Download - MAGISTARSKI-Igor Kevri.pdf
1
Uvod
Hidrauličko frakturiranje je postupak kojim se u stijenama stvara visoko
protočna pukotina. Stvaranjem visoko protočne pukotine u ležištu ugljikovodika,
povećava se površina pritjecanja, tj. kontaktna površina izmeñu bušotine i ležišta. Time
se prividno povećava efektivni polumjer bušotine. Povećanjem efektivnog polumjera
bušotine, smanjuje se pad tlaka pri protjecanju fluida u ležištu. Zbog toga se
frakturiranjem bušotine povećava indeks proizvodnosti, a zbog nižeg tlaka napuštanja
ležišta se povećava i iscrpak ležišta. Povećanjem proizvodnosti bušotina, skraćuje se
vrijeme iskorištavanja ležišta.
Hidrauličko frakturiranje se osim kod primarnih, primjenjuje i kod sekundarnih i
tercijarnih metoda iskorištavanja ležišta ugljikovodika. Kod sekundarnih i tercijarnih
metoda, frakturiranje se koristi za poboljšanje proizvodnosti i injektivnosti bušotina, a
uz poznavanje orijentacije frakture i postavljanje optimalne mreže bušotina, i za
povećanje arealnog koeficijenta obuhvata.
Bez obzira na namjenu hidrauličke frakture, njezina djelotvornost i kvaliteta,
ovise o njezinoj geometriji i o odnosu propusnosti ležišta i frakture, a kod sekundarnih i
tercijarnih metoda bitna je i orijentacija frakture.
Geometrija frakture tj. njezina širina, duljina i visina, usko su povezane s
volumenom fluida za frakturiranje, tlakom frakturiranja, tempom utiskivanja fluid za
frakturiranje, količinom podupirača koji se utiskuje u frakturu, reološkim svojstvima
fluida, mehaničkim svojstvima stijena koje se frakturiraju, kao i sa stanjem naprezanja
u njima.
Ako uvjeti dozvoljavaju (dozvoljena visina frakture), hidrauličko frakturiranje se
obično izvodi pri većim obrocima utiskivanja nego što je potrebno s obzirom na uvjet
napredovanja frakture. Na taj način se zbog većeg gradijenta tlaka fluida postiže veća
širina frakture, što omogućava sigurnije utiskivanje podupirača, ali veći tlak uzrokuje i
veću visinu frakture.
Viskoznost fluida za frakturiranje utječe na pad tlaka u kanalu bušotine i u
frakturi. Kod frakturiranja s viskoznijim fluidima potreban je veći tlak na površini zbog
većih hidrauličkih gubitaka, a veći gradijent tlaka u frakturi utječe na povećanje visine i
širine frakture.
2
Podupirač, s obzirom na svoju čvrstoću, mora zadovoljiti uvjete naprezanja
kojima je izložen pri zatvaranju frakture. Naprezanje, oblik i veličina zrna podupirača
odreñuju propusnost frakture.
Hidrauličko frakturiranje je složen tehnološki postupak, u kojem je, u cilju
stvaranja hidrauličke frakture točno odreñene geometrije (širine, duljine i visine),
potrebno pravilno odabrati radni fluid, podupirač, njihove količine, redoslijed utiskivanja
i prilagoditi ih karakteristikama površinske opreme i opreme u bušotini, kao i
mehaničkim svojstvima stijena i stanju naprezanja u njima.
Vrsta radnog fluida i podupirača, protok i maksimalno dozvoljen tlak kod
frakturiranja, često su unaprijed odreñeni ili limitirani kapacitetima površinske opreme i
opreme ugrañene u bušotini. U takvim uvjetima, geometrija frakture, a time i protočna
svojstava, maksimalno potreban tlak i količine podupirača i radnog fluida, ovise o
mehaničkim svojstvima stijena i stanju naprezanja u njima.
Osnovna pretpostavka na kojoj se temelji teorija hidrauličkog frakturiranja je da
se stijena ponaša poput linearno elastičnog materijala. U tom se slučaju ponašanje
stijene u napregnutom stanju, tj. pri frakturiranju, može točno opisati matematičkim
izrazima u funkciji njezinih mehaničkih svojstva.
Bitna mehanička svojstva pri tome su Youngov modul elastičnosti, Poissonov
omjer, posmični modul, volumni modul i žilavost stijene.
U realnim uvjetima ponašanje stijene odstupa od ponašanja linearno elastičnih
materijala.
Simulacija nastajanja hidrauličke frakture, odnosno matematičko definiranje tog
procesa je kompleksan problem koji zahtjeva istodobno rješavanje jednadžbi
elastičnosti, jednadžbi protjecanja frakturom i zadovoljavanje kriterija napredovanja
frakture.
Trodimenzionalna simulacija hidrauličkog frakturiranja se zasniva na
numeričkim metodama rješavanja matematičkih problema koji povezuju mehaniku
frakture, mehaniku protjecanja fluida i kriterij napredovanja frakture.
Analitički pristup u razmatranju utjecaja mehaničkih karakteristika stijena i
naprezanja na geometriju frakture zahtijeva aproksimaciju trodimenzionalnog modela s
dvodimenzionalnim.
U prvom poglavlju ovog rada opisana su osnovna mehanička svojstva linearno
elastičnog materijala i mehanička svojstava stijena bitna pri projektiranju hidrauličke
frakture. Takoñer dijelom su prikupljene vrijednosti mehaničkih svojstava različitih
stijena prema literaturi.
Stanje naprezanja u tlu i u okolini kanala bušotine, iniciranje frakture i osnove
teorija njezinog napredovanja opisani su u drugom poglavlju.
3
U trećem poglavlju je kod dvodimenzionalnog ravninskog stanja deformacija
kvalitativno analiziran utjecaj mehaničkih svojstava stijena i naprezanja na geometriju
frakture.
Osnovni matematički modeli za projektiranje hidrauličke frakture opisani su u
četvrtom poglavlju.
U petom poglavlju je na primjeru bušotine Žu–226, variranjem mehaničkih
svojstava stijena u opsegu vrijednosti koje se mogu naći u literaturi, modeliranjem na
trodimenzionalnom simulatoru kvantitativno ispitan utjecaj mehaničkih svojstava stijena
na geometriju frakture, količinu radnog fluida i podupirača, tlak frakturiranja i ostale
parametre bitne pri projektiranju hidrauličke frakture, što je i osnovni cilj ovog rada.
4
Poglavlje 1
Osnove mehanike stijena i mehanike linearno elasti čnih
materijala
Teorija hidrauličkog frakturiranja se temelji na pretpostavci da se stijena ponaša
poput linearno elastičnog materijala. To znači da se ponašanje stijene u napregnutom
stanju može točno definirati u funkciji njezinih elastičnih svojstva.
Ponašanje stijena pod opterećenjem, zbog njezine nehomogenosti i
anizotropnosti, može odstupati od ponašanja linearno elastičnih materijala. Zbog toga
je potrebno preciznije definirati elastična svojstva stijena i parametre koji na njih utječu.
Youngov modul elastičnosti, Poissonov omjer, posmični modul, volumni modul,
i žilavost stijene se mogu izdvojiti kao bitna mehanička svojstva koja se koriste u opisu
ponašanja stijene pri hidrauličkom frakturiranju.
Uz pretpostavku da je stijena homogen, izotropan i linearno elastičan materijal,
navedena mehanička svojstva, izuzevši žilavost stijene, se mogu meñusobno izraziti
kao funkcija druga dva, tako da je dovoljno poznavanje dva mehanička svojstva,
odakle se mogu proračunati ostala.
1.1 Elasti čna svojstva linearno elasti čnih materijala
1.1.1 Youngov modul elastičnosti
Youngov modul elastičnosti, E, je kod jednoosnog naprezanja definiran
Hookeovim zakonom39 kao konstanta proporcionalnosti izmeñu normalnog naprezanja,
σ, i deformacije u smjeru tog naprezanja, ε, slika 1,:
εσ ⋅= E . 1.
5
Slika 1. Jednoosna kompresija.
Youngovim modulom opisano je svojstvo podložnosti materijala deformiranju
pod utjecajem vanjske sile. Materijali s većim Youngovim modulom otporniji su na
deformacije, tj. manje se deformiraju od materijala manjeg Youngovog modula za istu
vrijednost vanjskog opterećenja.
Elastično područje linearno elastičnih materijala karakterizirano je linearnom
funkcijom naprezanja i deformacija. To znači da je Youngov modul u elastičnom
području konstanta.
1.1.2 Poissonov koeficijent
Osim deformacije u smjeru naprezanja, ε, kod jednoosnog naprezanja javlja se
i deformacija poprečno u odnosu na naprezanje, εpopr., slika 1. U području elastičnosti
omjer poprečne i uzdužne deformacije je konstantan. Poissonov koeficijent ili
Poissonov omjer, ν, definiran je kao apsolutna vrijednost omjera poprečne i uzdužne
deformacije.
εε
ν .popr= . 2.
6
U literaturi se upotrebljava i njegova recipročna vrijednost koja se naziva Poissonovim
brojem.
1.1.3 Posmični modul
Analogno prethodnom, primjenom Hookeovog zakona na tangencijalna
naprezanja definira se konstanta proporcionalnosti izmeñu tangencijalnog naprezanja,
τ, i tangencijalne deformacije, γ, slika 2, a naziva se modul posmika, modul klizanja ili
Coulombov modul39, G, odnosno može se pisati:
γτ ⋅= G . 3.
Slika 2. Tangencijalno naprezanje.
1.1.4 Volumni modul i stlačivost
Koristeći se elastičnim konstantama “ν”, “E” i “G”, definiranim na jednoosnom
naprezanju i primjenom zakona superpozicijeI definira se odnos naprezanja i
deformacija za prostorno stanje naprezanja.
I Ukupna deformacija jednaka je zbroju deformacija nastalih djelovanjem više opterećenja.
7
Normalno naprezanje u smjeru jedne osi prostornog sustava, “x”, “y” ili “z” osi, osim
deformacije u smjeru tog naprezanja, ovisno o Poissonovom omjeru, izaziva
deformacije u druga dva poprečna smjera. Ukupna deformacija u smjeru “x”, “y” ili “z”
osi, kod prostornog stanja naprezanja, jednaka je zbroju deformacija u pojedinom
smjeru, koje su nastale zbog naprezanja u sva tri prostorna smjera. Isti princip vrijedi i
za tangencijalna naprezanja i deformacije.
Na osnovu toga, slijede izrazi za deformacije, u homogenom prostornom stanju
naprezanjaII:
� normalne deformacije, εi,j, definirane osima prostornog sustava,
( )[ ]ε σ ν σ σxx xx yy zzE= ⋅ − ⋅ +
1, 4.
( )[ ]ε σ ν σ σyy yy zz xxE= ⋅ − ⋅ +
1, 5.
( )[ ]ε σ ν σ σzz zz xx yyE= ⋅ − ⋅ +
1, 6.
� tangencijalne deformacije, γi,j, odreñene osima prostornog sustava,
Gxy
xy
τγ = , 7.
Gyz
yz
τγ = , 8.
Gzx
zx
τγ = . 9.
II Indeksima “i” i “j” definiran je položaj ravnine u prostoru na koju djeluje komponenta naprezanja i smjer djelovanja komponente naprezanja. Prema tome “i,j”=”x,y,z”. Kod normalnih naprezanja i deformacija, “i=j”. Kod tangencijalnih naprezanja i deformacija, “i≠j”. Prvi indeks označava smjer normale ravnine na koju djeluje naprezanje. Drugi indeks označava smjer naprezanja. Normalna naprezanja, gdje je “i=j”, takoñer se označavaju samo s jednim indeksom koji označava i smjer normale ravnine i smjer djelovanja naprezanja, σxx=σx, σyy=σy, σzz=σz.
8
Zbrajanjem normalnih deformacija u sva tri prostorna smjera dobije se relativna
promjena volumena tijela, εv,:
( )zzyyxxv Eσσσνε ++⋅−= 21
. 10.
Ako su naprezanja, σxx, σyy i σzz, jednaka, mogu se zamijeniti tlakom “p” (hidrostatsko
opterećenjeIII) pa se prethodni izraz može napisati u slijedećem obliku:
K
pp
Ev −=⋅−−= νε 21, 11.
gdje je “K” volumenski modul elastičnosti.
Recipročna vrijednost volumenskog modula elastičnosti naziva se stlačivošću, “c”.
Ako se, εv, u jednadžbi 11 zamjeni sa, ∆V / Vi, slijedi:
p
V
Vc
i
∆⋅−= 1. 12.
Elastične konstante, E, G, ν i K, karakteristično su svojstvo elastičnih materijala.
Minimalno dvije konstante su dovoljne da bi se definirale ostale.
1.1.5 Žilavost materijala
Pukotina općenito može biti napregnuta na tri načina, kako je prikazano
slikom 3.
III σxx=σyy=σzz=-p
9
Slika 3. Tipovi pukotina6.
U prvoj varijanti pukotina je izložena djelovanju normalnog naprezanja (otvarajući tip
pukotine), a u drugoj i trećoj djelovanju posmičnog naprezanja (klizeći i parajući tip
pukotine).
Za razmatranje većine pojava kod hidrauličkog frakturiranja, dovoljno je definirati stanje
naprezanja u okolini pukotine napregnute normalnim vlačnim naprezanjem (razlika
minimalne komponente horizontalnog naprezanja i tlaka u pukotini).
Rješenje naprezanja u okolini vrha pukotine, za ravninu u vlačnom naprezanju, slika 4,
slijedi iz rješavanja jednadžbi ravnoteže i kompatibilnosti, uz zadovoljavanje graničnih
uvjeta, a dano je slijedećim izrazima6:
⋅−⋅=2
3sin
2sin1
2cos
2
θθθπ
σvp
Ix
r
K, 13.
⋅+⋅=2
3sin
2sin1
2cos
2
θθθπ
σvp
Iy
r
K, 14.
2
3sin
2cos
2sin
2,
θθθπ
τ ⋅⋅⋅=vp
Iyx
r
K. 15.
10
Svaki izraz je prvi član serije rješenja i daje dovoljno točno rješenje naprezanja za male
polumjere udaljenosti od vrha pukotine, rvp. Zbog toga kod velikih polumjera udaljenosti
od vrha pukotine, σy teži ka nuli, mada bi trebao poprimiti veličinu σ.
Jednadžbe 13, 14 i 15 daju rješenje naprezanja za linearno elastične materijale i ne
ograničavaju naprezanje u samom vrhu pukotine, tako da za “rvp = 0”, ono teži
beskonačnosti, slika 4.
Slika 4. Naprezanje pri vrhu pukotine6.
11
U realnim uvjetima naprezanje u samom vrhu pukotine je ograničeno zbog zone
plastičnih deformacija pri vrhu pukotine.
Prema izrazima 13, 14 i 15, naprezanje u okolini vrha pukotine funkcija je faktora KI,
kojim je izražen intenzitet naprezanja u blizini vrha pukotine. Intenzitet naprezanja, KI,
funkcija je naprezanja, σ, kojem je izložena pukotina i polu duljine pukotine, L,:
LK I πσ ⋅= . 16.
Kad vlačno naprezanje ili vlačna deformacija pri vrhu pukotine, dosegnu kritičnu
vrijednost pukotina će se produljiti. To znači da produljenje frakture treba očekivati kad
intenzitet naprezanja dosegne kritičnu veličinu. Kritična vrijednost intenziteta
naprezanja, KIC, ili veličina intenziteta naprezanja iznad koje pukotina napreduje,
svojstvo je materijala kojim se izražava otpornost materijala napredovanju pukotine, a
naziva se i žilavost materijala.
1.2 Elasti čna svojstava stijena
Većina stijena sastoji se od skupine kristala i amorfnih čestica povezanih
cementnim vezivom, što čini matricu stijene, i pornog prostora, ispunjenog fluidom. U
većini slučajeva stijena još može biti isprekidana pukotinama, rasjedima i slojnim
plohama. Time je stijena, u realnim uvjetima, definirana kao nehomogen i anizotropan
materijal. Nehomogenost i anizotropnost utječu na elastično ponašanje stijene. Zbog
toga je, za opis ponašanja opterećene stijene, potrebno preciznije definirati njezina
elastična svojstva i parametre koji na njih utječu.
Za dobivanje podataka o mehaničkim svojstvima stijena se koristi više različitih
vrsta mjerenja. Mjerenja se obzirom na princip njihova izvoñenja mogu podijeliti na
statička i dinamička, a obzirom na mjesto izvoñenja, na laboratorijska i “in-situ”
mjerenja.
Dinamičke metode mehanička svojstva odreñuju na osnovu brzina širenja
elastičnih valova elastičnim materijalom, a statičke ili direktne metode, mehanička
svojstva odreñuju na osnovu funkcionalnih odnosa naprezanja i deformacija pa njihova
primjena zahtijeva mjerenje deformacija u funkciji opterećenja kojem se stijena izlaže.
Radi jednostavnosti mjerenja uobičajeno je da se pri statičkim testovima stijena izloži
djelovanju jednostavnog polja naprezanja, obično jednoosnog, dvoosnog ili troosnog
12
normalnog naprezanja. Pri tome se bilježe deformacije stijene u funkciji razlike
maksimalnog i minimalnog glavnog naprezanja.
1.2.1 Statička elastična svojstva stijena
Ponašanje stijena u napregnutom stanju se zbog njihovog kompleksnog
sastava, pornog sustava, prisustva pukotina i anizotropnosti, razlikuje od ponašanja
linearno elastičnih materijala. Mehanička svojstva stijena ne moraju biti konstantne
vrijednosti u elastičnom području naprezanja, kao što je to slučaj kod linearno
elastičnih materijala.
Stijene se obzirom na dijagrame odnosa naprezanja i deformacija, kod
jednoosnog kompresionog naprezanja, općenito mogu podijeliti na tri kategorije27,
slika 5,:
0
C
A
B
deformacija
nap
reza
nje
Slika 5. Idealizirani oblici krivulja naprezanje-deformacija, kod jednoosnog tlačnog naprezanja stijena27.
Funkcijom “A” tipa prikazano je linearno elastično ponašanje, koje rezultira konstantnim
mehaničkim karakteristikama stijene do točke loma stijene. Približno takvu funkciju
naprezanja i deformacija pokazuju veoma čvrste stijene kao što su kvarciti, veoma tvrdi
pješčenjaci i vapnenci, i većina eruptivnih stijena.
13
Kod “B” tipa krivulje, za isti iznos porasta naprezanja, pri većim naprezanjima,
deformacije su veće. Takav tip ponašanja pokazuju mekše stijene kao što su šejl, siltiti,
tuf, mekši vapnenci i pojedine vrste ugljena.
Tip krivulje “C”, pokazuje smanjenje porasta deformacija pri višim naprezanjima. Takav
tip ponašanja pokazuju pješčenjaci, soli, ugljeni, i neke metamorfne stijene.
Stijene kod kojih je funkcionalna ovisnost naprezanja i deformacija “A” tipa, ponašaju
se poput linearno elastičnih materijala, odnosno po Hookeovom zakonu.
Stijene “B” i”C” tipa krivulja takoñer se smatraju elastičnim materijalima, ako
rasterećenjem stijena poprimi prvobitan oblik, tj. ako se odnos deformacije i
opterećenja može opisati istom krivuljom pri opterećivanju i rasterećivanju stijene. U
tom slučaju, stijena nema konstantne vrijednosti elastičnih svojstava za cijelo područje
naprezanja, već se one mijenjaju od točke do točke na krivulji.
Za razliku od idealiziranih prikaza ponašanja stijena prethodnim tipovima krivulja,
dijagrami realnih odnosa naprezanja i deformacija stijena, kombinacija su prethodnih
tipova krivulja, slika 6.
Slika 6. Kompletna krivulja naprezanja i deformacija27.
14
Na dijagramu se mogu izdvojiti karakteristični segmenti “OA”, “AB”, “BC” i “CK”. Kod
većine stijena intervali “OA” i “AB” su elastična područja, odnosno opterećenje stijene u
tim područjima ne dovodi do promjene u njihovoj strukturi ili do rezidualnih deformacija.
Točka B odgovara naprezanju iznad kojeg se javljaju rezidualne deformacije i dolazi do
promjene u strukturi stijene.
Najveće naprezanje koje stijena može izdržati, na dijagramu je naznačeno točkom C,
kad se stijena lomi, a daljnji izgled krivulje ovisi o tipu loma stijene.
Općenito se može smatrati, da se prema prikazanom dijagramu, proces deformacije
stijene odvija prema slijedećem redoslijedu:
� na “OA” intervalu krivulje zatvaraju se pukotine (mikro pukotine koje mogu primarno
postojati u stijeni, ili su nastale pri jezgrovanju ili obradi uzorka stijene),
� na slijedećem “AB” intervalu stijena pokazuje linearno elastično ponašanje,
� na “BC” intervalu počinje stabilan rast mikro pukotina,
� u točki “C” dolazi do loma stijene.
Dijagram naprezanja i deformacija kod vlačnog opterećenja ne mora pokazivati ova
četiri područja, ali je ili linearan do loma stijene ili pokazuje ponašanje B tipa krivulje.
Veličina “BC” intervala, kod čvrstih stijena, pri standardnim tlakovima i temperaturama,
uglavnom je manja. Kod mekših stijena ili pod djelovanjem visokih tlakova i
temperatura taj interval može biti i veći pa do loma, stijena na tom intervalu može
izdržati i veće deformacije. Stijene kod kojih je “BC” interval dijagrama naprezanja
manji, smatraju se krtim ili lomljivim materijalima.
1.2.1.1 Utjecaj temperature, bo čnih naprezanja, brzine optere ćivanja,
veli čine naprezanja i orijentacije uzorka na stati čka mjerenja elasti čnih
svojstava stijena
Na izgled dijagrama naprezanja, osim karakteristika stijene tj. njezinog sastava,
pornog sustava, prisustva pukotina, i anizotropnosti stijene, utječe još niz faktora koji
su bitni pri samom mjerenju. Meñu njima se mogu spomenuti geometrija ispitivanog
uzorka, izvedba ravnina za nanošenje opterećenja, tempo opterećivanja uzorka,
temperatura, odnos aksijalnih tlakova (odnos glavnih naprezanja), tlak u pornom
prostoru (drenirani i nedrenirani porni prostor) i veličina naprezanja.
Utjecaj pojedinih parametara općenito je manje ili više izražen, ovisno o vrsti ispitivane
stijene.
15
Tehnike izvoñenja pojedinih, standardnih testova i priprema uzoraka za testiranja, radi
smanjenja utjecaja pojedinih faktora na rezultate mjerenja, detaljnije su definirane od
meñunarodnog udruženja za mehaniku stijena (ISRM).
Pri standardnim tlakovima i temperaturama stijene se uglavnom ponašaju kao
krti materijali. Sniženjem temperature, povećava se modul elastičnosti i čvrstoća
stijene.
Utjecaj bočnog tlaka na modul elastičnosti ovisi o poroznosti stijene. Kod stijena
izrazito niske poroznosti, bočno opterećivanje stijene nema veliko značenje, ali kod
djelomično raspucane stijene, stijene visoke poroznosti ili stijene slabije vezane
matrice, bočno opterećenje može znatno utjecati na elastična svojstva i njegov utjecaj
ovisi o veličini bočnog tlaka.
Povećanjem bočnog opterećenja, povećava se i modul elastičnosti. Prema nekim
ispitivanjima27, razlike Youngovih modula kod pojedinih stijena, obzirom na iznose
bočnih tlakova, mogu biti i do 50%.
Utjecaj brzine opterećivanja uzorka stijene, na veličinu modula elastičnosti, ovisi
o zasićenju pornog prostora i vremenu potrebnom za njegovo dreniranje.
Pri trenutnom opterećivanju uzorka ili pri većim brzinama opterećivanja, zbog
nedovoljno dugog vremena za dreniranje pornog prostora, krutost stijene je veća (veći
modul elastičnosti). U suprotnom, kod dovoljno sporog tempa opterećivanja uzorka,
fluid iz pornog prostora ima dovoljno vremena za dreniranje pa su moduli elastičnosti u
tom slučaju manji.
Na osnovu većeg broja istraživanja27, općenito se može reći., da kod jednoosnog
opterećivanja homogenih, slabo poroznih stijena, koje se ponašaju kao linearno
elastični materijali, brzina opterećenja ne utječe na elastično ponašanje stijene.
Utjecaj veličine iznosa naprezanja na modul elastičnosti je izraženiji, što je veća
nelinearnost naprezanja i deformacija. Ovisno o vrsti stijene, s porastom naprezanja
moduli elastičnosti mogu rasti ili padati. Kod poroznih stijena, zbog elastičnih promjena
u strukturi (stlačivost pornog prostora, zatvaranje pukotina), porastom naprezanja raste
krutost stijene.
Zbog sastava stijene, elastična svojstva ovise o mineraloškom sastavu stijene,
udjelu pojedinih minerala, njihovom obliku i orijentaciji.
Zbog orijentacije ploha uslojavanja i pukotina, mehanička svojstva se mijenjaju
sa smjerom mjerenja. Stijene imaju veće vrijednosti modula elastičnosti kada se
opterećuju u smjeru paralelnom sa slojnim plohama ili plohama raspucanosti, nego kad
se opterećuju okomito na njih. Omjer ekstremnih vrijednosti modula elastičnosti smatra
se stupnjem anizotropnosti stijene. U većini laboratorijskih mjerenja27 omjeri se kreću
od 1 do 2, a u “in situ” uvjetima mogu biti i veći (do 3,5).
16
Anizotropnost nekih stijena, prema različitim istraživačima, navedene su u tablici 1.
