![Page 1: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/1.jpg)
Sematika
Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije.
Danijela Petrovic
May 3, 2016
![Page 2: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/2.jpg)
Sematika
Sematika
Semantika daje znacenje
U stilu Tarskog
![Page 3: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/3.jpg)
Sematika
Sematika
Semantika daje znacenje
U stilu Tarskog
![Page 4: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/4.jpg)
Sematika
L-struktura DZa datu signaturu L, L-struktura D je par (D, IL) gde je D skup,a IL funkcija i pri tome vazi:
D je neprazan skup i to je domen
svakom simbolu konstante iz L funkcija IL pridruzuje jedanelement iz domena cI ∈ D
svakom funkcijskom simbolu f , ar(f ) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju fI : Dn → D
svakom predikatskom simbolu p, ar(p) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju pI : Dn → {0, 1}
![Page 5: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/5.jpg)
Sematika
L-struktura DZa datu signaturu L, L-struktura D je par (D, IL) gde je D skup,a IL funkcija i pri tome vazi:
D je neprazan skup i to je domensvakom simbolu konstante iz L funkcija IL pridruzuje jedanelement iz domena cI ∈ D
svakom funkcijskom simbolu f , ar(f ) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju fI : Dn → D
svakom predikatskom simbolu p, ar(p) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju pI : Dn → {0, 1}
![Page 6: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/6.jpg)
Sematika
L-struktura DZa datu signaturu L, L-struktura D je par (D, IL) gde je D skup,a IL funkcija i pri tome vazi:
D je neprazan skup i to je domensvakom simbolu konstante iz L funkcija IL pridruzuje jedanelement iz domena cI ∈ D
svakom funkcijskom simbolu f , ar(f ) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju fI : Dn → D
svakom predikatskom simbolu p, ar(p) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju pI : Dn → {0, 1}
![Page 7: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/7.jpg)
Sematika
L-struktura DZa datu signaturu L, L-struktura D je par (D, IL) gde je D skup,a IL funkcija i pri tome vazi:
D je neprazan skup i to je domensvakom simbolu konstante iz L funkcija IL pridruzuje jedanelement iz domena cI ∈ D
svakom funkcijskom simbolu f , ar(f ) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju fI : Dn → D
svakom predikatskom simbolu p, ar(p) = n iz L funkcija IL
pridruzuje funkciju pI : Dn → {0, 1}
![Page 8: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/8.jpg)
Sematika
ValuacijaValuacija v za skup promenljivih V i domen D je preslikavanjekoje svakom elementu iz V dodeljuje vrednost iz D.
v(xj) = dj
par (D, v) odre�uje interpretaciju, Iv
![Page 9: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/9.jpg)
Sematika
ValuacijaValuacija v za skup promenljivih V i domen D je preslikavanjekoje svakom elementu iz V dodeljuje vrednost iz D.
v(xj) = dj
par (D, v) odre�uje interpretaciju, Iv
![Page 10: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/10.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost TERMA t u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je t jednako promeljivoj x , onda Iv (t) = v(x)
ako je t jednako konstanti c , onda Iv (t) = cI
ako je t jednako funkciskom simbolu f (t1, . . . , tn), ar(f ) = n iako vazi Iv (ti ) = di onda Iv (f (t1, . . . , tn)) = fI (d1, . . . , dn)
![Page 11: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/11.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost TERMA t u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je t jednako promeljivoj x , onda Iv (t) = v(x)
ako je t jednako konstanti c , onda Iv (t) = cI
ako je t jednako funkciskom simbolu f (t1, . . . , tn), ar(f ) = n iako vazi Iv (ti ) = di onda Iv (f (t1, . . . , tn)) = fI (d1, . . . , dn)
![Page 12: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/12.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost TERMA t u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je t jednako promeljivoj x , onda Iv (t) = v(x)
ako je t jednako konstanti c , onda Iv (t) = cI
ako je t jednako funkciskom simbolu f (t1, . . . , tn), ar(f ) = n iako vazi Iv (ti ) = di onda Iv (f (t1, . . . , tn)) = fI (d1, . . . , dn)
![Page 13: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/13.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A jednako ⊥, onda Iv (⊥) = 0
ako je A jednako >, onda Iv (>) = 1
