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Lógica - CM0260Lógica de predicados monádicos
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
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Introducción
lógica proposicional
lógica de predicados monádicos
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados de orden superior
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Introducción
lógica proposicional
lógica de predicados monádicos
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados de orden superior
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Introducción
lógica proposicional
lógica de predicados monádicos
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados de orden superior
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Introducción
lógica proposicional
lógica de predicados monádicos
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados de orden superior
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Introducción
lógica proposicional
lógica de predicados monádicos
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados de orden superior
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MotivaciónEjemploTodos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes esmortal.
𝑃 : Todos los hombres son mortales𝐻: Socrátes es humano𝑀 : Socrátes es mortalEl argumento
1 𝑃2 𝐻 /∴ 𝑀
es inválido.La validez del argumento depende de la estructura interna de losenunciados simples.
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MotivaciónEjemploTodos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes esmortal.𝑃 : Todos los hombres son mortales𝐻: Socrátes es humano𝑀 : Socrátes es mortal
El argumento
1 𝑃2 𝐻 /∴ 𝑀
es inválido.La validez del argumento depende de la estructura interna de losenunciados simples.
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MotivaciónEjemploTodos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes esmortal.𝑃 : Todos los hombres son mortales𝐻: Socrátes es humano𝑀 : Socrátes es mortalEl argumento
1 𝑃2 𝐻 /∴ 𝑀
es inválido.
La validez del argumento depende de la estructura interna de losenunciados simples.
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MotivaciónEjemploTodos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes esmortal.𝑃 : Todos los hombres son mortales𝐻: Socrátes es humano𝑀 : Socrátes es mortalEl argumento
1 𝑃2 𝐻 /∴ 𝑀
es inválido.La validez del argumento depende de la estructura interna de losenunciados simples.
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Proposiciones singularesConvenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singularSujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal𝑠: Sócrates𝑀𝑥: 𝑥 es mortal𝑀𝑠: Sócrates es mortal
𝐻𝑥: 𝑥 es humano𝐻𝑎, 𝐻𝑏, 𝐻𝑐, …
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Proposiciones singularesConvenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singularSujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal𝑠: Sócrates𝑀𝑥: 𝑥 es mortal𝑀𝑠: Sócrates es mortal
𝐻𝑥: 𝑥 es humano𝐻𝑎, 𝐻𝑏, 𝐻𝑐, …
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Proposiciones singularesConvenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singularSujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal𝑠: Sócrates𝑀𝑥: 𝑥 es mortal𝑀𝑠: Sócrates es mortal
𝐻𝑥: 𝑥 es humano𝐻𝑎, 𝐻𝑏, 𝐻𝑐, …
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Proposiciones singularesConvenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singularSujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal𝑠: Sócrates𝑀𝑥: 𝑥 es mortal𝑀𝑠: Sócrates es mortal
𝐻𝑥: 𝑥 es humano𝐻𝑎, 𝐻𝑏, 𝐻𝑐, …
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Funciones proposicionalesFunción proposicionalExpresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas nifalsas.
Lógica de predicados monádicosLos predicados sólo tienen una variable.
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Funciones proposicionalesFunción proposicionalExpresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas nifalsas.
Lógica de predicados monádicosLos predicados sólo tienen una variable.
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Funciones proposicionales: InstanciaciónInstanciaciónEl proceso de obtener una proposición singular a partir de una función pro-posicional sustituyendo las variables por constantes.
Ejemplo𝐻𝑥: 𝑥 es humano𝐻𝑠 es una instancia de sustitución de 𝐻𝑥
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Funciones proposicionales: InstanciaciónInstanciaciónEl proceso de obtener una proposición singular a partir de una función pro-posicional sustituyendo las variables por constantes.
Ejemplo𝐻𝑥: 𝑥 es humano𝐻𝑠 es una instancia de sustitución de 𝐻𝑥
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónProposición generalUna proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene apartir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Cuantificadores(∀𝑥): Cuantificador universal(∃𝑥): Cuantificador existencialNotación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan lanotación ‘(𝑥)’ en lugar de la notación ‘(∀𝑥)’.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónProposición generalUna proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene apartir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Cuantificadores(∀𝑥): Cuantificador universal(∃𝑥): Cuantificador existencial
Notación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan lanotación ‘(𝑥)’ en lugar de la notación ‘(∀𝑥)’.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónProposición generalUna proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene apartir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Cuantificadores(∀𝑥): Cuantificador universal(∃𝑥): Cuantificador existencialNotación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan lanotación ‘(𝑥)’ en lugar de la notación ‘(∀𝑥)’.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,
(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,
(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Funciones proposicionales: GeneralizaciónEjemploTodo es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,dado cualquier 𝑥, 𝑀𝑥,(∀𝑥)𝑀𝑥.
