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Matemática aplicada
Prof.: Augusto Junior
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Conteúdo programático• Definição e Operações com conjuntos• Regra de três (Simples e Composta)• Unidade de Medida• Porcentagem• Figuras planas, áreas e volumes dos principais
sólidos• Polinômios• Estudo das funções• Função Quadrática e outras funções• Progressões• Matrizes• Probabilidade
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Definição e Operações com Conjuntos
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A noção de Conjunto
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.
Exemplos:
•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste: C = {Goiás, Mato Grosso, Mato
Grosso do Sul e Distrito Federal}
•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}
•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros}
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Igualdade de conjuntosDois conjuntos A e B são considerados iguais quando tem a mesma quantidade de elementos e esses elementos são os mesmos.Em termos de símbolos, temos:Sendo A = B , temos que se x A x B.
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Universo de Referência
Quando falamos de um conjunto, é necessário especificar um universo de referência (conjunto universo - U). Mesmo quando um conjunto é definido pelos elementos que ele contém, esses elementos não podem ser arbitrários.
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Operações sobre conjuntos
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Operações sobre conjuntosOperações sobre conjuntos nos permitem construir
novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do mesmo modo que conectivos lógicos nos permitem construir novas fórmulas a partir de fórmulas mais simples.
Dados conjuntos A e B, definimos novos conjuntos por:– União ()– Interseção ()– Diferença (– Complemento (“—”)
obtendo A B, A B, A -B eA .
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Operações entre conjuntosUnião ( ): Sendo A e B dois conjuntos não vazios,definimos a união de A com B da seguinte maneira: Exemplo:Considere A = { 1, 2, 3, 5 } e B = { 0, 4, 5 }, então podemos dizer que:
}BxouAx/x{BA
}5,4,3,2,1,0{BA
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UniãoA B = { x | x A ou x B }
A B
U
AB
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Intersecção ( ): Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos a intersecção de A com B da seguinte forma:
A intersecção é formada por elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A e B.Exemplo: Considerando os conjuntos A e B tais que A = { -1, 0 , 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 6 }, podemos dizer que:
}BxeAx/x{BA
}4,3,2{BA
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InterseçãoA B = { x | x A e x B }
A B
U
A B
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Diferença ( - ): São aqueles elementos que são exclusivos de um determinado conjunto. Sendo A e B dois conjuntos não vazios, definimos a diferença entre A e B da seguinte forma:
Exemplo: Considerando A = { 0,1, 2, 4, 6 } e B = { 1, 3, 4, 5, 7 }, temos que:A – B = { 0, 2, 6 } e B – A = { 3, 5, 7 }
{ / }A B x x A e x B
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Diferença entre conjuntos
AB = { x | x A e x B }
A
B
U
AB
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Propriedades das operações:
I)II)III) IV) = V) = VI) =VII) =
A A AA A AA AA
A AA A
A
VIII) qdo IX)X) A
A B B AA B
A B B AA B B
Onde A e B são considerados conjuntos quaisquer e não vazios.
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Complemento
Dado um conjunto A, subconjunto de um certo conjunto Universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A.
{ / }C AUA A C x x U e x A U A
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Complemento
A
U
A
{ / }A x x U e x A U A
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Exercícios:1)Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o
resultado de cada uma das operações a seguir.A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 0,1, 3, 6, 7 } e C = { -1, 0, 3, 4 }.