Tablica 1. Anizotropnost nekih stijena27, 23
Stijena E h/Ev Stijena E h/Ev
Lapor - Turon (K22) 2,17 Škriljavac 1,30-3,20
Glinoviti šejl 1,30-2,86 Granit 1,40-2,00
Glinoviti vapnenac – Mastriht (4K23) 0,62 Siltit 1,08
Glinoviti vapnenac – Turon (K22) 0,84-1,69 Krupnozrnati filit 1,28
Lapor “Opaka” – Mastriht (4K23) 0,85-1,00 Sitno zrnati filit 1,33
Lapor “Opaka” – Turon (K22) 1,30-2,06 Kloritni škriljavac 1,57
Pjeskoviti šejl 1,28-1,68 “Laurencijski” granit 1,24
Vapnenac 1,80-3,5 Bazalt 1,05-1,34
Vapnenac “Opaka” – Turon (K22) 0,92 Peridot 1,78
Pješčenjak 1,23-1,53 Gnajs 5,40
Pješčenjak “Barea” 1,40 Granit “Barre” 0,73
Pješčenjak “Bandera” 1,50 Čvrsti slejt 1,50
Tufitski pješčenjak 1,26 Slejt 1,70
“Iva” pješčenjak 1,25 Bazalt 1,50
* Eh –Youngov modul horizontalnog smjera ; Ev – Youngov modul vertikalnog smjera.
Utjecaj prisustva pukotina, anizotropnosti stijene, bočnih tlakova, temperature,
brzine opterećivanja i drugih faktora na Poissonov omjer, sličan je utjecaju na Youngov
modul.
Poroznost stijene i prisustvo pukotina smanjuju veličinu Poissonovog omjera, ali
ukoliko su pukotine orijentirane paralelno smjeru opterećivanja uzorka, Poissonov
omjer može rasti.
Pri većim naprezanjima, pukotine paralelne sa smjerom naprezanja se otvaraju, što
povećava bočne deformacije pa vrijednost Poissonovog omjera tada može biti veća od
teoretski maksimalnog Poissonovog omjera izotropnih materijala, νmaks.=0,5.
Bočno opterećenje stijene kod više aksijalnih testova rezultira u nižim Poissonovim
omjerima kod slabije vezanih stijena, dok kod tvrñih stijena bočno opterećenje stijene
nema utjecaja na Poissonov omjer.
Takoñer treba napomenuti, da pri testiranju slojevitih uzoraka stijena, Poissonov omjer
ovisi o orijentaciji slojnih ploha i o položaju naprave za registriranje deformacija.
17
1.2.1.2 Stlačivost stijena
Stlačivost je za homogene materijale definirana jednadžbom 12, kao promjena
volumena materijala po jedinici promjene tlaka.
Stlačivost stijena ovisna je o stlačivostima njezinih sastavnih dijelova, odnosno
stlačivostima zrna stijene, pornog prostora i pukotina. Uzimajući u obzir prisustvo
pornog prostora i fluida u njemu i činjenicu da je naprezanje ležišnih stijena funkcija
petrostatskog tlaka i tlaka fluida u pornom prostoru, definiciju stlačivosti kod stijena
povezanog pornog prostora moguće je proširiti, odnosno mogu se definirati slijedeće
stlačivosti48:
� stlačivost stijene, cbc, u funkciji promijene petrostatskog tlaka, pc, uz konstantni
porni tlak, pp,
cV
V
pbcb
b
c pp
=−
1 ∂∂
, 17.
� stlačivost stijene, cbp, u funkciji promjene pornog tlaka, pp, uz konstantan
petrostatski tlak , pc,
cV
V
pbpb
b
p pc
=−
1 ∂∂
, 18.
� stlačivost pornog prostora, cpc, u funkciji promjene petrostatskog tlaka, pc, uz
konstantan porni tlak, pp,
ppc
p
ppc p
V
Vc
−=∂∂1
, 19.
� stlačivost pornog prostora, cpp, u funkciji promjene pornog tlaka, pp uz konstantan
petrostatski tlak, pc,
18
cpp
p
ppp p
V
Vc
−=∂∂1
. 20.
Poznavajući stlačivost matrice stijene, cr, i poroznost, ∅, navedene stlačivosti se mogu
povezati sljedećim izrazima:
rbcbp ccc −= , 21.
i
rbcpc
ccc
φ−= , 22.
( )i
ribcpp
ccc
φφ ⋅+−= 1
. 23.
Izrazi 17, 18, 19 i 20, se zasnivaju na pretpostavci da su porni i petrostatski tlak
neovisni parametri (opterećivanje stijene uz dreniranje pornog prostora), tj. promjena
petrostatskog tlaka ne uvjetuje promjenu pornog tlaka i obratno. U tom se slučaju,
stlačivost “cbc “smatra efektivnom volumetrijskom stlačivošću stijene.
Pri hidrauličkom frakturiranju promjena vanjskog opterećenja na stijenu uvjetuje
promjenu pornog tlaka, jer je za dreniranje pornog prostora slabo propusne stijene
potrebno dulje vrijeme od vremena u kojem je stijena pri frakturiranju izložena
opterećenju.
U općem slučaju, ukupna deformacija stijene, εb, i deformacija pornog prostora, εp,
mogu se izraziti sljedećim izrazima:
pbpcbcb dpcdpcd ⋅+⋅−=ε , 24.
pppcpcp dpcdpcd ⋅+⋅−=ε . 25.
Za slučaj trenutnog izlaganja stijene opterećenju (nedrenirana kompresija), promjena
vanjskog opterećenja, dpc se može smatrati nezavisnom varijablom, a, εb, εp i promjena
pornog tlaka, dpp, predstavljaju tri nepoznanice u dvije jednadžbe.
19
Masa fluida u pornom prostoru je konstantna i u potpunosti ispunjava porni prostor pa
je volumen fluida, Vf, u pornom prostoru jednak volumenu pornog prostora, Vp, i tlak
fluida, pf, jednak je tlaku pornog prostora, pp.
Prema tome može se pisati da je:
pfp
pff
f
f dpcV
dVdpc
V
dV⋅−==⋅−= , 26.
iz čega slijedi:
d c dpp f pε = − ⋅ . 27.
Time je uz prethodne dvije jednadžbe deformacija 24 i 25, uvedena i treća 27 pa
sustav jednadžbi postaje rješiv.
Definiranjem stlačivosti za nedreniranu kompresiju, cu, kao:
cd
dpub
c
= −
ε, 28.
iz jednadžbi 24, 25 i 27, slijedi:
c cc c
c cu bc
bp pc
pp f
= −⋅+
. 29.
Uvrštavanjem izraza 21, 22 i 23, u izraz 29, slijedi:
( ) ( )( ) ( )c
c c c c c c
c c c cu
bc f r r bc r
f r bc r
=⋅ ⋅ − + ⋅ −
⋅ − + −
φφ
. 30.
Time je definirana parametar koji kvantificira odnos izmeñu vanjskog opterećenja i
promjena volumena, za slučaj kad promjena vanjskog opterećenja uvjetuje i promjenu
pornog tlaka.
20
Laboratorijskim mjerenjima stlačivost se može odrediti direktno, mjerenjem
promjene volumena uzorka s tlakom ili se može proračunati iz deformacija u tri različita
smjera.
U većini slučajeva rezultati mjerenja se prikazuju u slijedećem obliku27:
2pbpaV
V
i
⋅−⋅=∆, 31.
gdje su “a” i “b” konstante koje ovise o temperaturi, a ∆V=Vi-V.
Ako se “(∆V/V)/p” nacrta u funkciji tlaka, p, konstanta “a” je odsječak funkcije na “y”osi,
a koeficijent smjera pravca je konstanta “b”. Kad stlačivost stijena nije linearna funkcija
tlaka, tako odreñene konstante su aproksimativne.
Općenito, kod stijena stlačivost raste s povećanjem poroznosti stijene. Bitan utjecaj
takoñer imaju oblik pornog prostora, veličina i orijentacija zrna stijene i veličina tlaka
kojem je stijena izložena. Pri nižim tlakovima stlačivost je u glavnom pod utjecajem
pukotina.
1.2.1.3 Sekantna i tangencijalna elasti čna svojstva stijena
Obzirom na nelinearnost dijagrama naprezanja i deformacija, moguće je na
različitim intervalima krivulja definirati vrijednosti elastičnih konstanti koje se po svom
iznosu razlikuju. Tako se za Youngov modul, pri odreñenim uvjetima mjerenja,
definiraju sekantne i tangencijalne vrijednosti, slika 7.
21
Slika 7. Sekantne i tangencijalne vrijednosti Youngovog modula elastičnosti.
O području primjene ovisi koja vrijednost modula se koristi. Ako je od interesa modul
elastičnosti pri točno odreñenom opterećenju (naprezanju), precizniji opis ponašanja
stijene dati će tangencijalni moduli (koeficijent smjera tangente krivulje), dok se za opis
ponašanja stijene na odreñenom intervalu naprezanja obično koriste sekantne
vrijednosti.
Uobičajeno je, ako nije drukčije navedeno, da se za prosječnu vrijednost modula
elastičnosti uzima tangencijalna vrijednost pri 50% kompresione čvrstoće.
Sekantna vrijednost modula elastičnosti računana za maksimalnu deformaciju do loma
stijene ili do odreñenog opterećenja, smatra se deformacionim modulom elastičnosti.
Porastom bočnih opterećenja, početni tangencijalni modul elastičnosti raste.
Utjecaj bočnog opterećenja, σb, na početni tangencijalni modul elastičnosti, Ei, za
različite vrste stijena, ukoliko se ne raspolaže podacima mjerenja, moguće je izračunati
obrascem27:
22
m
a
bai p
pME
⋅⋅= σ
, 32.
gdje su :
pa - atmosferski tlak,
M – broj modula i
m – eksponent modula.
Trend vrijednosti parametara “M” i “m” za pojedine vrste stijena navedene su u tablici 2,
a detaljniji podaci mogu se naći u literaturi27.
Tablica 2. Sažetak podataka o poroznosti, gustoći i parametrima “M” i “m”, za različite tipove stijena27
Vrsta stijene
magmatska metamorfna sedimentna Parametar
infuzivna efuzivna bez
škriljavosti škriljave klastična kemijska
sve
Broj modula
M (103)
broj podataka
maksimum
minimalan
prosjek
13 (11)
1101,0
63,2
683,9
16
756,0
1,4
181,4
11 (10)
730,0
39,5
398,6
13 (4)
434,0
23,8
134,9
37 (22)
161,8
0,1
62,2
25 (24)
742,0
1,0
186,4
115 (87)
1101,0
0,1
216,5
Eksponent m
broj podataka
maksimalan
minimalan
prosjek
13 (11)
0,19
-0,01
0,03
16
1,15
-0,08
0,12
11 (10)
0,14
0,00
0,02
13 (4)
0,36
0,02
0,19
37 (22)
1,22
0,00
0,20
25 (24)
0,67
0,00
0,17
115 (87)
1,22
-0,08
0,14
Poroznost (%)
broj podataka
maksimalan
minimalan
prosjek
11 (9)
4,9
0,02
0,7
14
30,0
4,6
13,5
4
0,3
0,1
0,2
2
1,9
0,5
1,2
8
27,0
0,9
10,1
8 (8)
40,0
0,5
12,0
47 (44)
40,0
0,02
8,0
Gustoća
(g/cm3)
broj podataka
maksimalan
minimalan
prosjek
10 (8)
3,16
2,61
2,76
14
2,70
1,45
2,14
4
2,69
2,48
2,62
1
-
-
2,79
6
2,69
1,90
2,37
6
2,70
1,62
2,37
41 (39)
3,16
1,45
2,45
*Brojevi u zagradama odnose na broj različitih vrsta uzoraka u pojedinoj grupi stijena.
Niže vrijednosti parametra “m”, a visoke vrijednosti parametra “M” uglavnom kod tvrdih,
homogenih ili slabo poroznih stijena znače slabiju osjetljivost modula elastičnosti na
bočne tlakove, što je obrnuto kod poroznih, raspucanih i elastičnijih stijena. Utjecaj
anizotropnosti stijena takoñer se može primijetiti po varijacijama parametra “M”.
Početni Poissonov omjer, νi, u funkciji bočnog opterećenja, σb, za različite vrste
stijena, se može izračunati empirijskim obrascem27:
23
−=
a
bi p
FNσν log , 33.
gdje su “N” i “F” konstante. Konstanta “N” je početni tangencijalni Poissonov omjer pri
atmosferskom tlaku.
Konstante "N" i "F" nekih stijena navedene su u tablici 3.
Tablica 3. Pregled podataka o poroznosti, gustoći i parametrima N i F, za pojedine stijene27
Parametri Stijena
Gusto ća
(g/cm 3)
Poroznost
(%) N F
bočni tlak
(MPa)
Granit – lokalitet: AEC, Nevada
(krupno zrnat, netrošen) 2,69 0,3 0,23 -0,01 0-27,6
Kvarc - monconit
(srednje zrnati, porfiritni)
meñusobno okomite osi
2,68
2,69
2,68
0,2
0,2
0,2
0,19
0,20
0,19
0
0,01
-0,01
0-20,7
0-20,7
0-20,7
Tonalitet “Cedar City”
(srednje do sitno zrnat)) - 4,9 0,11 -0,05 0-248,0
Bazalt – lokalitet: AEC, Nevada
(sitno zrnat, netrošen) 2,70 4,6 0,28 0,05 0-34,5
Tuf – lokalitet: AEC
(prilično stopljen pepeo, W =21,1 %) 1,92 19,8 0,24 0,03 0-10,3
Škriljavi gnajs
(sitno zrnat) 2,79 0,5 0,11 -0,04 0-70,0
Pješčenjak
(dobro cementiran) 1,90 27,0 0,13 -0,01 1,4-34,4
Vapnenac – lokalitet: AEC, Nevada
(sitno zrnat, sa stiliolitnim pukotinama 2,70 0,5 0,30 -0,01 0-27,6
1.2.2 Dinamička elastična svojstva stijena
Osim statičkih metoda ispitivanja mehaničkih svojstava, u praktičnoj primjeni su
i dinamičke metode, koje se zasnivaju na funkcijama brzine širenja transverzalnog i
longitudinalnog vala, elastičnim sredstvom.
Djelovanjem sile, u obliku impulsa, u odreñenoj točki elastičnog tijela izaziva se
naprezanje i deformacija koja je najjače izražena u području djelovanja sile.
24
Deformacija se s mjesta nastanka kroz elastično tijelo prenosi kao serija izmjeničnih
kompresija i dilatacija, u valnom obliku.
Elastični valovi se mogu podijeliti na valove koji se šire površinom ili granične
valove i valove kojima se deformacija prenosi kroz elastično tijelo, a to su longitudinalni
i transverzalni elastični valovi. Brzina širenja elastičnih valova, elastičnim materijalom,
ovisi o elastičnim svojstvima materijala kroz koji se val širi pa se brzine širenja
longitudinalnog vala, vp, i transverzalnog vala, vs, mogu napisati u funkciji elastičnih
svojstava:
( )
( ) ( )
21
21
121
1
3
43v
+⋅−
−⋅
=
+=νν
νρ
ρ
E
GKp , 34.
( )2
12
1
12v
+⋅=
=
νρρEG
s . 35.
Poznavajući brzine širenja elastičnih valova kroz elastični medij i gustoću, moguće je
rješavanjem dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, odrediti dva elastična svojstva,
korištenjem kojih se mogu proračunati i ostala.
U osnovi za dinamička ispitivanja mehaničkih svojstava stijena koristi se
nekoliko metoda, meñu kojima su: rezonantna metoda, visoko frekventna mjerenja i “in
situ” mjerenja brzina seizmičkih valova.
Kod rezonantne metode, u uzorku stijene se pobuñuje rezonancija, u
longitudinalnom, transverzalnom i torzionom obliku. Longitudinalna i transverzalna
rezonancija se koriste za odreñivanje Youngovog modula elastičnosti, a torziona
rezonancija za odreñivanje posmičnog modula.
Kod visoko frekventnih laboratorijskih mjerenja, mjere se brzine prolaza
mehaničkog impulsa, longitudinalnog i transverzalnog vala, kroz uzorak stijene.
Dinamička elastična svojstva se za homogena izotropna tijela, uz poznatu gustoću
uzorka, računaju iz brzina longitudinalnog i transverzalnog vala:
( )22
222
vv
v4v3v
sp
spsE−
−⋅=
ρ, 36.
25
2v sG ⋅= ρ , 37.
( )22
22
vv2
v2v
sp
sp
−−
=ν . 38.
Pouzdanost elastičnih svojstava odreñenih jednadžbama 36, 37 i 38, je upitna, ako se
brzina vala u bilo koja od tri meñusobno okomita smjera, razlikuje za više od 2% od
njihove srednje vrijednosti27. Greška mjerenja modula elastičnosti i posmičnog modula,
u tom slučaju uključivši i pogrešku mjerenja, ne prelazi 6%. Kod većih anizotropnosti
pogreška odreñivanja elastičnih konstanti, je veća.
Bitna razlika izmeñu rezonantne metode i visoko frekventne metode je u frekvenciji
koju pojedina metoda koristi. Rezonantna metoda koristi raspon frekvencija od 1 do 30
kHz, a visoko frekventna metoda od 50 do 10000 kHz. Raspon frekvencija ne utječe
znatnije na elastična svojstva.
Rezonantna i visoko frekventna metoda razlikuju se takoñer u raspodjeli naprezanja i
deformacija, kojima je stijena izložena pri mjerenju. Rezonantnom metodom nastaje
stojni val, a visoko frekventnom prolazni impulsni val. Nivo naprezanja i amplituda
deformacija u oba slučaja su neznatni, meñutim kod rezonantne metode je deformacija
uvijek maksimalna na sredini uzorka, dok je na krajevima uzorka jednaka nuli. Zbog
toga položaj eventualne pukotine na uzorku može utjecati na rezultat mjerenja. Položaj
pukotine prema krajevima uzorka manje utječe na rezultat, nego što bi utjecao, ako je
položaj pukotine bliže centru. Smatra se da razlike u distribuciji naprezanja i
deformacija ne utječu na elastične module kod homogenih uzoraka.
Bitno je napomenuti, da na brzinu širenja elastičnih valova kroz stijene, a time i na
elastična svojstva, utjecaj imaju: vrsta stijene, njezina tekstura, gustoća, porozitet,
anizotropnost, veličina naprezanja kojem je stijena izložena, zasićenje pornog prostora
i temperatura.
Brzina širenja elastičnih valova, ovisi o brzinama valova u različitim mineralnim
komponentama, koje čine stijenu. Brzina takoñer ovisi o veličini zrna stijena. U fino
zrnatim stijenama, za razliku od krupno zrnatih, brzine širenja valova su veće.
Iako su prema izrazima 34 i 35, brzine primarnog i sekundarnog vala obrnuto
proporcionalne drugom korijenu gustoće, općenito, povećanjem gustoće stijene, raste
brzina širenja elastičnih valova. To se može objasniti povećanjem Youngovog i
26
posmičnog modula s porastom gustoće, ali i smanjenjem poroznosti stijene s
povećanjem gustoće. Porastom poroziteta brzina se smanjuje.
Brzine uzduž i popreko uzorka uslojene stijene se razlikuju. Brzina, mjerena paralelno s
plohama uslojavanja, je uvijek veća od one mjerene okomito na nju.
Povećanjem tlaka, povećavaju se brzine širenja elastičnih valova. Pri nižim tlakovima
porast je veći zbog smanjenja poroziteta, zatvaranja pukotina i povećanja kontakta
izmeñu zrna stijene. Kad tlak preñe odreñenu granicu, brzina se takoñer može
smanjivati, što se povezuje s nastajanjem, širenjem ili otvaranjem mikro pukotina u
stijeni.
Zasićenje stijene vodom povećava brzinu širenja longitudinalnog vala, a na
transverzalni nema utjecaja, jer su za njega bitna svojstva matrice stijene.
Brzine širenja valova i dinamička elastična svojstva se smanjuju porastom temperature.
“In situ” dinamička mjerenja, obuhvaćaju mjerenja kojima se mogu prikupiti
podaci o brzinama longitudinalnih i transverzalnih valova. Teoretski to znači da se u tu
svrhu mogu koristiti površinska seizmička mjerenja, bušotinska seizmika (vertikalno
seizmičko profiliranje i seizmička mjerenja izmeñu bušotina), kao i zvučna karotažna
mjerenja, kojima se uz podatke o brzinama longitudinalnih valova mogu dobiti i brzine
transverzalnih valova.
Za sada se u praksi za potrebe odreñivanja elastičnih svojstava stijena, kod
hidrauličkog frakturiranja, koristi zvučna karotaža sa sondom povećanog razmaka
izmeñu predajnika i prijemnika (“long spacing sonic tool”).
LSS sonde, za razliku od konvencionalnih akustičnih sondi, zbog većeg razmaka
prijemnika i predajnika omogućuju dublji prodor vala u formaciju i bolju separaciju
nailaska longitudinalnog i transverzalnog vala.
Izvor akustičnog signala na sondi odašilje kompresione elastične valove, čija se
energija nailaskom na diskontinuitet (isplaka – stjenka kanala bušotine), dijelom
pretvara i u transverzalni val.
Prijemnik akustičnog signala registrira puni nailazak vala, tj. primarni i sekundarne
nailaske, slika 8.
27
Slika 8. Shematski prikaz punog signala registriranog na prijemniku akustične sonde3.
Novije karotažne sonde digitaliziraju signale s prijemnika pa se za odreñivanje
vremena nailazaka primarnih i sekundarnih valova koristi kompjuterska obrada signala.
Za obradu signala sa LSS sonde koristi se DPD (direct phase determination) tehnika
kompjuterske obrade, koja se zasniva na Fourierovoj analizi registriranog signala.
Primjer dijela karotažnog dijagrama s intervalnim vremenima primarnih i sekundarnih
valova prikazan je slikom 9.
28
Slika 9. Intervalna vremena nailazaka longitudinalnog i transverzalnog vala, tL i tT, registrirana LSS
karotažom3.
29
Elastična svojstva stijena duž profila bušotine, računaju se prema izrazima 36, 37 i 38,
iz brzina longitudinalnih i transverzalnih valova, uz poznatu gustoću stijene.
Odstupanje elastičnih svojstava stijena dobivenih sa LSS karotažom, od stvarnih “in
situ” elastičnih svojstava, može biti posljedica izmijenjenih uvjeta naprezanja i
zasićenja fluidima pri kanalu bušotine.
Laboratorijska i “in situ” mjerenja brzina valova mogu se razlikovati zbog različitih
uvjeta mjerenja. U približno jednakim uvjetima mjerenja, brzine laboratorijskih i “in situ”
mjerenja trebale bi biti približno jednake.
1.2.3 Usporedba statičkih i dinamičkih elastičnih svojstava stijena
Elastična svojstva stijena, dobivena dinamičkim i statičkim mjerenjima, mogu se
znatno razlikovati. Bitan razlog njihove različitosti proizlazi iz nejednakosti uvjeta
mjerenja, kao i različitog utjecaja svojstava stijena na rezultate mjerenja. Statička
elastična svojstva, u usporedbi s dinamičkim, dobivaju se pri većim naprezanjima i
deformacijama. Kod statičkih mjerenja deformacije su i do 10-2, dok su deformacije pri
dinamičkim mjerenjima reda veličine 10-5 i nastale su pri velikim brzinama
opterećivanja (brzina širenja zvuka stijenom).
Meñusobna usporedba statičkih i dinamičkih svojstava ima osnova samo ukoliko se
usporeñuju elastična svojstva mjerena pri približno usporedivim iznosima naprezanja.
To znači da se za usporeñivanje s dinamičkim elastičnim svojstvima, mogu koristiti
jedino početne tangencijalne vrijednosti statičkih svojstava.
Vrijednosti statičkih elastičnih modula općenito su niže od dinamičkih. Razlike
svojstava mogu varirati od 0 do 300% pa i više27. Različitost se takoñer objašnjava i
različitim utjecajem pukotina na statička i dinamička mjerenja. Mikro pukotine imaju
veći utjecaj na statička mjerenja, nego što utječu na brzinu širenja visoko frekventnih
valova.
Što je kompaktnost stijene veća, to je razlika statičkih i dinamičkih modula manja.
Statičke i dinamičke vrijednosti Youngovog modula i Poissonovog omjera za neke
stijene, prema različitim autorima, navedene su u tablici 4.
30
Tablica 4. Pregled statičkih i dinamičkih vrijednosti Youngovih modula i Poissonovih omjera za pojedine
stijene, prema različitim autorima27, 23
Est. (MPa) Edin. (MPa) Edin. /Est. ννννst. ννννdin. ννννdin. /ννννst.
Kalcedonski vapnenac 55158,08 46884,37 0,85 0,18 0,25 1,39
Vapnenac 66879,17 71016,03 1,06 0,25 0,28 1,12
Oolitni vapnenac 45505,42 53779,13 1,18 0,18 0,21 1,17
Kvarcni šejl 16547,42 22063,23 1,33 0,08
Porfiritni monconit 41368,56 56537,03 1,36 0,18 0,21 1,17
Kvarc - diorit 21373,76 30336,94 1,42 0,05 0,19 3,8
Stiliolitni vapnenac 38610,66 56537,03 1,46 0,11 0,27 2,45
Biotitni škriljavac 39989,61 59294,94 1,48 0,01 0,16 16
Vapnenac 16547,42 28268,52 1,71 0,18 0,2 1,11
Vapnenac 33784,32 52400,18 1,55 0,17 0,31 1,82
Siltit 13100,04 26889,56 2,05 0,05 0,08 1,6
Subgrauvaka 12410,57 26200,09 2,11 0,03 0,19 6,33
Sericitni škriljavac 7584,24 17926,38 2,36 -0,02 0,44 -22
Subgrauvaka 11031,62 26200,09 2,38 0,02 0,06 3
Kvarcni filit 7584,24 18615,85 2,45 -0,03
Kalcitni šejl 15857,95 24821,14 1,57 0,02
Subgrauvaka 9652,66 24821,14 2,57 0,02 0,29 14,5
Granit (lagano izmijenjen) 5515,81 15168,47 2,75 0,04 0,1 2,5
Grafitni filit 9652,66 26889,56 2,79
Subgrauvaka 8963,19 26200,09 2,92 0,05 0,08 1,6
U.S
. Bur
eau
of R
ecla
mat
ion,
195
3.