EjemploAlgo es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀𝑥,(∃𝑥)𝑀𝑥.
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Verdad de las proposiciones generales
La cuantificación universal de una función proposicional es verdaderacuando todas sus instancias de sustitución son verdades.
La cuantificación existencial de una función proposicional esverdadera cuando al menos una instancia de sustitución es verdadera.
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Verdad de las proposiciones generales
La cuantificación universal de una función proposicional es verdaderacuando todas sus instancias de sustitución son verdades.La cuantificación existencial de una función proposicional esverdadera cuando al menos una instancia de sustitución es verdadera.
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Negación de las proposiciones generalesEjemplos
Proposición general NegaciónTodo es mortal: (∀𝑥)𝑀𝑥
Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀𝑥Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀𝑥 Nada es mortal: (∀𝑥)∼𝑀𝑥
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Negación de las proposiciones generalesEjemplos
Proposición general NegaciónTodo es mortal: (∀𝑥)𝑀𝑥 Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀𝑥
Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀𝑥 Nada es mortal: (∀𝑥)∼𝑀𝑥
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Negación de las proposiciones generalesEjemplos
Proposición general NegaciónTodo es mortal: (∀𝑥)𝑀𝑥 Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀𝑥Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀𝑥
Nada es mortal: (∀𝑥)∼𝑀𝑥
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Negación de las proposiciones generalesEjemplos
Proposición general NegaciónTodo es mortal: (∀𝑥)𝑀𝑥 Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀𝑥Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀𝑥 Nada es mortal: (∀𝑥)∼𝑀𝑥
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal yexistencialConvenciones
Existe al menos un individuo.Φ: Representa cualquier símbolo de atributo/predicado (variablepredicativa).
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal yexistencial
(∀𝑥)Φ𝑥 (∀𝑥)∼Φ𝑥
(∃𝑥)Φ𝑥 (∃𝑥)∼Φ𝑥
contrariascontra
dictoriascontrad
ictorias
subcontrarias
Relaciones
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal yexistencial
(∀𝑥)Φ𝑥 (∀𝑥)∼Φ𝑥
(∃𝑥)Φ𝑥 (∃𝑥)∼Φ𝑥
contrariascontra
dictoriascontrad
ictorias
subcontrarias
RelacionesProposiciones contrarias: Ambas pueden ser falsas, pero no puedenser ambas verdaderas.
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal yexistencial
(∀𝑥)Φ𝑥 (∀𝑥)∼Φ𝑥
(∃𝑥)Φ𝑥 (∃𝑥)∼Φ𝑥
contrariascontra
dictoriascontrad
ictorias
subcontrarias
RelacionesProposiciones subcontrarias: Ambas pueden ser verdaderas, pero nopueden ambas ser falsas.
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal yexistencial
(∀𝑥)Φ𝑥 (∀𝑥)∼Φ𝑥
(∃𝑥)Φ𝑥 (∃𝑥)∼Φ𝑥
contrariascontra
dictoriascontrad
ictorias
subcontrarias
RelacionesProposiciones contradictorias: Una debe ser verdadera y la otra falsa.
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal yexistencial
(∀𝑥)Φ𝑥 (∀𝑥)∼Φ𝑥
(∃𝑥)Φ𝑥 (∃𝑥)∼Φ𝑥
contrariascontra
dictoriascontrad
ictorias
subcontrarias
RelacionesEn cada lado, la verdad de la proposición más baja es implicada por laverdad de la proposición de arriba.
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Alcance de un cuantificadorEjemplo(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥) (1)(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥 (2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀𝑏, …(2) es una función proposicionalInstancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑏, …
ConvenciónUn cuantificador tiene como alcance, la más pequeña de las componentesque la puntuación permita.
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Alcance de un cuantificadorEjemplo(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥) (1)(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥 (2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀𝑏, …
(2) es una función proposicionalInstancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑏, …
ConvenciónUn cuantificador tiene como alcance, la más pequeña de las componentesque la puntuación permita.
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Alcance de un cuantificadorEjemplo(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥) (1)(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥 (2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀𝑏, …(2) es una función proposicionalInstancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑏, …
ConvenciónUn cuantificador tiene como alcance, la más pequeña de las componentesque la puntuación permita.
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Alcance de un cuantificadorEjemplo(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥) (1)(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥 (2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀𝑏, …(2) es una función proposicionalInstancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑏, …
ConvenciónUn cuantificador tiene como alcance, la más pequeña de las componentesque la puntuación permita.
