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ALUNO:______________________________________________________________________________
TURMA: CN/EPCAr PROF: Ivan M S Monteiro ( www.mathaleph.blogspot.com.br )
AULA DE ÁLGEBRA
Non Multa Sed Multum
Esse material contém 67 questões. Confira! Leia com atenção as seguintes instruções antes de resolver as questões desta avaliação:
• Não serão consideradas as respostas sem as correspondentes resoluções. • Serão anuladas as questões objetivas que apresentem rasuras. • A avaliação deve ser resolvida à caneta com tinta azul ou preta. • É extremamente proibido o uso de calculadora. • Serão descontados erros ortográficos. • Realizar o trabalho extremamente organizado.
POLINÔMIOS 1) Determine o grau de cada um dos polinômios abaixo:
a) ( ) 5 1f x x= + b) ( ) 2 10 3g x x x= + − c) ( ) 3 25 10 8 1h x x x x= + − +
d) ( ) ( ) 4 32 10 3 1q x k x x x= − + − + e) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 24 2 2r x k x k x k= − + + − −
f) ( ) ( ) ( ) ( )5 31 2 3s x a x b x c x= − + + + −
2) Sabendo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 24 2 3 8 5 125p x a x b x c x d= − − + + − − − é o polinômio nulo, determine o valor de
a b c d+ + + .
3) Se ( ) 3 25 10 7f x x x= + − e ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21 3 4 12g x ax b x c x d x e= + − − + + + + são polinômios idênticos,
determine o valor de a b c d e+ + + + .
4) Efetue:
a) (2 5 3 ) ( 2 4 )b c a a b c+ − − − + −
b) 2 2 2 2( ) (3 )a b a b− − −
c) 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )b bc c b bc c b c+ + + − − − −
d) 2 2 2 3 2 2(4 3 ) (2 4 4 )a b ab b b a b ab+ − + − −
e) 2 3 4 4 2 31 (1 )x x x x x x− + − − − + +
f) 2 2 3 2 3 21 1 5 1 1 1
4 3 6 6 4 3mn m n m m n m mn
+ + − − −
g) 2 25 3 ( )xy y xy y xy + − − − −
h) [ ]3 (4 2 ) (2 4 3 ) 5a b c b a b c d a− − + − − − + −
Nota Final: _____________
Lembretes:
5) Sejam os polinômios: 22 2 babaA ++= ;
22 2 babaB +−= e 22 baC −= .
Determine : a) A B C+ + b) ( )A B C− + c) ( )A B C− −
6) Efetue os produtos abaixo:
a) 2 2.( )ab a b−
b) 2 23 .( )xy x y xy−
c) 2 2 22 .(3 7 )a b a b− −
d) 2 2 2 2 24
10 .( 3 )5
a b a b a b− +
e) 12 .(5 3 8)m m
x ax bx−
+ −
f) 3 3(2 3)(2 3)x x+ −
g) 2 2(3 1)(3 2)a a+ −
h) 6 3 3( 3 9)( 3)x x x+ + −
i) 6 4 4 2 8 12 2 4(27 9 3 )(3 )a a b a b b a b− + − +
j) 4 4 3 3 2 2( )( )x y x y xy x y x y− − + + − − −
k) ( )( )a b c a b c+ − − +
l) 2 2 2 2( )( )x y xy x y xy+ + + −
m) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b c a b a b c a c b c a b c+ − + + − + + + + − +
n) 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( )( )a b c b c a c a b a b b c c a− + − + − + − − −
7) Efetue as seguintes divisões :
a) 6 4 3 2 2( 2 2 1) ( 1)x x x x x x− − + + − ÷ −
b) 4 2 2(4 13 12 3) (2 3 1)x x x x x− + − ÷ − +
c) 5 4 3 2 2(15 4 5 ) (5 3 1)a a a a a a a− − + − ÷ + −
d) 3 2(2 3 30) ( 2)a a a a− + + ÷ +
e) 4 3 2 2( 5 8 5 1) ( 2 1)x x x x x x− + − + ÷ − +
f) ( )4 3 25 2 3 1 ( 2)x x x x x− + + − ÷ −
g) ( )3 22 1 (x-1)x x− − ÷
h) ( )5 44 5 1 (x-1)x x− + ÷
i) 5 4 3 2( 2 3 4) (2 4)x x x x x x− − + + − ÷ −
j) ( )3 22 5 (3x+6)x x+ − ÷
8) O valor de n para que a divisão do polinômio ( ) 3 22 5 17p x x x x= + + + por
( ) 22 4d x x nx= + + tenha resto igual a 5 é um número
(a) menor que – 6. (b) negativo e maior que – 4. (c) positivo e menor que 5. (d) par e maior que 11.
