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LOS GRUPOS DE SIMETRÍA EN LA ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA. Estructuras geométricas en el álgebra
o
Estructuras algebraicas en la geometría
Lic. Alberto SotoEscuela de Ciencias Exactas y NaturalesUNED Costa Rica, 2011
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Objetivo
Lograr con los grupos de simetría del rombo y el triángulo un acercamiento más intuitivo y concreto de la solución de ecuaciones y la simplificación de expresiones algebraicas
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Problema
El álgebra en secundaria representa uno de los problemas más grandes relacionados con la enseñanza de la matemática tanto en la enseñanza media como en los primeros cursos universitarios de matemática
Los procedimientos de simplificación de expresiones algebraicas, la expansión, la factorización y resolución de ecuaciones, son para los estudiantes una de las mayores dificultades en el estudio.
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Grupos de simetría (I)
Con los grupos de simetría se pretende ejemplificar las diferentes propiedades de las estructuras algebraicas, tales como la asociatividad o el elemento neutro, que en secundaria normalmente se hace solo cuando los conjuntos son subconjuntos de los números reales y las operaciones son la suma o el producto.
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Grupos de simetría (II)
El objetivo de esta aproximación es notar que la simplificación de expresiones o la resolución de ecuaciones pueden tener un sentido concreto más fácil de interpretar y utilizar.
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Definición de grupo
Una estructura algebraica es un grupo si y solo si es una estructura asociativa y toda ecuación de la forma tiene solución única para todo
oax b xa b= =,a b
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Tabla de la operación
Cuando el grupo es finito se puede escribir todos los resultados por medio de una tabla, llamada Tabla de la Operación. Hay dos formas frecuentes matricial y cartesiana.
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Ejemploforma matricial
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
1 1
i i
i i
i i
i i i
i i i
- -
- -
- - -
- -
- - -
g
RESULTADO IMPORTANTE: En un grupo, un mismo elemento no se repite en la misma fila o columna
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Movimientos “Rígidos”
Se llaman Movimientos rígidos a aquellos movimientos que dejan la figura en la misma posición aunque sus vértices pueden haber cambiado. En el caso del rombo son cuatro, cada movimiento se le puede asociar una acción: Rotar o Reflejar
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Rotación de 360º o 0º
IIIIIIIIII
IIIIIIIIII
I
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Rotación de 180º
IIIIIIIIII
IIIIIII
III
R
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Reflexión Vertical
IIIIIIIIII
III
IIIIIII
V
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Reflexión Horizontal
IIIIIIIIII
III
IIIIIII
H
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Operación
Se realiza dos movimientos simultáneos y siempre se obtiene uno de los indicados
I
II
III
IIII
I
II
III
IIIIH R
I
II
III
IIII
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ResultadoI
II
III
IIII
I
II
III
IIIIV
I
II
III
IIII
I
II
III
IIIIH R
I
II
III
IIII
¡H·R=V!
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Otros resultados en la Tabla de la operación
I R V H
I I R V H
R R I
V V I
H H V I
Los otros resultados corresponden en un caso a la aplicación de la misma acción dos veces que siempre da I, y en el otro a la aplicación de la rotación de 360º que no modifica el resultado (por lo que se le llama a I el elemento NEUTRO).
H·R=V (Calculado antes)R·R=I
H·H=IV·I=V
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Usando la propiedad asociativa para calcular H·V
Dado que H·R = VEntonces H·V=H·(H·R) y por asociatividad es igual a
(H·H)·RY dado que H·H = I y que I·R = R porque la
acción I no modifica la posición de los vértices.