ako je A atomicka formula p(t1, . . . , tn), ar(p) = n i ako vaziIv (ti ) = di onda Iv (p(t1, . . . , tn)) = pI (d1, . . . , dn)
ako je A = ¬B, onda
Iv (¬B) =
{0 ako Iv (B) = 11 ako Iv (B) = 0
ako je A = B1 ∧ B2, onda
Iv (B1 ∧ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 10 inace
![Page 14: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/14.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A jednako ⊥, onda Iv (⊥) = 0
ako je A jednako >, onda Iv (>) = 1
ako je A atomicka formula p(t1, . . . , tn), ar(p) = n i ako vaziIv (ti ) = di onda Iv (p(t1, . . . , tn)) = pI (d1, . . . , dn)
ako je A = ¬B, onda
Iv (¬B) =
{0 ako Iv (B) = 11 ako Iv (B) = 0
ako je A = B1 ∧ B2, onda
Iv (B1 ∧ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 10 inace
![Page 15: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/15.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A jednako ⊥, onda Iv (⊥) = 0
ako je A jednako >, onda Iv (>) = 1
ako je A atomicka formula p(t1, . . . , tn), ar(p) = n i ako vaziIv (ti ) = di onda Iv (p(t1, . . . , tn)) = pI (d1, . . . , dn)
ako je A = ¬B, onda
Iv (¬B) =
{0 ako Iv (B) = 11 ako Iv (B) = 0
ako je A = B1 ∧ B2, onda
Iv (B1 ∧ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 10 inace
![Page 16: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/16.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A jednako ⊥, onda Iv (⊥) = 0
ako je A jednako >, onda Iv (>) = 1
ako je A atomicka formula p(t1, . . . , tn), ar(p) = n i ako vaziIv (ti ) = di onda Iv (p(t1, . . . , tn)) = pI (d1, . . . , dn)
ako je A = ¬B, onda
Iv (¬B) =
{0 ako Iv (B) = 11 ako Iv (B) = 0
ako je A = B1 ∧ B2, onda
Iv (B1 ∧ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 10 inace
![Page 17: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/17.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A jednako ⊥, onda Iv (⊥) = 0
ako je A jednako >, onda Iv (>) = 1
ako je A atomicka formula p(t1, . . . , tn), ar(p) = n i ako vaziIv (ti ) = di onda Iv (p(t1, . . . , tn)) = pI (d1, . . . , dn)
ako je A = ¬B, onda
Iv (¬B) =
{0 ako Iv (B) = 11 ako Iv (B) = 0
ako je A = B1 ∧ B2, onda
Iv (B1 ∧ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 10 inace
![Page 18: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/18.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A = B1 ∨ B2, onda
Iv (B1 ∨ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 ili Iv (B2) = 10 inace
ako je A = B1 ⇒ B2, onda
Iv (B1 ⇒ B2) =
{0 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 01 inace
ako je A = B1 ⇔ B2, onda
Iv (B1 ⇔ B2) =
{1 ako Iv (B1) = Iv (B2)0 inace
![Page 19: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/19.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A = B1 ∨ B2, onda
Iv (B1 ∨ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 ili Iv (B2) = 10 inace
ako je A = B1 ⇒ B2, onda
Iv (B1 ⇒ B2) =
{0 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 01 inace
ako je A = B1 ⇔ B2, onda
Iv (B1 ⇔ B2) =
{1 ako Iv (B1) = Iv (B2)0 inace
![Page 20: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/20.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A = B1 ∨ B2, onda
Iv (B1 ∨ B2) =
{1 ako Iv (B1) = 1 ili Iv (B2) = 10 inace
ako je A = B1 ⇒ B2, onda
Iv (B1 ⇒ B2) =
{0 ako Iv (B1) = 1 i Iv (B2) = 01 inace
ako je A = B1 ⇔ B2, onda
Iv (B1 ⇔ B2) =
{1 ako Iv (B1) = Iv (B2)0 inace
![Page 21: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/21.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A = (∃x)B, onda Iv (A) = 1 ako postoji valuacija vtakva da je w ∼x v i Iw (B) = 1; inace Iv (A) = 0
podsetnik: w ∼x v ako za svako y 6= x vazi w(y) = v(y)
ako je A = (∀x)B, onda Iv (A) = 0 ako postoji valuacija vtakva da je w ∼x v i Iw (B) = 0; inace Iv (A) = 1
![Page 22: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/22.jpg)
Sematika
Interpretacija
Vrednost FORMULE A u interpretaciji Iv odre�enoj sa (D, v)
ako je A = (∃x)B, onda Iv (A) = 1 ako postoji valuacija vtakva da je w ∼x v i Iw (B) = 1; inace Iv (A) = 0
podsetnik: w ∼x v ako za svako y 6= x vazi w(y) = v(y)
ako je A = (∀x)B, onda Iv (A) = 0 ako postoji valuacija vtakva da je w ∼x v i Iw (B) = 0; inace Iv (A) = 1
![Page 23: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/23.jpg)
Sematika
Iv zadovoljava formulu A ako Iv (A) = 1
Formula A je tacna u interpretaciji Iv ako Iv (A) = 1
Formula A je zadovojiva ako postoji valuacija v takva daIv (A) = 1
Formula kontradiktorna ako nije zadovoljiva.