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Proposiciones generales “tradicionales”
Afirmativa universal (A)Negativa universal (E)Afirmativa particular (I)Negativa particular (O)
Ejemplos(A) Todos los humanos son mortales (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥)(E) Ningún humano es mortal (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀𝑥)(I) Algunos humanos son mortales (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀𝑥)(O) Algunos humanos no son mortales (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀𝑥)
Observación: Mirar la figura en Copi [1998, pág. 92].
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Proposiciones generales “tradicionales”
Afirmativa universal (A)Negativa universal (E)Afirmativa particular (I)Negativa particular (O)
Ejemplos(A) Todos los humanos son mortales (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥)(E) Ningún humano es mortal (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀𝑥)(I) Algunos humanos son mortales (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀𝑥)(O) Algunos humanos no son mortales (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀𝑥)
Observación: Mirar la figura en Copi [1998, pág. 92].
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Representación de enunciadosEjemploRepresentar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
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Representación de enunciadosEjemploRepresentar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Todos los miembros son padres o ingenieros.𝑀𝑥: 𝑥 es miembro𝑃 𝑥: 𝑥 es padre𝐼𝑥: 𝑥 es ingeniero(∀𝑥)[𝑀𝑥 ⊃ (𝑃𝑥 ∨ 𝐼𝑥)]
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Representación de enunciadosEjemploRepresentar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Algunos senadores son o desleales o mal aconsejados.𝑆𝑥: 𝑥 es senador𝐷𝑥: 𝑥 es desleal𝑀𝑥: 𝑥 es mal aconsejado(∃𝑥)[𝑆𝑥 ∧ (𝐷𝑥 ∨ 𝑀𝑥)]
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Representación de enunciadosEjemploRepresentar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Las manzanas y los plátanos son nutritivos.𝑀𝑥: 𝑥 es una manzana𝑃 𝑥: 𝑥 es un plátano𝑁𝑥: 𝑥 es nutritivo
[(∀𝑥)(𝑀𝑥 ⊃ 𝑁𝑥)] ∧ [(∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝑁𝑥)] (proposición generalcompuesta)(∀𝑥)[(𝑀𝑥 ∨ 𝑃𝑥) ⊃ 𝑁𝑥] (proposición general simple)(∀𝑥)[(𝑀𝑥 ∧ 𝑃𝑥) ⊃ 𝑁𝑥] (incorrecta!)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tieneuna secretaria.)
Representación: (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑆𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tieneuna secretaria.)Representación: (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑆𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 53/152
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tieneuna secretaria.)
Representación: (∀𝑥)(𝑆𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tieneuna secretaria.)Representación: (∀𝑥)(𝑆𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedóa cenar.)
Representación: ∼(∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝐶𝑥) o (∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝐶𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedóa cenar.)Representación: ∼(∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝐶𝑥) o (∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝐶𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥escapó a la destrucción.)
Representación: (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ ∼𝐸𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥escapó a la destrucción.)Representación: (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ ∼𝐸𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidadesexcesivas. (𝑀𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se tomaen cantidades excesivas.)
Representación: (∃𝑥)[𝑀𝑥 ∧ (𝑃𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)]
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidadesexcesivas. (𝑀𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se tomaen cantidades excesivas.)Representación: (∃𝑥)[𝑀𝑥 ∧ (𝑃 𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)]
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹𝑥: 𝑥 es una fruta.𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁𝑥: 𝑥 es nutritiva.)
Representación: (∀𝑥)[(𝐹𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ (𝑆𝑥 ∧ 𝑁𝑥)]
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 62/152
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95)Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funcionesproposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹𝑥: 𝑥 es una fruta.𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁𝑥: 𝑥 es nutritiva.)Representación: (∀𝑥)[(𝐹𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ (𝑆𝑥 ∧ 𝑁𝑥)]
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no sonobservadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta.
𝑁𝑥: 𝑥 es un novelista𝑂𝑥: 𝑥 es observador𝑃 𝑥: 𝑥 es un poetaRepresentación:1 (∀𝑥)[𝑁𝑥 ⊃ 𝑂𝑥]2 (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ ∼𝑂𝑥) /∴ ∼(∃𝑥)(𝑁𝑥 ∧ 𝑃𝑥)
Una forma alternativa de representar la conclusión es (∀𝑥)(𝑁𝑥 ⊃ ∼𝑃𝑥).
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no sonobservadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta.𝑁𝑥: 𝑥 es un novelista𝑂𝑥: 𝑥 es observador𝑃 𝑥: 𝑥 es un poetaRepresentación:1 (∀𝑥)[𝑁𝑥 ⊃ 𝑂𝑥]2 (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ ∼𝑂𝑥) /∴ ∼(∃𝑥)(𝑁𝑥 ∧ 𝑃𝑥)
Una forma alternativa de representar la conclusión es (∀𝑥)(𝑁𝑥 ⊃ ∼𝑃𝑥).
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Representación de argumentosEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. Notodos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas sonpolíticos.
𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente𝑃 𝑥: 𝑥 es un políticoRepresentación:1 (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ 𝐼𝑥]2 (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ 𝐼𝑥)3 ∼(𝑉 𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)
Una forma alternativa de representar la tercera premisa es(∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 66/152
![Page 67: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/67.jpg)
Representación de argumentosEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. Notodos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas sonpolíticos.𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente𝑃 𝑥: 𝑥 es un políticoRepresentación:1 (∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ 𝐼𝑥]2 (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ 𝐼𝑥)3 ∼(𝑉 𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)
Una forma alternativa de representar la tercera premisa es(∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥).
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Representación de argumentosEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes.Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no soninteligentes.
𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente𝑃 𝑥: 𝑥 es un políticoRepresentación:1 (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)2 (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝐼𝑥)3 (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ ∼𝐸𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 68/152
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Representación de argumentosEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes.Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no soninteligentes.𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente𝑃 𝑥: 𝑥 es un políticoRepresentación:1 (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)2 (∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝐼𝑥)3 (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ ∼𝐸𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑃𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥)
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Representación de argumentosEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos.Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos sonanimales.
𝐶𝑥: 𝑥 es un caballo𝑉 𝑥: 𝑥 es una vaca𝑀𝑥: 𝑥 es una mamífero𝐴𝑥: 𝑥 es un animalRepresentación:1 (∀𝑥)[(𝐶𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ 𝑀𝑥]2 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥)3 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ ∼𝑀𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐴𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 70/152
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Representación de argumentosEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos.Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos sonanimales.𝐶𝑥: 𝑥 es un caballo𝑉 𝑥: 𝑥 es una vaca𝑀𝑥: 𝑥 es una mamífero𝐴𝑥: 𝑥 es un animalRepresentación:1 (∀𝑥)[(𝐶𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ 𝑀𝑥]2 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝑀𝑥)3 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ ∼𝑀𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐴𝑥)
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luegoalgunos que votan no son residentes.
𝐶𝑥: 𝑥 es un ciudadano𝑉 𝑥: 𝑥 vota𝑅𝑥: 𝑥 es residenteRepresentación:1 (∀𝑥)[𝑉 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥]2 ∼(∀𝑥)(𝑅𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥)
Una forma alternativa de representar la segunda premisa es(∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 72/152
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108)Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luegoalgunos que votan no son residentes.𝐶𝑥: 𝑥 es un ciudadano𝑉 𝑥: 𝑥 vota𝑅𝑥: 𝑥 es residenteRepresentación:1 (∀𝑥)[𝑉 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥]2 ∼(∀𝑥)(𝑅𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥)
Una forma alternativa de representar la segunda premisa es(∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥).
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Proposiciones generales y número de individuosSupuesto de la lógica de predicadosExiste al menos un individuo.
Notación: 𝑝 𝑐∷ 𝑞 significa que 𝑝 es condicionalmente lógicamenteequivalente a 𝑞.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 74/152
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Proposiciones generales y número de individuosSupuesto de la lógica de predicadosExiste al menos un individuo.Notación: 𝑝 𝑐∷ 𝑞 significa que 𝑝 es condicionalmente lógicamenteequivalente a 𝑞.
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Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ Φ𝑎,(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ Φ𝑎.
Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏),(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏).
Si hay exactamente 𝑘 individuos 𝑎, 𝑏, … , 𝑘:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏 ∧ ⋯ ∧ Φ𝑘),(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏 ∨ ⋯ ∨ Φ𝑘).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 76/152
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Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ Φ𝑎,(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ Φ𝑎.
Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏),(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏).
Si hay exactamente 𝑘 individuos 𝑎, 𝑏, … , 𝑘:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏 ∧ ⋯ ∧ Φ𝑘),(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏 ∨ ⋯ ∨ Φ𝑘).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 77/152
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Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ Φ𝑎,(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ Φ𝑎.
Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏),(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏).
