝜕2𝑉
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑉
𝜕𝑦2= 0
Berarti penyelesaian di atas adalah dengan mencari dua buah turunan parsial kedua dari fungsi tersebut dan menyubstitusikan keduanya ke sisi kiri pernyataannya.
V=ln(x2 + y2)𝜕𝑉
𝜕𝑥=
1
𝑥2 + 𝑦22𝑥
𝜕𝑉
𝜕𝑥=
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2
Turunan Parsial
𝜕2𝑉
𝜕𝑥2=
𝑥2 + 𝑦2 2 − 2𝑥. 2𝑥
𝑥2 + 𝑦2 2
𝜕2𝑉
𝜕𝑥2=2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 2=
2𝑦2 − 2𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 2
Kemudian bisa dicari 𝜕2𝑉
𝜕𝑦2dengan cara yang sama
Sehingga bisa didaptkan bahwa 𝜕2𝑉
𝜕𝑦2=
2𝑥2−2𝑦2
𝑥2+𝑦2 2
Turunan Parsial
Dengan dicari lagi untuk V=ln(x2 + y2) diperoleh:𝜕𝑉
𝜕𝑦=
1
𝑥2 + 𝑦22𝑦 =
2𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝜕2𝑉
𝜕𝑦2=
𝑥2 + 𝑦2 2 − 2𝑦. 2𝑦
𝑥2 + 𝑦2 2
𝜕2𝑉
𝜕𝑦2=2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 2=
2𝑥2 − 2𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 2
Turunan Parsial
Kemudian disubstitusikan kedua hasil di atas ke identitas tersebut maka diperoleh:
𝜕2𝑉
𝜕𝑥2+𝜕2𝑉
𝜕𝑦2=
2𝑦2 − 2𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 2+2𝑥2 − 2𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 2
𝜕2𝑉
𝜕𝑥2+𝜕2𝑉
𝜕𝑦2=2𝑦2 − 2𝑥2 + 2𝑥2 − 2𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 2= 0
Contoh - 6
Jika V = f (x2 + y2) tunjukkanlah bahwa 𝑥𝜕𝑉
𝜕𝑦− 𝑦
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 0
Dari soal didapatkan bahwa V merupakan fungsi (x2 + y2) tetapi bentuk tepat dari fungsi ini tidak diketahui.
Maka dapat diperlakukan fungsi ini sebagai ‘fungsi dari fungsi’ dan menulis f’ (x2 + y2) untuk menyatakan fungsi ini terhadap variabel gabungan (x2 + y2)
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 𝑓′ 𝑥
2+𝑦2 𝑥𝜕
𝜕𝑥𝑥2 + 𝑦2 = 𝑓′ 𝑥
2+𝑦2 . 2𝑥
𝜕𝑉
𝜕𝑦= 𝑓′ 𝑥
2+𝑦2 .𝜕
𝜕𝑦𝑥2 + 𝑦2 = 𝑓′ 𝑥
2+𝑦2 . 2𝑦
Contoh - 6
x𝜕𝑉
𝜕𝑦− 𝑦
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 𝑥. 𝑓′ 𝑥
2+𝑦2 . 2𝑦 − 𝑦. 𝑓′ 𝑥2 + 𝑦2
x𝜕𝑉
𝜕𝑦− 𝑦
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 2𝑥𝑦. 𝑓′ 𝑥
2+𝑦2 − 2𝑥𝑦. 𝑓′ 𝑥2 + 𝑦2
x𝜕𝑉
𝜕𝑦− 𝑦
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 0
Contoh - 7
Jika V = f (ax + by), tunjukkanlah bahwa 𝑏𝜕𝑉
𝜕𝑥− 𝑎
𝜕𝑉
𝜕𝑦= 0
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 .
𝜕
𝜕𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
𝜕𝑉
𝜕𝑥= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 . 𝑎 = 𝑎. 𝑓′ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) (a)
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 .
𝜕
𝜕𝑦(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
𝜕𝑧
𝜕𝑦= 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 . 𝑏 = 𝑏. 𝑓′ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) (b)
Contoh - 7
b𝜕𝑉
𝜕𝑥− a
𝜕𝑉
𝜕𝑦= 𝑎𝑏. 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑎𝑏. 𝑓′ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0
Pertambahan Kecil
▪ Pada materi sebelumnya dibahas sebuah silinder dengan h konstan dan r konstan.
▪ Pada kasus berikut dilihat apa yang diperoleh jika r dan h berubah secara simultan.