Vapnenac “Lauders” (orijentacija
okomito na slojnu ravninu) 24131,66 33370,64 1,38 0,21 0,22 1,05
Vapnenac “Lauders” (orijentacija
paralelno sa slojnom ravninom) 24821,14 33370,64 1,34 0,21 0,22 1,05
Šejl “Green River” (orijentacija
okomito na slojnu ravninu) 29647,47 40058,56 1,35 0,18 0,22 1,22
Šejl “Green River” (orijentacija
paralelno sa slojnom ravninom) 35163,28 42540,67 1,21 0,17 0,27 1,59 C
hene
vert
(19
64)
i You
ash
(197
0)
Pješčenjak s kalcedonskim
cementom 71588,55 76295,74 1,07
Dolomit ujednačene veličine zrna 49523,58 52073,31 1,05
Vapnenac 18436,50 23732,09 1,29
Kalcitni dolomit 34225,21 46287,39 1,35
Sitno zrnati vapnenac s detritusom 46777,72 55995,97 1,20
Granit 64723,89 69627,22 1,08
Gabro 69627,22 73549,88 1,06
Dunit 146119,09 160829,1 1,10
Sijenit 72569,21 79433,87 1,09
Rzh
evsk
y i N
ovik
(19
73)
“Iva” pješčenjak 21838,8
31
1.2.4 Odreñivanje elastičnih svojstava stijena za potrebe
hidrauličkog frakturiranja
Zbog veličine raspona vrijednosti elastičnih svojstava stijene, s obzirom na
uvjete mjerenja i metode odreñivanja, bitno je da se pri njihovom mjerenju postignu
uvjeti zasićenja stijene, opterećenja stijene i temperature, što sličniji onima u ležištu, a
takoñer i brzina opterećivanja treba odgovarati onoj kojom se stijena opterećuje tlakom
frakturirajućeg fluida u hidrauličkoj frakturi. Mehanička svojstva, odreñena u takvim
uvjetima, dala bi najrealniji opis ponašanja stijene pri hidrauličkom frakturiranju.
Ukoliko se laboratorijskim mjerenjima takvi uvjeti ne mogu u potpunosti postići, treba
nastojati da se oni bar djelomično zadovolje. Mehaničke karakteristike koje su
odreñene pri neodgovarajućim uvjetima naprezanja, temperature, zasićenja fluidom,
orijentacije uzorka mogu se naknadno korigirati, ukoliko je poznat približan utjecaj
pojedinog parametra na rezultat mjerenja.
Brzine deformiranja stijene pri frakturiranju su izmeñu brzina deformiranja kod
dinamičkih i statičkih metoda, ali su bliže onima kod statičkih mjerenja, jer je brzina
napredovanja frakture daleko manja od brzine zvuka u stijeni.
Opterećenje stijene (tlak u frakturi) pri hidrauličkom frakturiranju nešto je veće od
minimalnog “in situ” naprezanja (minimalnog horizontalnih naprezanja ako se radi o
vertikalnoj frakturiIV) pa se u takvim uvjetima za opis ponašanja stijena koriste početne
tangencijalne vrijednosti elastičnih svojstava.
Uvjeti opterećenja stijene, slični “in situ” uvjetima, približno se mogu postići
troaksijalnim mjerenjima. Pri troaksijalnom testu uzorak stijene je potrebno optereti
troosno do veličine naprezanja koje odgovara srednjem efektivnom naprezanju ležišne
stijene. Nakon toga uzorak se dalje opterećuje aksijalno, a bočna se opterećenja
održavaju konstantnim. Pri tome se bilježi aksijalno naprezanje, σz, bočno naprezanje,
σb, bočna (poprečna) i aksijalna deformacija, εpopr. i εz.
Iz bilježenih podataka računaju se Youngov modul i Poissonov omjer, izrazima
dobivenim iz izraza 4, 5 i 6, kako slijedi:
( )z
bzEε
σνσ ⋅−= 2 , 39.
IV Smjer hidrauličke frakture okomit je na smjer minimalne komponente glavnog naprezanja. To znači da je kod vertikalne frakture, minimalno naprezanje horizontalnog smjera.
32
ako je σb konstantno, onda je:
E z
z
=∆∆
σε , 40.
z
popr
εε
ν∆
∆−= . , 41.
ili iz volumenske deformacije, εv i deformacije u smjeru maksimalnog naprezanja, εz,:
∆∆−=
z
v
εεν 1
2
1. 42.
Zbog prisustva mikro pukotina koje mogu nastati u procesu pripreme uzorka ili su
njegov sastavni dio, početni tangencijalni Youngov modul, dobiven troosnim
ispitivanjem, može imati nerealno niske vrijednosti.
Opterećenjem uzorka stijene do iznosa minimalnih horizontalnih naprezanja, prisutne
pukotine se ne moraju u potpunosti zatvoriti, što pri testiranju daje prividno nižu
vrijednost Youngovog modula. Takvo se ponašanje može registrirati pomoću
Poissonovog omjera, koji zatvaranjem pukotina naglo mijenja svoju vrijednost.
Za vrijeme statičkih mjerenja, u istim uvjetima, mogu se izvoditi i dinamička mjerenja.
Ispitivanja su pokazala da je odnos statičkih i dinamičkih elastičnih svojstava pri
simuliranim “in situ” uvjetima približno jednak odnosu statičkih elastičnih svojstava i
dinamičkih elastičnih svojstava iz karotažnog mjerenja.
Odnos statičkih i dinamičkih svojstava iz laboratorijskih mjerenja može se koristiti za
korelaciju s dinamičkim karotažnim mjerenjem pa se iz kontinuiranog karotažnog
mjerenja mogu dobiti približne statičke vrijednosti elastičnih svojstava i za one intervale
ležišta za koje se ne raspolaže s laboratorijskim mjerenjima.
Posmični modul se pri laboratorijskim mjerenjima teže mjeri, ali se može proračunati iz
ostalih elastičnih svojstava.
33
Poglavlje 2
Naprezanja u naslagama stijena
Pri razmatranju stanja naprezanja u naslagama stijena, okolini kanala bušotine i
u okolini hidrauličke frakture, potrebno je razlikovati primarno i sekundarno stanje
naprezanja.
Primarnim stanjem naprezanja smatra se naprezanje koje je u tlu postojalo prije izrade
kanala bušotine. Izradom kanala bušotine ili drugih otvora u tlu, stijene u okolini otvora
prelaze iz primarnog u sekundarno, izmijenjeno stanje naprezanja.
Da bi se definiralo sekundarno stanje naprezanja, potrebno je poznavati primarno
stanje naprezanja.
2.1 Primarno naprezanje u naslagama stijena
Promatrajući stanje naprezanja u podzemlju samo kao posljedicu gravitacije, uz
pretpostavku da je vertikalna komponenta naprezanja posljedica ukupne težine stijena,
vertikalna komponenta naprezanja može se definirati kao težina naslaga stijena po
jediničnoj površini na odreñenoj dubini, odnosno, ako je gustoća naslaga stijena, ρ,
funkcija dubine, z, vertikalna komponenta naprezanja, σz, je25:
∫ ⋅⋅=z
z dzg0
ρσ , 43.
ako je gustoća konstantna za odreñeni interval dubine, onda je:
σ ρz g z= ⋅ ⋅ . 44.
Zbog vertikalnog naprezanja stijena nastoji bočno ekspandirati. Bočna ekspanzija
stijena, teoretski, može biti ograničena, dijelom ograničena ili neograničena.
Koristeći teoriju elastičnosti, iz vertikalne komponente naprezanja mogu se
proračunati horizontalne komponente naprezanja. Pri tome su moguća dva pristupa.
34
Prvi pristup se zasniva na pretpostavci da stijena ne može bočno ekspandirati
pa su horizontalne deformacije, εx i εy, jednake nuli. U tom slučaju zbog nemogućnosti
bočne ekspanzije, kao posljedica vertikalnog naprezanja, javljaju se horizontalna
naprezanja, σx i σy.
Rješavanjem jednadžbi deformacija, izrazi 4 i 5, uz uvjete εx=0 i εy=0, dobivaju se izrazi
za horizontalna naprezanja, σx i σy, u funkciji vertikalne komponente naprezanja, σz, i
Poissonovog omjera, ν, kako slijedi:
zyx σν
νσσ ⋅−
==1
. 45.
Uvrštavanjem izraza za vertikalno naprezanje, izraz 44, u izraz 45, horizontalne
komponente naprezanja mogu se napisati u funkciji dubine, z, gravitacije, g, i gustoće
stijena, ρ:
zgyx ⋅⋅⋅−
== ρν
νσσ1
. 46.
Drugi pristup polazi od pretpostavke da stijena može slobodno horizontalno
ekspandirati. Zbog mogućnosti neograničene bočne ekspanzije, horizontalna
naprezanja stijena u funkciji vertikalnog naprezanja, jednaka su nuli.
Obzirom na ta dva granična pristupa, horizontalne komponente naprezanja u
funkciji vertikalnog naprezanja, mogu biti izmeñu nule i vrijednosti definirane izrazom
45, može se pisati :
zyx A σσσ ⋅== , 47.
gdje je: 0<A<1.
Prema izrazu 47, teorijom elastičnosti se ne može precizno definirati iznos
horizontalnih naprezanja u funkciji vertikalnog naprezanja, ukoliko nisu poznate
horizontalne deformacije.
U praktičnim razmatranjima stanja naprezanja u sedimentnim bazenima, općenito je
prihvaćen prvi pristup koji polazi od pretpostavke nemogućnosti bočne ekspanzije
stijena.
35
Izrazi 45, 46 i 47 se zasnivaju na pretpostavci da je površina tla ravna.
U slučaju neravne površine nema egzaktnog analitičkog rješenja za naprezanje
elastičnog medija pod djelovanjem gravitacione sile.
2.1.1 Dodatna naprezanja i utjecaj pornog tlaka
Bitnu ulogu u naprezanju u kolektorskim stijenama ima porni tlak. Porni tlak
djeluje suprotno smjeru vertikalne komponente naprezanja i umanjuje njezino
djelovanje, slika 10.
Slika 10. Shematski prikaz naprezanja matrice stijene11.
Efektivno vertikalno naprezanje stijene, σz ef., tada je:
36
pzefz pασσ −=. , 48.
Utjecaj pornog tlaka, pp, na efektivno vertikalno naprezanje, ovisi o korekcionom
faktoru, α, koji varira izmeñu 0 i 1, a funkcija je geometrije pornog prostora i fizičkih
svojstava matrice stijene. Može se izračunati poznavajući Poissonov omjer stijene pri
dreniranom, νd, i nedreniranom, νu, mjerenju, i Skemptonov koeficijent pornog tlaka, B,
formulom:
( )( )( )ud
du
B ννννα
+−−=
121
3. 49.
Skemptonov koeficijent, B, definiran je kao promjena pornog tlaka po promjeni
vanjskog opterećenja stijene pri mjerenju u nedreniranim uvjetima. U idealnom slučaju
gdje nema promjene poroziteta i kad je B=1, izraz 49 se može pojednostaviti pa je:
r
u
K
K−=1α , 50.
gdje je Ku, volumni modul stijene pri nedreniranim uvjetima i Kr, volumni modul matrice
stijene. Za ležišta ugljikovodika α je približno 0,7.
Iz izraza 45 i 48 slijede efektivna horizontalna naprezanja matrice stijena:
( )pzefzefyefx pασν
νσν
νσσ −−
=−
==11 ... . 51.
Pribrajanjem člana, αp, izrazu 51, dobiju se horizontalna naprezanja u stijeni zbog
tlaka u pornom prostoru i tlaka naslaga stijena, σx p. i σy p.:
( ) ppzpefzpypx ppp αασν
νασν
νσσ +−−
=+−
==11 ... . 52.
“In situ” naprezanja mogu znatno odstupati od vertikalnih i horizontalnih
naprezanja definiranih formulama 43, 51 i 52. To se može objasniti različitim dodatnim
naprezanjima koja se javljaju u zemljinoj kori.
37
Dodatna naprezanja se mogu podijeliti na tektonska, strukturna i rezidualna
naprezanja25.
Smjerove tektonskih naprezanja moguće je odrediti razmatranjem položaja
rasjednih ploha i drugih geoloških pojava u odreñenom području. Različiti tipovi
rasjeda, bora, navlaka i sl., mogu ukazivati na relativne odnose glavnih komponenti
naprezanja potrebnih za njihovo nastajanje20. Poznavanje relativnih odnosa glavnih
naprezanja bitno je radi odreñivanja smjera hidrauličke frakture. Smjer hidrauličke
frakture, u uvjetima nejednakih naprezanja, je u većini slučajeva okomit na smjer
glavnog minimalnog naprezanja.
Strukturna naprezanja su posljedica nehomogenosti stijena u razmatranom
području. Stijene različitih elastičnih svojstava se za isti iznos deformacija različito
naprežu.
Rezidualna naprezanja obuhvaćaju niz naprezanja koja su povezana s
procesom pri nastanku stijena i periodom nakon njega. Rezidualnim naprezanjima
mogu se pripisati naprezanja uslijed termalnog efekta, odnosno naprezanja nastala
promjenom volumena jednog dijela materijala, čemu može biti uzrok bubrenje
materijala zbog apsorpcije vode, kontrakcija zbog sušenja ili stvaranje topline za
vrijeme metamorfizma, zatim promjene kondukcije i konvekcije topline.
Dodatno naprezanje vektorski se pribraja naprezanju uslijed gravitacije, u
smjeru u kojem djeluje. Iznos dodatnog naprezanja okomito na smjer njegovog
djelovanja ovisan je o Poissonovom omjeru stijene.
Prema tome, izrazu 52, mogu se pribrojiti vektorske komponente dodatnih
naprezanja u “x” i “y” smjeru, ∆σxd i ∆σyd pa su konačne formule kojima su definirana
naprezanja u horizontalnim smjerovima kako slijedi:
( ) dxppzdxpefzukx ppp σαασν
νσασν
νσ ∆++−−
=∆++−
=11 .. , 53.
( ) dyppzdypefzuky ppp σαασν
νσασν
νσ ∆++−−
=∆++−
=11 .. . 54.
Izrazi za horizontalna naprezanja, 53 i 54, zasnivaju se na pretpostavkama:
� stijena se ponaša kao linearno elastičan materijal,
� nepravilnosti površine se, s obzirom na dubinu, mogu zanemariti,
� deformacija u smjeru “z” osi je slobodna pa je promjena naprezanja u vertikalnom
smjeru zbog dodatnog horizontalnog naprezanja jednaka nuli,
38
� efektivno vertikalno naprezanje stijena funkcija je težine stijena i pornog tlaka,
� horizontalne deformacije stijene zbog vertikalnog naprezanja, jednake su nuli.
Stvarno stanje naprezanja u stijenama znatno je složenije, funkcija je meñusobnog
utjecaja ležišnih svojstava, tektonike i procesa nastanka stijena, gdje se u obzir trebaju
uzeti promjene svojstava stijena s dubinom, temperaturom i vremenom.
Jednadžbe 53 i 54, rijetko daju točno stanje naprezanja u podzemlju, obzirom na to
da navedene pretpostavke ne zadovoljavaju realne uvjete i da je iznos dodatnog
naprezanja nepoznat. Više se koriste za procjenu horizontalnih naprezanja u funkciji
dubine i procjenu kontrasta u naprezanjima stijena s obzirom na dubinu i različita
elastična svojstva stijena.
U područjima gdje nisu izražena dodatna naprezanja (tektonski neaktivna područja), za
očekivati je, prema izrazu 52, uz pretpostavku da je porni tlak približno jednak
hidrostatskom tlaku, da su gradijenti horizontalnih naprezanja u granicama izmeñu 13,6
i 15,8 kPa/m, što je često potvrñeno “in situ” mjerenjima14.
Kao rezultat gravitacijskog djelovanja i dodatnih naprezanja, stanje naprezanja
u podzemlju je takvo, da su tri glavna naprezanja nejednaka. Neujednačenost
komponenti naprezanja u različitim smjerovima se potvrñuje činjenicom da je zemljina
kora promatrano kroz duži geološki period bila izložena rasjedanju i boranju.
Prema teoriji elastičnosti, pri troosnom naprezanju, moguće je definirati tri
meñusobno okomite ravnine u kojima su posmična naprezanja jednaka nuli, a
normalna naprezanja primaju ekstremne vrijednosti. U tim ravninama kutne
deformacije jednake su nuli. Pravci kojima su definirane te tri meñusobno okomite
ravnine su smjerovi glavnih naprezanja.
Orijentacija glavnih naprezanja u podzemlju definirana je uvjetima koji se moraju
zadovoljiti i na površini zemlje. Površina zemlje, jedna je od ravnina na kojoj nema
posmičnih naprezanja. Iz toga slijedi da je jedan od smjerova glavnih naprezanja
okomit na površinu zemlje, a druga dva moraju biti paralelna s tom površinom. Prema
tome u područjima blage topografije i jednostavnih geoloških struktura dva glavna
naprezanja su približno horizontalna, a treće glavno naprezanje okomito je na zemljinu
površinu i približno je jednako tlaku geoloških naslaga.
39
2.2 Naprezanje u okolini kanala bušotine
Izradom bušotine stanje naprezanja u podzemlju u okolini kanala bušotine se
mijenja. Stijene u okolini kanala bušotine, koje su prije njegove izrade bile pod
primarnim stanjem naprezanja, prelaze iz primarnog u sekundarno stanje naprezanja.
Naprezanje u okolini kanala bušotine, u dvodimenzionalnim uvjetima, može se riješiti
analitički, koristeći pojam efektivnog horizontalnog naprezanja i aproksimirajući presjek
bušotine s beskonačnom horizontalnom ravnom pločom s kružnim otvorom41, 20, uz
slijedeće pretpostavke:
� os bušotine paralelna je sa smjerom glavne vertikalne komponente naprezanja,
� horizontalne komponente glavnih naprezanja ne variraju po dubini na promatranom
intervalu,
� deformacija stjenke kanala bušotine nije vremenski ovisna,
� presjek bušotine kružnog je oblika,
� stijena je linearno elastična, homogena i izotropna.
U okolini kanala bušotine stanje naprezanja je izmijenjeno, ali na izvjesnoj udaljenosti
promjena stanja naprezanja je zanemariva i ono je definirano primarnim stanjem
naprezanja, slika 11.
40
Slika 11. Shematski prikaz zona naprezanja u okolini kružnog otvora u horizontalnoj ravnini izloženoj
dvoosnom naprezanju.
Ako se nepromijenjeno stanje naprezanja na izvjesnoj udaljenosti od kanala bušotine,
izrazi efektivnim horizontalnim komponentama naprezanja, ako je tlak u kanalu
bušotine jednak pornom tlaku, ∆p=0, i pretpostavi li se da je radijalno normalno
naprezanje na stjenci kanala bušotine jednako nuli, a obodno normalno naprezanje
poprima maksimalnu vrijednost, onda je rješenje naprezanja, u polarnim koordinatama,
u funkciji polumjera bušotine, rw, udaljenosti od ishodišta bušotine, r, i kuta θ, kojima je
odreñen položaj u horizontalnoj ravnini obzirom na os bušotine, slika 11, dano
slijedećim izrazima:
( )θσσ
σ 2cos43
12
12 2
2
4
4.
2
2.
)( ⋅
−++
−⋅=
r
r
r
r
r
r wwefxwefxxr , 55.
41
( )θσσ
σθ 2cos3
12
12 4
4.
2
2.
)( ⋅
+−
+⋅=
r
r
r
r wefxwefxx , 56.
( )θσ
τ θ 2sin23
12 2
2
4
4.
)(, ⋅
+−=
r
r
r
r wwefxxr , 57.
gdje su σr(x), σθ(x) i τr,θ(x) radijalno, obodno i posmično naprezanje na stjenci i u okolini
kanala bušotine, inducirani efektivnom horizontalnom komponentom naprezanja σx ef..
Jednadžbe su dobivene rješavanjem diferencijalne jednadžbe ravnoteže, uz
odgovarajuće granične uvjete i zadovoljavanje jednadžbe kompatibilnosti41.
Efektivno horizontalno naprezanje σy ef., inducira radijalno, obodno i posmično
naprezanje, σr(y), σθ(y) i τr,θ(y), s pomakom za 90O u odnosu na naprezanja zbog
efektivnog naprezanja σx ef.. Njihovim zbrajanjem dobiju se rezultantna naprezanja,
σr(x,y), σθ(x,y) i τrθ(x,y), u funkciji efektivnih naprezanja, σx ef. i σy ef.:
( )θσσσσ
σ 2cos43
12
12 2
2
4
4..
2
2..
),(
−+
−+
−⋅
+=
r
r
r
r
r
r wwefyefxwefyefxyxr , 58.
( )θσσσσ
σθ 2cos3
12
12 4
4..
2
2..
),(
+
−−
+⋅
+=
r
r
r
r wefyefxwefyefxyx , 59.
( )θσσ
τ θ 2sin23
12 2
2
4
4..
),(,
+−
−=
r
r
r
r wwefyefxyxr . 60.
Grafički prikaz obodnih naprezanja na stjenci i u okolini kanala bušotine induciranih
efektivnim horizontalnim naprezanjima, σx ef. i σy ef., kad su ona po intenzitetu
meñusobno jednaka, prema izrazima 56 i 59, prikazano je slikom 12.
42
Slika 12. Obodna naprezanja na stjenci bušotine i njegovoj okolini (do polumjera 1,007 m), inducirana
efektivnim horizontalnim naprezanjima od 10 MPa, prema izrazima 56 i 59.
Obodno naprezanje na stjenci bušotine, zbog jednoosnog naprezanja, slika 12a, i 12b,
poprima maksimalnu vrijednost (3σx ef.) za kut θ = 90o u odnosu na smjer naprezanja,
dok se u okomitom smjeru, tj. za kut θ = 0o javlja vlačno naprezanje (-σx ef.). Radijalno
naprezanje na stjenci kanala bušotine za sve vrijednosti θ jednako je nuli, jednadžbe
55 i 58.
43
Kad su horizontalna efektivna naprezanja, σx ef. i σy ef., jednaka po iznosu, rezultantno
obodno naprezanje na stjenci dvostruko je veće od primarnih efektivnih naprezanja,
slika 12c.
U slučaju meñusobno različitih iznosa primarnih efektivnih naprezanja, rezultantno
sekundarno naprezanje ovisi o njihovom omjeru. Rezultantno obodno naprezanje za
dva različita omjera primarnih efektivnih naprezanja prikazano je slikom 13.
Slika 13. Obodna naprezanja na stjenci i okolini kanala bušotine pri različitim omjerima efektivnih
horizontalnih naprezanja: a) σx ef. /σy ef. =1,5, b) σx ef. /σy ef. =3.
44
Treba napomenuti da su rezultantna sekundarna naprezanja, jednadžbe 58, 59 i 60,
približno rješenje naprezanja u okolini kanala nezacijevljene bušotine jer se zasnivaju
na pretpostavkama koje nisu u potpunosti ispunjene. Zacijevljivanjem kanala bušotine
stanje naprezanja se dodatno mijenja.
2.3 Iniciranje hidrauli čke frakture u bušotini
Matematičko rješenje naprezanje stjenke kanala bušotine i njegove okoline,
uzrokovano tlakom fluida u bušotini, može se aproksimirati naprezanjem šupljog
cilindra u funkciji tlaka na unutarnjoj i vanjskoj granici cilindra41, 20. Pri tome, analogijom
uvjeta, unutarnji polumjer cilindra aproksimacija je polumjera bušotine, rw, gdje djeluje
tlak, ∆p (razlika tlaka fluida u bušotini i slojnog tlaka), a na vanjskom polumjeru cilindra,
re, koji je puno veći od unutarnjeg, tlak je jednak nuli.
Rješenja naprezanja su u polarnim koordinatama dana slijedećim izrazima:
2
2
)( r
rp w
pr ⋅∆=∆σ , 61.
2
2
)( r
rp w
p ⋅∆−=∆θσ , 62.
0)(, =∆ pr θτ . 63.
Naprezanja stijene zbog filtracije fluida iz kanala bušotine u formaciju, su u ovim
rješenjima zanemarena.
Obodno naprezanje stjenke kanala bušotine i njegove okoline u funkciji tlaka u kanalu
bušotine, kad je ∆p>0, prikazano je slikom 14.
45
Slika 14. Vlačno obodno naprezanje na stjenci i okolini kanala bušotine pri razlici tlakova fluida u bušotini i
ležištu, ∆p=20 MPa.
Da bi se dobilo ukupno stanje naprezanja kanala bušotine, potrebno je naprezanju
bušotine zbog porasta tlaka u bušotini, pribrojiti naprezanje bušotine zbog primarnih
efektivnih horizontalnih naprezanja.
Prema tome, rješenje naprezanja kanala bušotine u funkciji efektivnih naprezanja i
tlaka fluida u bušotini, slijedi iz formula 58, 59, 60, 61, 62 i 63:
( )2
2
2
2
4
4..
2
2.. 2cos
431
21
2 r
rp
r
r
r
r
r
r wwwefyefxwefyefxr ⋅∆+
−+
−+
−⋅
+= θ
σσσσσ , 64.
46
( )2
2
4
4..
2
2.. 2cos
31
21
2 r
rp
r
r
r
r wwefyefxwefyefx ⋅∆−
+
−−
+⋅
+= θ
σσσσσθ , 65.
( )θσσ
τ θ 2sin23
12 2
2
4
4..
,
+−
−=
r
r
r
r wwefyefxr . 66.