Si hay exactamente 𝑘 individuos 𝑎, 𝑏, … , 𝑘:
(∀𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏 ∧ ⋯ ∧ Φ𝑘),(∃𝑥)Φ𝑥 𝑐∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏 ∨ ⋯ ∨ Φ𝑘).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 78/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitosValidez de Argumentos“Un argumento que involucra cuantificadores es válido si y sólo si es válidono importando cuántos individuos hay, siempre que haya cuando menosuno.”1
1Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 103.Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 79/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎)(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 Validez
T F T T T F ×El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 80/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎)(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 Validez
T F T T T F ×El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 81/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎)(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 Validez
T F T T T F ×El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 82/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎)(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 Validez
T F T
T T F
×El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 83/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎)(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 ValidezT F
T
T T F
×El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 84/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎)(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 ValidezT F T T T F
×El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 85/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎)(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎 𝐸𝑎 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐸𝑎 ⊃ 𝑃𝑎 𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎 ValidezT F T T T F ×El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 86/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lotanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 87/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lotanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎 el argumento es válido.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 88/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lotanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃𝑏)(𝐸𝑎 ∧ 𝑃𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)
El argumento es inválido para la asignación:𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐸𝑎 𝐸𝑏 𝑃𝑎 𝑃𝑏T T F T T T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 89/152
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lotanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃𝑏)(𝐸𝑎 ∧ 𝑃𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)El argumento es inválido para la asignación:
𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐸𝑎 𝐸𝑏 𝑃𝑎 𝑃𝑏T T F T T T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 90/152
![Page 91: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/91.jpg)
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lotanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃𝑥)(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃𝑏)(𝐸𝑎 ∧ 𝑃𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)El argumento es inválido para la asignación:
𝐵𝑎 𝐵𝑏 𝐸𝑎 𝐸𝑏 𝑃𝑎 𝑃𝑏T T F T T T
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![Page 92: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/92.jpg)
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥)(∃𝑥)(𝐽𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽𝑥)
El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏 y la asignación:
𝐻𝑎 𝐼𝑎 𝐽𝑎 𝐻𝑏 𝐼𝑏 𝐽𝑏T F F T F T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 92/152
![Page 93: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/93.jpg)
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107)Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥)(∃𝑥)(𝐽𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽𝑥)
El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏 y la asignación:
𝐻𝑎 𝐼𝑎 𝐽𝑎 𝐻𝑏 𝐼𝑏 𝐽𝑏T F F T F T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 93/152
![Page 94: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/94.jpg)
Invalidez de argumentos empleando universos finitosEjemploDemuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥)
El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏:𝐻𝑎 𝐻𝑏 𝑀𝑎 𝑀𝑏T F F F
(𝐻𝑎 ∧ 𝐻𝑏) ⊃ (𝑀𝑎 ∧ 𝑀𝑏) (𝐻𝑎 ⊃ 𝑀𝑎) ∧ (𝐻𝑏 ⊃ 𝑀𝑏) ValidezT F ×
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![Page 95: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/95.jpg)
Invalidez de argumentos empleando universos finitosEjemploDemuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥)El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏:𝐻𝑎 𝐻𝑏 𝑀𝑎 𝑀𝑏T F F F
(𝐻𝑎 ∧ 𝐻𝑏) ⊃ (𝑀𝑎 ∧ 𝑀𝑏) (𝐻𝑎 ⊃ 𝑀𝑎) ∧ (𝐻𝑏 ⊃ 𝑀𝑏) ValidezT F ×
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 95/152
![Page 96: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/96.jpg)
Decidibilidad de la lógica de predicados monádicosTeorema“Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces,si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válidoen cualquier modelo, o universalmente válido.”2
Observación: El teorema anterior sólo es válido para símbolos depredicados monádicos.
2Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35]menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915].
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![Page 97: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/97.jpg)
Decidibilidad de la lógica de predicados monádicosTeorema“Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces,si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válidoen cualquier modelo, o universalmente válido.”2
Observación: El teorema anterior sólo es válido para símbolos depredicados monádicos.
2Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35]menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915].
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![Page 98: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/98.jpg)
Variables libres y ligadas
Definición (Variable libre)Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Definición (Variable ligada)Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Ejemplos(∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3
(∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐶𝑥): La primera, segunda y terceraocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador universal. La cuarta, quintay sexta ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador existencial.
3Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥).Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 98/152
![Page 99: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/99.jpg)
Variables libres y ligadas
Definición (Variable libre)Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Definición (Variable ligada)Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Ejemplos(∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3
(∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐶𝑥): La primera, segunda y terceraocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador universal. La cuarta, quintay sexta ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador existencial.
3Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥).Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 99/152
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Funciones proposicionalesFunción proposicionalExpresiones que contienen al menos una variable libre.
ProposicionesExpresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
EjemplosLas funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹𝑎 ∧ 𝐺𝑎Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥Varias variables libres: 𝐹𝑢 ∧ 𝐺𝑣
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Funciones proposicionalesFunción proposicionalExpresiones que contienen al menos una variable libre.
ProposicionesExpresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
EjemplosLas funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹𝑎 ∧ 𝐺𝑎
Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥Varias variables libres: 𝐹𝑢 ∧ 𝐺𝑣
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Funciones proposicionalesFunción proposicionalExpresiones que contienen al menos una variable libre.
ProposicionesExpresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
EjemplosLas funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹𝑎 ∧ 𝐺𝑎Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥
Varias variables libres: 𝐹𝑢 ∧ 𝐺𝑣
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![Page 103: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/103.jpg)
Funciones proposicionalesFunción proposicionalExpresiones que contienen al menos una variable libre.
ProposicionesExpresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
EjemplosLas funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹𝑎 ∧ 𝐺𝑎Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥Varias variables libres: 𝐹𝑢 ∧ 𝐺𝑣
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 103/152
![Page 104: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/104.jpg)
Instanciación de funciones proposicionalesReglaAl reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partirde una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cadaocurrencia libre de la misma variable.
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)Instancia correcta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)Instancia incorrecta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)Instancia correcta: 𝐹𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐)
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Instanciación de funciones proposicionalesReglaAl reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partirde una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cadaocurrencia libre de la misma variable.
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
Instancia correcta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)Instancia incorrecta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)Instancia correcta: 𝐹𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐)
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Instanciación de funciones proposicionalesReglaAl reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partirde una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cadaocurrencia libre de la misma variable.
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)Instancia correcta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)
Instancia incorrecta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)Instancia correcta: 𝐹𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐)
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Instanciación de funciones proposicionalesReglaAl reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partirde una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cadaocurrencia libre de la misma variable.
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)Instancia correcta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)Instancia incorrecta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)
Instancia correcta: 𝐹𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐)
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Instanciación de funciones proposicionalesReglaAl reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a partirde una función proposicional, la misma constante debe reemplazar cadaocurrencia libre de la misma variable.
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)Instancia correcta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)Instancia incorrecta: 𝐹𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)Instancia correcta: 𝐹𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐)
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Generalización de funciones proposicionalesEjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥(∀𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
(∃𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦y (∀𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦)
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Generalización de funciones proposicionalesEjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥(∀𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …(∃𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦y (∀𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦)
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Generalización de funciones proposicionalesEjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥(∀𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …(∃𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
EjemploFunción proposicional: 𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦y (∀𝑦)(𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦)
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Prueba formal de validezArgumento
𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶
Prueba formal de validez1 𝑃1
⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶
n+1 𝑆1⋮
n+m 𝑆𝑚
𝑃1, … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de lasproposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla deinferencia o por una equivalencia lógica yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
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Prueba formal de validezArgumento
𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶
Prueba formal de validez1 𝑃1
⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶
n+1 𝑆1⋮
n+m 𝑆𝑚
𝑃1, … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de lasproposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla deinferencia o por una equivalencia lógica yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
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Prueba formal de validezArgumento
𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶
Prueba formal de validez1 𝑃1
⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶
n+1 𝑆1⋮
n+m 𝑆𝑚
𝑃1, … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,
cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de lasproposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla deinferencia o por una equivalencia lógica yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
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Prueba formal de validezArgumento
𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶
Prueba formal de validez1 𝑃1
⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶
n+1 𝑆1⋮
n+m 𝑆𝑚
𝑃1, … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de lasproposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla deinferencia o por una equivalencia lógica y
la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
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Prueba formal de validezArgumento
𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶
Prueba formal de validez1 𝑃1
⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶
n+1 𝑆1⋮
n+m 𝑆𝑚
𝑃1, … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de lasproposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla deinferencia o por una equivalencia lógica yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
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Inferencias con funciones proposicionales
Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales.
EjemploAunque 𝐹𝑥 y 𝐺𝑥 son funciones proposicionales, la siguiente inferencia escorrecta:
42 𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥43 𝐹𝑥44 𝐺𝑥 MP 42, 43
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Inferencias con funciones proposicionales
Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales.
EjemploAunque 𝐹𝑥 y 𝐺𝑥 son funciones proposicionales, la siguiente inferencia escorrecta:
42 𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥43 𝐹𝑥44 𝐺𝑥 MP 42, 43
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Inferencias con funciones proposicionalesAcerca de la validez¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue defunciones proposionales?
Respuesta: Cuando cualquier instancia de sustitución produce un argumentoválido.
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Inferencias con funciones proposicionalesAcerca de la validez¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue defunciones proposionales?
Respuesta: Cuando cualquier instancia de sustitución produce un argumentoválido.
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Inferencias con funciones proposicionalesAcerca de la validez¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue defunciones proposionales?
Respuesta: Cuando cualquier instancia de sustitución produce un argumentoválido.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 121/152
![Page 122: Lógica - CM0260 Lógica de predicados monádicos](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042505/586f56781a28abb95b8b621e/html5/thumbnails/122.jpg)
Inferencias con funciones proposicionalesAcerca de la validez¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamentese sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue defunciones proposionales?
Respuesta: Cuando cualquier instancia de sustitución produce un argumentoválido.
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Reglas de inferenciaObservación: Copi y Hurley presentan las reglas de inferenciagradualmente [Copi 1998, § 4.2 y § 4.5] y [Hurley 2012, § 8.2 y § 8.4].Nuestra presentación corresponde a las reglas presentadas en Hurley [2012,§ 8.4] (y usadas por LogicCoach) y éstas serán las reglas evaluadas.