)CB(A)eCA)dBA)c
CBA)bCBA)a
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2) Lembrando da definição das operações entre conjuntos, determine em cada um dos desenhos abaixo, qual é a região correspondente à operação indicada:
)CB(A
)CB(A
A
B
C
A
B
C
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3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x é natural e x < 10 }, determine então o conjunto resultante de cada operação abaixo:
))))) ( ))
a A Bb B Ac A Bd A Be A B Af A
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É correto afirmar que:
( )
(Lei de DeMorgan)
A B A A B
A B A B
A B A B
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Identidades via Venn
Muitas vezes é mais simples entender essas identidades por meio de Diagramas de Venn-Euler. Por exemplo, a Lei de DeMorgan:
pode ser visualizada do seguinte modo:
BABA
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DeMorgan Visual
A:
B:
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DeMorgan Visual
A: B:
AB :
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DeMorgan Visual
A: B:
AB :
:BA
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DeMorgan Visual
A:
B:
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DeMorgan Visual
A: B:
A: B:
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DeMorgan Visual
A: B:
A: B:
:BA
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DeMorgan Visual
= BA
BA
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Conjuntos Numéricos I) Conjunto do conjuntos NaturaisN = {0, 1, 2, 3, 4...}N* = {1, 2, 3, 4...}
II) Conjunto dos números InteirosZ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}Z* = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...}
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Conjuntos NuméricosIII) Conjunto dos números Racionais
ou seja números que podem ser escritos em forma de fração.
IV) Conjunto dos números IrracionaisNúmero irracional é um número que NÃO pode ser
representado em forma de fração.
{ / ; *}px x p e qq
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Conjuntos Numéricos
V) Conjunto dos números Reais
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Importante:
/
PertenceNão PertenceTal queEstá ContidoNão Está ContidoContémNão ContémPara Todo
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Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados:-510 famílias assistem ao programa A;-305 assistem ao programa B;-386 assistem ao programa C;-180 assistem aos programas A e B;-60 assistem aos programas B e C;-25 assistem aos programas A e C;-10 assistem aos três programas.
Exercícios
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a. Quantas famílias assistem A ou B ou C?b. Quantas famílias não assistem nenhum desses
programas?c. Quantas famílias assistem somente ao
programa A?d. Quantas famílias assistem somente ao
programa B?e. Quantas famílias não assistem nem ao
programa A nem ao programa B?
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Exercício Resolvidoa. Quantas famílias assistem A ou B ou C? b. Quantas famílias não assistem nenhum desses programas?c. Quantas famílias assistem somente ao programa A? d. Quantas famílias assistem somente ao programa B?e. Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?
1015 50
170315
75
311
AA BB
CC
311+54=365
A=510B=305C=386A e B=180B e C= 60A e C= 25A, B e C= 10Total de famílias Total de famílias entrevistadas= entrevistadas= 10001000
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Exercícios
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Unidades de Medida
Conversões
L5 38
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Grandeza
• É tudo aquilo que podemos comparar com um padrão–Comprimento, massa, peso, tempo,
temperatura...
L5 39
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Sistema de medidas
• Os padrões utilizados para comparação degrandezas devem ser os mesmos, emqualquer situação.• Um metro deve ter o mesmo comprimentoem qualquer lugar do mundo;• Um segundo deve ter a mesma duração;• Um quilograma deve ter a mesma massa...
L5 40
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Sistema de medidasUnidades básicas do (SI)
L5 41
Grandeza Unidade SímboloComprimento Metro m
Tempo Segundo s
Massa Quilograma Kg
Volume Litro l ou L
Temperatura Kelvin K
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L5 42
Sistema de medidasUnidades Suplementares do (SI)
Grandeza Unidade Símbolo
Ângulo Radiano rad
Energia Joule J
Carga elétrica Coulomb C
Força Newton N
Frequência Hertz Hz
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L5 43
Sistema de medidasUnidades Derivadas do (SI)
Grandeza Unidade Símbolo
Velocidade metros por segundo m/s
Aceleração metros por segundo ao quadrado m/s²
Pressão Newton por metro quadrado N/m²
Impulso Newton por segundo N/s
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Prefi
xo d
as u
nida
des
L5 44
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Sistema Inglês de Unidades
L5 45
Grandeza Unidade Símbolo Equivalência
Comprimento Polegada in 0,0254m = 2,54cm
Comprimento Pé ft 12in = 0,3048m = 30,48cm
Comprimento Jarda jd 3ft = 0,9144m = 91,44cm
Comprimento Milha mi 1,609km = 1609m
Volume Galão gal 3,79L
Volume Barril - 158,99L
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Curiosidades• A velocidade da luz, no vácuo, é de 300.000
km/s• O Ano-luz (lv) não é uma unidade do SI
– Distância percorrida pela luz em um ano, no vácuo, e em linha reta.