9) Considere o polinômio 52)( 23++−= kxxxxp . Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de p(x).
10)Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada:
a)2( ) 3 9 6P x x x= + +
b)2( ) 2 3 2P x x x= + −
c)3 2( ) 6 30P x x x x= − − +
d)3 2( ) 2 2 1P x x x x= − − +
e)4 3 2( ) 7 6P x x x x x= + − − +
PRODUTOS NOTÁVEIS
1) Se 3x y+ = e 7xy = , então 2 2x y+ é igual a :
(a) 3 (b) -5 (c) -3 (d) 5 (e) 9
2) Se 2 2x xa+ =
−, dar o valor de 8 8x x
+−
.
3) Se a + b = 1 e a² + b² = 1 então, calcule o valor de 7 7
a b+
4) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual : (a) à diferença dos quadrados dos dois números. (b) à soma dos quadrados dos dois números. (c) à diferença dos dois números. (d) ao dobro do produto dos números. (e) ao quádruplo do produto dos números.
5) Para que o polinômio ( ) 3 2f x x 6x mx n= − + + seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma ( ) ( )3
f x x b= + , os
valores de m e n devem ser, respectivamente: (a) 3 e −1 (b) −6 e 8 (c) −4 e 27 (d) 12 e −8 (e) 10 e −27
6) Se ab = 1 e 2 2 3a b+ = , determine
2 2
2 22
a b
b a+ + .
7) Se 1a b+ = e
2 2 2a b+ = então 3 3a b+ é igual a:
(a) 4 (b) 3 ½ (c) 3 (d) 2 ½ (e) 2
FATORAÇÃO 1) Fatore pondo em evidência o fator comum:
a) ax ay+ b) 215 5x x−
c) 2 26 3a b ab+ d)
3 2 2 38 4x y x y−
e) 3 2 2 3 4 3 415 30 45a x y a xy a x y− + f)
2 3 4 4 5 3 218 36 54a b c ab c a b c+ −
g) 4 5 3 633 22 11x y x y xy− + h) ( 1) ( 1) ( 1)x a y a z a+ + + + +
i) ( ) ( ) ( )x a b c y a b c z a b c+ + + + + + + + j) ( )( 1) ( 1) 1x a y a z a− + − + −
2) Fatore por agrupamento:
a) ax bx ay by+ + + b) 22 3 4 6x xy x y− − +
c) 5 5mx y xy m+ + + d) 2ab ac b bc− + −
e) 3 2 1x x x+ − − f)
3 23 9 3x ax x a− − +
3) Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) 2 10 25x x+ + b)
2 24 20 25x xy y− +
c) 4 22 1y y+ + d)
2 2 2 1a x ax− +
e)
22
4
yx xy+ + f)
6 3 26 9x x y y+ +
g) 4 2 24 24 36x x y y− + h)
2 16 64a a− +
i) 4 26 9y y− + j)
2 24 2
9 3 4
x xy y− +
4) Fatore as diferenças entre dois quadrados perfeitos:
a) 2 2m n− b)
2 225 9x y−
c) 4 216 25x y− d)
21 x−
e) 2 6 84 9x y a− f)
2 2n na b−
g) 4 264nx y− h)
10 24x y−
i) 6 216 m nx y− j)
2
19
x−
k) 2 2 22a x xy y− + − l)
2 2 2 2 2 2( 1) ( 1)a b a b− − − − +
5) Fatore os seguintes trinômios da forma ( )2x b c x bc+ + + :
a) 2 10 16x x+ + b)
2 10 16x x− +
c) 2 6 16x x+ − d)
2 6 16x x− −
e) 2 6x x− − f)
2 6 5y y− +
g) 2 30a a+ − h)
2 2x x+ −
i) 4 25 50x x− − j)
4 25 4a a− +
6) Fatore os seguintes cubos de um binômio:
a) 6 4 23 3 1x x x+ + + b)
6 4 2 2 39 27 27x x y x y y− + −
c) 9 6 33 3 1a a a+ + + d)
3 2 2 4 68 12 6x x y xy y− + −
e) 3 23 3 1n n nx x x+ + + f)
3 2 2 364 48 12x x y xy y+ + +
7) Fatore as seguintes somas (ou diferenças) de cubos perfeitos:
a) 6 6a b− b)
3 38x y+
c) 31 8y− d)
3 1x −
e) 3 1x + f)
327 x−
g) 3 3(1 )a a− −
8) Determine o valor de 6
6
1x
x+ sabendo que
11x
x+ = .