Formula A je valjana ako u svakoj valuaciji v vazi Iv (A) = 1Tada kazemo da je D model za formulu A.
Ako formula nije valjana onda je poreciva
![Page 24: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/24.jpg)
Sematika
Iv zadovoljava formulu A ako Iv (A) = 1
Formula A je tacna u interpretaciji Iv ako Iv (A) = 1
Formula A je zadovojiva ako postoji valuacija v takva daIv (A) = 1
Formula kontradiktorna ako nije zadovoljiva.
Formula A je valjana ako u svakoj valuaciji v vazi Iv (A) = 1Tada kazemo da je D model za formulu A.
Ako formula nije valjana onda je poreciva
![Page 25: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/25.jpg)
Sematika
Iv zadovoljava formulu A ako Iv (A) = 1
Formula A je tacna u interpretaciji Iv ako Iv (A) = 1
Formula A je zadovojiva ako postoji valuacija v takva daIv (A) = 1
Formula kontradiktorna ako nije zadovoljiva.
Formula A je valjana ako u svakoj valuaciji v vazi Iv (A) = 1Tada kazemo da je D model za formulu A.
Ako formula nije valjana onda je poreciva
![Page 26: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/26.jpg)
Sematika
Iv zadovoljava formulu A ako Iv (A) = 1
Formula A je tacna u interpretaciji Iv ako Iv (A) = 1
Formula A je zadovojiva ako postoji valuacija v takva daIv (A) = 1
Formula kontradiktorna ako nije zadovoljiva.
Formula A je valjana ako u svakoj valuaciji v vazi Iv (A) = 1Tada kazemo da je D model za formulu A.
Ako formula nije valjana onda je poreciva
![Page 27: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/27.jpg)
Sematika
Iv zadovoljava formulu A ako Iv (A) = 1
Formula A je tacna u interpretaciji Iv ako Iv (A) = 1
Formula A je zadovojiva ako postoji valuacija v takva daIv (A) = 1
Formula kontradiktorna ako nije zadovoljiva.
Formula A je valjana ako u svakoj valuaciji v vazi Iv (A) = 1Tada kazemo da je D model za formulu A.
Ako formula nije valjana onda je poreciva
![Page 28: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/28.jpg)
Sematika
Iv zadovoljava formulu A ako Iv (A) = 1
Formula A je tacna u interpretaciji Iv ako Iv (A) = 1
Formula A je zadovojiva ako postoji valuacija v takva daIv (A) = 1
Formula kontradiktorna ako nije zadovoljiva.
Formula A je valjana ako u svakoj valuaciji v vazi Iv (A) = 1Tada kazemo da je D model za formulu A.
