![Page 1: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/1.jpg)
MAT140 - Calculo I
6 de novembro de 2015
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 2: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/2.jpg)
Considere a ilustracao abaixo
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 3: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/3.jpg)
Sejam f uma funcao derivavel em x = c e r a reta tangente ao grafico
de f no ponto de abscissa x = c . Note que a concavidade do grafico de f
esta voltada para cima e a reta tangente esta localizada abaixo do grafico
da funcao f para qualquer x pertencente a um intervalo aberto contendo
c .
A equacao da reta tangente e dada por
y = f ′(c)(x − c) + f (c)
= f ′(c)x + [f (c)− cf ′(c)]
Isso nos motiva a seguinte definicao:
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 4: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/4.jpg)
Definicao
Seja f uma funcao derivavel em um ponto c de seu domınio. O grafico
de f e concavo para cima em c se existir um intervalo aberto
I ⊂ Dom(f ) contendo c tal que
f (x) > f ′(c)(x − c) + f (c), para todo x ∈ I \ {c}.
Geometricamente, o grafico de uma funcao f e concavo para cima em
um ponto c se a reta tangente em c esta localizada abaixo do grafico da
funcao em uma vizinhanca do ponto c .
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 5: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/5.jpg)
De maneira analoga, define-se concavidade para baixo
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 6: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/6.jpg)
Definicao
Seja f uma funcao derivavel em um ponto c de seu domınio. O grafico
de f e concavo para baixo em c se existir um intervalo aberto
I ⊂ Dom(f ) contendo c tal que
f (x) < f ′(c)(x − c) + f (c), para todo x ∈ I \ {c}.
Geometricamente, o grafico de uma funcao f e concavo para baixo em
um ponto c se a reta tangente em c esta localizada acima do grafico da
funcao em uma vizinhanca do ponto c .
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 7: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/7.jpg)
Exemplo
Sejam f , g : R→ R definidas por
f (x) = x2 e g(x) = −x2.
O grafico de f e concavo para cima em x = 0 e o grafico de g e cocavo
para baixo em x = 0. De fato, a equacao da reta tangente ao grafico de
f e g e dada por y = 0. Alem disso,
f (x) > y = 0, x ∈ R \ {0}
e
g(x) < y = 0, x ∈ R \ {0}
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 8: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/8.jpg)
Figura: Grafico Concavo para Baixo
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 9: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/9.jpg)
Figura: Grafico Concavo para Cima
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 10: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/10.jpg)
Verificar que o grafico de uma funcao e concavo para baixo ou para cima em
determinado ponto pode ser extremamente difıcil e trabalhoso utilizando
apenas a definicao.
Apresentaremos um resultado que estabelece uma relacao entre a
concavidade do grafico de uma funcao com o sinal da segunda derivada
da mesma, desde que esta satisfaca certas condicoes.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 11: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema
Seja f uma funcao diferenciavel em algum intervalo aberto contendo c.
Entao
(i) Se f ′′(c) > 0, o grafico de f e concavo para cima em (c , f (c));
(ii) Se f ′′(c) < 0, o grafico de f e concavo para baixo em (c , f (c)).
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 12: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/12.jpg)
Exemplo
Seja f : R→ R dada por f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1. Determinaremos os
intervalos onde o grafico de f e concavo para baixo e intervalos onde e
concavo para cima.
Como f e derivavel em todos os pontos do seu domınio, basta estudar o
sinal da segunda derivada. Uma vez que
f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
f ′′(x) = 6x − 12,
segue que f ′′(x) > 0 se, e somente se, 6x − 12 > 0, ou seja, x > 2 e
f ′′(x) < 0 se, e somente se, x < 2. Desta forma, o grafico de f e concavo
para cima no intervalo (2,+∞) e e concavo para baixo no intervalo
(−∞, 2).
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 13: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/13.jpg)
Figura: Grafico da funcao f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 14: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/14.jpg)
Exemplo
Seja f : R→ R dada por f (x) = e−x2
2 . Esta funcao e a composicao de
duas funcoes derivaveis. Assim, f e derivavel. Daı, para estudar a
concavidade do grafico de f , basta analisar o sinal da segunda derivada.
f ′(x) = −xe−x2
2
f ′′(x) = −(e−x2
2 − x2e−x2
2 ) = (x2 − 1)e−x2
2 .
Uma vex que e−x2
2 > 0 para todo x ∈ R, o sinal de f ′′(x) coincide com o
sinal de g(x) = x2 − 1 cujo grafico ja conhecemos e sabemos estudar o
seu sinal.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 15: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/15.jpg)
Exemplo
Assim,
f ′′(x) > 0 para x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
e
f ′′(x) < 0 para x ∈ (−1, 1).
Logo, o grafico de f e concavo para cima em (−∞,−1) ∪ (1,∞) e
concavo para baixo em (−1, 1).
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 16: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/16.jpg)
Figura: Grafico da funcao f (x) = e−x2/2.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 17: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/17.jpg)
Definicao
Diremos que o ponto (c , f (c)) e um ponto de inflexao do grafico da
funcao f se existir reta tangente neste ponto e existir um intervalo aberto
I contendo c , tal que se x ∈ I , entao
(i) Se f ′′(x) < 0 se x < c e f ′′(x) > 0 se x > c , ou
(ii) Se f ′′(x) > 0 se x < c e f ′′(x) < 0 se x > c .