9) Um dos fatores de 4a + 6a² + 8 é :
(a) a + 4 (b) a² - 2 (c) a² + 2 (d) 4a + 2 (e) 4a -2
10) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se : (a) (x + y)(3 - 2a) (b) ( x + 2y)( 3 - a) (c) ( x - 2y) (3 - a) (d) ( x + 2y) (3 + a) (e) ( x - 2y)(3 + a) 11) Fatorando ( a + b )
2 - 4c
2 obtém-se :
(a) ( a + b - 2c)(a + b - 2c) (b) ( a + b + 2c)(a + b - 2c) (c) ( a + b + c )(a + b - 2 ) (d) ( a + b -c ) ( a + b + 2 ) (e) ( a + b + 4 )(a + b - c ) 12) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a : (a) 2 (b) -2 (c) 35 (d) -35 (e) 12
13) Fatore as expressões : a) 3y38x − b) ac +2bc - ad - 2bd
14) Qual das expressões abaixo é idêntica a a
2 – b
2 - a + b ?
(a) (a + b )(a - b + 1) (b) ( a - b)(a - b + 1) (c) ( a - b )(a + b - 1) (d) (a + b )( a - b - 1 ) (e) ( a - b) ( a - b - 1)
15) Um dos fatores de a² - 1 - b² - 2b é : (a) a + b –1 (b) a – b + 1 (c) b – a + 1 (d) 1 – b – a (e) a – b – 1 16) Sabendo-se que a² - 2bc - b² - c² = 40 e a - b - c = 10, com a, b e c reais. Então o valor de a + b + c é igual a : (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 10 (e) 20 17) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é : (a) 29 (b) 97 (c) 132 (d) 184 (e) 252
18) Fatore a expressão 4 2 1.S x x= + +
19) Fatore :
a) 2 2( 3)( 4) 12x x x x+ + + + −
b) 4 44x y+
c) 3 3 3( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 )a b c b c a c a b+ − + + − + + −
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1) Efetue:
a) 4 2
8
x y
y x⋅ b)
3 2 2 4
2 2 3
15 5
4 2
x y x y
a b ab÷
c) 2( 2) 2
2 ( 1)( 2)
x x
x x x
+ +÷
− + − d)
2( ) ( )m n m m n
m n m n
− −÷
+ +
e) 2 1
2 2
x x+ +− f)
1 3 1
2 4
x x+ +−
g) 3 5 2 9
2 3
x x+ −− h)
2( 1)
2
xx
+− +
i) 2 4
12 15 30
x y x y y x− + −+ + j)
2 3 2
4 8
x x
x x
+ −−
k) 2 1
1 1
x x
x x
−−
+ + l)
x y
x y y x+
− −
m) 1 1
1 1x x+
+ − n)
1 1
x h x−
+
o) 2 4
b a
a b− p)
1 1
( ) ( )a a b b a b+
+ +
q) 2 3 4 2
1 1 ( 1)( 1)
x
x x x x
−+ −
− + + − r)
1 1 2
1 1 ( 1)( 1)
x
x x x x+ +
+ − + −
s) 1 3 3
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x x x x x x− +
+ + − + − +
t)
12
11
x
x
x
+
+
u)
1 1x a
x a
−
−
v) 1 1a b a b
a b a b
− + + ÷ −
+ − w)
11
11 1
1 1
a
a
a a
−−
+
−+ −
x) 1 1
1 1
x x
x xx x
x x
−− +
+− +
y)
2( 5)5
12
11
xx
x
x
++ +
+
++
2) Simplifique as seguintes frações algébricas:
a)
2x x
y yx
+
+ b) 2 2
5 5
2 2
a b
a b
−
− c)
3 2
2
3
9
a a
a
+
−
d)
2 1
1
x
x
−
+ e)
2
2 2
( )a b
a b
−
− f)
2
2
2 1
1
a a
a
− +
−
g)
4
2
16
4
x
x
−
− h)
3
2
1
2 3
a
a a
−
+ − i)
2
2
6 9
4 3
x x
x x
− +
− +
j)
2
2
20
7 10
x x
x x
− −