Se concluye H·V = H·(H·R) = (H·H)·R = I·R = R
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Rellenando la Tabla de la operación
I R V H
I I R V H
R R I
V V I
H H V R I
W W
W W
El resultado VR=H se deduce porque es el único elemento que falta en la columna.Sucede lo mismo con el resultado RV=H. El resultado RH=V se obtiene luego de calcular RV=H por lo que debe dar el elemento que hace falta, lo mismo para VH=R
R·V=H
H·V=R V·H=R
V·R=HR·H=V
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Simplificación de expresiones ¿Qué pasa si se tiene una secuencia de
movimientos rígidos? Por ejemplo
H·R·V·I·R·R·H·V·V·V·H·I·R·V
Lo que se quiere hacer en lugar de realizar cada uno de estos movimientos es obtener una “síntesis” o simplificación
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Simplificando (I)
La propiedad asociativa nos dice que no hacen falta los paréntesis para darle significado al esta expresión.
Se sabe que R·R=V·V=H·H= I Podemos eliminar I cada vez que
aparece porque no altera el resultado. Con esto: H·R·V·I·R·R·H·V·V·V·H·I·R·V = H·R·V·H·V·H·R·V
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Simplificando (II)
Podemos iniciar de izquierda a derecha colocando los resultados de la tabla:
(H·R)·(V·H·V·H·R·V)= V·(V·H·V·H·R·V) = (V·V) ·(H·V·H·R·V) = (H·V)·(H·R·V) = R·(H·R·V) = (R·H)·(R·V) = V·H
= R
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Resolviendo ecuaciones
Determinar el movimiento X tal que R·X·V=H
Como es un conjunto finito hay dos estrategias: Fuerza bruta: Sustituya uno a uno los
elementos del conjunto para encontrar la respuesta al problema.
Usar las propiedades de la estructura y los resultados ya conocidos.
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Estrategia algebraica
Consiste en aplicar movimientos a ambos lados de la igualdad con la idea de dejar la letra X sola al lado izquierdo de la ecuación.
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Ejecución
R·X·V=HAplicando R a la izquierda en ambos lados
R·(R·X·V)=R·H Simplificando a la derecha y calculando a la
izquierdaX·V=V
Aplicando V a la derecha en ambos lados (X·V)·V=V·V
Simplificando a la derecha y calculando a la izquierda
X= I
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Respuesta
La solución de la ecuación R·X·V=H es X=I
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Actividad evaluativa
Considere un triángulo equilátero.
I
II
III
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Simetrías del Triángulo equilátero
I
II
III
I
II
IIII II
IIII
II
III III
III
I
II
III
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Los elementos
Llame I la rotación de 360º Llame R la rotación de 120º Llame RR la rotación de 240º Llame S la reflexión vertical (90º) Llame T la reflexión sobre la mediatriz
que pasa por II (30º) Llame U la reflexión sobre la mediatriz
que pasa por III (150º)
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La estructura de grupo
Complete la siguiente tabla calculando RS en forma directa y utilizando la asociatividad para otros que usted debe escoger, no olvide la condición de que no se repiten los elementos en la fila o la columna
I R RR S T U
I I R RR S T U
R R RR I
RR RR I R
S S I
T T I
U U I
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Simplifique y resuelva
A cuál de los anteriores elemento equivale los siguientes movimientos
RR R S T U R R T RR U S R T =¿ ? ¿cuál movimiento X se necesita para que
se satisfaga la igualdad?RR S T X U R = S T R U
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Resumen
Las estructuras algebraicas presentadas se llama Grupo de isometrías de un rectángulo también llamado Grupo de Klein y de un triángulo equilátero
El método para la simplificación está sustentado en la existencia del elemento neutro y la asociatividad.
La estrategia para resolver ecuaciones utiliza la noción de inverso, estos dos conceptos presentes en la Teoría de Grupos.
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Para saber más
Ayres, F. (1991). Álgebra Moderna. Serie Schaum. Mexico: McGraw-Hill.
Fraleigh, J. (1988). Algebra Abstracta. Primer Curso. Mexico: Addison-Wesley Iberoamericana S.A.
Soto, A. (2011). Elementos de Álgebra Moderna. San José, Costa Rica: EUNED.