Ako formula nije valjana onda je poreciva
![Page 29: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/29.jpg)
Sematika
Supstitucija
Term dobijen ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljive xtermom tx , t[x → tx ]
ako je t konstanta t[x → tx ] = t
ako je t = x onda t[x → tx ] = tx
ako je t = y i y 6= x onda t[x → tx ] = t
ako je t = f (t1, . . . , tn) ondat[x → tx ] = f (t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
![Page 30: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/30.jpg)
Sematika
Supstitucija
Term dobijen ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljive xtermom tx , t[x → tx ]
ako je t konstanta t[x → tx ] = t
ako je t = x onda t[x → tx ] = tx
ako je t = y i y 6= x onda t[x → tx ] = t
ako je t = f (t1, . . . , tn) ondat[x → tx ] = f (t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
![Page 31: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/31.jpg)
Sematika
Supstitucija
Term dobijen ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljive xtermom tx , t[x → tx ]
ako je t konstanta t[x → tx ] = t
ako je t = x onda t[x → tx ] = tx
ako je t = y i y 6= x onda t[x → tx ] = t
ako je t = f (t1, . . . , tn) ondat[x → tx ] = f (t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
![Page 32: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/32.jpg)
Sematika
Supstitucija
Term dobijen ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljive xtermom tx , t[x → tx ]
ako je t konstanta t[x → tx ] = t
ako je t = x onda t[x → tx ] = tx
ako je t = y i y 6= x onda t[x → tx ] = t
ako je t = f (t1, . . . , tn) ondat[x → tx ] = f (t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
![Page 33: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/33.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥
>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 34: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/34.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >
p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 35: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/35.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 36: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/36.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 37: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/37.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 38: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/38.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 39: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/39.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 40: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/40.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 41: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/41.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 42: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/42.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
⊥[x → tx ] = ⊥>[x → tx ] = >p(t1, . . . , tn)[x → tx ] = p(t1[x → tx ], . . . , tn[x → tx ])
(¬A)[x → tx ] = ¬(A[x → tx ])
(A ∧ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∧ B[x → tx ]
(A ∨ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ∨ B[x → tx ]
(A ⇒ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇒ B[x → tx ]
(A ⇔ B)[x → tx ] = A[x → tx ] ⇔ B[x → tx ]
(∃xA)[x → tx ] = (∃xA)
(∀xA)[x → tx ] = (∀xA)
![Page 43: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/43.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
ako je x 6= y i neka je z promenljiva koja se ne pojavljuje ni uA, ni u tx , onda (∃yA)[x → tx ] = (∃z)A[y → z ][x → tx ]
ako je x 6= y i neka je z promenljiva koja se ne pojavljuje ni uA, ni u tx , onda (∀yA)[x → tx ] = (∀z)A[y → z ][x → tx ]
![Page 44: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/44.jpg)
Sematika
Supstitucija
Formulu dobijnu ZAMENOM (SUPSTITUCIJOM) promenljivex termom tx , t[x → tx ]
ako je x 6= y i neka je z promenljiva koja se ne pojavljuje ni uA, ni u tx , onda (∃yA)[x → tx ] = (∃z)A[y → z ][x → tx ]
ako je x 6= y i neka je z promenljiva koja se ne pojavljuje ni uA, ni u tx , onda (∀yA)[x → tx ] = (∀z)A[y → z ][x → tx ]
![Page 45: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/45.jpg)
Sematika
Supstitucija
Supstitucija (uopstena zamena, uopstena supstitucija) σ
Supstitucija σ je skup zamena [x1 → t1], . . . , [xn → tn] gde su xi
promenljive, a ti termovi.
efekat supstitucije σ na izraz E zapisujemo Eσ
Idempotenta supstitucija – Eσ = (Eσ)σ; ni jedan od termovati ne sadrzi neku od promenljivih xj
![Page 46: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/46.jpg)
Sematika
Supstitucija
Supstitucija (uopstena zamena, uopstena supstitucija) σ
Supstitucija σ je skup zamena [x1 → t1], . . . , [xn → tn] gde su xi
promenljive, a ti termovi.
efekat supstitucije σ na izraz E zapisujemo Eσ
Idempotenta supstitucija – Eσ = (Eσ)σ; ni jedan od termovati ne sadrzi neku od promenljivih xj
![Page 47: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/47.jpg)
Sematika
(primeri iz udzbenika)
1 σ = [x → f (y)], s = g(a, x), sσ =?
2 σ = [x → f (y)], s = g(a, x), sσ =?
3 σ = [x → f (y), y → a], s = g(a, x), t = g(y , g(x , y)), sσ =?,tσ =?
4 ψ = [x → f (y)], λ = [y → g(z)], ψλ =?
5 ψ = [x → y ], λ = [y → x ], ψλ =?
6 ψ = [x → f (y)], λ = [x → g(z)], ψλ =?
7 ψ = [x → f (y)], λ = [x → a], ψλ =?
![Page 48: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/48.jpg)
Sematika
PRENEX normalna formaKazemo da je formula u prenex normalnoj formi ako je oblika
Q1x1Q2x2 . . .QnxnA
pri cemu je Q neki kvantifikator (exists ili forall) i A nema drugihkvantifikatora.