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Reglas de inferenciaInstanciación de cuantificadores“Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and re-placing every variable bound by that quantifier with the same instantialletter.”[Hurley 2012, pág. 452]
Generalización de cuantificadores“Generalization... is an operation that consists in (1) introducing a quan-tifier immediately prior to a statement, a statement function, or anotherquantifier, and (2) replacing one or more occurrences of a certain instantialletter in the statement or statement function with the same variable thatappears in the quantifier. For universal generalization, all occurrences of theinstantial letter must be replaced with the variable in the quantifier, andfor existential generalization, at least one of the instantial letters must bereplaced with the variable in the quantifier.”[Hurley 2012, pág. 454-5]
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Reglas de inferenciaInstanciación de cuantificadores“Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and re-placing every variable bound by that quantifier with the same instantialletter.”[Hurley 2012, pág. 452]
Generalización de cuantificadores“Generalization... is an operation that consists in (1) introducing a quan-tifier immediately prior to a statement, a statement function, or anotherquantifier, and (2) replacing one or more occurrences of a certain instantialletter in the statement or statement function with the same variable thatappears in the quantifier. For universal generalization, all occurrences of theinstantial letter must be replaced with the variable in the quantifier, andfor existential generalization, at least one of the instantial letters must bereplaced with the variable in the quantifier.”[Hurley 2012, pág. 454-5]
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales𝔉𝑎: Denota una proposición
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales𝔉𝑎: Denota una proposición
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧
𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales𝔉𝑎: Denota una proposición
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales
𝔉𝑎: Denota una proposición
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤Atributos (predicados): Letras mayúsculasVariables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales𝔉𝑎: Denota una proposición
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Regla de inferencia: Instanciación universal
Instanciación universal (UI)
(∀𝑥)𝔉𝑥𝔉𝑦
(∀𝑥)𝔉𝑥𝔉𝑎
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 96)Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes esmortal.
1 (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥)2 𝐻𝑠 /∴ 𝑀𝑠3 𝐻𝑠 ⊃ 𝑀𝑠 UI 1
4 𝑀𝑠 MP 3, 2
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Regla de inferencia: Instanciación universal
Instanciación universal (UI)
(∀𝑥)𝔉𝑥𝔉𝑦
(∀𝑥)𝔉𝑥𝔉𝑎
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 96)Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes esmortal.
1 (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀𝑥)2 𝐻𝑠 /∴ 𝑀𝑠3 𝐻𝑠 ⊃ 𝑀𝑠 UI 1
4 𝑀𝑠 MP 3, 2
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Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦(∃𝑥)𝔉𝑥
Ejemplo
1 (∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥2 𝐴𝑥 UI 1
3 (∃𝑥)𝐴𝑥 EG 2
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Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦(∃𝑥)𝔉𝑥
Ejemplo
1 (∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥
2 𝐴𝑥 UI 1
3 (∃𝑥)𝐴𝑥 EG 2
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Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦(∃𝑥)𝔉𝑥
Ejemplo
1 (∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥2 𝐴𝑥 UI 1
3 (∃𝑥)𝐴𝑥 EG 2
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Regla de inferencia: Instanciación existencial
Instanciación existencial (EI)
(∃𝑥)𝔉𝑥𝔉𝑎
Restricción: El individuo 𝑎 debe ser unindividuo nuevo que no aparece en ningúnrenglón anterior (incluyendo el renglón de laconclusión del argumento).
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Regla de inferencia: Instanciación existencial
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 123)
1 (∀𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ 𝐺𝑥)2 (∃𝑦)𝐹𝑦 /∴ (∃𝑧)𝐺𝑧3 𝐹𝑎 EI 2
4 𝐹𝑎 ⊃ 𝐺𝑎 UI 1
5 𝐺𝑎 MP 4, 3
6 (∃𝑧)𝐺𝑧 EG 5
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Regla de inferencia: Generalización universal
Generalización universal (UG)
𝔉𝑦(∀𝑥)𝔉𝑥
Restricción: UG no debe ser usada dentrodel alcance de un supuesto si la variable 𝑦está libre en la línea donde se introdujo elsupuesto.Restricción: UG no debe ser usada si lavariable 𝑦 está libre en cualquier líneaprecedente obtenida por EI.
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Regla de inferencia: Generalización universal
Ejemplo (Hurley [2012], pág. 453)
1 (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐵𝑥)2 (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)3 𝐴𝑦 ⊃ 𝐵𝑦 UI 1
4 𝐵𝑦 ⊃ 𝐶𝑦 UI 2
5 𝐴𝑦 ⊃ 𝐶𝑦 HS 3, 4
6 (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) UG 5
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 139/152
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Regla de inferencia: Generalización universalEjemplo
1 (∃𝑥)𝐹𝑥 /∴ (∀𝑥)𝐹𝑥2 𝐹𝑎 EI 1
3 (∀𝑥)𝐹𝑥 UG 2 Error!