– Equivale a três milhões de quilômetros!!!(1 lv = 3.000.000 km)
L5 46
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Exercício de fixação
L5 47
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Razão, Proporção, Porcentagem e Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
L5 48
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Razão
É a divisão de dois números
5 120 4
12
2 110 5
De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática
Um dia de sol, para cada dois de chuva
De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos
RazãoComparação
3 ou 3:55
4,5 ou 4,5:22
AntecedentAntecedentee
ConsequentConsequentee
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Exemplo - Razão
A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias.Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de fatias do João?
Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).
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Exercícios – Razão
1. A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?
2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?
3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
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Proporção
É a igualdade entre duas razões
dc
ba
ou ( a : b = c : d )
lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”
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Proporção
dc
ba
MeiosExtremos
( a : b = c : d )
Meios
Extremos
Propriedade Fundamental: O produto dos meios é igual ao produto dos
extremos
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Exemplo - ProporçãoNuma escola a proporção entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16 para 2.Sabendo que o número total de funcionários é de 108, quantos professores e quantos auxiliares existem na escola?
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Exercícios - Proporção1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem
um problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa?
2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.
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Porcentagem
Forma Percentual
Forma Unitária
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Exercícios – Calcule:
1) 10% de 29 + 4,2% de 172) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,73) 0,4% de 125 + 16% de 234,254) 4% de 1.439,25 + 30% de 17.4325) 45% de 208 – 15% de 23 + 80% de 12
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Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas variáveis são diretamente diretamente proporcionaisproporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão.
x y ou x y
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ExemploGrandezas Diretamente Proporcionais
Num supermercado comum:1 pacote de biscoito = R$ 2,002 pacotes de biscoito = R$ 4,003 pacotes de biscoito = R$ 6,004 pacotes de biscoito = R$ 8,005 pacotes de biscoito = R$ 10,00
Quantidade e gasto são grandezas diretamente Quantidade e gasto são grandezas diretamente proporcionaisproporcionais
Quando aumento a quantidade, aumento o gastoQuando aumento a quantidade, aumento o gasto
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Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.
x y ou x y
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ExemploGrandezas Inversamente Proporcionais
Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:1 hora rodando a 120 km/h2 horas rodando a 60 km/h3 horas rodando a 40 km/h4 horas rodando a 30 km/h6 horas rodando a 20 km/h
Velocidade e tempo são grandezas inversamente Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionaisproporcionais
Quando aumento a velocidade, diminuo o tempoQuando aumento a velocidade, diminuo o tempo
![Page 62: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/62.jpg)
Regra de Três
Simples e Composta
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Regra de três simples
• Processo prático para resolver problemas que envolvam 4 valores, de duas variáveis diferentes, onde conhecemos 3 desses valores.
• Determinação do valor que falta, tendo como base os 3 já conhecidos.
L5 63
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Regra de trêsPassos utilizados no cálculo
1. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência;
2. Identificar se as grandezas são DIRETAMENTE ou INVERSAMENTE proporcionais;
3. Montar a proporção e resolver a equação.
L5 64
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Exemplo 1
• Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?
L5 65
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Exemplo 1: ResoluçãoIdentificação do tipo de relação
L5 66
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Exemplo 1: Resolução
• Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
• Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
L5 67
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• Como as palavras correspondem aumentando - aumenta Podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais.• Assim sendo, colocamos uma outra seta no
mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. • Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
L5 68
Exemplo 1: Resolução
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L5 69
Exemplo 1: Resolução
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Exemplo 2
• Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
L5 70
![Page 71: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/71.jpg)
Exemplo 2: Resolução
L5 71
![Page 72: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/72.jpg)
Exemplo 2: Resolução• Aumentando a velocidade, o tempo do percurso
diminui.• Como as palavras são contrárias aumentando – diminui Podemos afirmar que as grandezas são
inversamente proporcionais. • Assim sendo, colocamos uma outra seta no
sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. • Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:L5 72
![Page 73: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/73.jpg)
Exemplo 2: Resolução
L5 73
![Page 74: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/74.jpg)
Exercícios de Fixação1. Bianca comprou 3 camisetas e pagou
R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
2. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
L5 74
![Page 75: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/75.jpg)
Regra de três composta
• Utilizada em problemas que envolvem mais de 2 grandezas.– Sejam elas diretamente ou inversamente
proporcionais.