Svaka zatvorena formula moze biti transformisana u svojuprenex normalnu formu.
![Page 49: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/49.jpg)
Sematika
PRENEX algoritam
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B
A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
....
![Page 50: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/50.jpg)
Sematika
PRENEX algoritam
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ BA ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
....
![Page 51: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/51.jpg)
Sematika
PRENEX algoritam
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ BA ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
....
![Page 52: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/52.jpg)
Sematika
(primer iz udzbenika)
1 ∀x p(x) ∧ ∀x∃y∀z(q(y , z) ⇒ r(g(x), y))
![Page 53: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/53.jpg)
Sematika
Konjuktivna normalna formaFormula bez kvantifikatora je u konjuktivnoj normalnoj formi akoje oblika
A1 ∧ A2 ∧ . . .An
gde je Ai disjunkcija literala.
![Page 54: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/54.jpg)
Sematika
Klauzalna formaFormula je u klauzalnoj formi ako je oblika
∀x1∀x2 . . .∀xnA
pri cemu je A formula bez kvantifikatora koja je u konjuktivnojnormalnoj formi i nema slobodnih promenljivih osim, eventualno,x1, x2, . . . , xn
![Page 55: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/55.jpg)
Sematika
Skolemizacija
Ne postoji za svaku recenicu formula koja je u klauzalnojformi:(∃x)p(x)
Ali, za svaku recenicu A postoji formula B koja je u klauzalnojformi i vazi da je A zadovoljiva ako i samo ako je Bzadovoljiva. (slaba ekvivalencija.)
Menja se polazna signatura, eleminisu se egzistencijalnikvantifikatori.
Skolemizacija – izbacivanje egzistencijalnih kvantifikatora.
Uvode se novi funkcijski simboli: konstante (skolemovanekonstante) i funkcijski simboli (skolemovane funkcije)
![Page 56: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/56.jpg)
Sematika
Skolemizacija
Ne postoji za svaku recenicu formula koja je u klauzalnojformi:(∃x)p(x)
Ali, za svaku recenicu A postoji formula B koja je u klauzalnojformi i vazi da je A zadovoljiva ako i samo ako je Bzadovoljiva. (slaba ekvivalencija.)
Menja se polazna signatura, eleminisu se egzistencijalnikvantifikatori.
Skolemizacija – izbacivanje egzistencijalnih kvantifikatora.
Uvode se novi funkcijski simboli: konstante (skolemovanekonstante) i funkcijski simboli (skolemovane funkcije)
![Page 57: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/57.jpg)
Sematika
Skolemizacija
Ne postoji za svaku recenicu formula koja je u klauzalnojformi:(∃x)p(x)
Ali, za svaku recenicu A postoji formula B koja je u klauzalnojformi i vazi da je A zadovoljiva ako i samo ako je Bzadovoljiva. (slaba ekvivalencija.)
Menja se polazna signatura, eleminisu se egzistencijalnikvantifikatori.
Skolemizacija – izbacivanje egzistencijalnih kvantifikatora.
Uvode se novi funkcijski simboli: konstante (skolemovanekonstante) i funkcijski simboli (skolemovane funkcije)
![Page 58: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/58.jpg)
Sematika
Skolemizacija
Ne postoji za svaku recenicu formula koja je u klauzalnojformi:(∃x)p(x)
Ali, za svaku recenicu A postoji formula B koja je u klauzalnojformi i vazi da je A zadovoljiva ako i samo ako je Bzadovoljiva. (slaba ekvivalencija.)
Menja se polazna signatura, eleminisu se egzistencijalnikvantifikatori.
Skolemizacija – izbacivanje egzistencijalnih kvantifikatora.
Uvode se novi funkcijski simboli: konstante (skolemovanekonstante) i funkcijski simboli (skolemovane funkcije)
![Page 59: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/59.jpg)
Sematika
Skolemizacija
Ne postoji za svaku recenicu formula koja je u klauzalnojformi:(∃x)p(x)
Ali, za svaku recenicu A postoji formula B koja je u klauzalnojformi i vazi da je A zadovoljiva ako i samo ako je Bzadovoljiva. (slaba ekvivalencija.)
Menja se polazna signatura, eleminisu se egzistencijalnikvantifikatori.
Skolemizacija – izbacivanje egzistencijalnih kvantifikatora.