Desta forma, um ponto (c , f (c)) e ponto de inflexao se existe reta tangente
neste ponto e o grafico de f troca de concavidade neste ponto.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 18: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/18.jpg)
Exemplo
Seja h : R→ R funcao definida por{4− x2 se x ≤ 1
2 + x2 se x > 1.
A funcao h e contınua em x = 1, mas nao e derivavel em x = 1.
(Verifique!) Observe que
h′′(x) = −2 < 0, para x < 1
e
h′′(x) = 2 > 0, para x > 1.
Apesar do grafico mudar de concavidade no ponto de abscissa x = 1,
este ponto nao e de inflexao uma vez que nao existe reta tangente neste
ponto.MAT140 - Calculo I UFV
![Page 19: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/19.jpg)
Figura: Grafico da funcao h.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 20: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/20.jpg)
Exemplo
Seja f : R→ R dada por f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1. Vimos anteriormente
que o grafico de f
e concavo para cima no intervalo (2,+∞) e
e concavo para baixo no intervalo (−∞, 2).
Alem disso, existe reta tangente ao grafico da funcao no ponto de
abscissa x = 2, visto que a mesma e derivavel neste ponto. Logo, o
ponto (2, 3) e um ponto de inflexao.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 21: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/21.jpg)
Figura: O ponto (2, 3) e um ponto de inflexao.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 22: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/22.jpg)
Exemplo
Seja f : R→ R dada por f (x) = e−x2
2 . Vimos anteriormente que o
grafico de f
e concavo para cima em (−∞,−1) ∪ (1,∞) e
e concavo para baixo em (−1, 1).
Como a funcao e derivavel nos pontos de abscissa x = −1 e x = 1 e o
grafico de f muda de concavidade nestes pontos, temos que os mesmos
sao pontos de inflexao.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 23: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/23.jpg)
Figura: Os pontos (−1, e−1/2) e (1, e−1/2) sao pontos de inflexao.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 24: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/24.jpg)
Teorema
Seja f uma funcao derivavel em um intervalo contendo c . Se (c , f (c)) for
um ponto de inflexao do grafico de f e se f ′′(c) existe, entao f ′′(c) = 0.
Observacao
A recıproca do teorema nao e verdadeira, ou seja, se f ′′(c) = 0, nao
temos necessariamente que (c , f (c)) e ponto de inflexao.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 25: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplo
Seja f : R→ R definida por f (x) = x4. Observe que f ′′(x) = 12x2.
Desta forma, f ′′(x) = 0 em x = 0, mas x = 0 nao e ponto de inflexao,
pois o grafico de f nao muda de concavidade em x = 0, uma vez que
f ′′(x) ≥ 0, para todo x ∈ R.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 26: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/26.jpg)
Figura: Grafico da funcao f (x) = x4.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 27: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/27.jpg)
Vimos anteriormente, que sob certas condicoes, e possıvel dizer se
determinado ponto crıtico e maximo ou mınimo relativo utilizando o teste
da primeira derivada. Para isso e necessario estudar o sinal da primeira
derivada. Estudar o sinal da primeira derivada pode ser um trabalho
relativamente difıcil. Desta maneira, pode ser conveniente em alguns
casos aplicar um outro resultado para estabelecer as mesmas conclusoes,
chamado Teste da Segunda Derivada.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 28: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/28.jpg)
Teorema (Teste da Segunda Derivada)
Seja c um numero crıtico de f tal que f ′(c) = 0 e f ′(x) exista em um
intervalo aberto I contendo c. Suponha que f ′′(c) existe. Desta forma,
(i) se f ′′(c) < 0, entao f tem um valor maximo relativo em c ;
(ii) se f ′′(c) > 0, entao f tem um valor mınimo relativo em c .
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 29: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemplo
Seja f : R→ R dada por
f (x) =x4
4− x3 + x2 − 1.
Vamos encontrar os maximos e mınimos relativos de f , caso existam.
Para isso, devemos encontrar os pontos crıticos. Como f e derivavel, os
pontos crıticos sao pontos tais que f ′(x) = 0. Derivando, obtemos
f ′(x) = x3 − 3x2 + 2x
= x(x − 1)(x − 2).
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 30: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/30.jpg)
Exemplo
Assim, os pontos de abscissa x = 0, x = 1 e x = 2 sao os unicos pontos
crıticos de f . Vamos utilizar o teste da segunda derivada para classificar
tais pontos. Devemos calcular a segunda derivada.
f ′′(x) = 3x2 − 6x + 2.
Assim,
f ′′(0) = 2 > 0, ou seja, x = 0 e um ponto de mınimo relativo.
f ′′(1) = −1 < 0, ou seja, x = 1 e um ponto de maximo relativo.
f ′′(2) = 2 > 0, ou seja, x = 2 e um ponto de mınimo relativo.
MAT140 - Calculo I UFV
![Page 31: MAT140 - Cálculo I 140/2015-II/slides/Concavidade - MA… · De maneira an aloga, de ne-se concavidade para baixo MAT140 - C alculo I UFV. De ni˘c~ao Seja f uma fun˘c~ao deriv](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081402/6057d8229fc1a156de1a6bc0/html5/thumbnails/31.jpg)
Figura: Grafico da funcao f (x) =x4
4− x3 + x2 − 1.
MAT140 - Calculo I UFV