L5 75
![Page 76: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/76.jpg)
Exemplo 1
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?L5 76
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Exemplo 1: Resolução
• Colocamos uma seta para baixo na coluna que tem o “x”
L5 77
![Page 78: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplo 1: Resolução• Observe que:
– Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
– Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
• Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
L5 78
![Page 79: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/79.jpg)
Exemplo 1: Resolução
L5 79
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Exemplo 2
Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
L5 80
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Exemplo 2: Resolução1. Colocaremos a seta para baixo na coluna em que
estiver a grandeza que queremos saber valor (“x”);
2. Observamos que:1. Aumentando o número de homens, a produção de
carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
2. Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
3. Igualamos a razão que contém o termo “x” com o produto das outras razões.
L5 81
![Page 82: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/82.jpg)
Exemplo 2: Resolução
Temos que:
L5 82
Homens Carrinhos Dias
8 20 54 x 16
![Page 83: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/83.jpg)
Exercícios de Fixação1. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro
com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
2. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?
3. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
L5 83
![Page 84: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/84.jpg)
1. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?
2. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?
3. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?
L5 84
Exercícios de Fixação
![Page 85: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/85.jpg)
Respostas
1. 12 dias2. 6 horas3. 35 dias4. 15 dias
5. 10 horas por dia6. 2025 metros
L5 85
![Page 86: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/86.jpg)
Área e Volume de Sólidos• Sólidos são conjuntos de pontos cujas posições
relativas são invariáveis, com os quais construímos símbolos das mesmas formas.
• Todos os sólidos geométricos são tridimensionais, ou seja, têm comprimento, altura e largura.
• Exemplos:– Cubo;– Pirâmide;– Paralelepípedo;– Esfera.L5 86
![Page 87: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/87.jpg)
Classificação dos Sólidos
• Poliedros:– Limitados por superfícies planas.
• Paralelepípedo retângulo;• Octaedro;
• Não-poliedros:– Limitados por superfícies curvas ou superfícies
planas e curvas, simultaneamente.• Cone;• Esfera.
L5 87
![Page 88: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/88.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
RETÂNGULO
a
b
Área = a . b
“A área do retângulo é dada pela multiplicação do comprimento a pela altura b.”
Observe:
a
b
No exemplo abaixo temos um retângulo com 5 unidades de comprimento por 3 unidades de altura. Vamos aplicar a fórmula.
Área = 5 . 3 = 15 unidades²
![Page 89: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/89.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
QUADRADO
a
a
Área = a . a
“A área do quadrado é dada pela multiplicação de lado vezes lado.”No exemplo abaixo temos um quadrado com medida de 3 unidades por 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula.
Observe:
Área = 3 . 3 = 9 unidades²
a
a
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ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
a
h
TRIÂNGULO “A área do triângulo é dada pela multiplicação da medida da base a pela medida da altura h, dividido por 2”.No exemplo a seguir, temos um triângulo com base de medida 8 unidades e altura de medida 4 unidades. Vamos aplicar a fórmula.
Área = a .h2
![Page 91: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/91.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Área =8.42
Observe:
a
Área =322
=16
Área = 16 unidades²
h
Área =a .h2
![Page 92: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/92.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Você sabe por que dividimos por 2 após multiplicarmos a medida da base do triângulo pela medida da sua altura, para obtermos a medida de sua área?Se dividirmos um quadrilátero pela sua diagonal, obteremos 2 (dois) triângulos, por esta causa dividimos por dois, caso contrário estaríamos calculando a área de um quadrilátero.
Observe:Compreendeu o por que da divisão por 2, no cálculo da área do Triângulo?