Error: La letra instanciada es una constante.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 140/152
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Regla de inferencia: Generalización universalEjemplo
1 (∃𝑥)𝐹𝑥 /∴ (∀𝑥)𝐹𝑥2 𝐹𝑎 EI 1
3 (∀𝑥)𝐹𝑥 UG 2 Error!
Error: La letra instanciada es una constante.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 141/152
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Reglas de inferenciaObservación: Las reglas de inferencia UI, UG, EI y EU son reglas de“renglón completo”.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 142/152
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101)Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1 (∀𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥)2 (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹𝑥)
3 𝐻𝑎 ∧ 𝐺𝑎 EI 24 𝐹𝑎 ⊃ ∼𝐺𝑎 UI 15 𝐻𝑎 Simp 36 𝐺𝑎 Simp 37 ∼∼𝐺𝑎 DN 68 ∼𝐹𝑎 MT 4, 79 𝐻𝑎 ∧ ∼𝐹𝑎 Conj 5, 8
10 (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹𝑥) EG 9
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 143/152
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101)Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1 (∀𝑥)(𝐹𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥)2 (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹𝑥)3 𝐻𝑎 ∧ 𝐺𝑎 EI 24 𝐹𝑎 ⊃ ∼𝐺𝑎 UI 15 𝐻𝑎 Simp 36 𝐺𝑎 Simp 37 ∼∼𝐺𝑎 DN 68 ∼𝐹𝑎 MT 4, 79 𝐻𝑎 ∧ ∼𝐹𝑎 Conj 5, 8
10 (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹𝑥) EG 9
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Hurley [2012], pág. 459)Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1 [(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗2 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥)3 (∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗
4 𝐴𝑚 ∧ 𝐷𝑚 EI 25 𝐵𝑛 ∧ 𝐸𝑛 EI 36 𝐴𝑚 Simp 47 𝐵𝑛 Simp 58 (∃𝑥)𝐴𝑥 EG 69 (∃𝑥)𝐵𝑥 EG 7
10 (∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥 Conj 8, 911 𝐶𝑗 MP 1, 10
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Hurley [2012], pág. 459)Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1 [(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗2 (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥)3 (∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗4 𝐴𝑚 ∧ 𝐷𝑚 EI 25 𝐵𝑛 ∧ 𝐸𝑛 EI 36 𝐴𝑚 Simp 47 𝐵𝑛 Simp 58 (∃𝑥)𝐴𝑥 EG 69 (∃𝑥)𝐵𝑥 EG 7
10 (∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥 Conj 8, 911 𝐶𝑗 MP 1, 10
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Regla de inferencia: Cambio de cuantificador
Cambio de cuantificador (CQ: Change of Quantifier)
(∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)∼𝔉𝑥∼(∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)∼𝔉𝑥(∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)𝔉𝑥
∼(∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)𝔉𝑥
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134)Demostrar que [(∀𝑥)𝐹𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥).
Primera parte
1 (∀𝑥)𝐹𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥)2 (∀𝑥)𝐹𝑥 ACP
3 𝐹𝑦 UI 2
4 𝐹𝑦 ∨ 𝐺𝑦 Add 3
5 (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥) UG 4
6 (∀𝑥)𝐹𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥) CP 2–5
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134)Demostrar que [(∀𝑥)𝐹𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥).Primera parte
1 (∀𝑥)𝐹𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥 /∴ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥)2 (∀𝑥)𝐹𝑥 ACP
3 𝐹𝑦 UI 2
4 𝐹𝑦 ∨ 𝐺𝑦 Add 3
5 (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥) UG 4
6 (∀𝑥)𝐹𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥) CP 2–5
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 149/152
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (continuación)Segunda parte
7 (∀𝑥)𝐺𝑥 ACP
8 𝐺𝑦 UI 7
9 𝐹𝑦 ∨ 𝐺𝑦 Add 8
10 (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥) UG 9
11 (∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥) CP 7–10
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (continuación)Finalmente
12 [(∀𝑥)𝐹𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥)]∧ [(∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] Conj 6, 11
13 [(∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] ∨ [(∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] CD 12, 1
14 (∀𝑥)(𝐹𝑥 ∨ 𝐺𝑥) Taut 13
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Referencias
Ackermann, W. (1954). Solvable Cases of the Decision Problem. North-HollandPublishing Company.
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.Löwenheim, Leopold (1915). Über Möglichkeiten im Relativkalkül. Mathematische
Annalen 76.4, págs. 447-470.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos 152/152