Zbrajanjem naprezanja, vlačno obodno naprezanje zbog tlaka fluida u bušotini,
poništava tlačno obodno naprezanje nastalo zbog efektivnih horizontalnih naprezanja,
slika 15.
47
Slika 15. Ukupno obodno naprezanje kanala bušotine uslijed efektivnih horizontalnih naprezanja i razlike
tlakova fluida u bušotini i ležištu.
48
Povećavanjem tlaka u kanalu bušotine, do poništavanja tlačnih obodnih naprezanja,
najprije dolazi u smjeru djelovanja veće komponente horizontalnog naprezanja.
Da bi došlo do loma stijene i iniciranja hidrauličke frakture, potrebno je da povećanjem
tlaka u kanalu bušotine tlačno obodno naprezanje na stjenci bušotine u potpunosti
preñe u vlačno naprezanje, a stijena se lomi onda kada naprezanje na vlak bude veće
od vlačne čvrstoće stijene.
Maksimalno obodno naprezanje na stjenci kanala bušotine javlja se u slučaju kada su
horizontalne komponente naprezanja σx ef. i σy ef. po veličini jednake. Tada je obodno
naprezanje na stjenci kanala bušotine jednako dvostrukom iznosu primarnog
efektivnog horizontalnog naprezanja.
Kod nejednakih horizontalnih naprezanja, tlačno obodno naprezanje kanala bušotine
se smanjuje, a može preći i u vlačno naprezanje, ovisno o omjeru horizontalnih
naprezanja.
Prema tome, za tlak fluida u bušotini kojim se inicira hidraulička fraktura u
nezacijevljenom kanalu bušotine, pi.f., prema izrazu 51, uz pretpostavku da je α=1 i da
nema dodatnih naprezanja, može se napisati slijedeći izraz:
( ) SppSpp ppzpeffi ++−⋅−
=++= σν
νσ1
22 ... , 67.
gdje je, S, vlačna čvrstoća stijene.
Vlačna čvrstoća stijena općenito se kreće u rasponu od nule, kod nekonsolidiranih
stijena ili već raspucanih stijena pa do nekoliko MPa, kod čvrstih stijena. Prema tome,
kod nekonsolidiranih ili raspucanih stijena, minimalan tlak potreban za iniciranje
hidrauličke frakture jednak je tlaku fluida u bušotini kojim se postiže vlačno obodno
naprezanje, odnosno poništava minimalno tlačno naprezanje na kanalu bušotine.
2.4 Naprezanje u okolini inicirane frakture
Iniciranjem hidrauličke frakture svladana je povećana koncentracija naprezanja
u okolini kanala bušotine, čime je stvorena situacija da na stjenku frakture djeluje s
jedne strane tlak fluida u frakturi, a u suprotnom smjeru minimalna komponenta
horizontalnog naprezanja, slika 16.
49
Slika 16. Shematski prikaz opterećenja stjenke hidrauličke frakture tlakom fluida i minimalne komponente
horizontalnog naprezanja.
Utjecaj kanala bušotine na stanje naprezanja u okolini frakture je neznatan za frakture
čija je duljina veća od promjera bušotine17.
Uvjeti za daljnje napredovanje pukotine i nastajanje hidrauličke frakture mogu se
objasniti s tri općenito prihvaćene teoretske osnove, koje se koriste u teoriji
hidrauličkog frakturiranja, a to su6, 14:
� uvjet napredovanja pukotine na osnovu Griffitove teorije,
� Barenblattov uvjet napredovanja pukotine i
� uvjet linearno elastične mehanike frakture.
2.4.1 Griffitov uvjet napredovanja frakture
Griffit je razmatrajući nisku vlačnu čvrstoću stakla zbog prisustva mikro
pukotina, dao prvu prihvatljivu teoriju širenja pukotine. Smatrao je da će pukotina
napredovati ukoliko je elastična energija koja se oslobodi povećanjem duljine pukotine,
dovoljna da nadoknadi energiju potrebnu za povećanje duljine pukotine.
50
Osloboñena elastična energija po jediničnoj površini, GG, koja je definirana jedinicom
duljine napredovanja pukotine i jediničnom debljinom ravnine, po vrhu pukotine, za
eliptičnu pukotinu izloženu vlačnom naprezanju, u uvjetima ravninske deformacije,
definirana je kako slijedi:
E
LGG
⋅−⋅⋅= )1( 22 νσπ 68.
Energija potrebna za napredovanje pukotine po jediničnoj površini, može se smatrati
konstantom materijala, RG, koja se naziva otpornošću pukotine, a ovisi o površinskoj
energiji materijala i energiji za formiranje plastičnih deformacija pri vrhu pukotine.
Kod potpuno lomljivih materijala, kao što je staklo, Griffit je smatrao da je energija za
napredovanje pukotine jednaka energiji potrebnoj za nastajanje dvije slobodne
površine. U tom slučaju otpornost pukotine je funkcija površinske energije
materijala, γG:
GGR γ2= 69.
Kod materijala gdje se energija za napredovanje pukotine uglavnom troši na plastične
deformacije, površinska energija materijala se može zanemariti.
Da bi pukotina napredovala, osloboñena elastična energija, GG, minimalno mora biti
veća od otpornosti pukotine, RG. Minimalan iznos osloboñene elastične energije pri
kojem pukotina napreduje, karakteristika je materijala, a naziva se kritičnom
osloboñenom elastičnom energijom, GG cr.
Da bi osloboñena elastična energija, GG, dosegla kritičnu vrijednost, GG cr, vlačno
naprezanje, σ, kojem je izložena pukotina, mora doseći kritičnu vrijednost
naprezanja, σcr:
L
GE crGcr ⋅−⋅
⋅=
)1( 2νπσ . 70.
Kod materijala gdje je otpornost pukotine funkcija samo površinske energije, a ne i
energije potrebne za nastajanje plastičnih deformacija, tj. RG=2γG=GG cr, kritično
naprezanje se može napisati u funkciji površinske energije materijala, γG:
51
L
E Gcr ⋅−⋅
⋅=)1(
22νπ
γσ 71.
Izraz 71, uvjet je napredovanja pukotine prema Griffitu. Izraz 70, je takoñer uvjet
napredovanja pukotine, gdje energija za napredovanje pukotine obuhvaća i energiju za
nastajanje zone plastičnih deformacija.
2.4.2 Barenblattov kriterij napredovanja frakture
Barenblattov uvjet napredovanja pukotine sličan je prethodnom, a kao osnovu
koristi kohezivne sile koje se javljaju u vrhu pukotine i pukotinu nastoje glatko zatvoriti.
Kohezivne sile karakteristično su svojstvo materijala, a opisane su kohezivnim
modulom KB koji se može napisati u funkciji površinske energije kao:
( )21 νγπ−
⋅⋅= EK G
B , 72.
Kritično naprezanje pukotine, σcr, pri kojem pukotine napreduje u funkciji kohezivnog
modula, KB, je:
πσ B
c
K
L⋅= 2
. 73.
2.4.3 Linearno elastična mehanika frakture
Linearno elastična mehanika frakture, LEFM, stanje naprezanja u okolini
frakture izvodi na osnovu teorije linearne elastičnosti.
Uvjet napredovanja pukotine prema linearno elastičnoj mehanici frakture definiran je
kritičnim intenzitetom naprezanja.
52
Pukotina će napredovati kad intenzitet naprezanja pri vrhu pukotine dosegne kritični
intenzitet naprezanja, odnosno pukotina napreduje pri kritičnom naprezanju, σcr, koje je
funkcija kritičnog intenziteta naprezanja:
L
K Iccr π
σ = 74.
Naprezanja pri vrhu pukotine i intenzitet naprezanja pukotine, definirani su izrazima 13,
14, 15 i 16.
2.4.3.1 Uvjet napredovanja frakture kod nejednake r aspodijele naprezanja
u frakturi
Uvjeti napredovanja pukotine, izrazi 70, 71, 73 i 74, čine teoretsku osnovu za
razmatranje napredovanja frakture, ali nisu direktno primjenjivi na dinamičke uvjete pri
hidrauličkom frakturiranju. Za hidrauličko frakturiranje većeg je značenja uvjet
napredovanja frakture koji umjesto ujednačenog opterećenja tj. jednoliko rasporeñenog
tlaka unutar pukotine ili vlačnog naprezanja stjenke pukotine, u obzir uzima nejednaku
raspodjelu tlaka. Nejednaka raspodjela tlaka u frakturi u dinamičkim uvjetima, nastaje
zbog pada tlaka pri protjecanju fluida ili zbog kontrasta naprezanja u stijenama kroz
koje fraktura prolazi.
Intenzitet naprezanja pri vrhu pukotine u funkciji nejednakog opterećenja duž pukotine,
može se proračunati izrazom32,
( ) dxxL
xLp
LK
L
L
xI −+
⋅= ∫
−π1
, 75.
iz kojeg takoñer za uvjet jednolično rasporeñenog tlaka duž pukotine, slijedi izraz 16.
Za slučaj simetrične raspodijele naprezanja u pukotini, izraz 75 se može napisati u
granicama integriranja za polu duljinu pukotine,
∫ −=
Lx
IxL
dxpLK
022
)(2π
, 76.
odakle slijedi da je:
53
L
K
xL
dxpI
Lx π
2022
)(
∫ =−
, 77.
što za konstantan tlak u frakturi daje istovjetan uvjet napredovanja frakture u statičkim
uvjetima dan izrazom 74.
Izraz 77, je uvjet napredovanja pukotine koji se može koristiti u dinamičkim uvjetima.
Poznavajući raspodjelu tlaka duž pukotine (razlika tlaka fluida u frakturi i minimalne
komponente naprezanja), uz kritični intenzitet naprezanja, odreñeni su duljina pukotine
po “x” osi i visina pukotine po “y” osi (kod vertikalne frakture), dok je širina pukotine
funkcija raspodijele tlaka u frakturi.
2.5 Odreñivanje minimalnog naprezanja mikro hidrauli čkim
frakturiranjem
Test mikro frakturiranja sastoji se od utiskivanja malog volumena fluida (0,004
do 0,08 m3), konstantnim protokom, u pakerima izoliran interval formacije, čime se
inicira hidraulička fraktura. Nakon utiskivanja fluida u iniciranu frakturu, prestaje se s
utiskivanjem i postupak se ponavlja. Za vrijeme utiskivanja fluida i nakon prestanka
utiskivanja, registrira se ponašanje tlaka u funkciji vremena. Skica ponašanja tlaka pri
“mikrofrak” testu u nezacijevljenom kanalu bušotine, prikazana je slikom 17.
54
Slika 17. Skica ponašanja tlaka pri “mikrofrak” testu11.
Maksimalna vrijednost tlaka na dijagramu odgovara tlaku loma stijene, odnosno tlaku
koji je potreban za savladavanje povećane koncentracije naprezanja na stjenci kanala
bušotine i vlačne čvrstoće stijene. Nakon hidrauličkog loma, utiskivanjem fluida,
fraktura napreduje. Prestankom utiskivanja fluida, tlak se trenutno smanjuje. Tlak
trenutnog zatvaranja (“instantaneous shut-in pressure” ili ISIP) približno je jednak
minimalnom “in situ” naprezanju stijene. Zbog filtracije fluida kroz stjenku frakture tlak
se nadalje smanjuje. Otvaranjem ventila, tlak se nakon zatvaranja frakture smanjuje na
hidrostatski tlak stupca fluida. Ponavljanjem postupka utiskivanja fraktura se ponovo
otvara, a razlika tlaka hidrauličkog loma stijene i tlaka ponovnog otvaranja frakture je
vlačna čvrstoća stijene.
Ukoliko se “mikrofrak” test izvodi na dnu nezacijevljene bušotine, nakon orijentiranog
jezgrovanja, iz smjera frakture se može odrediti i azimut minimalnog naprezanja.
“Mikrofrak” test se izvodi i u perforiranim zacijevljenim bušotinama, ali tlakovi su tad
manje pouzdani nego kod nezacijevljenih bušotina.
55
Poglavlje 3
Geometrija frakture u funkciji mehani čkih svojstava
stijena u 2D uvjetima
3.1 Visina frakture
3.1.1 Visina frakture u funkciji naprezanja stijena
Stijene koje graniče s ležištem u velikom broju slučajeva su bogate glinom i
mekše su od ležišnih stijena pa je njihov Poissonov koeficijent veći od Poissonovog
koeficijenta kolektorskih stijena. Zbog toga su, prema izrazima 53 i 54, naprezanja u
krovini i podini ležišta u glavnom veća od naprezanja u ležištu.
Naprezanje stijena i tlak fluida u frakturi definiraju efektivni tlak, pef, ili efektivno
naprezanje frakture, koje je jednako njihovoj razlici.
Visina frakture funkcija je distribucije efektivnih naprezanja po njezinoj visini i kritičnih
intenziteta naprezanja stijena u kojima se nalaze vrhovi pukotine.
Uz aproksimaciju da je tlak fluida po visini frakture ujednačen, visina frakture se u
funkciji naprezanja stijena može izračunati na osnovu izraza 75.
3.1.1.1 Visina frakture kod izjedna čenih naprezanja krovinskih i podinskih
stijena
Najjednostavniji pristup u razmatranju visine frakture je pretpostavka
izjednačenog naprezanja stijena podine i krovine nekog ležišta38, 14.
Za simetričan slučaj naprezanja, slika 18, efektivni tlak u frakturi, pef, se može definirati
kako slijedi:
Lyl
lyl
Lyl
p
p
p
p
bf
af
bf
yef
−<<−<<−<<
−−−
=;
;
;
)(.
σσσ
78.
56
Slika 18. Shematski prikaz raspodijele naprezanja po vertikalnom presjeku frakture u uvjetima različitog
intenziteta naprezanja ležišta i stijena krovine i podine.
Uvrštavanjem raspodijele efektivnog tlaka u frakturi opisanog izrazom 78, u jednadžbu
76 i integriranjem slijedi izraz za intenzitet naprezanja prema slici 18:
( ) ( ) LpL
larc
LK bfabcI πσ
πσσ −+
−= sin2 79.
Preureñenjem, izraz 79, se može napisati u slijedećem obliku,
( )
−+−−−+
=−−
l
lLl
K
l
lLarc
p
ab
cI
ab
fb
11
1sin
2
πσσπσσ
σ
80.
pa se visina frakture u funkciji naprezanja stijena i tlaka u frakturi može prikazati u
obliku dijagrama, slika 19.
57
0
0,5
1
1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
(σσσσ b-p f)/(σσσσ b-σσσσ a)
(L-l)
/l
KIc=0, za sve razlike naprezanja stijena
KIc=1,1 MPa, razlika naprezanja stijena je 7 MPa
KIc=1,1 MPa, razlika naprezanja stijena je 5 MPa
KIc=1,1 MPa, razlika naprezanja stijena je 3 MPa
Slika 19. Visina frakture u funkciji naprezanja stijena i tlaka u frakturi.
3.1.1.2 Visina frakture pri razli čitom naprezanju stijena krovine i podine
Kod različitog naprezanja stijena krovine i podine, slika 20, izrazi za visinu
frakture u funkciji efektivnog naprezanja frakture, slijede iz jednadžbe 75.
58
Slika 20. Visina pukotine pri različitom naprezanju stijena krovine i podine.
Distribucija efektivnog tlaka, pef, po vertikalnom profilu frakture, slika 20, može se
definirati izrazom:
( )
2
12
1
.
;
;
;
lyL
lyl
Lyl
p
p
p
p
bf
af
cf
yef
−<<−<<−
<<
−−−
=σσσ
. 81.
Rješavanjem jednadžbe 75, za kritični intenzitet naprezanja na vrhu i dnu pukotine, uz
distribuciju tlaka zadanu izrazom 81, nakon preureñenja i supstitucije, l2=l-l1, slijede
dvije jednadžbe kojima je iterativnim postupkom dano rješenje visine frakture u funkciji
tlaka u frakturi i naprezanja u stijenama:
( ) ( ) ( ) ( )2
2sinsin2
21 πσσσσσσπ
fbcabacbIccIc p
L
larc
L
larc
L
KK−+−
−+
−=+
, 82.
( ) ( ) ( ) 22
221
2
2lLlL
KKabac
cIcbIc −−−−−=−
σσσσπ
. 83.
59
Ako se zanemari utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja na tlak u frakturi, tad se visina
frakture i prodor frakture u stijene podine i krovine, u funkciji tlaka u frakturi i
naprezanja stijena, mogu prikazati familijom krivulja prikazanih slikom 21.
Slika 21. Visina frakture u uvjetima različitih naprezanja krovinskih i podinskih stijena14.
U prisustvu većeg broja slojeva ili proslojaka poznatih naprezanja, visinu frakture
moguće je proračunati kao i u prethodnim slučajevima, iterativnim postupkom,
jednadžbama koje su rezultat rješavanja jednadžbe 75, uz zadanu distribuciju tlaka,
odreñenu tlakom fluida u frakturi i naprezanjima stijena.
60
Za rješavanje visine frakture u slučaju više slojeva mogu se koristiti slijedeće
jednadžbe14:
( )∑∑==
+
+=+ n
j
ji
im
ii
IcnIcm
L
larcS
L
larcSS
L
KK
2,32,20 sinsin
22
ππ, 84.
( )∑∑==
−−−=+ n
jjj
m
iii
IcmIcn lLSlLSKKa
2,3
22
2,2
22
2
π. 85.
U jednadžbama 84 i 85, indeks, m, se odnosi na sloj u kojem se nalazi vrh frakture, a
indeks, n, na sloj u kojem se nalazi dno frakture. Uz to, S2=σ2-σ1, S3=σ3-σ1, Si=σi-σi-2
za i>2, Sj=σj-σj-2 za j>3, σ0=2pf-σm-σn i i=2,2 (ili j=3,2), znači da se i (ili j) povećava
za 2.
Izrazi 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84 i 85, zasnivaju se na pretpostavci da je tlak fluida u
vertikalnom presijeku frakture ujednačen, tj. zanemaruje se pad tlaka zbog vertikalnog
protoka i promjena tlaka fluida u frakturi s visinom, zbog gravitacije.
Takoñer se pretpostavlja da su slojevi u kojima se nalaze vrhovi pukotine,
neograničeni. U slučaju ograničenih slojeva, utjecaj kontrasta u naprezanjima na visinu
frakture je manji.
3.1.2 Visina frakture u funkciji Youngovog modula stijene
Youngov modul na visinu frakture indirektno utječe na dva načina38:
� utjecajem na intenzitet naprezanja pri vrhu pukotine i
� utjecajem na gradijent tlaka duž vertikalnog profila frakture.
Intenzitet naprezanja pukotine definiran izrazom 16, odnosi se na pukotinu u
neograničenoj ravnini. U ravnini konačnih dimenzija, širina ravnine utječe na intenzitet
naprezanja. Intenzitet naprezanja pukotine je tad, prema slici 22, definiran u funkciji
udaljenosti vrha pukotine od ruba ravnine, slijedećim izrazom6:
61
Slika 22. Pukotina u ravnini ograničene širine.
22
tan22
+
+=
L
rL
r
L
K
vr
vrI πσ
86.
Ograničena debljina slojeva stijena, odnosno izmjena kolektorskih i izolatorskih stijena
po profilu frakture, prema izrazu 86, takoñer utječu na intenzitet naprezanja pukotine.
Slikom 23, prikazan je utjecaj blizine slojne plohe na intenzitet naprezanja pri vrhu
pukotine, za dva primjera različitih odnosa Youngovih modula stijena izolatora i ležišne
stijene.
62
Slika 23. Promjena intenziteta naprezanja u funkciji udaljenosti od slojne ravnine38.
(ν1=ν2=0.14, E1=1.6 MPa, E2=3.1 MPa)
U prvom slučaju krutost izolatorskih stijena je manja od krutosti ležišta. Približavanjem
vrha pukotine slojnoj granici, intenzitet naprezanja raste, odnosno za rvr/L→0; KI→∞.
Tada će, što je fraktura bliže plohi uslojavanja, biti lakše njezino napredovanje. U
drugom slučaju, gdje je krutost stijena izolatora veća od krutosti ležišnih stijena,
približavanjem vrha pukotine plohi uslojavanja, intenzitet naprezanja se smanjuje
(vlačno naprezanje pri vrhu frakture je manje), odnosno za rvr/L→0; KI→0. Prema tome,
tada se javlja efekt barijere koji nastoji spriječiti napredovanje frakture stijenama koje
graniče s ležištem. Uzevši u obzir takav utjecaj modula elastičnosti na visinu frakture,
za očekivati je bolje rezultate frakturiranja u ležištima gdje je krutost stijene ležišta
manja od krutosti stijena izolatora.
63
Zbog manje deformabilnosti, širina pukotine u stijenama većih modula
elastičnosti je manja. Smanjenjem širine pukotine po njenoj visini, povećava se
vertikalni gradijent tlaka fluida pa je vertikalno napredovanje frakture teže. Krutost
izolatorskih stijena u većini je slučajeva manja od krutosti kolektora pa je vertikalno
napredovanje frakture potpomognuto manjom krutosti stijena krovine i podine.
Osim što su manje elastične, stijene krovine i podine, za razliku od stijena kolektora
imaju i veći Poissonov koeficijent pa su horizontalna naprezanja u njima veća od onih u
kolektorskim stijenama. Veća minimalna naprezanja u stijenama krovine i podine imaju
veći utjecaj na vertikalni rast frakture nego što na njega utječe veća širina frakture u
krovini i podini zbog manjih modula elastičnosti. Zbog toga se tendencija rasta frakture,
uslijed smanjenja modula elastičnosti stijena krovine i podine, uglavnom poništava.
3.1.3 Visina frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja stijene
Na osnovu navedenih izraza za intenzitet naprezanja pukotine, može se reći da
je kod većeg kritičnog intenziteta naprezanja stijena, potreban veći tlak u pukotini da bi
ona napredovala, horizontalno ili vertikalno. Pri istom efektivnom tlaku u frakturi, visina
frakture je veća, ukoliko su kritični intenziteti naprezanja izolatorskih ili kolektorskih
stijena manji.
Kod jednakog naprezanja stijena krovine i podine (slika 18), rješenje visine pukotine u
funkciji kritičnog intenziteta naprezanja slijedi iz izraza 80:
( ) ( )
1
1
1sin
2
2
2
−
−−−+−
=−
fbab
Ic
p
l
lLarcl
K
l
lL
σσσπ
π
.
87.
Visina frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja može se prikazati dijagramom,
slika 24, dobivenim iterativnim rješavanjem izraza 87.
64
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
KIc (MPam0,5)
(L-l)
/l
σa=30 MPa
σb=36 MPa
pf=35 MPa
σa=30 MPa
σb=40 MPa
pf=35 MPa
Slika 24. Prodor frakture u podinu i krovinu ležišta, pri jednakom naprezanju krovine i podine, u funkciji
kritičnog intenziteta naprezanja stijena krovine i podine.
Prema izrazu 87 i slici 24, utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja na visinu frakture
ovisan je o kontrastu u naprezanju stijena. Što je kontrast u naprezanju stijena manji,
utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja na visinu frakture je veći.
3.2 Širina frakture
Širina frakture ili deformacija stijene, funkcija je efektivnog naprezanja frakture i
elastičnih svojstava kojim se opisuje deformabilnost stijene.
Što je veće naprezanje stijena, za isti tlak fluida u frakturi i kod konstantnog modula
elastičnosti i Poissonovog omjera, širina frakture je manja. Takoñer, u stijenama većih
65
modula elastičnosti, tj. kod manje deformabilnih stijena, pri konstantnom efektivnom
naprezanju, širina frakture je manja.
Kontrasti naprezanja izmeñu kolektora i stijena krovine i podine, indirektno utječu na
širinu pukotine. Ukoliko su odnosi naprezanja u podini, krovini i koklektorskoj stijeni
takvi, da uslijed povećanog naprezanja u stijenama izolatorima sprječavaju vertikalno
napredovanje pukotine, to u pukotini može egzistirati veći tlak pa je i širina frakture
veća.
Na isti način može se opisati i utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja stijena. Što je
kritični intenzitet naprezanja stijene veći, to je za napredovanje frakture potreban veći
tlak, tako da je i širina frakture veća.
(Ako se utjecaj mehaničkih svojstava stijena na širinu frakture analizira promatrano za
isti volumen utisnutog fluida u frakturu, može se reći da sve što utječe na visinu i
duljinu frakture, odnosno na njezinu površinu, utječe i na širinu frakture.
Ograničavanjem visine i duljine frakture za isti volumen fluida koji se utiskuje, raste tlak
u frakturi a time i njena širina. )
England i Green13, 14 su za uvjete ravninske deformacije, prema slici 25, izveli
izraz za širinu pukotine, duljine od x=L do x=-L , u funkciji nejednoliko rasporeñenog
tlaka duž stjenke pukotine.
Slika 25. 2D model hidrauličke pukotine eliptičnog oblika.
( )( )
( )( )
∫ ∫−
∆
−⋅⋅−=
1
02
12
2
1
222
222
114
Lx
ff
x
ff
dfp
Lxf
dff
G
Lw
πν
, 88.
66
gdje je ∆p(f1)=pef.(f1)=p(f1)-σH(f1) razlika tlaka izmeñu hidrauličkog tlaka u pukotini i “in situ”
naprezanja koje djeluje na stjenku pukotine, a f1=x/L, za x<L0 i f2=x/L, za L0<x<L, su
dijelovi polu duljine pukotine (slika 25).
Za slučaj jednoliko rasporeñenog tlaka u pukotini i homogenog naprezanja u stijeni,
odnosno u statičkim uvjetima, jednadžba 88 se svodi na:
( )( ) 2
112
−∆⋅⋅−⋅=L
x
G
pLw x
ν. 89.
Ukoliko se “x” zamijeni sa “z”, a “L” sa “hf”, izrazi 88 i 89, daju širinu frakture u
vertikalnoj ravnini, tj. vertikalni profil frakture.