![Page 93: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/93.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
PARALELOGRAMO
Área = a . ha
b hbb“A área do paralelogramo é obtida através da multiplicação do comprimento a, pela altura h.”
No exemplo a seguir, temos um paralelogramo com comprimento a = 5 unidades e altura h = 3 unidadess. Vamos aplicar a fórmula.
![Page 94: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/94.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
h
Observe:
b
a
Área = 5 . 3
Área = 15
Área = 15 unidades²
Área = a . h
![Page 95: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/95.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
(B+b ) .h2
b
B
c d
TRAPÉZIO
Área =
h
“A área do trapézio é obtida adicionando a base B (maior), com a base b (menor), multiplicada pela altura h e dividido por 2 (dois).
No exemplo a seguir, temos um trapézio com B = 7 unidades, b = 3 unidades e altura h = 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula.
![Page 96: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/96.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
(B+b ) .h2
h
b
B
(7+3 ) . 32
Área =(10 ) . 3
2Área = 302
=15Área =
Observe:
Área = 15 unidades²
Área =
![Page 97: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/97.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
d
D
a
a
a
a
D . d2
Área =
LOSANGO“A área do losango é obtida multiplicando a diagonal D (maior), pela diagonal d (menor), dividido por 2 (dois).
No exemplo a seguir temos um losango com medida D = 12 e medida d = 4. Vamos aplicar a fórmula.
![Page 98: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/98.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
dD
12. 42
Área = 482
=24Área =
Área = 24 unidades²
D . d2
Área =Observe:
![Page 99: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/99.jpg)
ÁREA ÁREA DE FIGURAS PLANAS
CÍRCULO
r
Área = π . r²
“A área do círculo é obtida multiplicando o valor do π (Pi = 3,14), pela medida do raio.
No exemplo a seguir, temos uma circunferência com raio de medida r = 4. Vamos aplicar a fórmula.
Área = 3,14 . 4² Área = 3,14 . 16
Área =50,24u²
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VOLUME UNIDADES DE VOLUME
a
aa
CUBO
Volume = a . a . aVolume = a³
“A medida do volume de um cubo é obtida multiplicando suas arestas por si mesma 3 vezes.”
No exemplo a seguir, temos um cubo de arestas medindo 4 unidades. Vamos aplicar a fórmula.
4
44
Volume = 4 . 4 . 4Volume = 64 unidades³
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VOLUME UNIDADES DE VOLUME
a b
c
PARALELEPÍPEDO
Volume = a . b . c
“A medida do volume de um paralelepípedo é obtida multiplicando-se a medida do comprimento a, pela medida da largura b, pela altura c.”
5 2
3
No exemplo a seguir, temos um paralelepípedo de comprimento 5 unidades, largura 2 unidades e altura 3 unidades. Vamos aplicar a fórmula.Volume = 5 . 2 . 3
Volume = 15 unidades³
![Page 102: Matemática aplicada aula01](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081502/5885a1111a28abd2498b702d/html5/thumbnails/102.jpg)
VOLUME UNIDADES DE VOLUME
ESFERA
Volume =
“A medida do volume de uma esfera é igual a quatro terços do produto de π ( Pi ) = 3,14, pelo cubo da medida do raio.”r
43
3,14 . 2³
No exemplo a seguir, temos uma esfera de raio r = 2 unidades. Vamos aplicar a fórmula.
2Volume = 4
33,14 . 8
Volume = 100,483
Volume = 34,5 u³
Volume = 43
π . r³
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VOLUME UNIDADES DE VOLUME
CILINDRO
Volume = π . r² . h
“A medida do volume é dado através da multiplicação da área da base no formato circular, pela medida da altura.” π ( Pi ) = 3,14.
r Área da base = π . r² h
24
No exemplo a seguir, temos um cilindro de altura 4 unidades e raio da base 2 unidades. Vamos aplicar a fórmula.
Volume = 3,14 . 2² . 4Volume = 3,14 . 4 . 4
Volume = 50,24 u³