Uvode se novi funkcijski simboli: konstante (skolemovanekonstante) i funkcijski simboli (skolemovane funkcije)
![Page 60: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/60.jpg)
Sematika
Skolemizacija
∃yAd – novi simbol konstanteA[y → d ]
∀x1∀x2 . . .∀xn∃yAf – novi funkcijski simbol, ar(f ) = n∀x1∀x2 . . .∀xnA[y → f (x1, x2, . . . , xn)]
![Page 61: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/61.jpg)
Sematika
Skolemizacija
∃yAd – novi simbol konstanteA[y → d ]
∀x1∀x2 . . .∀xn∃yAf – novi funkcijski simbol, ar(f ) = n∀x1∀x2 . . .∀xnA[y → f (x1, x2, . . . , xn)]
![Page 62: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/62.jpg)
Sematika
(primer iz udzbenika) – odrediti prenex ... nastavak primera
1 ∀x p(x) ∧ ∀x∃y∀z(q(y , z) ⇒ r(g(x), y))
![Page 63: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/63.jpg)
Sematika
Unifikacija Problem unifikacije je problem ispitivanja da li postojisupstitucija koja cini dva izraza jednakim.
Ako su e1 i e2 izrazi i ako postoji supstitucija takva da vazie1σ = e2σ onda kazemo da su e1 i e2 unifikabilni i da jesupstitucija σ unifikator za ta dva izraza.
Najopstiji unifikatorSupstitucija σ je najopstiji unifikator za izraze e1 i e2 ako svakinjihov unifikator τ moze biti predstavljen u obliku τ = σµ gde je µneka supstitucija.
Primene: pre svega u metodi rezolucije
![Page 64: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/64.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator Dat je niz parova
(s1, t1)(s2, t2) . . . (sn, tn)
i trazi se supstitucija σ tako da
s1σ = t1σ, s2σ = t2σ, . . . snσ = tnσ
factoring: ako ima jednakosti koje imaju vise od jednogpojavljivanja obrisati sva osim jednog pojavljivanja
tautology: obrisati sve jednakosti oblika t = t
![Page 65: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/65.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator Dat je niz parova
(s1, t1)(s2, t2) . . . (sn, tn)
i trazi se supstitucija σ tako da
s1σ = t1σ, s2σ = t2σ, . . . snσ = tnσ
factoring: ako ima jednakosti koje imaju vise od jednogpojavljivanja obrisati sva osim jednog pojavljivanja
tautology: obrisati sve jednakosti oblika t = t
![Page 66: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/66.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator
orientation: x – promenljiva, t – term koji nije promenljivazameniti sve t = x sa x = t
decomposition: s = φ(t1, . . . , tn) i v = φ(k1, . . . , kn) i s = vizbrisati s = v i dodati t1 = k1 . . . tn = kn
collision: ukoliko s = v , a s i v su bilo kog drugog oblika,vrati neuspeh
primeri: jedan term konstante, drugi nijerazlikuju se njihovi vodeci funkcijski (predikatski) simbolirazlicite su arnosti
![Page 67: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/67.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator
orientation: x – promenljiva, t – term koji nije promenljivazameniti sve t = x sa x = t
decomposition: s = φ(t1, . . . , tn) i v = φ(k1, . . . , kn) i s = vizbrisati s = v i dodati t1 = k1 . . . tn = kn
collision: ukoliko s = v , a s i v su bilo kog drugog oblika,vrati neuspeh
primeri: jedan term konstante, drugi nijerazlikuju se njihovi vodeci funkcijski (predikatski) simbolirazlicite su arnosti
![Page 68: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/68.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator
orientation: x – promenljiva, t – term koji nije promenljivazameniti sve t = x sa x = t
decomposition: s = φ(t1, . . . , tn) i v = φ(k1, . . . , kn) i s = vizbrisati s = v i dodati t1 = k1 . . . tn = kn
collision: ukoliko s = v , a s i v su bilo kog drugog oblika,vrati neuspeh
primeri: jedan term konstante, drugi nijerazlikuju se njihovi vodeci funkcijski (predikatski) simbolirazlicite su arnosti
![Page 69: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/69.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator
cycle: x - promenljiva; t - term koji sadrzi x i imamo x = tvrati neuspeh
application: x - promenljiva; t - term koji ne sadrzi x i imamox = tprimeni supstituciju [x → t] na sve druge jednakosti
ako nije moguce nista od ovoga vrati tekuci skup kao resenje
![Page 70: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/70.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator
cycle: x - promenljiva; t - term koji sadrzi x i imamo x = tvrati neuspeh
application: x - promenljiva; t - term koji ne sadrzi x i imamox = tprimeni supstituciju [x → t] na sve druge jednakosti
ako nije moguce nista od ovoga vrati tekuci skup kao resenje
![Page 71: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/71.jpg)
Sematika
Algoritam najopstiji unifikator
cycle: x - promenljiva; t - term koji sadrzi x i imamo x = tvrati neuspeh
application: x - promenljiva; t - term koji ne sadrzi x i imamox = tprimeni supstituciju [x → t] na sve druge jednakosti
ako nije moguce nista od ovoga vrati tekuci skup kao resenje
![Page 72: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/72.jpg)
Sematika
Korektnost algoritma najopstiji unifikatorAlgoritam Najopstiji unifikator zadovoljava sledece uslove:
zaustavlja se
ako vrati supstituciju onda je ona najopstiji unifikator za datiniz jednakosti
ako se zavrsi neuspehom onda ne postoji unifikator za dati nizparova izraza
Algoritam nije efikasan, postoje bolji.
