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Matemática Aplicada
UNIDADE II
RESUMO DE APOSTILA
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Educação a Distância – EaD
Professor: Flávio Brustoloni
Matemática Aplicada
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Cronograma: Turma ADG 0096
Matemática Aplicada
Data Atividade
20/122º Encontro
1ª Avaliação Disciplina
13/12 1º Encontro
24/013º Encontro
2ª Avaliação Disciplina
31/014º Encontro
3ª Avaliação Disciplina (FINAL)
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Unidade 2
A TEORIA DOS JOGOS
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Objetivos da Unidade:
• Compreender os conceitos e definições da teoria dos jogos, conhecer os tipos de jogos, suas operações e suas aplicações;
• Resolver problemas do cotidiano envolvendo a teoria dos jogos;
• Aplicar o conceito da teoria dos jogos em problemas do cotidiano.
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Conceitos e Definições sobre a Teoria dos Jogos
Tópico 1
1/36
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1 Introdução
A teoria dos jogos representa um método para ampliar os dados necessários para uma tomada de decisão. Historicamente,
a teoria dos jogos vem evoluindo e modelos de jogos são aplicados em Administração, Ciências Políticas, Estratégias Militares, Economia,
Engenharia e outras áreas de atuação do homem.
2/36
Tópico 1
Unid. 1
35
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2 Conceitos Básicos
O que é um jogo?
“Um jogo seria uma representação formal que permitiria a análise de
situações em que agentes interagem entre si, agindo racionalmente”.
3/36
Tópico 1
Unid. 1
37
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2 Conceitos Básicos
* Interações: são situações entre vários agentes dentro de uma
determinada situação. Por exemplo, vários vendedores de
eletrodomésticos têm várias estratégias de vendas para atingirem
suas metas.
4/36
Tópico 1
Unid. 1
37
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2 Conceitos Básicos
* Agentes: um agente é qualquer pessoa que participa do jogo, portanto
tem tomada de decisão. Um agente não pode estar ao mesmo tempo nos
dois lados do jogo.
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Tópico 1
Unid. 1
37
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2 Conceitos Básicos
* Racionalidade: os agentes são racionais quando empregam os
métodos adequados aos objetivos que almejam, sejam quais forem estes objetivos. Podemos afirmar que a
racionalidade é fundamental para a melhor compreensão das regras e dos
limites da teoria dos jogos.
6/36
Tópico 1
Unid. 1
37
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2 Conceitos Básicos
* Comportamento Estratégico: partindo-se do princípio de que todos
os jogadores usam estratégias diferentes entre si, a utilização da
racionalidade e do poder de decisão de cada jogador terá influências
decisivas nos resultados dos jogos entre empresas ou instituições.
7/36
Tópico 1
Unid. 1
38
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2 Conceitos BásicosUm exemplo de jogo em Administração:
8/36
Tópico 1
Unid. 1
38
Uma montadora de automóveis está decidindo se reduz o preço de seu modelo de carro com menores vendas. Como em geral há poucas montadoras de automóveis com
participação significativa no mercado, isso significa que sua decisão terá consequências sobre as vendas das empresas que produzem
modelos concorrentes ao seu.
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2 Conceitos Básicos
9/36
Tópico 1
Unid. 1
38
Ela deverá levar isso em consideração, pois sua decisão de reduzir o preço de seu modelo
poderá levar as empresas competidoras a também reduzirem seus preços. Por outro lado,
as outras empresas devem considerar a possibilidade e a empresa em questão reduzir o preço de seu modelo cujas vendas não vão
bem, ao definirem os preços de seus modelos.
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Modelando um Jogo
Tópico 2
10/36
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2 Modelando um Jogo
11/36
Tópico 2
Unid. 1
43
A lógica do processo inicia-se com o conceito de modelo.
Entendemos como modelos determinísticos os modelos sem incerteza. Aqueles em que há trabalhos com causa e
efeito conhecendo as variáveis. Já os probabilísticos envolvem as tendências,
estimativas ou probabilidades que decorrem da Estatística.
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2 Modelando um Jogo
12/36
Tópico 2
Unid. 1
44
Num jogo, sempre temos que ter estratégia e rever posições para tomar
a decisão correta. Para obtermos o melhor resultado possível, devemos
sempre interagir com os demais jogadores para não sermos
surpreendidos.
