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1
I vettori - 1
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2
I vettoriUn uomo parte da una casa e
cammina per 4.0 km a N, per 3.5 km a E, per 2.7 km a SE.
In che direzione deve muoversi, e per che distanza deve camminare per tornare alla stessa casa?
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3
I vettori Anzitutto determiniamo le
coordinate dei punti raggiunti Attenzione alle cifre significative...
Abbiamo bisogno di un formalismo più completo: il formalismo vettoriale
1
2 3
0,0 0,0 0,0 4,0
3,5 4,0 ? ?
O P
P P
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4
I vettori Definiamo i vettori spostamento
Lo spostamento finale è la somma dei tre (testa coda…)
(0,0 4,0)
(3,5 0,0)
2,7 2,71,9 1,9
2 2
1
2
3
S
S
S
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5
I vettori In totale
Per tornare alla casa lo spostamento necessario
Con modulo
1 2 3
0,0 3,5 1,9 4,0 0,0 1,9
5,4 2,1
S S S S
5,4 2,1 S
2 25,4 2,1 5,8S km
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6
I vettori In che direzione? Questo ci porta di nuovo ai sistemi di
coordinate
Come misuriamo gli angoli? Rispetto a cosa?
In che senso: orario o antiorario?
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7
I vettori Non è immediato passare dalle
coordinate cartesiane a quelle polari!
Nel nostro caso2,1
arctan arctan 21 ,25,4
y
x
S
S
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8
I vettori Ed in definitiva…
A partire da e, in senso antiorario
Fate sempre molta attenzione a quando calcolate angoli
Gli schizzi aiutano molto
180 21 ,2 201 ,2
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9
I vettori
Calcoliamo il prodotto scalare fra i vettori
E quindi i loro moduli e l’angolo compreso fra di essi.
21 1,5 2,3 2,5 4,3 v v
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10
La definizione ci dà subito
I moduli dei vettori si calcolano come prodotti scalari dei vettori per sé stessi
I vettori
1 2 1,5 2,5 2,3 4,3 13,6 v v
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11
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I vettori Dunque:
Ricordiamo ora che il prodotto scalare si può anche scrivere come
…E da questa relazione possiamo calcolarci l’angolo!
2 21 2
2 21 2
1,5 2,3 2,75
2,5 4,3 4,97
v v
v v
1 2 1 2 12cosv v v v
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I vettori Riprendiamo…
Notate che i calcoli intermedi sono stati effettuati con più cifre significative, mentre il risultato è stato espresso con sole due cifre
1 212
1 2
12
14,2cos 0,998
2,75 4,97
3 ,6
v v
v v
1 2 1 2 12cosv v v v
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I vettori
Determinare le componenti del vettore prodotto esterno dei due vettori
Inoltre determinare il suo modulo, verificare che esso è perpendicolare ai due vettori dati
1 21,5 2,3 0 4,3 2,5 0 v v
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I vettori Calcoliamo le componenti del
vettore con il calcolo del determinante
1 2
ˆ ˆ ˆ
1,5 2,3 0
4,3 2,5 0
ˆ ˆ2,3 0 0 2,5 1,5 0 0 4,3
ˆ 1,5 2,5 2,3 4,3
ˆ6,14
x y z
V v v
x y
z
z
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I vettori Il suo modulo è uguale alla sua
componente z (unica diversa da zero)
Il prodotto scalare con i vettori componenti è nullo quindi il vettore è sicuramente perpendicolare ai vettori componenti
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I vettori
Siano dati i vettori
Trovare la componente di A nella direzione di B.
3 4 0 1 3 2 A B
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I vettori
1
3 4 0 3
2
3 1 4 3 1 0 15
A B
121
1 3 2 3 14 3,74
2
B
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20
I vettori Infine 15
4,013,74BA
A B
B
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21
I vettori
Dati tre vettori
calcolare
3 2 2
1 0 4
2 3 0
A
B
C
A B C A B C
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I vettori Anzitutto calcoliamo il prodotto
esterno
quindi (il risultato è uno scalare…)
ˆ ˆ ˆ
1 0 4 12 8 3
2 3 0
x y z
B C
12
3 2 2 8 14
3
A B C
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I vettori Ed il secondo prodotto (doppio
prodotto vettore)
Notate che non vale la proprietà associativa!
ˆ ˆ ˆ
3 2 2 10 33 48
12 8 3
x y z
A B C
A B C A B C
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I vettori E come calcolereste ? A B C