Retas e Planos no Espaço
Geometria de PosiçãoCapítulo 1
LIVRO 4
MATEMÁTICA
A
B
C
r
s
t
αααα
ββββ
GEOMETRIA DE POSIÇÃO
Existem: ponto, reta e plano
Numa reta, ou fora dela, existem infinitos pontos.
Num plano, ou fora dele, existem infinitos pontos.
POSTULADOS
POSTULADO DA EXISTÊNCIA
POSTULADO DA INCLUSÃO
“ Se dois pontos A e B, distintos de uma reta (r) também pertencem
a um plano (α), então a reta (r) está contida no plano (α).”
ααααA B
r⊂ αr
POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO
... de RETAS
“Dois pontos distintos determinam uma única reta.”
A Br=AB
... de PLANOS
A
B
C
ααααββββ
φφφφ
“Três pontos não colineares determinam um único plano.”
ββββA C
B
Cuidado:
Três pontos podem ser distintos, porém alinhados, determinando infinitos planos.
“Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.”
“Duas retas concorrentes determinam um único plano.”
“Duas retas paralelas distintas determinam um único plano.”
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO PLANO
PARALELAS COINCIDENTES
CONCORRENTES
ααααrtr ==
“todos os pontos de r
são pontos de t”
ααααr
t
P∩r t =P
PARALELAS DISTINTAS
ααααrt
“r e t não possuem
ponto em comum”
Se as retas concorrentes formarem ângulo reto no plano, serão chamadas de
retas perpendiculares.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO ESPAÇO
REVERSAS
Formam ângulo reto no espaço.
rααααPd
t
Retas reversas ortogonais
“ não existe um único plano que contenha ambas ao mesmo tempo ”
Retas reversas não-ortogonais
αααα
r
P
t
d Não formam ângulo reto no espaço.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS NO ESPAÇO
PARALELOS COINCIDENTES
ββββ
αααα
α =α =α =α ===== “todos os pontos de αsão pontos de β”
PARALELOS DISTINTOS
ββββ
αααα
“α e β não possuem ponto comum”
SECANTES (OU CONCORRENTES)
ααααββββ
r
α∩β = r
Se os planos secantes formarem
ângulo reto no espaço, são chamados
de planos perpendiculares.
r
αααα
ββββ
⊥α β
DIEDRO
A intersecção entre dois
planos α e β é a reta r.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS
RETA CONTIDA NO PLANO
ααααr“todos os pontos de r
pertencem a α”
RETA PARALELA AO PLANO
αααα
r“r e α não possuem ponto em comum”
RETA INCIDENTE AO PLANO (CONCORRENTE OU SECANTE)
ααααP
t
αt∩ =P
Se a reta incidente formar ângulo reto com o plano, será denominada reta perpendicular.
ααααP
t
⊥ αt
PARALELISMO
“Uma reta paralela a um plano é paralela com infinitas e reversa com infinitas retas contidas nesse plano.”
αααα
r
ts
u
m n
p
PERPENDICULARISMO
αααα
P
r
“Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a infinitas e ortogonal a infinitas retas contidas nesse plano.”
PROJEÇÃO ORTOGONAL
DE PONTOS NO PLANO
αααα
P
P’
DE SEGMENTOS DE RETA NO PLANO
αααα
A B
A’ B’
A
B
A’ B’
A
B
A’ ≡ B’
resolução
[19. p163] (EXPECEX - SP)Se a reta r é paralela ao plano α, então:
a) Todas as retas de α são paralelas a r.
b) Existem em α retas paralelas a r e retas
reversas a r.
c) Existem em α retas paralelas a r e retas
perpendiculares a r.
d) Todo plano que contém r intercepta α,
segundo uma reta paralela a r.
r
α
Um plano pode conter retas paralelas e/ou retas reversas a
uma reta paralela a ele.
Uma reta incidente e/ou perpendicular a um plano não
pertence a esse plano!
Um plano que contenha r pode
ser paralelo ao plano α.
EXERCÍCIOS
resolução
s
paralelasr e s →→→→
t
perpendicularess e t →
r
x
reversasx e r →
E. (FAAP - SP)A figura abaixo mostra uma porta entreaberta
e o canto de uma sala.
As retas r e s, s e t, x e r têm, respecti-
vamente, as posições relativas:
a) paralelas, paralelas e perpendiculares.
b) paralelas, perpendiculares e reversas.
c) paralelas, perpendiculares e perpendicula-
res.
d) reversas, paralelas e perpendiculares.
e) perpendiculares, reversas e paralelas.
observe que r está contida no
plano α e a reta x é incidente
ao mesmo plano α.
α
resolução[21. p163] (FUVEST - SP)Uma formiga resolveu andar de um vértice a
outro do prisma reto de bases triangulares
ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela
partiu do vértice G, percorreu toda a aresta
perpendicular à base ABC, para em seguida
caminhar toda a diagonal da face ADGC e, fi-
nalmente, completou seu passeio percorrendo
a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao
vértice
a) A b) B c) C d) D e) E
resolução[39. p165] (UNESP - SP)Entre todas as retas suportes das arestas de
um certo cubo, considere duas, r e s,
reversas. Seja t a perpendicular comum a r e
a s. Então,
a) t é a reta suporte de uma das diagonais de
uma das faces do cubo.
b) t é a reta suporte de uma das diagonais do
cubo.
c) t é a reta suporte de uma das arestas do
cubo.
d) t é a reta que passa pelos pontos médios
das arestas contidas em r e s.
e) t é a reta perpendicular a duas faces do
cubo, por seus centros.
r
st
αααα
ββββγγγγ
r
[43. p165] (PUC - SP)
Dois planos, β e γ, cortam-se na reta r e são
perpendiculares a um plano α. Então,
a) β e γ são perpendiculares.
b) r é perpendicular a α.
c) r é paralela a α.
d) todo plano perpendicular a α encontra r.
e) existe uma reta paralela a α e a r.
resolução
[25. p164] (FATEC - SP)
O ponto A pertence à reta r, contida no plano
α. A reta s, perpendicular a α, o intercepta no
ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2√5
cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r
mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então
a distância de A a C, em centímetros, é igual
a:
a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5 αααα
rA
s ⊥⊥⊥⊥ αααα
B
C
2 5
B'5
6
B
2 2 2[AB] =6 +5
61[AB]=
61
222 61 5[AC] = + 22[AC] =61+20
[AC]=9
resolução
A forma de uma projeção ortogonal está
condicionada ao plano onde o objeto será
projetado.
[54. p166] (UFSCAR-SP) Considere um plano
α e um ponto P qualquer no espaço. Se por P
traçarmos a reta perpendicular a α, a
interseção dessa reta com α é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre
α. No caso de uma figura F do espaço, a
projeção ortogonal de F sobre α, é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de
seus pontos.
Com relação a um plano qualquer fixado,
pode-se dizer que:
a) a projeção ortogonal de um segmento de
reta pode resultar numa semi-reta.
b) a projeção ortogonal de uma reta sempre
resulta numa reta.
c) a projeção de uma parábola pode resultar
num segmento de reta.
d) a projeção ortogonal de um triângulo pode
resultar num quadrilátero.
e) a projeção ortogonal de uma circunferência
pode resultar num segmento de reta.
resolução