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2 Modelando um Jogo
13/36
Tópico 2
Unid. 1
44
Temos uma preciosa informação sobre as regras do jogo: “você pode mudar as
regras do jogo. Mas lembre-se: as outras pessoas também podem mudar as regras, não presuma que as suas
regras prevalecerão sempre”.
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2 Modelando um Jogo
14/36
Tópico 2
Unid. 1
44
Duas lojas A e B baixam seus preços abaixo do ponto de equilíbrio a atuam na
faixa de prejuízo (as duas lojas). Está estabelecido o paradigma perde-perde,
pois as duas perderão nesta promoção. No entanto, a falta de habilidade na
negociação pode prejudicar a continuidade dos negócios no futuro. O objetivo de
qualquer negócio é o lucro e não o prejuízo.
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O Jogo e suas Variáveis
Tópico 3
15/36
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2 Introdução à Probabilidade
16/36
Tópico 3
Unid. 1
51
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo
repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados
imprevisíveis.Ex.: Analisar a duração de vida de
uma lâmpada.
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2 Introdução à Probabilidade
17/36
Tópico 3
Unid. 1
52
Para cada experimento aleatório E, definimos o espaço amostral S, o
conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.
Evento é o conjunto de resultados de um experimento. Em particular, é um subconjunto do espaço amostral S. É representado por letras maiúsculas do
nosso alfabeto.
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2 Introdução à Probabilidade
18/36
Tópico 3
Unid. 1
52
A probabilidade P de um acontecimento A, é igual ao quociente
entre o número de casos deste acontecimento n (A) e o universo
total de casos possíveis n (T).
P = n(A) / n(T)
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3 Leis da Probabilidade
19/36
Tópico 3
Unid. 1
52
Há duas categorias de combinação:
• “ambos” implica P(A e B) P (A,B) (multiplicação)
• “um ou outro” implica P(A ou B) P (A + B) (adição)
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3 Leis da Probabilidade
20/36
Tópico 3
Unid. 1
52
Entendemos por probabilidade a razão entre o número possível de
possibilidades de um fato acontecer (nA) e o número total de
possibilidades (nT).
P = n(A) / n(T)
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3 Leis da ProbabilidadeExemplos
21/36
Tópico 3
Unid. 1
52
1) Uma caixa contém 8 parafusos dos quais 3 são defeituosos. Retirado um parafuso, qual a probabilidade do mesmo:
a) ser defeituoso? P = 3/8 = 0,375 (37,5%)b) não ser defeituoso? P = 5/8 = 0,625 (62,5%)
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22/36
Tópico 3
Unid. 1
53
2) Uma caixa contém 9 fichas, sendo 5 delas do tipo A. Retirada uma ficha, qual a probabilidade desta:
a) ser do tipo A? P = 5/9 = 0,555 (55,5%)b) não ser do tipo A? P = 4/9 = 0,444 (44,4%)
3 Leis da ProbabilidadeExemplos
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23/36
Tópico 3
Unid. 1
53
3) Numa empresa há 6 contadores, 8 engenheiros e 6 administradores.
Fazendo-se um par de profissionais, qual a probabilidade de:
3 Leis da ProbabilidadeExemplos
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24/36
Tópico 3
Unid. 1
53
a) Ambos serem engenheiros?
3 Leis da ProbabilidadeExemplos
p (E,E) = 8 / 20 . 7/19 = 56/380 = 0,147 (14,7%)
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25/36
Tópico 3
Unid. 1
53
b) Um ser contador e outro administrador?
3 Leis da ProbabilidadeExemplos
p (C,A) = 6 / 20 . 6 / 19 = 36/380 = 0,094 (9,4%)
![Page 31: Matemática Aplicada UNIDADE II RESUMO DE APOSTILA](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061513/552fc13d497959413d8dd299/html5/thumbnails/31.jpg)
26/36
Tópico 3
Unid. 1
53
c) Um ser contador e outro engenheiro?
3 Leis da ProbabilidadeExemplos
p (C,A) = 6 / 20 . 8 / 19 = 48/380 = 0,126 (12,6%)
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4 Variáveis Aleatórias Discretas
27/36
Tópico 3
Unid. 1
54
Suponha que as notas obtidas em um exame com a participação de 10 pessoas
foram:
50, 60, 60, 70, 70, 90, 100, 100, 100, 100
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4 Variáveis Aleatórias Discretas
28/36
Tópico 3
Unid. 1
54
Primeiro vamos calcular a média das notas:
Média = (50.1 + 60.2 + 70.2 + 90.1 + 100.4)/10Média = 800/10 = 80 = E(x)
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4 Variáveis Aleatórias Discretas
29/36
Tópico 3
Unid. 1
54
De forma similar, definimos a variância de uma tabela de probabilidades como sendo a soma
ponderada dos quadrados das diferenças entre cada resultado e o valor esperado (média). Isto é, se m denota o valor esperado, então para se ter
uma ideia de como as notas se distribuem, podemos calcular a diferença entre cada nota e a
média das notas.
![Page 35: Matemática Aplicada UNIDADE II RESUMO DE APOSTILA](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061513/552fc13d497959413d8dd299/html5/thumbnails/35.jpg)
4 Variáveis Aleatórias Discretas
30/36
Tópico 3
Unid. 1
54
50 – 80 = (-30) | 60 – 80 = (-20) | 70 – 80 = (-10) | 100 – 80 = 20
Portanto a variância será:
[(-30)2.1 + (-20)2.2 + (-10)2.2 + (10)2.1 + (20)2.4] / 10 = 320
A raiz quadrada da variância será o desvio padrão da distribuição de notas:
Desvio padrão = √320 = 17,89
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4 Variáveis Aleatórias Discretas
31/36
Tópico 3
Unid. 1
55
Exemplo1: Uma possível aposta no jogo de roleta consiste em apostar U$ 1 no “vermelho”. Os dois possíveis resultados são: “perde U$ 1”
e “ganha U$ 1”. Estes são os resultados e suas probabilidades. (Observação: uma roleta em Las Vegas tem 18 números vermelhos, 18
números pretos e dois números verdes). Calcule o valor esperado e a variância do
“ganho”.
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Tópico 3
Unid. 1
55Roleta em Las Vegas
![Page 38: Matemática Aplicada UNIDADE II RESUMO DE APOSTILA](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061513/552fc13d497959413d8dd299/html5/thumbnails/38.jpg)
4 Variáveis Aleatórias Discretas
33/36
Tópico 3
Unid. 1
55
E(x) = (-1) .20 / 38 + 1. 18/38 = -0,0526
1ª Possibilidade: Perder 20 (18 pretos + 2 verdes) sobre total (38 posições)
Apostar U$ 1 no vermelho.
2ª Possibilidade: Ganhar 18 (18 vermelhos) sobre total (38 posições)
Conclusão: poderemos ganhar e perder nas apostas, mas a longo prazo perderemos 0,0526 de dólar a cada aposta.
![Page 39: Matemática Aplicada UNIDADE II RESUMO DE APOSTILA](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061513/552fc13d497959413d8dd299/html5/thumbnails/39.jpg)
4 Variáveis Aleatórias Discretas4.1 As Partes da Estratégia
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Tópico 3
Unid. 1
62
Como mudar o jogo? As maiores oportunidades e os maiores ganhos reais
ocorrem quando se joga o jogo certo.As partes, não se separam do todo. Quando o
autor fala em partes, está falando em interações, agentes, racionalidade,
comportamento estratégico entre outros elementos que compõem um jogo.
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4 Variáveis Aleatórias Discretas4.1 As Partes da Estratégia
35/36
Tópico 3
Unid. 1
63
Exemplo: “Trazendo fregueses”:
1. Eduque o mercado.2. Pague os fregueses para jogarem.3. Subsidie alguns fregueses, e outros fregueses pagantes se seguirão.4. Experimente você mesmo. Torne-se seu próprio freguês a fim de expandir o mercado, garantir a demanda e alcançar a escala.”
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4 Variáveis Aleatórias Discretas4.1 As Partes da Estratégia
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Tópico 3
Unid. 1
63
Exemplo: “Trazendo fornecedores”:
1. Pague-os para jogarem.2. Forme uma coligação de compra para tornar-se um comprador maior.3. Experimente você mesmo: torne-se seu próprio fornecedor para garantir o suprimento e ficar mais competitivo.
![Page 42: Matemática Aplicada UNIDADE II RESUMO DE APOSTILA](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061513/552fc13d497959413d8dd299/html5/thumbnails/42.jpg)
Parabéns!!! Terminamos a Unidade.
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PRÓXIMA AULA:
Matemática Aplicada
3º Encontro da Disciplina2ª Avaliação da Disciplina
(10 Questões objetivas – SEM CONSULTA)