Perché i numeri complessi?Perché i numeri complessi?
�� Risolviamo l’equazione di 2Risolviamo l’equazione di 2°° grado: . grado: .
0322 =+− xx
?2
82
2
1242 =−±=−±=x ?22
===x
unità immaginaria, rappresentata dal simbolo i e che si definisce
come un numero il cui quadrato è uguale al numero reale –1, ossia:
12 −=i 1−±=i
( )21
2
212
2
222
2
82
2
82
2
82
2
1242 2
iiiii
x ±=±=±=±=±=−±=−±=
Potenza ad esponente intero positivo
Poiché le potenze si ripetono periodicamente ogni
4 volte, le potenze di i formano un
gruppo ciclico di ordine 4.
� i4n = i0 = 1� i4n = i0 = 1
� i4n +1 = i1 = i
� i 4n +2 = i 2 = -1
� I 4n +3 = i3 = -i
EsempiEsempi
� Calcolare le seguenti potenze di i:
a) i12 b) i27 c) i41 d)1/i15 e) i34
(a) i12 = (i4)3 = 1(a) i12 = (i4)3 = 1
(b) i27 = i24i3 = i3 = −i
(c) i41 = i40i = i
(d) i34 = i32 · i2 = i2 = −1
I NUMERI COMPLESSII NUMERI COMPLESSI
(forma algebrica)(forma algebrica)
I numeri complessi z = a + ib individuano le coppie (a,b)
che rappresentano le coordinate di punti nel piano R2
chiamato piano di Argand-Gauss
I numeri complessi z si possono rappresentare con un vettoreI numeri complessi z si possono rappresentare con un vettore
centrato nell’origine degli assi cartesiani
a
b P(a,b)z = a + i b z = a + i b ∈∈ CC
a = parte reale a = parte reale
b= parte immaginariab= parte immaginariavv ax b y= +r r ur
OPERAZIONI FRA VETTORIOPERAZIONI FRA VETTORI
SOMMA (si sommano le parti reali e SOMMA (si sommano le parti reali e
quelle immaginarie)quelle immaginarie)
La regola dell’addizione
corrisponde alla regola
del parallelogramma
(5, 5)
del parallelogramma
relativa alla risultante
dei vettori (4, 2)
(1, 3)
(4+2i) + (1+3i) =5+5i
1 2
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2)
( ; ) ( ; )
( ;
z z
v a b v a b
v v a a b b
+ =
+ =
+ + +
ur uur
uuuuuuur
PRODOTTO PER UNO SCALAREPRODOTTO PER UNO SCALARE
( ; ) ( ; )k v a b k v ka kb⋅ = ⋅ur uuur
Se k<0Se k>0
kv
v
kv
v
kv
PRODOTTO PER i (unità immaginaria)PRODOTTO PER i (unità immaginaria)
1
( ; ) ( )
²
( ; )
i v a b i a ib
ia i b b ia
v b a
⋅ = ⋅ + =+ = − + =
−
r
ur
bP(a,b)
viv
1( ; )v b a−
La moltiplicazione per i fa ruotare
il vettore di 90° in senso antiorario
a
Coniugato di un numero complesso
� E’ utile definire a questo punto anche il
numero complesso coniugato di un
numero come quel numero, indicato
con , come quel numero complesso
che ha la stessa parte reale di z e parte z
che ha la stessa parte reale di z e parte
immaginaria opposta:
z a ib= −
Reciproco di un numero complesso
� Ogni elemento z = a + ib , con a e b non
contemporaneamente nulli, ammette in
C un “simmetrico” rispetto alla
moltiplicazione, che si chiama reciproco
di z , dato dadi z , dato da
2 2 2 2
1 1 z a bi
z a ib z z a b a b= = = −
+ ⋅ + +
LE COORDINATE POLARILE COORDINATE POLARI
P(a;b)ρρ
ϑa
b
² ²
0 2
a bρϑ π
= +≤ ≤
MODULO
ARGOMENTO
PRINCIPALE
(cos )z i senρ ϑ ϑ= + ⋅
Per le regole trigonometriche si ha che
cosa
b sen
ρ ϑρ ϑ
==
quindi
PASSAGGIO DALLLE COORDINATE CARTESIANEPASSAGGIO DALLLE COORDINATE CARTESIANE
A QUELLE TRIGONOMETRICHEA QUELLE TRIGONOMETRICHE
cosa
b sen
ρ ϑρ ϑ
= =
PASSAGGIO DALLLE COORDINATE PASSAGGIO DALLLE COORDINATE
TRIGONOMETRICHE A QUELLE CARTESIANETRIGONOMETRICHE A QUELLE CARTESIANE
A QUELLE TRIGONOMETRICHEA QUELLE TRIGONOMETRICHE
² ²
cos² ²
² ²
a b
a
a bb
sena b
ρ
ϑ
ϑ
= + =
+
=+
ESERCIZIESERCIZI
1
2
2
z i
z i
z
= −==
Trasformare i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella
trigonometrica e posizionarli sul piano di Gauss:
2
1 3
2 2
2 cos6 6
5 cos4 4
z
z i
z isen
z isen
π π
π π
=
= +
= +
= −
PRODOTTO PRODOTTO DI DUE NUMERI COMPLESSI DI DUE NUMERI COMPLESSI
IN FORMA TRIGONOMETRICAIN FORMA TRIGONOMETRICA
1 1 1 1
2 2 2 2
(cos )
(cos )
z i sen
z i sen
ρ ϑ ϑρ ϑ ϑ
= + ⋅= + ⋅
Dati due numeri complessi
Eseguendo la moltiplicazione e ricordando le formule di addizione del coseno e del seno
Il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica è un
numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e
come argomento la somma degli argomenti
di addizione del coseno e del seno
)]sin()[cos( 21212121 θθθθρρ +++= izz
DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI
IN FORMA ALGEBRICAIN FORMA ALGEBRICA
DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI DIVISIONE DI DUE NUMERI COMPLESSI
22
22
21122
22
2
2121
2
1
yx
yxyxi
yx
yyxx
z
z
+−+
++=111 iyxz +=
222 iyxz += )0( 2 ≠z
( ) ( )( )1 11 2 1 2
2 2cos
zisen
z
ρ ϑ ϑ ϑ ϑρ
= − + −
IN FORMA TRIGONOMETRICAIN FORMA TRIGONOMETRICA
)sin(cos 1111 θθρ iz +=
)sin(cos 2222 θθρ iz += )0( 2 ≠z
Il modulo si ottiene dividendo i moduliL’argomento si ottiene sottraendo gli argomenti
POTENZA DI DUE NUMERI POTENZA DI DUE NUMERI
COMPLESSI COMPLESSI
IN FORMA TRIGONOMETRICAIN FORMA TRIGONOMETRICA
( ) ( )(cos )n nz n i sen nρ ϑ ϑ= + ⋅
RADICE N.ESIMA DI UN NUMERO RADICE N.ESIMA DI UN NUMERO
COMPLESSOCOMPLESSO
(cos )z i senρ ϑ ϑ= + ⋅
nw z=
Dato il numero complesso
si dice RADICE N-ESIMA di z un qualunque
numero complesso w tale che
Da cui di ricava che esistono n soluzioni :
2 2cosn
kk k
w isenn n
ϑ π ϑ πρ + + = +
con k=0,1,2,…,n-1
I numero complessi w hanno lo stesso modulo, ma
diverso argomento; quindi individuano punti di una
stessa circonferenza di raggio uguale al modulo.
Si può dimostrare che essi individuano i vertici di
un poligono regolare di n lati.
EsempiEsempi
1) 1
1
2
1
0
w
z
n
ρϑ
==
=⇒ =
=
2 0 2 0 21 cos
2 2
0,1
k kw isen
k
π π+ + = +
=
( )( )
0
1
1 cos0 0
1 cos
w isen
w isenπ π= +
= +w1
w0
32) 1
1
w
z
==
( )0 1 cos0 0w isen= +
3
1
0
n
ρϑ
=⇒ =
=
1
2
2 21 cos
3 3
4 41 cos
3 3
w isen
w isen
π π
π π
= +
= +
SOLUZIONE EQUAZIONI SOLUZIONE EQUAZIONI
POLINOMIALI IN CPOLINOMIALI IN C
³ 8 0x• + =ha tre soluzioni in C . Quali?
4• + =4 1 0x• + =ha quattro soluzioni in C . Quali?
Risoluzione algebrica delle equazioni
di secondo grado
Consideriamo l’equazione dove α è un numero
reale. Si devono distinguere due casi; nel primo porta a
determinare due soluzioni reali ( ), il secondo in cui , che
2z α=
z α= ±
conduce a due soluzioni complesse coniugate, dette immaginarie
( ).
Quando invece si deve risolvere la generica equazione di secondo
grado , con , si può seguire, una volta
raccolto il coefficiente a, il “metodo del completamento del
quadrato”, che fornisce le soluzioni con operazioni elementari sulle
variabili e sui coefficienti reali:
z i α= ±
2 0az bz c+ + = , , Ra b c ∈
2 22 2
2
4
2 4
b c b b acaz bz c a z z a z
a a a a
− + + = + + = + −
� Posto , si hanno due casi:
∆≥0, allora e 2
22
4
4
b acw
a
−=
2 4
2
b acw
a
−= ±
2 4
2
b b acz
a
− ± −=
∆<0, allora e
Nel caso in cui l’equazione di partenza sia a coefficienti complessi,
allora per risolvere l’equazione di secondo grado si risolve il
sistema ottenuto uguagliando separatamente le parti reali
dell’equazione e le parti immaginarie tra loro.
2w
a= ±
24
2
i ac bw
a
−= ±
2a
24
2
b i ac bz
a
− ± −=
Forma esponenziale dei numeri Forma esponenziale dei numeri
complessicomplessi
ϕϕϕ isenei += cos
( ) ρϕϕρ =+=+= isenibaz cos( )
2121 ϕϕϕϕ iiii eee +=⋅
Operazioni tra numeri complessi in Operazioni tra numeri complessi in
forma esponenzialeforma esponenziale
�� moltiplicazionemoltiplicazione
ρ=1z 1ϕie
ρ=2z 2ϕie
2121 ρρ=⋅ zz )( 21 ϕϕ +ie )(
2
1
2
1 21 ϕϕ
ρρ −= ie
z
z
ϕρ innn ez = nn z ρ=
+n
kn
i
eπϕ 2
Estrazione di radiceEstrazione di radice
�� L’estrazione della L’estrazione della radice quadrataradice quadrata di un numero di un numero
complesso è sempre possibile e si ottiene complesso è sempre possibile e si ottiene
utilizzando la seguente formula:utilizzando la seguente formula:2222 aba
iaba
iba−+±++=±
22
abai
abaiba
−+±++=±
Per la radice ennesima si applica la formula che segue.
Se il numero di cui estrarre la radice è scritto in forma
algebrica è necessario convertirlo
in forma canonica:
+±
+=±n
kn
isenn
kn
isen nnπϕπϕρϕϕρ 22
cos)(cos