▪ Jika r menjadi 𝑟 + 𝛿𝑟, dan h menjadi ℎ + 𝛿ℎ, misalkan V menjadi 𝑉 + 𝛿𝑉.Maka volume yang baru diberikan sebagai:
𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟 + 𝛿𝑟 2 ℎ + 𝛿ℎ𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟2 + 2𝑟𝛿𝑟 + 𝛿𝑟 2 ℎ + 𝛿ℎ
𝑉 + 𝛿𝑉 = 𝜋 𝑟2 + 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + ℎ 𝛿𝑟 2 + 𝑟2𝛿ℎ + 2𝑟𝛿𝑟𝛿ℎ + 𝛿𝑟 2𝛿ℎ
Pertambahan Kecil
Kurangkan V=r2h dari kedua sisinya, maka akan diperoleh:𝛿𝑉 = 𝜋 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + ℎ 𝛿𝑟 2 + 𝑟2𝛿ℎ + 2𝑟𝛿𝑟𝛿ℎ + 𝛿𝑟 2𝛿ℎ
𝛿𝑉 ≈ 𝜋 2𝑟ℎ𝛿𝑟 + 𝑟2𝛿ℎℎ Karena 𝛿𝑟 dan 𝛿ℎ adalah kecil dan semua suku-suku selebihnya akan jauh lebih kecil lagi.
Oleh karena itu
𝛿𝑉 ≈ 2𝜋𝑟ℎ𝛿𝑟 + 𝜋𝑟2𝛿ℎ, dengan kata lain
𝛿𝑉 ≈𝜕𝑉
𝜕𝑟𝛿𝑟 +
𝜕𝑉
𝜕ℎ𝛿ℎ
Pertambahan Kecil
Sebuah silinder memiliki dimensi r = 5cm, h = 10cm. Carilah kira-kira kenaikan volumenya jika r bertambah sebesar 0,2cm dan h berkurang sebesar 0,1cm.
Maka sekarang
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ jadi 𝜕𝑉
𝜕𝑟= 2𝜋𝑟ℎ
𝜕𝑉
𝜕ℎ= 𝜋𝑟2
Dalam hal ini, apabila r = 5cm, h = 10cm jadi
𝜕𝑉
𝜕𝑟= 2𝜋5.10 = 100𝜋
𝜕𝑉
𝜕ℎ= 𝜋𝑟2 = 𝜋52 = 25𝜋
Pertambahan Kecil
𝛿𝑟 = 0,2 dan 𝛿ℎ = −0,1 (minus karena h mengecil)
𝛿𝑉 ≈𝜕𝑉
𝜕𝑟. 𝛿𝑟 +
𝜕𝑉
𝜕ℎ. 𝛿ℎ
𝛿𝑉 = 100𝜋 0,2 + 25𝜋(−0,1)
𝛿𝑉 = 20𝜋 − 2,5𝜋 = 17,5𝜋
𝛿𝑉 ≈54,98 cm3
Maka artinya adalah volume bertambah sebesar 54,98 cm3
Pertambahan Kecil
Hasil ini tidak hanya berlaku pada volume silinder tetapi juga untuk semua fungsi dengan dua variabel independen.
Contoh:
Jika z adalah fungsi x dan y, z=f (x,y) dan jika x dan y naik sekecil x dan y, kenaikan x juga akan relatif kecil. Jika diuraikan z dalam pangkat x dan y, diperoleh:
𝛿𝑧 = 𝐴𝛿𝑥 + 𝐵𝛿𝑦 + pangkat x dan y yang lebih tinggi
Dimana A dan B merupakan fungsi x dan y
Pertambahan Kecil
Jika y tetap konstan, sehingga y=0 maka:
𝛿𝑧 = 𝐴𝛿𝑥 + 𝛿𝑥 pangkat yang lebih tinggi
𝜕𝑧
𝜕𝑥= 𝐴. Sehingga jika x 0, persamaan ini menjadi 𝐴 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
Serupa dengan itu, jika x tetap konstan, dengan membuat 𝛿𝑦 0 akan
diperoleh 𝐵 =𝜕𝑧
𝜕𝑦
δ𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝛿𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝛿𝑦+ kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih
tinggi yang dapat diabaikan
Pertambahan Kecil
δ𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝛿𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝛿𝑦+ kuantitas yang sangat kecil berpangkat yang lebih tinggi
yang dapat diabaikan
δ𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝛿𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝛿𝑦
Jadi jika, z=f(x,y)
δ𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝛿𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝛿𝑦
Serupa pula untuk fungsi dengan tiga variabel z=f(x,y,w)
δ𝑧 =𝜕𝑧
𝜕𝑥𝛿𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦𝛿𝑦 +
𝜕𝑧
𝜕𝑤𝛿𝑤
Contoh - 8
Jika 𝐼 =𝑉
𝑅, dan V = 250 volt dan R = 50 ohm, carilah perubahan I yang
terjadi akibat kenaikan V sebesar 1 volt dan kenaikan R sebesar 0,5 ohm
Jawaban:
I=f(V,R) 𝛿𝐼 =𝜕𝐼
𝜕𝑉𝛿𝑉 +
𝜕𝐼
𝜕𝑅𝛿𝑅
𝜕𝐼
𝜕𝑉=1
𝑅𝑑𝑎𝑛
𝜕𝐼
𝜕𝑉= −
𝑉
𝑅2
𝛿𝐼 =𝐼
𝑅𝛿𝑉 −
𝑉
𝑅2𝛿𝑅
Contoh - 8
Jadi jika R = 50, V = 250, V = 1, dan R = 0,5
𝛿𝐼 =1
501 −
250
2500(0,5)
𝛿𝐼 =1
50−
1
20𝛿𝐼 = 0,02 − 0,05 = −0,03
Artinya I turun sebesar 0,03 ampere