− + k)
2 2
2 2
( 6)( 20)
( 2 15)( 6 8)
x x x x
x x x x
− − + −
+ − + +
l) ( )( )
( )( )
4 4
2 2
x a x a
x a x a
− +
− + m)
2
2
12
16
a a
a
− −
− n)
3
2
8
2 4
x
x x
−
+ +
o)
3
2
8
2 8
x
x x
−
+ − p)
2 2
2 2
( )
( )
x y z
x z y
− −
+ − q)
21 ( )
1
x y
x y
− +
+ +
r)
2( ) 9
3
a x
a x
+ −
+ + s)
2 2 2
2 2 2
2
2
ab a b c
bc b c a
+ + −
− − +
3) Efetue as operações com as frações algébricas e simplifique:
a)
2
2
1 1 1
1 1 1
a a a
a a a
− + ++ −
+ − − b)
21n n n
m mn m
+ −−
−
c) 2 2
4 6 1a b
a b a b
−+
− − d)
2 2
42
2
xy x y
x xy y x y
+− +
− + −
e)
2 2
2 2
1 6 9
2 1 4 3
x x x
x x x x
− − +−
− + − + f)
2 2
2
( 1)
1 1
x x x
x x
− −−
− −
g)
2 2
2 2
( )a a a b
ab b a b
− −−
− − h) 2 2
1 1
a ab ab b+
+ +
i)
2 2 2
2 2 4 4
2 4a a a a b
a b a b a b a b+ + +
− + + − j)
3 24 3 6 2 3 4 6
2 2 4 12 18
x x x a x x
x x a
− − + −÷ − ⋅
+ +
k)
2
2 1 1
a a aa
a a
− ÷ −
− + l)
2 22 1 4 3
3 1 6
y y y y
y y
− + ++ ÷
+ −
4) Se x, y e z são números reais tais que 2 2 1
1
( )z
x y− − −=
+, então z é igual a :
(a)1
x y+ (b)
12 2x y+
(c) x² + y² (d) x y
xy
2 2+
(e) x y
x y
2 2
2 2
+
5) Simplificando ( )
4x2x
164x2
23
++
−− , x ∈� , obtém-se :
(a) x³ (b) x + 3 4 (c) x - 3 4 (d) 4x + 2x³ (e) 4x - 2x³
6) Simplificar a expressão
−
−÷
+
+÷
−
ab2b
ab2a
ab2b
ab2a2b2a , onde ab ≠ 0.
7) Sendo x = 4,8349, então 1x2x
13x
++
− é igual a :
(a) 3 (b) 5 (c) 3,8349 (d) 5,8349 (e) 0,8349
8) Simplifique a expressão algébrica ( ) ( )
1
1
2
2 2
+
− + +
a
ax a x.
9) Dado que a e b são tais que 2 2 2 10a b ab+ + = e
2 2 5a b− = , pode-se concluir que a b
a b
+
− é igual a :
(a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16 (e) 32
10) O valor numérico para expressão 82
8822
2
−
+−
x
xx para x = 98 é :
(a) 0,72 (b) 0,96 (c) 1,24 (d) 1,36 (e) 1,5
11) Simplificando a expressão ( )
2
11
14
m n m
nm n m n nn m mm n
m n m n mn
+ + + − + × + −− ++ −
, com m ∈� , n ∈� , m n≠ ± e . 0m n ≠ ,
obtemos : (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) mn
nm
3
)(5 +
12) Simplificando a expressão ( )3 3
2 2
2 2
1 1
1 1a ba b ab
a b
−
+ ×
−
, obtemos:
(a) a + b (b) a² + b² (c) ab (d) a² + ab + b² (e) b – a
13) O valor de 3223
44
yxyyxx
yx
−+−
− , para x = 111 e y = 112 é:
(a) 215 (b) 223 (c) 1 (d) –1 (e) 214
14) O valor da expressão 1
33
23
8422
−
−+
++
+
x
x
xx
x , para 1x ≠ ± e 2x ≠ − , é equivalente a :
15) A expressão ( ) ( )
cba
bacba
+−
−+−2
, a – b +c ≠ 0 é igual a :
(a) a – b (b) b – a (c) a + b + c (d) a – b + c (e) a + b – c
16) Simplifique a fração : ( ) ( )
2 22 2 2 2 2 2
24 4
a b c a b c
ab abc
+ − − − +
+.