U horizontalnoj ravnini je zbog trenja pri protjecanju fluida, prisutan gradijent tlaka pa
se širina frakture u tom slučaju definira izrazom 88. U vertikalnoj ravnini, u odreñenim
uvjetima, vertikalno gibanje fluida se može zanemariti, a tlak po vertikalnom presjeku
frakture može se smatrati konstantnim. U tom slučaju, vertikalna širina frakture, ako se
u izrazu 89, “x” zamijeni sa “z”, a “L” sa “hf”, je:
( )( ) 2
21
1
−
∆−=
f
fz h
z
G
phw
ν. 90.
Slično izrazu 88, Sneddon13, 14 je izveo izraz za širinu frakture koja napreduje radijalno,
u slučaju kad nema vertikalnih barijera pa je R=L=hf/2:
( )( )
( )( )
∫∫−
∆
−
−=2
1
21
22
111
222
214f
Rr
f
Rr
r
w ff
dfpf
Rrf
df
G
Rw
πν
. 91.
Za jednoliko rasporeñen tlak, jednadžba 91 se svodi na:
( )( )
R
r
G
pRw r −∆−= 1
14
πν
. 92.
67
Mehanička svojstava stijena i naprezanja po vertikalnom profilu frakture nisu jednaka.
Zbog toga fraktura u području stijene manje krutosti ima veću širinu, dok je manje
široka u kompaktnijoj stijeni većeg modula elastičnosti.
3.3 Duljina frakture
Prema linearno elastičnoj mehanici frakture, duljina i visina frakture su funkcija
distribucije efektivnog tlaka u frakturi i kritičnog intenziteta naprezanja, što je
objašnjeno u drugom poglavlju (točka 2.4.3.1), a matematički se može opisati na
osnovu izraza 75.
Distribucija tlaka fluida po duljini frakture definirana je mehanikom fluida, tj. protokom
fluida kroz pukotinu poznatog oblika i njegovim gubitcima zbog filtracije kroz stjenku
frakture. Budući da je za poznavanje gradijenta tlaka duž pukotine potrebno
poznavanje oblika pukotine, a oblik pukotine funkcija je tlaka fluida u njoj, duljina
pukotine slijedi kao iterativno rješenje protjecanja fluida pukotinom i jednadžbi kojima je
duljina pukotine definirana u funkciji distribucije efektivnog tlaka.
68
Poglavlje 4
Matemati čki modeli za projektiranje hidrauli čke frakture
Matematički modeli nastajanja frakture i njezinog napredovanja zahtijevaju
istodobno rješavanje jednadžbi elastičnosti, jednadžbi protjecanja frakturom i
zadovoljavanje kriterija napredovanja frakture. Geometrija frakture definirana je
jednadžbama elastičnosti, kriterijem napredovanja frakture i gradijentom tlaka fluida u
frakturi. S druge strane gradijent tlaka u frakturi funkcija je protjecanja fluida pukotinom
poznatog oblika.
Uzajamnim rješavanjem jednadžbi kojima je definirana geometrija frakture (izrazi za
širinu frakture i uvjet napredovanja frakture) i jednadžbi protjecanja fluida u pukotini
poznatog oblika, dobivaju se izrazi koji uzajamno povezuju vrijeme, protok, geometriju
frakture i tlak frakturiranja.
Za praktičnu primjenu razvijeni su dvodimenzionalni i trodimenzionalni modeli
hidrauličke frakture.
Dvodimenzionalni modeli temelje se na pretpostavci ravninskog stanja deformacija. To
znači da je u linearno elastičnim neograničenim stijenama u svim paralelnim ravninama
deformacija neovisna o deformacijama u susjednim ravninama.
Osnovni dvodimenzionalni modeli su PKN (Perkins-Kern-Nordgen), KGD (Kristijanović-
Geertsma-de Klerk) i radijalni model.
4.1 KGD model
Na temelju Želtov-Kristijanovićevog koncepta mobilne ravnoteže pukotine26,
prema kojem pri utiskivanju fluida u pukotinu fluid nikad ne dotiče vrh pukotine i
Englang-Greenovog izraza za širinu frakture, Greetsma i de Klerk su razvili KGD model
(Kristijanovič-Geertsma-de Klerk model) 13, 7, slika 26.
69
Slika 26. Shematski prikaz linearno napredujuće frakture prema KGD modelu7.
Pretpostavke na osnovu kojih je izveden KGD model su slijedeće:
� fraktura je konstantne visine, pravokutnih uzdužnih presjeka,
� širina frakture je neovisna o njezinoj visini,
� protjecanja fluida frakturom je laminarno,
� gradijent tlaka fluida u smjeru napredovanja pukotine odreñen je otporom
protjecanja newtonskog fluida u uskom kanalu pravokutnog poprečnog presjeka,
čija se širina mijenja u smjeru napredovanja frakture,
� gubici fluida zbog filtracije su zanemareni.
Promjena tlaka zbog trenja po jedinici duljine, dp/dx, pri protjecanju newtonskog
viskoznog fluida, funkcija je Fanningovog koeficijenta trenja, f, gustoće, ρ, hidrauličkog
dijametra, dh, i srednje brzine protjecanja fluida, v ,:
70
hd
f
dx
dp 2v2 ρ= , 93.
Hidraulički dijametar za uski kanal pravokutnog poprečnog presjeka, kad je visina, hf,
puno veća od širine kanala, w, definiran je kao, dh=2w, a srednja brzina je definirana
kao, v =q/(wf⋅hf). Fanningov koeficijent trenja u navedenim uvjetima protjecanja može
se odrediti izrazom:
eRf
24= , 94.
gdje je Re, Reynoldsov broj, definiran kao Re=ρ v dh/µ.
Nakon uvrštavanja vrijednosti “dh”, “Re”, “f” i “ v ”, u jednadžbu 93 i integriranja, slijedi
izraz za pad tlaka uzduž pukotine promjenjive širine, pri konstantnom protoku:
( ) ( )( )
∫=−x
txftxt
w
dx
h
qpp
03
,
,,0
12µ. 95.
Jednadžbama 88 i 95, uz odgovarajući rubni uvjet, koji je uveo Barennblat, definiran je
oblik frakture.
Barenblattov rubni uvjet nadovezuje se na Kristijanovič-Želtov koncept mobilne
ravnoteže pukotine, a odnosi se na raspodjelu tlaka fluida u frakturi i naprezanje pri
vrhu pukotine. Raspodjela tlaka fluida, koji djeluje na stjenku frakture, mora biti takva
da osigura glatko zatvaranje vrha pukotine. Time je osigurano da je normalno
naprezanje pri vrhu pukotine konačno i da je jednako vlačnoj čvrstoći stijene. Uvjet
glatkog zatvaranja pukotine podrazumijeva da je promjena širine frakture po njenoj
duljini u vrhu pukotine jednaka nuli, odnosno može se napisati:
01
=
=L
xdx
dw 96.
Takoñer iz uvjeta glatkog zatvaranja pukotine slijedi da je otpor protjecanju fluida u
samom vrhu frakture neograničen, zbog čega je tlak fluida u vrhu frakture jednak nuli.
Zbog glatkog zatvaranja, porast širine frakture pri vrhu, proporcionalan je udaljenosti od
71
vrha pukotine, zbog čega se gradijent tlaka smanjuje s najmanje trećom potencijom
udaljenosti od vrha pukotine, izraz 95. Zbog toga se s povećanjem udaljenosti od vrha
pukotine, gradijent tlaka fluida veoma brzo smanji,. Distribucija tlaka u frakturi u tom
slučaju se može aproksimirati kako slijedi:
10
0
⊲⊲
⊲⊲
λλσλλσ
fH
fHf
p
pp
−=∆−=∆
, 97.
gdje je λf = L0/L, a L0 je duljina penetracije fluida u pukotini.
Rješavanjem izraza 77, uz distribuciju tlaka zadanu izrazom 97, slijedi rješenje duljine
penetracije fluida u pukotini:
+=
πσπλ
L
K
pI
f
Hf 2
sin . 98.
Zanemarivanjem kritičnog intenziteta naprezanja, izraz 98 se može napisati u
pojednostavljenom obliku:
=
f
Hf p2
sinπσλ . 99.
Isti rezultat slijedi primjenom uvjeta definiranog izrazom 96, na England-Greenovu
jednadžbu oblika frakture, jednadžba 88.
Rješavanjem jednadžbi 88 i 95, uz penetraciju fluida definiranu izrazom 98 ili 99 slijede
rješenja za:
� maksimalnu širinu pukotine, tj. širinu u njenom ishodištu,
( )( )
( )2
,0 114
fftft LpG
w λλπ
ν −−≅ 100.
� i tlak u ishodištu pukotine,
72
( )( )
23,0
,0
1
21
ftf
ft
wh
qLpp
λµ
−≅= . 101.
Iz jednadžbi 100 i 101 uz zamjenu protoka jednim krilom frakture, q, s ukupnim
protokom, qi, gdje je q=qi/2, slijedi rješenje maksimalne širine pukotine u funkciji njene
duljine:
( )( ) ( )
41
2
,0
142
−=f
tit h
Lq
Gw
µπ
ν. 102.
Uvrštavanjem izraza za volumen pukotine eliptičnog horizontalnog presjeka,
( ) ( ) tqwhLV itftf == ,02
π. 103.
u izraz 102, slijede rješenja duljine i širine pukotine u funkciji vremena utiskivanja:
( ) ( )3
26
1
3
3
3 121
8t
h
GqL
f
it
−=
µνπ, 104.
( )( )
31
61
3
3
3,0
1168t
Gh
qw
f
it
−≅
µνπ
. 105.
Aproksimacijom izraza 99, za duljinu penetracije fluida sa,
212
fffHf pp λλπ
σ −≅− 106.
i kombiniranjem s izrazom 100, slijedi izraz za efektivni tlak u ishodištu pukotine:
73
31
)(
),0(),0( .
)1(2tkonst
L
wGp
t
tHtf ⋅=
−=−
νσ . 107.
Osnovni KGD model dorañen je i prilagoñen za realne uvjete tj. uvjete u kojima se
koriste nenewtonski fluidi i gdje se javlja gubitak fluida zbog filtracije.
4.2 PKN model
Osnovna razlika PKN modela (Perkins-Kern-Nordgernov model) 35, 7 u odnosu
na KGD model je eliptičan vertikalni presjek frakture, slika 27.
Slika 27. Shematski prikaz frakture koja napreduje linearno (prema Perkinsu i Kernu)7.
74
Pretpostavke na kojima se zasniva PKN model vertikalne linearne frakture su:
� visina frakture je konstantna,
� tlak fluida u pukotini u vertikalnim poprečnim presjecima je konstantan,
� vertikalni presjek frakture u bilo kojoj točki je eliptičnog oblika, a definiran je izrazom
90, što znači da je maksimalna širina pukotine dana izrazom:
( )( ) ( )
G
phw Hff
tx
σν −−=
1, 108.
� gradijent tlaka fluida u smjeru napredovanja frakture odreñen je otporom
protjecanju fluida u uskom kanalu eliptičnog presjeka, izraz 93. Za eliptični presjek
Fanningov koeficijent trenja odreñen je izrazom, f= 2π2/Re, a hidraulički dijametar,
dh=πw/2, gdje je wf manja, a hf veća os elipse.
� tlak fluida duž frakture smanjuje se tako da je za x=L, pf=σH,
� u osnovnom modelu gubitak fluida za frakturiranje i promjena širine frakture s
vremenom su zanemareni tako da je ∂q/∂x=0 i protok fluida uzduž pukotine jednak
je polovini ukupnog protoka, q(x, t)=qi/2.
Iz jednadžbe 93, uvrštavanjem izraza za “dh”, “Re”, “f” i “ v ”, slijedi:
fhw
q
dx
dp3
64 µπ
= 109.
Uvrštavanjem izraza 108, u jednadžbu 109 i integriranjem, slijedi jednadžba za
efektivni tlak:
( )( )
( )
41
43
3
,012
4
−=−
f
tiHtf
h
LqGp
νπµ
σ . 110.
Uvrštavanjem izraza 110, u izraz 108, slijedi izraz za maksimalnu širinu frakture u
funkciji njene duljine:
75
( ) ( )4
1
, 2
14
−= tito LqG
w µπ
ν. 111.
Uvoñenjem jednadžbe za ukupni obujam pukotine,
( ) ( ) tqwhLV itftf == ,05
2π 112.
i njenim uvrštavanjem u jednadžbu 111, duljina i maksimalna širina frakture se mogu
izraziti u funkciji vremena:
( ) ( )5
45
1
4
3
1038,1 t
h
GqL
f
it ⋅
−=
µν, 113.
( )( ) 5
12
,0
1051,1
−=
f
it Gh
tqw
µν. 114.
Osnovni Perkins-Kernov model poboljšao je Nordgern31, 7, koji je uzeo u obzir utjecaj
širenja pukotine na protok, izrazivši ga izrazom:
x
wh
x
q f
∂∂=
∂∂
4
π, 115.
U tom slučaju konačni izrazi za duljinu i širinu frakture, koji uzimaju u obzir utjecaj
širenja pukotine na protok, su:
( ) ( )5
45
1
4
3
145,0 t
h
GqL
f
it ⋅
−=
µν, 116.
( )( ) 5
12
,0
189,1
−=
f
it Gh
tqw
µν. 117.
76
Kombinacijom izraza 108 i 117, slijedi izraz za efektivni tlak u ishodištu pukotine:
( ) ( )( ) 5
1,0,0,0 .
1tkonst
h
wGpp
f
tHtft ⋅=
−=−=∆
νσ 118.
4.3 Radijalni model
Kod radijalnog napredovanja frakture13, 7, tj. u slučaju kad vertikalnih barijera
uopće nema, raspodjela tlaka u osnovi je slična raspodjeli tlaka kod linearnog KGD
modela. Najveći gradijent tlaka je u području vrha pukotine, nakon čega slijedi područje
približno konstantnog tlaka.
Ako je hidraulički dijametar, dh=2w, koeficijent trenja, f=24/Re, i srednja brzina
protjecanja, v =q/A=q/(2rπwf), onda iz jednadžbe 93 slijedi izraz za pad tlaka u
radijalnom modelu pukotine:
( ) ( )( )
∫=−r
r tr
trt
wwr
drqpp
3,
,,0
6
πµ
119.
Uvoñenjem aproksimacije da je širina frakture konstantna i jednaka srednjoj širini, w ,
za rw ≤ r<r0 i da je za, r0 ≤ r<R, tlak jednak nuli, gornji izraz se može aproksimirati u
funkciji srednje širine:
( ) ( )w
trt r
r
w
qpp ln
63,,0 π
µ=− . 120.
Na osnovu Sneddonove jednadžbe oblika radijalne frakture, jednadžba 91, distribucije
tlaka u radijalnoj frakturi, jednadžba 120, i Barennblatovog rubnog uvjeta, izvodi se
rješenje maksimalne širine radijalne pukotine, koje se može napisati kako slijedi:
77
( )( ) ( )
41
,0
115,2
−=
G
Rqw ti
t
µν. 121.
Obujam radijalne pukotine paraboličnog oblika je,
( ) tqwRV itf == ,02
15
8π 122.
pa se kombiniranjem jednadžbi 121 i 122, polumjer i širina frakture mogu napisati u
funkciji vremena:
( ) ( )9
49
13
157,0 t
GqR i
t ⋅
−=
µν, 123.
( )( )
91
92
23
,0
186,1 t
G
qw i
t ⋅
−=
µν. 124.
Efektivni tlak u ishodištu pukotine dan je izrazom:
31
)(
),0(),0( .
)1(4
−⋅=−
=− tkonstR
Gwp
t
tHtf ν
πσ 125.
4.4 Nenewtonski fluidi
Prethodno navedene jednadžbe za projektiranje hidrauličke frakture u KGD,
PKN i radijalnom modelu, odnose se na hidrauličko frakturiranje sa newtonskim
fluidima i zanemaruju gubitak fluida zbog filtracije.
U praksi se u hidrauličkom frakturiranju koriste isključivo nenewtonski fluidi7 kod kojih je
odnos smičnog naprezanja, τ, i brzine smicanja, γɺ , karakterizirani indeksom
konzistencije, Ik, i indeksom ponašanja toka, n, izrazom:
78
nkI γτ ɺ= . 126.
Parametri Ik i n odreñuju se laboratorijski, pri čemu na njihov iznos utječe geometrija
viskozimetra pa se laboratorijski mjereni iznosi parametara označavaju sa Ik’ i n’.
Parametri Ik i n se u odnosu na Ik’ i n’ mogu odrediti različitim izrazima ovisno o
geometriji viskozimetra.
Prividna viskoznost nenewtonskih fluida, µa, se pri odreñenoj brzini smicanja, može
izračunati izrazom:
1−′′= nka I γµ ɺ , 127.
gdje je brzina smicanja kod protjecanja pravokutnim kanalom širine w, definirana
izrazom,
w
v6=γɺ 128.
i kod protjecanja kanalom eliptičnog poprečnog presjeka, kad ekscentričnost elipse teži
nuli, a njena manja os je w, brzina smicanja je,
w
v2πγ =ɺ . 129.
Uvrštavanjem izraza 128 ili 129, u izraz 127 i uvoñenjem srednjih brzina protjecanja,
v , slijedi da su prividne viskoznosti nenewtonskog fluida za protjecanje u kanalu
pravokutnog poprečnog presjeka i eliptičnog poprečnog presjeka, pri odreñenoj brzini
smicanja, slijedeće:
� za KGD model,
1
2
6−′
′=
n
ff
kawh
qIµ , 130.
� za PKN model,
79
1
8−′
′=
n
ffka hw
qIµ , 131.
� i za radijalni model,
1
2
3−′
′=n
ka wr
qI
πµ . 132.
Supstitucijom dinamičke viskoznosti u izvodima izraza za širinu frakture u PKN i
radijalnom modelu, ili direktnom supstitucijom dinamičke viskoznosti s prividnom
viskoznosti u izrazu za širinu frakture u KGD modelu, dobivaju se slijedeći izrazi za
širinu frakture:
� širina pukotine u ishodištu, u funkciji duljine frakture, za KGD model;
( ) ( )
22
1
2,0
167+′′
′
−′⋅=n
t
n
f
ik
n
t Lh
q
GIw
νπ
, 133.
� širina pukotine u ishodištu, u funkciji duljine frakture, za PKN model,
( )( ) ( )
( )
22
1
1
,0
1
2
228+′′
′
+′
−′+′=
n
tf
n
f
ikn
n
t Lhh
q
GI
nw
νπ
134.
� i širina pukotine u ishodištu, u funkciji vremena, za radijalni model,
( ) ( ) ( )22
1
2
2
1213
,0
1
18
53 +′′−′′
+′+′
′−′−
=n
nt
nikn
nn
t RqIGn
wν
π. 135.
80
4.5 Gubitci fluida
Gubitak fluida za vrijeme frakturiranja iz pukotine u ležište, kontroliraju tri zone7:
� filterski oblog,
� zona ispunjena filtratom i
� zona ispunjena ležišnim fluidom.
Brzina protjecanja kroz pojedinu zonu, definirana je kao omjer koeficijenta gubitka
fluida pripadne zone i drugog korijena vremena protjecanja, što slijedi iz rješenja
jednadžbe difuzije za jednodimenzionalni linearni protok.
Prema tome gubitak fluida za vrijeme frakturiranja je karakterizirana s tri koeficijenta:
� koeficijentom filtracije fluida, Cc, koji je kontroliran propusnošću ležišta, k,
šupljkavošću, φ, ukupnim koeficijentom stlačivosti, ct i viskoznošću ležišnog
fluida, µ,
πµt
c
ckpC
Φ∆= , 136.
� koeficijentom filtracije fluida, Cv, koji je kontroliran efektivnom propusnosti ležišta za
filtrat, ke, šupljikavošću, φ i prividnom viskoznošću filtrata, µa,
a
ev
pkC
µ2
Φ∆= , 137.
� koeficijentom filtracije fluida, Cw, koji je kontroliran propusnošću filterskog obloga,
kw, i prividnom viskoznošću filtrata, µa,
a
ww
pkC
µκ
2
∆= , 138.
gdje je κ, konstanta koja se odreñuje eksperimentalno, a ovisi o koncentraciji krutih
čestica u fluidu za frakturiranje.
Koeficijent filtracije Cw, se odreñuje eksperimentalno za odreñenu vrstu fluida, te za
vrstu i koncentraciju dodanih krutih čestica.
81
Budući da je protjecanje kroz zone koje kontroliraju gubitak fluida meñusobno
povezano, efektivna brzina protjecanja, vef, se može izraziti u funkciji efektivnog
koeficijenta filtracije, C i vremena, t, izrazom:
t
C=efv . 139.
Pri tome je efektivni koeficijent filtracije, C, funkcija koeficijenata gubitka fluida kojima je
karakterizirano protjecanje kroz pojedinu zonu, a definiran je izrazom:
( )[ ] 21
22222 4
2
wvcwvwc
wvc
CCCCCCC
CCCC
+++= . 140.
U periodu dok još nije formiran filterski oblog, gubitak fluida je kontroliran koeficijentima
Cv i Cc pa je u tom periodu efektivni koeficijent filtracije, Cvc, definiran izrazom:
( ) 21
22 4
2
cvv
vcvc
CCC
CCC
++= . 141.
Volumen izgubljenog fluida u tom periodu naziva se volumenom izlijevanja, Vsp, (“spurt
volume” ili “spurt loss”).
U slučaju kada Cw dominira filtracijom fluida, volumen izlijevanja se može smatrati
trenutnim gubitkom pa je tada ukupni gubitak fluida po jedinici površine, Vl, dan
izrazom:
21
2 tCVV wspl += . 142.
U uvjetima gubitka fluida djelotvornost fluida za frakturiranje se može izraziti kao omjer
volumena frakture (ili razlike utisnutog volumena i gubitaka) i utisnutog volumena
fluida:
tq
Vtq
tq
V
i
li
i
f −==η . 143.
82
Temelj za izvedbu jednadžbi za modeliranje hidrauličke frakture u uvjetima
gubitka fluida, postavio je Carter19, 7, koji je na osnovu jednadžbe za brzinu filtracije,
p
ltt
C
−=v , 144.
gdje je tp, vrijeme početka gubljenja fluida, a t, sadašnje vrijeme, i pretpostavke
konstantne visine i širine frakture, izveo jednadžbu za duljinu frakture, koja je dana
izrazom:
+−= απα
αα erfce
wh
tqL
f
i 2
12
2 2, 145.
gdje je
tw
C πα 2= . 146.
Za α>4, 112
⊲⊲
πααα ≅erfce , dok je 1
2⊳⊳
πα
pa se izraz 145, može svesti na:
Ch
tqL
f
i
π2
1= . 147.
Uključivanjem volumena izlijevanja, duljina frakture u funkciji vremena se može napisati
kako slijedi:
( )
+−+
= απα
αα erfce
hVw
tqL
fsp
i 2
12
22 2, 148.
gdje je
83
tVw
C
sp
πα2
2
+= . 149.
Na osnovu Carterove jednadžbe, izvedene su jednadžbe za projektiranje hidrauličke
frakture za KGD, PKN i radijalni model.
Da bi se udovoljilo Carterovom uvjetu konstantne širine, u KGD modelu je širina
frakture aproksimirana sa ( )ktw ,03
2,gdje je tk konačno vrijeme, tj. vrijeme svršetka
frakturiranja.
Konačno rješenje duljine frakture u uvjetima gubitka fluida za KGD model je:
( )[ ]
+−+
= απα
απα erfce
hVw
tqL
fspt
i
k
2
12
8
22
,0
, 150.
gdje je
( ) spt Vw
tC
k8
8
,0 +=
ππ
α . 151.
Širina frakture u funkciji duljine frakture za nenewtonske fluide dana je izrazom 133.
Rješenje duljine i širine frakture može se odrediti iterativnim rješavanjem jednadžbi 133
i 150.
Za slučaj kad je α>4, tj. kod dugotrajnih frakturiranja i/ili u slučaju velikog efektivnog
koeficijenta filtracije, uz zanemarivi obujam izlijevanja, jednadžba 150 se svodi na
jednadžbu 147. Jednadžba 147 se tada ne može koristiti kao druga jednadžba za
iterativno rješavanje, već se jednadžba 147 kombinira s Biotovim rješenjem KGD
modela4, 7, odakle slijedi izraz za širinu frakture u funkciji vremena,
( )( )
103
51
3
3
0
1t
CGh
qw
f
i
−=
µν, 152
Viskoznost fluida u prethodnom izrazu pri frakturiranju nenewtonskim fluidom se
supstituira s prividnom viskoznošću.
84
U radijalnom modelu konstantna širina frakture aproksimirana je sa ( )ktw ,09
8, a
konačno rješenje polumjera pukotine uz uključivanje gubitaka fluida, dano je izrazom:
( )[ ]
+−+
= απα
απα erfce
Vw
tqR
spt
i
k
2
12
1542
152
,0
2 , 153
gdje je
( ) spt Vw
tC
k154
15
,0 +=
πα . 154
Jednadžbama 153 i 135, dano je rješenje polumjera i širine frakture koje uključuje
gubitak fluida i korištenje nenewtonskog fluida za frakturiranje.
Rješenje PKN modela geometrije frakture uz gubitke fluida, dao je Nordgren31, 7.
Analitičko rješenje duljine pukotine jednako je Carterovom rješenju za α>4, izraz 147.
Maksimalna širina pukotine u ishodištu u funkciji vremena, za newtonski fluid, dana je
jednadžbom,
( )( )
81
41
3
2
,0 2
14 t
GCh
qw
f
it
−=
πµν
, 155
koja je primjenjiva kad je bezdimenzionalno vrijeme, definirano kao,
( )3
2
2
5
2 1
128
−=
i
fD
q
hGCtt
µνπ, 156
veće od jedinice. Kad je tD<0,01, primjenjivo je rješenje uz zanemarivi gubitak fluida,
izrazi 116 i 117.
Za nenewtonske fluide rješenje je dobiveno numeričkom simulacijom, a može se
napisati kao:
85
( )44
122
1
,0
1 +′
+′′
′−= n
nfi
n
f
ikt t
Ch
hq
h
qI
Gaw
ν, 157.
gdje je ( ) ( )( ) ( )( )[ ]{ } 22
14075,016311365,0123 +′′ ′−−+′′++′= nn nnnna ππ , h je efektivna
debljina ležišta i hf>h.
4.6 Trodimenzionalni modeli
Za razliku od 2D modela, gdje je u izvodu matematičkih rješenja geometrije
frakture pretpostavljena konstantna visina frakture i zanemaren vertikalni protok fluida,
3D modeli14 dozvoljavaju promjenu visine frakture s njenom duljinom i uzimaju u obzir
vertikalni protok fluida. Prema tome, daju realniju geometriju frakture, distribuciju
podupirača i ponašanje tlaka.
U osnovi razlikuju se potpuni 3D modeli i pseudo 3D modeli.
Pseudo 3D modeli temelje se na pretpostavci ravninskog stanja deformacija u
vertikalnoj ravnini. To znači da su deformacije u paralelnim vertikalnim ravninama
neovisne o deformacijama susjednih ravnina. Razvijeni su iz PKN modela, uklanjanjem
zahtjeva konstantne visine frakture. Visine frakture mijenja se po duljini frakture i sa
vremenom, u funkciji svojstava stijena i karakteristika fluida za frakturiranje.
Potpuni 3D modeli se zasnivaju na numeričkim metodama rješavanja složenih
matematičkih izraza, koji povezuju mehaniku frakture, mehaniku protjecanja fluida,
kriterij napredovanja frakture, prijenos topline i transport podupirača.
Korištenje trodimenzionalnih modela zahtijeva poznavanje varijacija minimalnog
“in situ” naprezanja sa dubinom. Takoñer korisno je poznavanje varijacije elastičnih i
ostalih svojstava stijena i svojstava fluida.
86
Poglavlje 5
Modeliranje hidrauli čke frakture 3-D simulatorom
U ovom poglavlju, korištenjem trodimenzionalnog simulatora za hidrauličko
frakturiranje (MFrac-III, Verzija 2.01, Meyer & Associates, Inc.) u Službi za projektiranje
bušotina, INA – Naftaplin d.d., konstrukcijom hidrauličkih fraktura u stijenama različitih
mehaničkih svojstava, na primjeru bušotine Žu-226, ispitan je kvantitativno utjecaj
mehaničkih svojstava stijena na geometriju frakture, a time i na količinu radnog fluida,
podupirača i tlak pri frakturiranju.
Da bi se izbjegao utjecaj protoka, vrste fluida za frakturiranje i podupirača na
geometriju frakture, u svim proračunima korišteni je isti protok od 3.9 m3/min i isti tip
radnog fluida i podupirača.
U svim proračunima u frakturu je utisnuto 200 m3 smjese fluida za frakturiranje i
podupirača.
5.1 Opis i definiranje ulaznih parametara na bušoti ni Žu-226.
Glavni nositelj nafte na polju Žutica je serija pješčenjaka nazvana Gama serija.
Seriju čine kvarc tinjčasti pješčenjaci, mjestimično proslojeni nepropusnim laporima. Na
bušotini Žu-226, Gama serija je nabušena na dubini 1967.0 – 2000.5 m, kao ležište
Gama-1 i na dubini 2005.0 – 2009.5 m, kao ležište Gama-x . Gama-1 se pojavljuje u
obliku jednog paketa pješčenjaka proslojenog laporovitim interkalacijama i zalaporenim
pjeskovitim proslojcima, što uzrokuje smanjenu poroznost i slabiju propusnost. Gama-x
je relativno dobro razvijeni sloj pješčenjaka. Konačna dubina bušotine je 2100 m.
Nakon osvajanja bušotine 1981 god., a prije puštanja u proizvodnju dubinskom
sisaljkom, na dubini 1990 m izmjeren je na osnovu testa porasta slojnog tlaka, ležišni
tlak od 10,52 MPa. Dnevna proizvodnja bušotine kretala se od 8 do 10 m3/dan
kapljevine sa do 20 % vode u prvih nekoliko godina rada, da bi proizvodnja pala na 3-5
m3/dan, s nepromijenjenim postotkom vode u zadnje dvije tri godine.
Razlog frakturiranja ležišta Gama-1 i Gama-x je povećanje proizvodnosti bušotine.
Kako od osvajanja bušotine nije bilo mjerenja slojnog tlaka, za projektiranje hidrauličke
frakture korištena je njegova procijenjena vrijednost od 8 MPa.
87
Perforirano je ukupno 22,5 m ležišta Gama-1 i Gama-x, na različitim intervalima, na
dubini od 1967.5 – 2007.5 m, s ukupno 270 perforacija. Promjer ulazne rupe je 10 mm.
Ulazni podaci potrebni za proračun gubitka radnog fluida korišteni pri konstrukciji
hidrauličke frakture, na bušotini Žu-226, navedeni su u tablici 5.
Tablica 5. Podaci korišteni za simulaciju gubitka radnog fluida pri frakturiranju bušotine Žu-22621
Dubina (m) do 1967,0 2000,5 2005,0 2009,5 od 2009,5
Litologija lapor pješčenjak lapor pješčenjak lapor
Porni tlak (MPa) 19,10 8,00 19,62 8,30 19,71
Stlačivost (MPa-1) 0,0015 0,0406 0,0015 0,0406 0,0015
Propusnost (10-3 µm2) 0,0001 5,0 0,0001 6,0 0,0001
Poroznost 0,001 0,212 0,001 0,3 0,001
Viskoznost pornog fluida (mPa s) 1,0 0,71 1,0 0,71 1,0
Viskoznost filtrata (mPa s) 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
Cw (m/min0.5) 0,000762 0,000762 0,000762 0,000762 0,000762
Volumen izlijevanja (m3/m2) 0,0 0,002 0,0 0,002 0,0
Na osnovu mjerenja ISIP-a, pri kalibracionom frakturiranjuV, od približno 28 MPa i
horizontalnog naprezanja stijena od 16,8 MPa odreñenog prema izrazu 52, na dubini
od 2000 m, uz litostatski gradijent od 0,0024 MPa/m, poroelastičnu konstantu 0.8 i
procijenjenu vrijednost Poissonovog koeficijenta za pješčenjak od 0.2, pretpostavljeno
je da je dodatno naprezanje u smjeru minimalnog horizontalnog naprezanja jednako
njihovoj razlici, što iznosi 11,2 MPa. Dodatno naprezanje od 11,2 MPa, uz
pretpostavljenu vrijednost Youngovog modula za pješčenjak od 25000 MPa, rezultat je
deformacije od 0.000448 u smjeru naprezanja.
Ako se pretpostavi da je pomak odnosno deformacija konstantna za krovinske,
podinske i ležišne stijene, onda se s obzirom na vrijednosti Youngovih modula stijena
mogu orijentaciono odrediti veličine dodatnih naprezana u njima. Zbrajanjem dodatnih i
horizontalnih naprezanja, dobivena su minimalna horizontalna naprezanja ležišnih,
krovinskih i podinskih stijena bušotine Žu-226, tablica 6.
V Kalibracioni test je test koji prethodi glavnom frakturiranju. Izvodi se s istim tipom fluida i obrokom utiskivanja, ali bez podupirača. Iz krivulje ponašanja tlaka pri kalibracionom testu, odnosno nakon prestanka utiskivanja fluida, i njezinim usklañivanjem sa simuliranom krivuljom, dobivaju se podaci o minimalnom naprezanju stijena, visini ili radijusu frakture, i gubitcima fluida.
88
Tablica 6. Minimalna naprezanja stijena korištena u konstrukciji hidrauličke frakture u bušotini Žu-226
Dubina (m) Litologija Minimalno horizontalno naprez anje (MPa)
1967,0 lapor 33,8
2000,5 pješčenjak 26,6
2005,0 lapor 34,5
2009,5 pješčenjak 27,0
2017,0 lapor 34,0
Tako odreñena minimalna naprezanja ne moraju biti stvarni iznosi naprezanja u
stijenama, ali za razliku od naprezanja iz prosječnih horizontalnih gradijenata, uzimaju
u obzir razlike u naprezanjima stijena različitih litologija, koje su nastale kao posljedica
različitih vrijednosti Poissonovih omjera, Youngovih modula i pornih tlakova. Litološki
stup ležišta s minimalnim naprezanjima, prikazan je slikom 28.
Slika 28. Minimalna horizontalna naprezanja i litološki stup ležišta bušotine Žu-226.
89
Mehanička svojstva stijena, Youngov modul elastičnosti, Poissonov omjer i kritični
intenzitet naprezanja, u proračunima su varirani u opsegu mehaničkih svojstava koja
se mogu naći u literaturi22, 23, 27, 29 za kolektorske i barijerne stijene i nisu reprezentativni
s obzirom na litologiju bušotine Žu-226, a njihov raspon naveden je u tablici 7.
Tablica 7. Opseg mehaničkih svojstava stijena korištenih u konstrukciji hidrauličke frakture
Stijene kolektori Barijerne stijene
Youngov modul elasti čnosti (MPa) 200 - 137500 160 - 110000
Poissonov koeficijent 0,048 - 0,4 0,06 – 0,5
Kriti čni intenzitet naprezanja (MPa m 0.5) 0,44 – 1,76 0,36 – 1,44
Pojedino mehaničko svojstvo pri konstrukciji frakture, varirano je tako da su ostala
svojstva bila konstantna u iznosima njihovih približno srednjih vrijednosti.
Bezdimenzionalna vodljivost konstruiranih fraktura računana je prema srednjem iznosu
propusnosti od 4,57.10-3 µm2, za interval od 1967,0 do 2009,5 m.
5.2 Rezultati modeliranja hidrauli čke frakture
5.2.1 Utjecaj Youngovog modula na konstrukciju frakture
Omjer Youngovih modula kolektorske i izolatorske stijene u svim proračunima
je konstantan i iznosi 1,25. Na taj način isključen je utjecaj promjene omjera Youngovih
modula stijena na rezultate frakturiranja. Rezultati konstrukcije hidrauličke frakture s
variranjem Youngovih modula navedeni su u tablici 8.
90
Tablica 8. Pregled rezultata konstrukcije hidrauličke frakture s različitim vrijednostima Youngovih modula
Youngov modul stijene kolektora (MPa) 200 1916,2 7065 27660 55120 82580 110040 137500
Youngov modul barijerne stijene (MPa) 160 1533 5652 22128 44096 66064 88032 110000
utisnuta masa pijeska (t) 130 88,618 66,225 49,252 42,577 40,765 37,505 36,693
potrebna hidraulička snaga (kWat) 2199,2 2234,5 2290,4 2422,2 2488,7 2562,8 2579,5 2631,5
minimalni tlak na površini (MPa) 31,836 32,103 32,59 33,5 34,332 34,996 35,575 36,091
maksimalni tlak na površini (MPa) 33,818 34,361 35,221 37,248 38,27 39,409 39,667 40,466
tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 28,083 28,261 28,629 29,539 30,371 31,035 31,614 32,13
tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 28,791 29,359 30,28 32,345 33,395 34,518 34,907 35,726
hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506
hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,642 30,605 30,51 30,44 30,394 30,42 30,207 30,225
gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467
gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,669 35,608 35,452 35,343 35,269 35,312 34,966 34,996
utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200 200 200
utisnuti vol. fluida za frakturiranje (m3) 155,29 169,49 177,2 183,05 185,34 185,97 187,09 187,37
volumen prethodnice (m3) 26,109 69,014 97,001 122,66 134,94 137,39 144,78 145,88
gubitci fluida za frakturiranje (m3) 52,974 105,05 131,55 151,73 158,79 160,23 162,53 162,54
djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 73,513 47,476 34,226 24,134 20,603 19,885 18,735 18,727
efektivni tlak u frak. pri kanalu buš. (MPa) 0,43284 1,0411 2,0529 4,2805 5,3755 6,5763 7,1463 7,9911
visina gornjeg dijela frakture (m) 24,451 28,12 26,749 29,014 31,927 34,475 37,006 38,994
visina donjeg dijela frakture (m) 4,02 5,7514 8,4522 11,817 20,255 24,194 27,342 29,74
ukupna visina frakture (m) 28,471 33,871 35,201 40,832 52,181 58,669 64,348 68,734
srednja poduprta visina frakture (m) 23,136 27,871 29,282 33,934 42,845 47,87 52,143 55,289
sr. podu. visina frak. u produkt. zoni (m) 23,136 27,871 29,282 33,934 39,533 40,608 40,977 41,002
maks. širina frak. pri perforacijama (mm) 72,09 25,269 16,26 10,092 8,0065 7,2288 6,2856 5,9545
srednja širina frakture (mm) 54,023 18,438 10,565 5,9852 4,3835 3,9009 3,3489 3,1899
sr. podu. širina frak. u produkt. zoni (mm) 28,08 10,649 6,2538 3,6116 2,8304 2,6161 2,2857 2,1796
sr. pod. šir. frak. pri kanalu bušotine (mm) 35,44 13,37 7,6646 4,092 3,4087 3,1816 2,8155 2,7069
duljina frakture (m) 58,776 92,327 110,59 118,62 109,45 105,92 106,29 104,78
ukupna poduprta duljina frakture (m) 58,731 92,227 109,91 117,3 108,01 104,5 104,7 102,81
sr. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 47,782 17,228 10,231 6,1191 4,5407 4,0219 3,3731 3,1449
sr. konc. podup./površ. produk. zone (kg/m2) 27,493 12,382 7,5933 5,0456 4,5926 4,3481 3,8496 3,6943
sr. vodljiv. frakt. u produkt. zoni (10-3 µm2 m) 2815,6 1268,5 781,5 521,53 475,4 449,99 399,13 385,02
sr. bezdim. vod. frak. u produkt. zoni 10,49 3,0096 1,5559 0,97286 0,96314 0,94222 0,8342 0,81947
propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000 175000 175000
poduprti dio frakture 0,51544 0,54454 0,56447 0,59535 0,60286 0,59805 0,58398 0,57154
vrijeme zatvaranja frakture (h) 2,781 0,63284 0,31273 0,16827 0,1345 0,1337 0,12564 0,13191
Za pojedine parametre iz tablice 8, nacrtane su krivulje kojima je grafički prikazano
njihovo ponašanje u funkciji modula elastičnosti stijena.
Porastom Youngovih modula, stijene pokazuje veću krutost, odnosno deformabilnost
stijena je smanjena pa je širina fraktura pri nižim vrijednostima modula veća, slika 29.
91
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)
Širi
na fr
aktu
re (
mm
)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
Efe
ktiv
ni tl
ak u
frak
turi
(MP
a)
maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)
prosječna širina frakture (mm)
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)
Slika 29. Širina frakture i efektivni tlak pri kanalu bušotine u funkciji Youngovog modula elastičnosti
kolektorske stijene.
Pri nižim vrijednostima modula (200-15000 MPa) prosječna promjena širine frakture po
jedinici promjene krutosti stijene je približno 3,8.10-3 mm/MPa. Pri većim krutostima
stijena (15000-140000 MPa) prosječni gradijent promjene širine frakture po jedinici
promjene krutosti stijene je znatno manji i približno iznosi 0,065.10-3 mm/MPa. Razlike
u gradijentima širine mogu se objasniti različitim gradijentom porasta visine frakture. U
92
dijelu većeg gradijenta širine, tj. pri nižim vrijednostima modula elastičnosti, izraženije
smanjenje širine je posljedica većeg gradijenta porasta visine frakture. U tom dijelu
fraktura po visini napreduje kroz ležišnu stijenu, tj. stijenu manjih minimalnih
naprezanja. Nakon toga dosezanjem krovine i podine ležišta, tj. stijena većih
minimalnih naprezanja, gradijent porasta visine frakture se smanjuje, a zbog toga se
smanjuje i promatrani gradijent širine frakture.
Širina frakture povezana je s gradijentom tlaka fluida u frakturi. Kod konstantnog
protoka smanjenjem širine frakture, rastu hidraulički gubici i povećava se gradijent tlaka
fluida duž frakture. Zbog toga se porastom vrijednosti Youngovog modula povećava
tlak na ušću bušotine, kao i efektivni tlak u frakturi. U opsegu promjene modula
elastičnosti, efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine se mijenja od 0,430 MPa do
7,990 MPa, slika 29.
Veći porast efektivnog tlaka pri nižim vrijednostima modula može se povezati s većim
gradijentom širine frakture na istom intervalu, slika 29.
Promjena efektivnog tlaka u frakturi rezultira promjenom visine frakture. Visina frakture
u promatranom presjeku definirana je raspodjelom efektivnog tlaka i kritičnim
intenzitetima naprezanja. Pri istim vrijednostima kritičnih intenziteta naprezanja
povećanjem efektivnog tlaka, raste i visina frakture. Time se objašnjava povećanje
visine frakture s povećanjem krutosti stijene, slika 30.
93
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)
Vis
ina
frak
ture
(m
)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
Efe
ktiv
ni tl
ak u
frak
turi
(MP
a)
visina gornjeg dijela frakture (m)
visina donjeg dijela frakture (m)
ukupna visina frakture (m)
prosječna poduprta visina frakture (m)
prosječna poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m)
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)
Slika 30. Visine frakture i efektivni tlak u frakturi u funkciji modula elastičnosti kolektorske stijene.
Na slici su uz promjene ukupne visine frakture pri kanalu bušotine, prodor frakture
prema stijenama podine i krovine, prikazane i promijene prosječne ukupne visine
frakture i visine u produktivnoj zoni nakon zatvaranja frakture (poduprte visine). U
94
području krutosti stijene od 200 do 1916 MPa gradijent porasta visine je najveći. Tada
fraktura svojom visinom doseže krovinu i podinu ležišta Gama-1, nakon čega je ukupan
daljnji rast visine frakture usporen zbog većih minimalnih horizontalnih naprezanja
izolatorskih stijena. Prema gore, nakon dosega krovine ležišta Gama-1, fraktura raste
ravnomjerno. Porast visine frakture prema dolje, za razliku od porasta prema gore, nije
ujednačen. Pri prodoru frakture prema dolje, kroz interval povećanog naprezanja
(2000,5 - 2005,0 m) gradijent porasta visine je smanjen, nakon čega, kad fraktura uñe
u područje ležišta Gama-x, gradijent raste, da bi se pri dosegu stijena podine ležišta
Gama-x, gradijent ponovo smanjio.
Slično ponašanje pokazuju i krivulje prosječne ukupne visine frakture i prosječne visine
frakture u produktivnoj zoni. Budući da je kod kolektora krutosti do blizu 30000 MPa,
poduprta visina frakture sadržana u produktivnoj zoni, krivulje prosječne visine frakture
i prosječne poduprte visine frakture se poklapaju. Kod većih krutosti ukupna poduprta
visina izlazi iz produktivne zone i dalje ujednačeno raste, a prosječna visina frakture u
produktivnoj zoni nakon zatvaranja raste asimptotski prema 42.5 m.
Da bi se zadovoljio kriterij širine frakture za utiskivanje podupiračaVI, kod stijena većih
modula elastičnosti, za dosezanje potrebne širine za utiskivanje podupirača, potrebno
je utisnuti veći volumen prethodnice. Zbog toga se s porastom modula elastičnosti, pri
konstrukciji frakture s konstantnim volumenom smjese, smanjuje masa utisnutog
podupirača, a raste volumen utisnutog fluida, slika 31.
VI Kriterij za utiskivanje podupirača: 1. podupirač se utiskuje kad je širina frakture u ishodištu, w(0, t), minimalno 3 puta veća
od promjera zrna podupirača, dp, tj. w(0, t)≥3dp, 2. gibanjem kroz pukotinu podupirač se ne smije toliko približiti vrhu pukotine, da bi
lokalna širina pukotine, w(x, t), bila premala za njegovo sigurno gibanje, tj. w(x ,t)≥3dp, 3. gibanjem suspenzije fluida i podupirača kroz pukotinu i gubljenjem dijela fluida u sloj,
koncentracija podupirača ne smije postiči kritičnu vrijednost, tj. koncentraciju kod koje suspenzija postaje nepokretna, Cmax≤(ρp/ρp’-1), gdje je ρp, obujamska masa podupirača, a ρp’, nasipna obujamska masa podupirača.
95
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)
Vol
umen
(m
3 )
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
Mas
a po
dupi
rač
a ut
isnu
ta u
frak
turu
(t)
utisnuti volumen smjese (m3)
utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)
gubitci fluida za frakturiranje (m3)
volumen prethodnice (m3)
utisnuta masa pijeska (kg)
Slika 31. Utrošen volumen radnog fluida i podupirača u 200 m3 smjese, u funkciji modula elastičnosti
kolektorske stijene.
Razlika u masi utisnutog podupirača, u ukupnom promatranom opsegu Youngovih
modula, blizu je 100 tona.
Gubitak fluida zbog filtracije, pri konstantnoj propusnosti formacije, ovisi o površini
frakture i tlaku fluida u njoj. Budući da je kod tvrñih stijena potreban veći volumen fluida
96
za frakturiranje, to će se povećavati i gubici fluida zbog filtracije, slika 31. Porast
gubitka fluida zbog filtracije, posljedica je i većeg tlaka frakturiranja, a i povećanja
površine frakture. Djelotvornost fluida za frakturiranje, odnosno omjer utisnutog
volumena fluida i gubitaka fluida, mijenja se od 18,7 do 73,5 %, slika 32.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)
Dul
jina
frak
ture
(m
)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
72
75
Dje
lotv
orno
st fl
uida
za
frak
turir
anje
(%
)
duljina frakture (m)
ukupna poduprta duljina frakture (m)
djelotvornost fluida za frakturiranje (%)
Slika 32. Duljine frakture i djelotvornost fluida za frakturiranje.
Kao rezultat različite količina utisnutog podupirača, mijenjaju se svojstva frakture. Kod
niskih modula elastičnosti zbog veće širine frakture i veće mase utisnutog podupirača,
97
veća je i vodljivost frakture preračunata na visinu produktivne zone, a isto ponašanje
pokazuje i bezdimenzionalna vodljivost koja u obzir uzima i vodljivu duljinu frakture,
slika 33.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Youngov modul elasti čnosti stijene kolektora (10 3 MPa)
Vod
ljivo
st fr
aktu
re (
10-3
µµ µµm
2 m)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bez
dim
enzi
onal
na v
odlji
vost
frak
ture
prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)
prosječna bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni
Slika 33. Vodljivosti frakture
Konture geometrije fraktura dobivene pri izrazito niskim modulima elastičnosti (Epš.=200
MPa, Elap.=160 MPa), približno srednjim (Epš.=27660 MPa, Elap.=22128 MPa) i izrazito
98
visokim Youngovim modulima (Epš.=137500 MPa, Elap.=110000 MPa), prikazane su
slikom 34.
Slika 34. Konture širina fraktura pri kanalu bušotine kod različitih vrijednosti modula elastičnosti stijena.
99
Iz prikazanih profila fraktura se vidi da se s porastom Youngovih modula stijena
smanjuje širina i raste visina frakture. Razlog smanjenja širine frakture je smanjenje
deformabilnosti stijene. Konstantan protok pri smanjenoj širini rezultira porastom tlaka
u frakturi zbog kojeg raste i njezina visina. Konture širina frakture po njenoj duljini
prikazane su slikom 35.
100
Slika 35. Konture širina frakture po njenoj duljini kod različitih vrijednosti Youngovih modula.
101
5.2.2 Utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja stijena na konstrukciju
hidrauličke frakture
Kritični intenziteti naprezanja kolektorske stijene varirani su u opsegu od 0,44
MPa m0,5 do 1.73 MPa m0,5, pri tome je omjer kritičnih intenziteta kolektorske i
izolatorske stijene iznosio 1,222. Rezultati konstrukcije frakture s različitim kritičnim
intenzitetima naprezanja stijena navedeni su u tablici 9.
102
Tablica 9. Rezultati modeliranja hidrauličke frakture s različitim kritičnim intenzitetima naprezanja stijena
kritični intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m0.5) 0,44 0,704 0,968 1,232 1,496 1,76
kritični intenzitet naprezanja stijene izolatora (MPa m0.5) 0,36 0,576 0,792 1,008 1,224 1,44
utisnuta masa pijeska (t) 48,665 48,899 49,134 49,37 49,608 49,849
potrebna hidraulička snaga (kWat) 2419 2420,1 2420,1 2422,7 2424 2425,4
minimalni tlak na površini (MPa) 33,458 33,474 33,474 33,508 33,526 33,545
maksimalni tlak na površini (MPa) 37,198 37,216 37,216 37,255 37,274 37,297
tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 29,498 29,514 29,53 29,548 29,566 29,584
tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 32,292 32,31 32,334 32,353 32,374 32,398
hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506
hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,446 30,444 30,441 30,439 30,437 30,434
gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467
gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,353 35,349 35,349 35,341 35,337 35,333
utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200
utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3) 183,25 183,17 183,09 183,01 182,92 182,84
volumen prethodnice (m3) 123,55 123,2 122,84 122,48 122,12 121,75
gubitci fluida za frakturiranje (m3) 152,58 152,27 151,91 151,59 151,26 150,89
djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 23,709 23,865 24,044 24,203 24,371 24,553
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa) 4,2174 4,2398 4,2669 4,2901 4,315 4,343
visina gornjeg dijela frakture (m) 29,035 29,025 29,018 29,009 29,002 28,996
visina donjeg dijela frakture (m) 11,838 11,827 11,821 11,811 11,803 11,798
ukupna visina frakture (m) 40,873 40,852 40,838 40,82 40,805 40,795
srednja poduprta visina frakture (m) 33,976 33,959 33,943 33,922 33,911 33,9
srednja poduprta visina frak. u produkt. zoni (m) 33,976 33,959 33,943 33,922 33,911 33,9
maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm) 9,9288 9,986 10,056 10,116 10,18 10,253
srednja širina frakture (mm) 5,8415 5,8942 5,9549 6,0091 6,0661 6,1283
srednja poduprta širina frak. u produkt. zoni (mm) 3,5343 3,5701 3,5912 3,6279 3,647 3,6878
sr. poduprta širina frak. pri kanalu bušotine (mm) 4,0188 4,0451 4,0764 4,1035 4,1322 4,1642
duljina frakture (m) 119,23 119,02 118,75 118,53 118,29 118,01
ukupna poduprta duljina frakture (m) 117,68 117,32 117,54 117,17 116,77 116,96
prosj. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 6,0084 6,0511 6,096 6,1409 6,1861 6,2323
prosj. konc. podup./površini produktivne zone (kg/m2) 4,9458 4,9908 5,0192 5,0657 5,0916 5,1444
srednja vodljivost frakture u produkt. zoni (10-3 µm2 m) 512,06 517,29 518,41 523,78 527,1 530,76
sr. bezdim. vodljivost frak. u produktivnoj zoni 0,95211 0,96484 0,9651 0,97815 0,98778 0,99301
propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000
poduprti dio frakture 0,5988 0,59775 0,59613 0,59507 0,59383 0,59227
vrijeme zatvaranja frakture (h) 0,1624 0,16441 0,16699 0,16908 0,17138 0,17404
Prema definiciji kritičnog intenziteta naprezanja i uvjetu za napredovanje frakture, može
se reći da je za napredovanje frakture u stijeni većeg intenziteta naprezanja potreban
veći tlak u frakturi.
Takvo ponašanje pokazuje efektivni tlak u frakturi, ali je njegov porast, ako se promatra
u opsegu promjena efektivnog tlaka kod Youngovih modula, znatno manji, slika 36.
103
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)
Širi
na fr
aktu
re (
mm
)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
Efe
ktiv
ni tl
ak (
MP
a)
maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)
prosječna širina frakture (mm)
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)
Slika 36. Promjene efektivnog tlaka i širina frakture kod različitih kritičnih intenziteta naprezanja stijena.
Efektivni tlak, u opsegu promijene kritičnih intenziteta naprezanja, raste u rasponu od
4,21 do 4,34 MPa.
Porastom kritičnog intenziteta naprezanja, a sa njime i tlaka koji može egzistirati u
frakturi, a da ona ne napreduje, raste širina frakture, slika 36.
Sukladno prema teoriji linearno elastične mehanike frakture, veći kritični intenzitet
naprezanja rezultira smanjivanjem visine i duljine frakture, slika 37.
104
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)
Vis
ina
frak
ture
(m
)
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
128
Dul
jina
frak
ture
(m
)
visina gornjeg dijela frakture (m)
visina donjeg dijela frakture (m)
ukupna visina frakture (m)
prosječna poduprta visina frakture (m)
prosječna poduprata visina frakture u produktivnoj zoni (m)
duljina frakture (m)
poduprta duljina frakture (m)
Slika 37. Visine i duljine frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja.
105
Zbog veće širine frakture, kod većih kritičnih intenziteta naprezanja, potreban volumen
prethodnice fluida za frakturiranje je manji, ranije počinje utiskivanje podupirača pa se
povećava masa podupirača u frakturi, slika 38.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)
Vol
umen
(m
3 )
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
Utis
nuta
mas
a po
dupi
rač
a (t
)
utisnuti volumen smjese (m3)
utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)
gubitci fluida zafrakturiranje (m3)
volumen prethodnice (m3)
utisnuta masa pijeska (t)
Slika 38. Volumen radnog fluida i utrošena masa podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje stijena
različitih kritičnih intenziteta naprezanja.
106
Zbog smanjenja volumena fluida i smanjenja duljine i visine frakture, iako raste tlak, s
povećanjem kritičnog intenziteta naprezanja, gubici fluida za frakturiranje se smanjuju,
slika 38.
Povećanjem mase utisnutog podupirača s porastom kritičnog intenziteta naprezanja,
povećava se vodljivost frakture, slika 39, jer raste poduprta širina, a smanjuje se
poduprta duljina frakture.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
Kriti čni intenzitet naprezanja stijene kolektora (MPa m 0,5)
Vod
ljivo
st fr
aktu
re (
10-3
µµ µµm
2 m)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bez
dim
enzi
onal
na v
odlji
vost
prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)
bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni
Slika 39. Vodljivosti frakture u stijenama različitih kritičnih intenziteta naprezanja.
107
Promjene u volumenu utrošenog podupirača, fluida za frakturiranje i geometrije
frakture, rezultat su promjene tlaka koji može egzistirati u frakturi.
5.2.3 Utjecaj Poissonovog omjera na konstrukciju hidrauličke
frakture
Kao i u slučaju variranja ostalih mehaničkih svojstava, omjeri Poissonovih
omjera kolektorske stijene i stijene izolatora u proračunima su konstanta koja iznosi
0,8.
Iako su horizontalna naprezanja funkcija Poissonovih omjera stijene, Poissonovi omjeri
su varirani uz konstantna horizontalna naprezanja, a zatim i uz promjenu horizontalnih
naprezanja s promjenom Poissonovih omjera.
Variranjem Poissonovih omjera uz konstantna naprezanja stijena odvojen je indirektan
utjecaj Poissonovih omjera, putem minimalnih horizontalnih komponenti naprezanja, na
rezultat konstrukcije frakture, odnosno promjena rezultata funkcija su njegovog
direktnog utjecaja na geometriju frakture.
Rezultati modeliranja hidrauličke frakture, uz variranje Poissonovih omjera, kod
konstantnih minimalnih horizontalnih naprezanja stijena, navedeni su u tablici 10.
108
Tablica 10. Rezultati konstrukcije frakture s različitim Poissonovim koeficijentima stijena uz konstantna
minimalna naprezanja
Poissonov omjer stijene kolektora 0,08 0,144 0,208 0,272 0,336 0,4
Poissonov omjer stijene izolatora 0,1 0,18 0,26 0,34 0,42 0,5
utisnuta masa pijeska (t) 49,726 49,495 49,205 48,849 48,288 47,634
potrebna hidraulička snaga (kWat) 2417,1 2419,2 2422,6 2427,8 2434,4 2443,4
minimalni tlak na površini (MPa) 33,465 33,48 33,503 33,536 33,581 33,64
maksimalni tlak na površini (MPa) 37,169 37,201 37,254 37,334 37,435 37,573
tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 29,505 29,519 29,542 29,576 29,62 29,679
tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 32,27 32,3 32,351 32,428 32,524 32,657
hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506
hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,434 30,437 30,441 30,445 30,452 30,461
gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467
gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,333 35,338 35,344 35,351 35,363 35,377
utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200
utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3) 182,88 182,96 183,06 183,18 183,38 183,6
volumen prethodnice (m3) 122,01 122,33 122,73 123,21 123,99 124,89
gubitci fluida za frakturiranje (m3) 151,26 151,48 151,8 152,19 152,79 153,5
djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 24,372 24,26 24,102 23,904 23,604 23,252
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa) 4,207 4,2356 4,2862 4,3632 4,4579 4,5892
visina gornjeg dijela frakture (m) 28,873 28,931 29,028 29,17 29,364 29,631
visina donjeg dijela frakture (m) 11,656 11,722 11,833 11,993 12,212 12,512
ukupna visina frakture (m) 40,529 40,654 40,861 41,163 41,576 42,144
srednja poduprta visina frakture (m) 33,69 33,791 33,958 34,202 34,536 34,994
srednja poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m) 33,69 33,791 33,958 34,202 34,536 34,994
maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm) 10,246 10,174 10,072 9,9418 9,7483 9,5213
srednja širina frakture (mm) 6,0971 6,0459 5,9715 5,8755 5,7351 5,5656
srednja poduprta širina frakture u produktivnoj zoni (mm) 3,6851 3,652 3,6027 3,538 3,4448 3,3304
srednja poduprta širina frakture pri kanalu bušotine (mm) 4,1836 4,1423 4,0812 4,0009 3,8859 3,7457
duljina frakture (m) 118,45 118,55 118,65 118,74 118,96 119,16
ukupna poduprta duljina frakture (m) 117,19 117,25 117,36 117,46 117,67 117,88
prosj. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 6,2323 6,1798 6,1073 6,0156 5,8785 5,713
prosj. konc. podup./površini produktivne zone (kg/m2) 5,1123 5,0811 5,0366 4,9808 4,8955 4,7938
srednja vodljivost frakture u produktivnoj zoni (10-3 µm2 m) 528,25 525,16 520,53 514,69 505,87 495,34
srednja bezdim. vodljivost frak. u produktivnoj zoni 0,98639 0,98008 0,97056 0,95879 0,9407 0,91949
propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000
poduprti dio frakture 0,59521 0,59518 0,59556 0,59616 0,59679 0,59763
vrijeme zatvaranja frakture (h) 0,17099 0,16973 0,16781 0,16543 0,16187 0,15777
Porastom Poissonovog omjera, smanjuje se širina frakture, zbog čega raste tlak u
frakturi, a time i efektivan tlak pri kanalu bušotine jer su naprezanja stijena konstantna,
slika 40.
109
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Širi
na fr
aktu
re (
mm
)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
Efe
ktiv
ni tl
ak u
frak
turi
(MP
a)
maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)
prosječna širina frakture (mm)
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)
Slika 40. Efektivni tlak i širina frakture u funkciji Poissonovog omjera stijene kolektora.
Porast efektivnog tlaka, uz isti kritični intenzitet naprezanja, praćen je s povećanjem
visine i duljine frakture, slika 41.
110
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Vis
ina
frak
ture
(m
)
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
128
Dul
jina
frak
ture
(m
)
ukupna visina frakture (m)
visina gornjeg dijela frakture (m)
visina donjeg dijela frakture (m)
prosječna poduprta visina frakture (m)
prosječna poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m)
duljina frakture (m)
ukupna poduprta duljina frakture (m)
Slika 41. Utjecaj promjene Poissonovog omjera stijena na visinu i duljinu frakture.
Zbog smanjenja širine frakture s povećanjem Poissonovog omjera stijena, povećava se
volumen prethodnice i ukupna količina fluida za frakturiranje, a time se smanjuje udio
111
podupirača u ukupnom volumenu smjese pa je masa utisnutog podupirača u frakturi
manja, slika 42.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Vol
umen
(m
3 )
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
Mas
a po
dupi
rač
a (t
)
utisnuti volumen smjese (m3)
utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)
gubitci fluida za frakturiranje (m3)
volumen prethodnice (m3)
utisnuta masa pijeska (t)
Slika 42. Količina fluida za frakturiranje i podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje.
Povećanjem površine frakture, tlaka frakturiranja i volumena prethodnice, rastu gubitci
fluida i smanjuje se njegova djelotvornost, slika 42.
112
Iako raste poduprta visina frakture, zbog povećanja duljine i smanjenja poduprte širine
frakture, vodljivost produktivne zone i bezdimenzionalna vodljivost s porastom
Poissonovog omjera se smanjuju, slika 43.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Vod
ljivo
st fr
aktu
re (
10-3
µµ µµm
2 m)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bez
dim
enzi
onal
na v
odlji
vost
frak
ture
prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)
prosječna bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni
Slika 43. Vodljivosti fraktura kod različitih Poissonovih omjera stijena.
Promjena geometrije frakture, volumena fluida, podupirača i tlaka u frakturi, ako se
zanemari utjecaj Poissonovog omjera na naprezanja stijena, posljedica su utjecaja
Poissonovog omjera na širinu frakture.
113
Da bi se dobio ukupan utjecaj Poissonovog omjera na konstrukciju hidrauličke frakture,
u projektiranje frakture je potrebno uključiti promjene u naprezanjima stijena koje su
posljedica promjena Poissonovih omjera.
Buduća da formula za minimalno horizontalno naprezanja nije egzaktno rješenje
naprezanja, već se može koristiti za procjenu naprezanja ili njegovu korelaciju s
obzirom na dubinu zalijeganja stijena, vrstu stijene i njezine karakteristike, ne može se
sa sigurnošću tvrditi koliki je utjecaj promjene Poissonovog omjera na promjenu stanja
naprezanja. Uz pretpostavku da se horizontalne komponente naprezanja mijenjaju
prema izrazu 53, gdje su dodatna naprezanja odreñena iz razlike ISIPA i minimalnog
horizontalnog naprezanja, s obzirom na pripadne module elastičnosti stijena i
prosječno za kolektorsku stijenu iznose 10,0 MPa, a za izolatorsku stijenu 8,0 MPa,
može se proračunati utjecaj promjene Poissonovih omjera na minimalna horizontalna
naprezanja.
Uključivanjem promjena naprezanja stijena uz variranje Poissonovih omjera, u
projektiranje frakture, uz prethodno opisan utjecaj Poissonovih omjera na konstrukciju
frakture pri konstantnom naprezanju, uključene su i indirektne promjene rezultata
nastale zbog promjene horizontalnih naprezanja. Pri tome je zadržan konstantan omjer
Poissonovog omjera kolektora i njegovih krovinskih i podinskih stijena. Rezultati su
prikazani tablicom 11.
114
Tablica 11. Rezultati projektiranja hidrauličke frakture s različitim Poissonovim omjerima stijena uz
variranje minimalnih naprezanja prema Poissonovim omjerima
Poissonov omjer stijene kolektora 0,08 0,144 0,208 0,272 0,336 0,4
Poissonov omjer stijene izolatora 0,1 0,18 0,26 0,34 0,42 0,5
min. napr. krovine ležišta Gama-1 (1950-1967m) (MPa) 26,8032 30,2174 34,3699 39,529 46,1113 54,8
min. napr. ležišta Gama-1(1967-2000,5 m) (MPa) 19,9478 23,2635 27,1152 31,644 37,0459 43,6001
min. napr. podine ležišta Gama-1 (2000,5-2005 m) (MPa) 27,293 30,7985 35,062 40,359 47,1173 56,0382
min. napr. ležišta Gama-x (2005-2009,5 m) (MPa) 20,249 23,622 27,54 32,147 37,6421 44,3094
min. napr. podine ležišta Gama-x (2009,5-2017 m) (MPa) 27,3801 30,9016 35,1846 40,5058 47,295 56,2567
utisnuta masa pijeska (t) 50,156 49,736 49,071 48,279 47,092 44,569
potrebna hidraulička snaga (kWat) 1985,9 2203,1 2455,4 2755,4 3123,7 3549,6
minimalni tlak na površini (MPa) 26,866 30,18 34,003 38,535 44,078 50,633
maksimalni tlak na površini (MPa) 30,538 33,879 37,758 42,371 48,035 54,583
tlak na dnu bušotine, min. (MPa) 22,906 26,22 30,042 34,575 40,117 46,673
tlak na dnu bušotine, maks. (MPa) 25,639 28,978 32,855 37,462 43,119 49,726
hidrostatski tlak, min. (MPa) 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506 19,506
hidrostatski tlak, maks. (MPa) 30,434 30,437 30,442 30,449 30,461 30,368
gubitci tlaka uslijed trenja, min. (MPa) 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467 23,467
gubitci tlaka uslijed trenja, maks. (MPa) 35,333 35,337 35,346 35,357 35,378 35,225
utisnuti volumen smjese (m3) 200 200 200 200 200 200
utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3) 182,73 182,88 183,11 183,38 183,79 184,66
volumen prethodnice (m3) 121,1 121,85 122,94 124,21 126,02 129,78
gubitci fluida za frakturiranje (m3) 150,49 151,02 151,94 153,11 154,43 156,43
djelotvornost fluida za frakturiranje (%) 24,756 24,488 24,032 23,445 22,784 21,787
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa) 4,1657 4,2077 4,2897 4,4053 4,5698 4,7519
visina gornjeg dijela frakture (m) 29,242 29,202 28,942 28,603 28,08 27,328
visina donjeg dijela frakture (m) 12,22 12,085 11,747 11,284 10,764 10,028
ukupna visina frakture (m) 41,461 41,287 40,689 39,887 38,845 37,356
srednja poduprta visina frakture (m) 34,435 34,296 33,824 33,195 32,38 31,219
srednja poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m) 34,435 34,296 33,824 33,195 32,38 31,219
maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm) 10,327 10,228 10,048 9,8003 9,5054 9,0176
srednja širina frakture (mm) 6,0832 6,0389 5,9664 5,8663 5,7543 5,5472
srednja poduprta širina frakture u produktivnoj zoni (mm) 3,622 3,6152 3,6044 3,6023 3,5576 3,4344
srednja poduprta širina frakture pri kanalu bušotine (mm) 4,1269 4,1046 4,0873 4,0608 4,0391 3,9754
duljina frakture (m) 117,97 118,04 118,88 120,21 122,12 125,68
ukupna poduprta duljina frakture (m) 116,54 116,95 117,6 118,9 120,31 123,53
prosj. konc. podup./površini frakture (kg/m2) 6,1747 6,1454 6,1029 6,0515 5,9559 5,68
prosj. konc. podup./površini produktivne zone (kg/m2) 5,1382 5,1052 5,0195 4,9201 4,7428 4,4208
srednja vodljivost frakture u produktivnoj zoni (10-3 µm2 m) 531,57 526,82 518,69 508,5 491,79 459,29
sr. bezdim. vodljivost frakture u produktivnoj zoni 0,99805 0,98567 0,9651 0,93583 0,89443 0,81359
propusnost frakture (10-3 µm2) 175000 175000 175000 175000 175000 175000
poduprti dio frakture 0,59104 0,59249 0,59568 0,60072 0,60297 0,59677
vrijeme zatvaranja frakture (h) 0,17737 0,17363 0,1669 0,15811 0,15002 0,1413
115
U opsegu Poissonovih omjera, horizontalna naprezanja kolektorskih i izolatorskih
stijena približno se dvostruko povećavaju, slika 44.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Min
imal
no n
apre
zanj
e st
ijena
(M
Pa)
minimalno naprezanje krovine ležišta Gama-1 (1950-1967m) (MPa)
minimalno naprezanja ležišta Gama-1(1967-2000,5 m) (MPa)
minimalno naprezanje podine ležišta Gama-1 (2000,5-2005 m) (MPa)
minimalno naprezanje ležišta Gama-x (2005-2009,5 m) (MPa)
minimalno naprezanje podine ležišta Gama-x (2009,5-2017 m) (MPa)
Slika 44. Naprezanje stijena u funkciji Poissonovog omjera.
Porastom naprezanja širina frakture se dodatno smanjuje, slika 45 pa je za isti protok
potreban veći tlak fluida u frakturi. Zbog toga, povećanjem Poissonovog omjera, a s
116
njime i naprezanja stijena, raste tlak fluida u frakturi i efektivan tlak u frakturi uz kanal
bušotine, slika 45.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Širi
na fr
aktu
re (
mm
)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
Efe
ktiv
ni tl
ak (
MP
a)
maksimalna širina frakture pri perforacijama (mm)
prosječna širina frakture (mm)
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)
Slika 45. Širina frakture i efektivni tlak u frakturi kod različitih Poissonovih omjera stijena.
Smanjenje širine frakture i povećanje efektivnog tlaka, kad se u obzir uzmu i promjene
u naprezanjima, za razliku od direktnog utjecaja Poissonovog omjera, je veće.
Porast efektivnog tlaka u frakturi, u uvjetima konstantnih minimalnih horizontalnih
naprezanja, rezultira povećanjem visine frakture. U ovom slučaju efektivni tlak u frakturi
117
raste, a povećavaju se i minimalna horizontalna naprezanja, ali se visina frakture
smanjuje, slika 46.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Vis
ina
frak
ture
(m
)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
Efe
ktiv
ni tl
ak (
MP
a)
visina gornjeg dijela frakture (m)
visina donjeg dijela frakture (m)
ukupna visina frakture (m)
prosječna poduprta visina frakture (m)
prosječna poduprta visina frakture u produktivnoj zoni (m)
efektivni tlak u frakturi pri kanalu bušotine (MPa)
Slika 46. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na visinu frakture i efektivni tlak u frakturi.
118
Visina frakture je funkcija kritičnog intenziteta naprezanja i efektivnog tlaka u frakturi, ali
i kontrasta u naprezanju stijena pa se smanjenje visine frakture uz isti kritični intenzitet
naprezanja i porast efektivnog tlaka u frakturi može objasniti promjenom kontrasta
naprezanja kolektorskih i izolatorskih stijena. Promjena Poissonovih omjera u
variranom opsegu, uz dodatna naprezanja od 10,0 MPa za kolektorske stijene i 8,0
MPa za izolatorske stijene, rezultira porastom u razlici naprezanja izmeñu stijena
izolatora i kolektora od 7,3 MPa do 12,4 MPa, što je uzrok smanjenja visine frakture.
Zbog smanjenja širine frakture, raste volumen prethodnice, a time i volumen ukupno
utisnutog fluida pa je masa utisnutog podupirača manja, slika 47.
119
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Vol
umen
(m
3 )
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
Mas
a po
dupi
rač
a (t
)
utisnuti volumen smjese (m3)
utisnuti volumen fluida za frakturiranje (m3)
gubitci fluida za frakturiranje (m3)
volumen prethodnice (m3)
utisnuta masa pijeska (t)
Slika 47. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na količinu fluida za frakturiranje i masu podupirača u 200 m3
smjese za frakturiranje.
Smanjenjem mase utisnutog podupirača, a time i poduprte širine i visine frakture, iako
se povećava poduprta duljina frakture, smanjuju se vodljivosti frakture, slika 48.
120
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Vod
ljivo
st fr
aktu
re (
10-3
µµ µµm
2 m)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bez
dim
enzi
onal
na v
odlji
vost
prosječna vodljivost frakture u produktivnoj zoni (mD m)
prosječna bezdimenzionalna vodljivost frakture u produktivnoj zoni
Slika 48. Utjecaj Poissonovog omjera na vodljivosti frakture.
Povećanjem efektivnog tlaka i povećanjem volumena utisnutog fluida, povećavaju se
gubitci fluida pa se djelotvornost fluida za frakturiranje smanjuje, slika 49.
121
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
Poissonov omjer stijene kolektora
Dje
lotv
orno
st fl
uida
za
frak
turir
anje
(%
)
djelotvornost fluida za frakturiranje (%)
Slika 49. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na djelotvornost fluida za frakturiranje.
122
Zaklju čak:
Ponašanje stijena pod opterećenjem, zbog njezine nehomogenosti i
anizotropnosti, dijelom se razlikuje od ponašanja linearno elastičnih materijala.
Elastična svojstva stijena, Youngov modul i Poissonov omjer funkcija su stanja
naprezanja, veličine naprezanja, pornog tlaka, zasićenja fluidima i temperature. Zbog
toga se elastična svojstva iste stijene, mjerena različitim metodama i u različitim
uvjetima, mogu znatno razlikovati. Budući da je kod hidrauličkog frakturiranja brzina
opterećivanja stijene bliža brzinama opterećivanja koje se mogu postići statičkim
metodama, za razliku od dinamičkih, upotrebom statičkih elastičnih svojstva stijene,
opis ponašanja stijene pri hidrauličkom frakturiranju biti će realniji.
Dijagrami naprezanja i deformacija kod statičkih metoda odreñivanja elastičnih
svojstava ne moraju pokazivati linearno elastično ponašanje. Odstupanje od linearnog
ponašanja, različito je za različite tipove stijena i uvjete mjerenja. S obzirom na
nelinearnost dijagrama naprezanja, na različitim intervalima krivulje naprezanja i
deformacije mogu se definirati različite vrijednosti elastičnih svojstava. Kod hidrauličkog
frakturiranja naprezanje stijena nešto je veće od minimalnog “in situ” naprezanja pa se
za opis elastičnog ponašanja stijene trebaju koristiti početne tangencijalne vrijednosti
elastičnih svojstava. Uz to za dobivanje što realnijih podataka o elastičnom ponašanju
stijene, statička mjerenja trebala bi se izvoditi u uvjetima što sličnijim “in situ” uvjetima.
To znači da bočni tlakovi, temperatura i zasićenje pornog prostora trebaju odgovarati
uvjetima u ležištu. U suprotnom, elastična svojstva stijena odreñena u neadekvatnim
uvjetima mogu znatno odstupati od njihovih “in situ” iznosa. Pri točno definiranim
uvjetima naprezanja, temperature i zasićenja pornog prostora, iznos elastičnih
svojstava stijena je konstantan.
Projektiranje hidrauličke frakture s 200 m3 smjese radnog fluida i podupirača, uz
konstantan tempo utiskivanja, u funkciji mehaničkih svojstava stijena, pokazalo je da
Youngov modul elastičnosti, Poissonov omjer i kritični intenzitet naprezanja utječu na
konstrukciju hidrauličke frakture i njezina svojstva.
Kratki pregled njihovog utjecaja na geometriju frakture, efektivni tlak, maksimalni tlak
na dnu bušotine, volumen radnog fluida i masu podupirača, dan je tablicom 12.
123
Tablica 12. Komparativni pregled utjecaja mehaničkih svojstava stijena na rezultat projektiranja hidrauličke
frakture
Eko
lekt
ora
= 20
0 ÷
1375
00 M
Pa
Eba
rijer
e =
160
÷11
0000
MP
a
ν kol
ekto
ra=
0,0
8 ÷
0,4
ν bar
ijere
= 0,
1 ÷
0,5
σ h. m
in.=
kon
st.
ν kol
ekto
ra=
0,0
8 ÷
0,4
ν bar
ijere
= 0,
1 ÷
,5
σ h. m
in.≠
kons
t.
KIc
kol
ekto
ra=0
,44
÷ 1,
76 M
Pa
m0,
5
KIc
bar
ijere
=0,
36÷1
,44M
Pa
m0,
5
razlika mase utisnutog podupirača (t) 93,31 2,09 5,59 1,18
razlika volumena radnog fluida (m3) 32,08 0,72 1,93 0,41
razlika maksimalnih tlakova na dnu bušotine (MPa) 6,94 0,39 24,09 0,11
razlika gubitka fluida za frakturiranje (m3) 109,57 2,24 5,94 1,69
razlika prosječne poduprte visine frakture (m) 32,15 1,30 3,22 0,08
razlika sr. poduprte širine frakture pri bušotini (mm) 32,73 0,41 0,15 0,15
razlika sr. vodljivosti frak. u produkt. zoni (10-3 µm2 m) 2430,58 32,91 72,28 18,70
razlika sr. bezdim. vod. frak. u produkt. zoni 9,67 0,07 0,18 0,04
razlika efektivnog tlaka u frakturi pri bušotini (MPa) 7,56 0,38 0,59 0,13
Najveći utjecaj na konstrukciju frakture i njezina svojstva, meñu spomenutim
mehaničkim svojstvima, ima Youngov modul elastičnosti.
Razlike u geometriji, tlakovima, masi podupirača i volumenu radnog fluida, u funkciji
Youngovog modula, posljedica su njegovog utjecaja na širinu frakture. U mekšim
stijenama, tj. stijenama nižeg Youngovog modula, širina frakture je veća. Povećanjem
širine frakture pri konstantnom tempu utiskivanja, smanjuju se hidraulički gubici u
frakturi pa su efektivni tlak u frakturi, kao i tlakovi na površini i dnu bušotine, manji.
Zbog manjeg efektivnog tlaka u frakturi, manja je visina frakture. Veća širina frakture
omogućava ranije utiskivanje podupirača, odnosno potreban volumen prethodnice je
manji pa je masa utisnutog podupirača veća, a volumen radnog fluida manji.
Povećanjem širine frakture i mase utisnutog podupirača, povećava se vodljivost
frakture.
Razlike u konstrukciji frakture i njezinim svojstvima u funkciji Poissonovih
omjera stijena, uz konstantna minimalna horizontalna naprezanja, istog su trenda, ali
su znatno manje od razlika istih parametara kod Youngovih modula, a rezultat su
direktnog utjecaja Poissonovog omjera na geometriju frakture, odnosno na njenu širinu.
124
Veće promjene u konstrukciji i svojstvima frakture u funkciji Poissonovog
omjera, dobivene su uključivanjem utjecaja Poissonovih omjera na horizontalna
naprezanja. Pri tome, variranjem Poissonovih omjera kolektorskih stijena u opsegu od
0,08 do 0,4 i barijernih stijena od 0,1 do 0,5, minimalna horizontalna naprezanja
kolektorskih stijena mijenjaju se za približno 24 MPa, a barijernih stijena za 28,5 MPa.
Iako je prema formulama za napredovanje frakture u statičkim i dinamičkim
uvjetima bilo za očekivati da kritični intenzitet naprezanja stijena ima veći utjecaj na
efektivni tlak i geometriju frakture, a time i volumen radnog fluida i masu podupirača,
njegov utjecaj na konstrukciju i svojstva frakture je najmanji. Razlika efektivnog tlaka u
frakturi pri kanalu bušotine od 0,13 MPa, dovoljna je da kompenzira povećanje kritičnih
intenziteta naprezanja, a da ne izazove znatnije promijene u geometriji frakture, a time i
u volumenu radnog fluida i masi podupirača.
Kod manjih razlika u naprezanju stijena ili kod stijena nižih modula elastičnosti, utjecaj
kritičnog intenziteta naprezanja, na konstrukciju frakture je veći.
S obzirom na navedene razlike u geometriji frakture i njezinim protočnim
svojstvima u funkciji elastičnih svojstava, promjene proizvodnje bušotine su relativno
male. U primjeru bušotine Žu-226, s obzirom na promjene vodljivosti i duljine
projektirane frakture u promatranom opsegu vrijednosti Youngovih modula, približna
prognozirana kumulativna proizvodnja kapljevine u prvoj godini, pri depresiji od 2 MPa,
kreće se od 5000 do 5200 m3, što odgovara prosječnoj proizvodnji od približno 14
m3/dan.
Stvarna proizvodnja kapljevine nakon frakturiranja bušotine, povećana je na približno
12 m3/dan uz približno 60 % vode, s tim da je u izvedbenom projektu utisnuti volumen
smjese iznosio 170 m3.
125
Literatura:
1. Abou-Sayed A. S., Sinha K. P., Clifton R. J., Brown U.: “Evaluation of the Influence
of “in situ” Reservoir Conditions on the Geometry of Hydraulic Fractures Using 3-D
Simulator: Part 1 – Technical Aproach”, Unconventional Gas Recovery Symposium,
SPE/DOE/GRI 12877, Pittsburgh, 13 –15 svibnja 1984.
2. Abou-Sayed A. S., Clifton R. J., Brown U., Dougherty R: L., Morales R. H.:
“Evaluation of the Influence of “in situ” Reservoir Conditions on the Geometry of
Hydraulic Fractures Using 3-D Simulator: Part 2 – Case Studies”, Unconventional
Gas Recovery Symposium, SPE/DOE/GRI 12877, Pittsburgh, 13 –15 svibnja 1984.
3. Bassiouni Z.: “Theory, Measurement, and Interpretation of Well Logs”,SPE
Textbook Series Vol. 4, Richardson, 1994.
4. Biot M. A., Masse L., Medlin W. L.: “A Two-Dimensional Theory of Fracture
Propagation”, SPE Production Engineering, Januar 1986, str. 17 - 30.
5. Breckels I. M., van Eekelen H. A. M.: “Relation ship Between Horizontal Stress and
Depth in Sedimentary Basins”, Journal of Petroleum Technology, Septembar 1982,
str. 2191 – 2199.
6. Broek D.: “Elementary Engineering Fracture Mechanics”, 1982.
7. Čikeš M.: “Mogunost povećanja pridobivih zaliha ugljikovodika primjenom postupka
hidrauličkog frakturiranja”, Disertacija, RGN-fakultet u Zagrebu, veljača 1995.
8. Daneshy A. A.: “Hydraulic Fracture Propagation in Layered Formations”, SPE 6088,
Society of Petroleum Engineers Journal, Februar 1978, str. 33 – 41.
9. Daneshy A. A.: “On the Design of Vertical Hydraulic Fractures”, Journal of
Petroleum Technology, Januar 1973, str. 83 – 97.
10. Desbrandes R.: “Encyclopedia of Well Logging”, Gulf Publishing Company, Book
Division, Houston, Texas, 1985.
11. Economides M. J., Nolte K. G.: “Reservoir Stimulation”, Schlumbarger Educational
Services, Huston, Texas, 1987.
12. Geertsma J.: “The Effect of Fluid Pressure Decline on Volumetric Changes of
Porous Rock”, Petroleum Transactions of AIME, 210, 1957, str. 331 –340.
13. Geertsma J., de Klerk F.: “A Rapid method of Predicting Width and Extent of
Hydraullicaly Induced Fractures”, Journal of Petroleum Technology, Decembar
1969, str. 1571 – 1581; Transactions of AIME, 246.
126
14. Gidley J. L., Holditch S. A., Nierode D. E., Veatch R. W.: “Recent Advances in
Hydraulic Fracturing”, Monograph Volume 12, Henry L. Doherty Series, Society of
Petroleum Engineers of AIME, New York, Dallas 1989.
15. Gnirk P.F.: “The Mechanical Behavior of Uncased Wellbores Situated in
Elastic/Plastic Media Under Hydrostatic Stress”, Society of Petroleum Engineers
Journal, Februar 1972, str. 49 – 59; Transactions of AIME, vol. 253.
16. Haimson B., Fairhurst C.: “Hydraulic Fracturing in Porous-Permable Materials”,
Journal of Petroleum Technology, Juli 1969, str. 811 – 817.
17. Haimson B., Fairhurst C.: “Initiation and Extension of Hydraulic Fractures in Rocks”,
Society of Petroleum Engineers Journal, Septembar 1967, str. 310 – 318.
18. Harrison E., Kieschnick W. F., McGuire W. J.: “The Mechanics of Fracture Induction
and Extension”, Petroleum Transactions of AIME, vol. 201, 1954, str. 252 – 263.
19. Howard G. C., Fast C. R.: “Optimum Fluid Characteristics for Fracture Extension”,
April 1957.
20. Hubbert M. K., Willis D. G.: “Mechanics of Hydraulic Fracturing”, Petroleum
Transactions of AIME, vol 210, 1957, str. 153 – 168.
21. “Idejni projekt za stimulaciju sloja na bušotini Žu-226”, Služba razrade ležišta, INA-
Naftaplin, Zagreb.
22. “Izvještaj o laboratorijskim ispitivanjima uzoraka jezgre iz bušotine Žutica-271”; 2.
dio, INA-Naftaplin, Sektor za istraživanje i razvoj, Služba laboratorijskih istraživanja,
Zagreb, rujan 1992.
23. “Izvještaj o laboratorijskim isdpitivanjima uzoraka jezgre iz bušotine Okoli-57
dobivene iz serije “c” (Iva-pješćenjaci)”; 3. dio, INA-Naftaplin, Sektor za istraživanje
i razvoj, Služba laboratorijskih istraživanja, Zagreb, svibanj 1993.
24. Jaeger J: C.: “Elasticity, Fracture and Flow”,Science Paperback, Chapman and
Hall, New York, London, 1983.
25. Jaeger J. C., Cook N. G. W.: “Fundamentals of Rock Mechanics”,Halsted Press
Book, New York 1976, Chapman and Hall, London 1976.
26. Kristianovic A., Zeltov Y. P.: “Formation of Vertical Fractures by Means of Highly
Viscous Liquid”, Section II/T.O.P., Paper 3, 4. Svjetski naftni kongres, Rim 1955,
Zbornik radova, str. 579 - 586.
27. Lama R. D., Vutukuri V. S.: “Handbook on Mechanical Properties of Rocks”,
Testing Techniques and Results, vol 2., Trans Tech Publications, Clausthal,
Njemačka 1978.
28. Medlin W. L., Masse L.: “Plasticity Effects in Hydraulic Fracturing”, Journal of
Petroleum Technology, Septembar 1986, str. 995 – 1006.
127
29. “MFRAC-II for Windows”, User’s Guide, Hydraulic Fracturing Simulator – Version
7.x, Meyer & Associates, Inc., Januar 1994.
30. Nolte K. G., Smith M. B.: “Interpretation of Fracturing Pressures”, Journal of
Petroleum Technology, Septembar 1981, str. 1767 – 1775.
31. Nordgren R. P.: “Propagation of a Vertical Hydraulic Fracture”, Society of
Petroleum Engineers Journal, August 1972, str. 306 – 314; Transactions of AIME,
253.
32. Paris P. C., Sih G. C.: “Stress Analysis of Cracks”, Fracture Thougness Testing, str.
30 – 39.
33. Paslay P. R., Cheatham J. B.: “Rock Stresess Induced by Flow of Fluids into
Boreholes”, Society of Petroleum Engineers Journal, Mart 1963, str. 85 – 93.
34. Perkins T. K.: “Application of Rock Mechanics in Hydraulic Fracturing Theories”, 7.
Svjetski naftni kongres, 1968, Rock Mechanics in Oilfield Geology Drilling and
Production, Zbornik radova, str. 75 – 84.
35. Perkins T. K., Kern L. R.: “Widths of Hydraulic Fractures”, Journal of Petroleum
Technology, Septembar 1961, str. 937 – 949; Transactions of AIME, 222.
36. Perkins T. K., Krech W. W.: “The Energy Balance Concept of Hydraulic Fracturing”,
Society of Petroleum Engineers Journal, Mart 1968, str. 1 – 12.
37. Sheriff R. E., Geldart L. P.: “Exploration Seismology”, 2. izdanje, Cambridge
University Press, 1995.
38. Simonson E. R., Abou-Sayed A. S., Clifton R. J.: “Containtment of Massive
Hydraulic Fractures”, Society of Petroleum Engineers Journal, Februar 1978, str. 27
– 32.
39. Šimić V.: “Otpornost Materijala – I”, Školska knjiga, Zagreb, 1992.
40. Šimić V.: “Otpornost Materijala – II”, Školska knjiga, Zagreb, 1995.
41. Timoshenko S. P., Goodier J. N.: “Theory of Elasticity”, McGraw-Hill Book
Company, Singapur 1985.
42. Veatch R. W.: “Overview of Current Hydraulic Fracturing Design and Treatment
Technology – Part 1”, Journal of Petroleum Technology, April 1983, str. 677 – 686.
43. Veatch R. W.: “Overview of Current Hydraulic Fracturing Design and Treatment
Technology – Part 2”, Journal of Petroleum Technology, Maj 1983, str. 853 – 864.
44. Wrapinski N. R.: “Measurement of Width and Pressure in a Propagating Hydraulic
Fracture”, Society of Petroleum Engineers Journal, Februar 1985, str. 46 – 54.
45. Wrapinski N. R., Branagan P., Wilmer R.: “In-Situ Stress Measurements at U.S.
DOE’s Multiwell Experiment Site, Mesaverde Group, Rifle, Colorado”, Journal of
Petroleum Technology, mart 1985, str. 527 – 536.
128
46. Wrapinski N. R., Schmidt R. A., Northrop D. A.: “In-Situ Stresess: The Predominant
Influence on Hydraulic Fracture Containtment”, Journal of Petroleum Technology,
Mart 1982, str. 653 – 664.
47. Wrapinski N. R., Teufel L. W.: “Influence of Geologic Discontinuities on Hidraulic
Fracture Propagation”, Journal of Petroleum Technology, Februar 1987, str. 209 –
220.
48. Zimmerman R. W.: “Compressibility of Sandstones”, Elsevier Science Publishing
Company Inc., Amsterdam, Oxford, New York, Tokyo 1991.
129
Uvod .............................................................................................................................1
Poglavlje 1 ....................................................................................................................4
Osnove mehanike stijena i mehanike linearno elastičnih materijala ..............................4
1.1 Elastična svojstva linearno elastičnih materijala...................................................4
1.1.1 Youngov modul elastičnosti...........................................................................4
1.1.2 Poissonov koeficijent.....................................................................................5
1.1.3 Posmični modul.............................................................................................6
1.1.4 Volumni modul i stlačivost .............................................................................6
1.1.5 Žilavost materijala .........................................................................................8
1.2 Elastična svojstava stijena.................................................................................11
1.2.1 Statička elastična svojstva stijena ...............................................................12
1.2.1.1 Utjecaj temperature, bočnih naprezanja, brzine opterećivanja, veličine
naprezanja i orijentacije uzorka na statička mjerenja elastičnih svojstava stijena
.........................................................................................................................14
1.2.1.2 Stlačivost stijena...................................................................................17
1.2.1.3 Sekantna i tangencijalna elastična svojstva stijena...............................20
1.2.2 Dinamička elastična svojstva stijena ...........................................................23
1.2.3 Usporedba statičkih i dinamičkih elastičnih svojstava stijena.......................29
1.2.4 Odreñivanje elastičnih svojstava stijena za potrebe hidrauličkog frakturiranja
............................................................................................................................31
Poglavlje 2 ..................................................................................................................33
Naprezanja u naslagama stijena .................................................................................33
2.1 Primarno naprezanje u naslagama stijena .........................................................33
2.1.1 Dodatna naprezanja i utjecaj pornog tlaka...................................................35
2.2 Naprezanje u okolini kanala bušotine ................................................................39
2.3 Iniciranje hidrauličke frakture u bušotini .............................................................44
2.4 Naprezanje u okolini inicirane frakture ...............................................................48
2.4.1 Griffitov uvjet napredovanja frakture............................................................49
2.4.2 Barenblattov kriterij napredovanja frakture ..................................................51
2.4.3 Linearno elastična mehanika frakture..........................................................51
2.4.3.1 Uvjet napredovanja frakture kod nejednake raspodijele naprezanja u
frakturi ..............................................................................................................52
2.5 Odreñivanje minimalnog naprezanja mikro hidrauličkim frakturiranjem..............53
Poglavlje 3 ..................................................................................................................55
Geometrija frakture u funkciji mehaničkih svojstava stijena u 2D uvjetima ..................55
3.1 Visina frakture....................................................................................................55
130
3.1.1 Visina frakture u funkciji naprezanja stijena.................................................55
3.1.1.1 Visina frakture kod izjednačenih naprezanja krovinskih i podinskih stijena
.........................................................................................................................55
3.1.1.2 Visina frakture pri različitom naprezanju stijena krovine i podine...........57
3.1.2 Visina frakture u funkciji Youngovog modula stijene....................................60
3.1.3 Visina frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja stijene..................63
3.2 Širina frakture ....................................................................................................64
3.3 Duljina frakture ..................................................................................................67
Poglavlje 4 ..................................................................................................................68
Matematički modeli za projektiranje hidrauličke frakture..............................................68
4.1 KGD model........................................................................................................68
4.2 PKN model ........................................................................................................73
4.3 Radijalni model ..................................................................................................76
4.4 Nenewtonski fluidi..............................................................................................77
4.5 Gubitci fluida......................................................................................................80
4.6 Trodimenzionalni modeli ....................................................................................85
Poglavlje 5 ..................................................................................................................86
Modeliranje hidrauličke frakture 3-D simulatorom........................................................86
5.1 Opis i definiranje ulaznih parametara na bušotini Žu-226. .................................86
5.2 Rezultati modeliranja hidrauličke frakture ..........................................................89
5.2.1 Utjecaj Youngovog modula na konstrukciju frakture ....................................89
5.2.2 Utjecaj kritičnog intenziteta naprezanja stijena na konstrukciju hidrauličke
frakture...............................................................................................................101
5.2.3 Utjecaj Poissonovog omjera na konstrukciju hidrauličke frakture...............107
Zaključak:..................................................................................................................122
Literatura:..................................................................................................................125
131
Slika 1. Jednoosna kompresija......................................................................................5
Slika 2. Tangencijalno naprezanje.................................................................................6
Slika 3. Tipovi pukotina6. ...............................................................................................9
Slika 4. Naprezanje pri vrhu pukotine6.........................................................................10
Slika 5. Idealizirani oblici krivulja naprezanje-deformacija, kod jednoosnog tlačnog
naprezanja stijena27. ...................................................................................................12
Slika 6. Kompletna krivulja naprezanja i deformacija27. ...............................................13
Slika 7. Sekantne i tangencijalne vrijednosti Youngovog modula elastičnosti. .............21
Slika 8. Shematski prikaz punog signala registriranog na prijemniku akustične sonde3.
....................................................................................................................................27
Slika 9. Intervalna vremena nailazaka longitudinalnog i transverzalnog vala, tL i tT,
registrirana LSS karotažom3........................................................................................28
Slika 10. Shematski prikaz naprezanja matrice stijene11..............................................35
Slika 11. Shematski prikaz zona naprezanja u okolini kružnog otvora u horizontalnoj
ravnini izloženoj dvoosnom naprezanju.......................................................................40
Slika 12. Obodna naprezanja na stjenci bušotine i njegovoj okolini (do polumjera 1,007
m), inducirana efektivnim horizontalnim naprezanjima od 10 MPa, prema izrazima 56 i
59................................................................................................................................42
Slika 13. Obodna naprezanja na stjenci i okolini kanala bušotine pri različitim omjerima
efektivnih horizontalnih naprezanja: a) σx ef. /σy ef. =1,5, b) σx ef. /σy ef. =3.......................43
Slika 14. Vlačno obodno naprezanje na stjenci i okolini kanala bušotine pri razlici
tlakova fluida u bušotini i ležištu, ∆p=20 MPa..............................................................45
Slika 15. Ukupno obodno naprezanje kanala bušotine uslijed efektivnih horizontalnih
naprezanja i razlike tlakova fluida u bušotini i ležištu...................................................47
Slika 16. Shematski prikaz opterećenja stjenke hidrauličke frakture tlakom fluida i
minimalne komponente horizontalnog naprezanja.......................................................49
Slika 17. Skica ponašanja tlaka pri “mikrofrak” testu11. ................................................54
Slika 18. Shematski prikaz raspodijele naprezanja po vertikalnom presjeku frakture u
uvjetima različitog intenziteta naprezanja ležišta i stijena krovine i podine. .................56
Slika 19. Visina frakture u funkciji naprezanja stijena i tlaka u frakturi. ........................57
Slika 20. Visina pukotine pri različitom naprezanju stijena krovine i podine. ................58
Slika 21. Visina frakture u uvjetima različitih naprezanja krovinskih i podinskih stijena14.
....................................................................................................................................59
Slika 22. Pukotina u ravnini ograničene širine. ............................................................61
Slika 23. Promjena intenziteta naprezanja u funkciji udaljenosti od slojne ravnine38. ...62
132
(ν1=ν2=0.14, E1=1.6 MPa, E2=3.1 MPa).......................................................................62
Slika 24. Prodor frakture u podinu i krovinu ležišta, pri jednakom naprezanju krovine i
podine, u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja stijena krovine i podine...................64
Slika 25. 2D model hidrauličke pukotine eliptičnog oblika............................................65
Slika 26. Shematski prikaz linearno napredujuće frakture prema KGD modelu7. .........69
Slika 27. Shematski prikaz frakture koja napreduje linearno (prema Perkinsu i Kernu)7.
....................................................................................................................................73
Slika 28. Minimalna horizontalna naprezanja i litološki stup ležišta bušotine Žu-226. ..88
Slika 29. Širina frakture i efektivni tlak pri kanalu bušotine u funkciji Youngovog modula
elastičnosti kolektorske stijene. ...................................................................................91
Slika 30. Visine frakture i efektivni tlak u frakturi u funkciji modula elastičnosti
kolektorske stijene.......................................................................................................93
Slika 31. Utrošen volumen radnog fluida i podupirača u 200 m3 smjese, u funkciji
modula elastičnosti kolektorske stijene........................................................................95
Slika 32. Duljine frakture i djelotvornost fluida za frakturiranje. ....................................96
Slika 33. Vodljivosti frakture ........................................................................................97
Slika 34. Konture širina fraktura pri kanalu bušotine kod različitih vrijednosti modula
elastičnosti stijena. ......................................................................................................98
Slika 35. Konture širina frakture po njenoj duljini kod različitih vrijednosti Youngovih
modula. .....................................................................................................................100
Slika 36. Promjene efektivnog tlaka i širina frakture kod različitih kritičnih intenziteta
naprezanja stijena. ....................................................................................................103
Slika 37. Visine i duljine frakture u funkciji kritičnog intenziteta naprezanja. ..............104
Slika 38. Volumen radnog fluida i utrošena masa podupirača u 200 m3 smjese za
frakturiranje stijena različitih kritičnih intenziteta naprezanja......................................105
Slika 39. Vodljivosti frakture u stijenama različitih kritičnih intenziteta naprezanja. ....106
Slika 40. Efektivni tlak i širina frakture u funkciji Poissonovog omjera stijene kolektora.
..................................................................................................................................109
Slika 41. Utjecaj promjene Poissonovog omjera stijena na visinu i duljinu frakture....110
Slika 42. Količina fluida za frakturiranje i podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje.
..................................................................................................................................111
Slika 43. Vodljivosti fraktura kod različitih Poissonovih omjera stijena. ......................112
Slika 44. Naprezanje stijena u funkciji Poissonovog omjera. .....................................115
Slika 45. Širina frakture i efektivni tlak u frakturi kod različitih Poissonovih omjera
stijena. ......................................................................................................................116
Slika 46. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na visinu frakture i efektivni tlak u frakturi.
..................................................................................................................................117
133
Slika 47. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na količinu fluida za frakturiranje i masu
podupirača u 200 m3 smjese za frakturiranje.............................................................119
Slika 48. Utjecaj Poissonovog omjera na vodljivosti frakture. ....................................120
Slika 49. Utjecaj Poissonovog omjera stijena na djelotvornost fluida za frakturiranje.121
134
Tablica 1. Anizotropnost nekih stijena27, 23 ...................................................................16
Tablica 2. Sažetak podataka o poroznosti, gustoći i parametrima “M” i “m”, za različite
tipove stijena27 ............................................................................................................22
Tablica 3. Pregled podataka o poroznosti, gustoći i parametrima N i F, za pojedine
stijene27 .......................................................................................................................23
Tablica 4. Pregled statičkih i dinamičkih vrijednosti Youngovih modula i Poissonovih
omjera za pojedine stijene, prema različitim autorima27, 23 ...........................................30
Tablica 5. Podaci korišteni za simulaciju gubitka radnog fluida pri frakturiranju bušotine
Žu-22621 ......................................................................................................................87
Tablica 6. Minimalna naprezanja stijena korištena u konstrukciji hidrauličke frakture u
bušotini Žu-226 ...........................................................................................................88
Tablica 7. Opseg mehaničkih svojstava stijena korištenih u konstrukciji hidrauličke
frakture........................................................................................................................89
Tablica 8. Pregled rezultata konstrukcije hidrauličke frakture s različitim vrijednostima
Youngovih modula ......................................................................................................90
Tablica 9. Rezultati modeliranja hidrauličke frakture s različitim kritičnim intenzitetima
naprezanja stijena.....................................................................................................102
Tablica 10. Rezultati konstrukcije frakture s različitim Poissonovim koeficijentima
stijena uz konstantna minimalna naprezanja.............................................................108
Tablica 11. Rezultati projektiranja hidrauličke frakture s različitim Poissonovim
omjerima stijena uz variranje minimalnih naprezanja prema Poissonovim omjerima.114
Tablica 12. Komparativni pregled utjecaja mehaničkih svojstava stijena na rezultat
projektiranja hidrauličke frakture................................................................................123