![Page 73: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/73.jpg)
Sematika
Korektnost algoritma najopstiji unifikatorAlgoritam Najopstiji unifikator zadovoljava sledece uslove:
zaustavlja se
ako vrati supstituciju onda je ona najopstiji unifikator za datiniz jednakosti
ako se zavrsi neuspehom onda ne postoji unifikator za dati nizparova izraza
Algoritam nije efikasan, postoje bolji.
![Page 74: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/74.jpg)
Sematika
Korektnost algoritma najopstiji unifikatorAlgoritam Najopstiji unifikator zadovoljava sledece uslove:
zaustavlja se
ako vrati supstituciju onda je ona najopstiji unifikator za datiniz jednakosti
ako se zavrsi neuspehom onda ne postoji unifikator za dati nizparova izraza
Algoritam nije efikasan, postoje bolji.
![Page 75: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/75.jpg)
Sematika
(zadaci iz udzbenika)Naci najopstiji unifikator za sledece parove formula:
1 f (a, g(x , y)), f (z , g(a, z)) – x , y i z su simboli promenljivih, aa je simbol konstante
2 (g(x , h(y , z), g(u, x)), (f (x), f (h(c , v))), (g(z , u), g(y , u))(nema konstanti)
![Page 76: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/76.jpg)
Sematika
Postupak ispitivanja nezadovoljivosti skupa klauza iskaznelogike.
U iskaznoj logici primenjuje se na formule koje su ukonjuktivnoj normalnoj formiU logici prvog reda primenjuje se na formule koje su uklauzalnoj formi
![Page 77: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/77.jpg)
Sematika
Postupak ispitivanja nezadovoljivosti skupa klauza iskaznelogike.
U iskaznoj logici primenjuje se na formule koje su ukonjuktivnoj normalnoj formi
U logici prvog reda primenjuje se na formule koje su uklauzalnoj formi
![Page 78: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/78.jpg)
Sematika
Postupak ispitivanja nezadovoljivosti skupa klauza iskaznelogike.
U iskaznoj logici primenjuje se na formule koje su ukonjuktivnoj normalnoj formiU logici prvog reda primenjuje se na formule koje su uklauzalnoj formi
![Page 79: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/79.jpg)
Sematika
Metod rezolucije za iskaznu logiku
C ′ ∨ l C ′′ ∨ l
C ′ ∨ C ′′
TeoremaMetod rezolucije se zaustavlja za svaku iskaznu formulu i uzavrsnom skupu klauza postoji prazna klauza ako i samo ako jepolazna formula nezadovoljiva.
![Page 80: Logika prvog reda. Semantika. Metod rezolucije](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012103/616a0b8611a7b741a34e343d/html5/thumbnails/80.jpg)
Sematika
Metod rezolucije za logiku prvog reda
Γ′ ∨ A′ Γ′′ ∨ ¬A′′
Γ′ ∨ Γ′′σ
σ je najopstiji unifikator za A′ i A′′.
TeoremaAko je Γ nezadovoljiv skup klauza, onda se iz njega metodomrezolucije moze izvesti prazna klauza.