17) (EPCAr) Simplificar :
3 3
2 2
a b a b
ab a ba b a ba b a b a b
a b a b
+ −+
−− + ×− + +
−+ −
.
18) Prove que se 1x y z
a b c+ + = e 0,
a b c
x y z+ + = então
2 2 2
2 2 21.
x y z
a b c+ + =
19) Se 2 2 3 ,x y xy+ = calcule 1 1 .
x y
y x
+ +
20) Calcule o valor da expressão
2 22 2 2 2 2 2
3 2 3 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
x x x x x xS
x x
+ − + − + += ⋅
− + .
21) (EPCAr) Supondo x e y números reais tais que 2 2
x y≠ e 2y x≠ , a expressão
( ) ( )
2
2 2
11 2 2
2x y y
x y y x y x
x y x x y−−
− ++ − −
+ + −
sempre poderá ser calculada em � se, e somente se,
(a) 0x ≥ e 0y ≥ (b) 0x > e y é qualquer (c) x é qualquer e 0y ≥ (d) 0x ≥ e y é qualquer
22) (EPCAr) Considere os valores reais de a e b, a b≠ , na expressão
( )( ) ( )
( )( )
1 1
12 2 2 2
2a b a a b ap
a b ab ba
− −
−
+ + −=
+ −.
Após simplificar a expressão p e torná-la irredutível, pode-se dizer que 1
p−
está definida para todo
(a) * e a b∈ ∈� � (b)
* e a b+
∈ ∈� � (c) * * e a b∈ ∈� � (d)
* * e a b+
∈ ∈� �
23) (EPCAr) Considere os números reais a, b e x tais que
a b x+ =
1
a b x−
− =
0a b≠ ≠
O valor da expressão
( )( )( )( )
2 2 3 3
2 2 2 2
2
2
2
a ab b a b
a b a ab bY
a ab
a
+ + −
− + +=
−
é
(a) 2 (b) 22x (c)
2x (d)
2
2
x
24) (CN) Sejam “a”, “b” e “c” números reais não nulos tais que
1 1 1p
ab bc ac+ + = ,
a b c a b cq
b a a c c b+ + + + + = e
ab ac bc r+ + = . O valor de 2 6q q+ é sempre igual a
(a)
2 2 9
4
p r + (b)
2 2 9
12
p r p− (c)
2 2 9p r − (d) 2 2 10
4
p r
r
− (e)
2 2 12p r p−
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 1) Racionalize os denominadores:
a) 3
5 3+ b)
30
15 c)
7
8 2− d)
3
5 e)
2
7 3+ f)
5
2
3
g) 7
3 h)
6
2 5
5 i)
3
4
2
2) Colocando-se a expressão 3
34
6
68 −−
+sob a forma 3ba+ , o valor de ba+ é igual a :
(a) 3
2 (b)
3
4 (c) 2 (d)
3
8 (e)
3
10
3) Os valores de x e y que satisfazem a
056
1
26
y
25
x=
−−
++
−
são tais que yx+ é igual a : (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9
4) Racionalizando o denominador da fração 2233
38
− obtemos:
(a) 2436 + (b) 3426 − (c) 2436 − (d) 2 (e) 3426 +
5) Efetuando 32
32
32
32
+
−+
−
+ obtém-se : (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d)
3
2 (e) 1
6) A fração 532
62
++ é igual a:
(a) 532 −+ (b) ( )3522
1−+ (c) 324 −− (d) ( )253
3
1−+ (e) 5632 −++
7) Racionalizando-se o denominador de 33 715
1
− obtemos uma expressão da forma
d
cba 333 ++. O valor de
dcba +++ é igual a: (a) 381 (b) 383 (c) 385 (d) 387 (e) 389
Lembretes: