Il problema della Propagazione
delle Incertezze
Leopoldo Angrisani
DIS, Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università degli Studi di Napoli Federico II
Uso della Trasformata Unscented
per la valutazione dell’incertezza
nelle misurazioni indirette
Giornata della Misurazione – Roma, 4-5/06/2012
Indice
Scenario normativo attuale
JCGM 100:2008 - GUM
JCGM 101:2008 – Supplemento 1
Trasformata Unscented
Soluzione proposta
Esempi applicativi
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Scenario normativo attuale
JCGM 100:2008 - GUM
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Noto il modello della misurazione indiretta,
la stima sia del valore, y, sia dell’incertezza standard, uc(y), del misurando Y è ottenuta dallo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine della funzione f (…).
NXXXfY ,..,, 21
Nxxxfy ,..,, 21
1
1 11
2
2
2 ,2N
i
N
ij
ji
ji
N
i
i
i
c xxux
f
x
fxu
x
fyu
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
JCGM 100:2008 - GUM
Problematiche principali
Approssimazioni eccessive introdotte dal troncamento al primo ordine, soprattutto in presenza di significative non linearità della funzione di misura.
Difficoltà o impossibilità di calcolo delle derivate in caso di funzione di misura non espressa analiticamente, ovvero espressa mediante algoritmo numerico (spesso complesso).
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
JCGM 101:2008 – Supplemento 1
Soluzione proposta
Propagazione delle distribuzioni associate alle grandezze di ingresso, come base per la stima sia del valore sia dell’incertezza standard del misurando nelle misurazioni indirette.
Utilizzo di metodi numerici, in particolare simulazioni Monte Carlo, per raggiungere lo scopo descritto.
Possibilità di stimare tutti i momenti (statistiche) associati alla variabile che modella il misurando.
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
JCGM 101:2008 – Supplemento 1
Problematiche principali
Notevole numero di simulazioni per conferire attendibilità alle stime.
Tempi di elaborazione elevati e risorse computazionali significative, per eseguire le simulazioni nel numero richiesto.
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GUM vs Supplemento 1
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Perché ?
Si consideri lo sviluppo in serie di Taylor della funzione di misura in un intorno del valore atteso x
443322 !4
1
!3
1
!2
1 )(
)()(
XfXfXfXfxf
XxfXfY
Il valore atteso y di Y assume la forma
] !3
1
!2
1 [)(
3322 XfXfXfxfy
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Trasformata Unscented
Trasformata Unscented
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Principio ispiratore
È più semplice approssimare una distribuzione di probabilità che approssimare un’arbitraria trasformazione o funzione non lineare.
Trasformata Unscented
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Idea chiave
Definire un limitato e deterministico insieme di punti, sigma points, nel dominio della funzione di misura f(.), capaci di “catturare” i momenti centrali delle variabili di ingresso.
Elaborare i sigma points trasformati tramite la f(.), per stimare il valore e l’incertezza standard associati al misurando.
Trasformata Unscented
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Perché funziona?
Il termine i-esimo del valore atteso y, proveniente dallo sviluppo in serie di Taylor della f(.) in un intorno di x
21
1
1
12...111...1
1
!
1
)(X!
1
!
XX
fm
X
fm
i
XfXi
Ei
XfE
i
i
i
i
X
iN
j j
j
ii x
x
dipende dai momenti centrali i-esimi delle variabili di ingresso
]X....XX[ 21...12 iim
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Soluzione proposta
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Passi procedurali
, , , 32
NNNx
, , , 32
222 x
, , , 32NNNx
)(i
f ... , , , 32
yyy
Valutazione dei momenti centrali delle variabili di ingresso fino al G-esimo ordine.
Determinazione di GN+1 sigma points.
Propagazione dei sigma points tramite f(.).
Stima del valore e dell’incertezza standard del misurando.
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Valutazione momenti centrali
, , , 32NNNx
, , , 32
222 x
, , , 32NNNx
)(i
f ... , , , 32
yyy
Diversamente dalle simulazioni Monte Carlo, occorre stimare solo la media e i momenti centrali fino al G-esimo ordine delle variabili di ingresso.
Tali stime possono essere ricavate da pdf, se note, da informazioni disponibili, ovvero tramite misurazioni ripetute.
L’attendibilità delle stime di y e uc(y) aumenta con l’ordine G.
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Determinazione dei sigma points
, , , 32
NNNx
, , , 32
222 x
, , , 32NNNx
)(i
f ... , , , 32
yyy
Sono capaci di “catturare” i momenti di interesse in presenza di variabili di ingresso :
incorrelate, distribuite sia simmetricamente sia asimmetricamente;
correlate, distribuite simmetricamente.
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Determinazione dei sigma points
Possibili sigma points sono le colonne della
matrice
xxxx G ...21
NN xx
xx
x
...
.........
... 11
iN
i
i
s
s
...0
.........
0...1
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Determinazione dei sigma points
0 0.5 1 1.5
x 10-4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
G
GG
GG
GG
GG
G
WWW
WWW
WWW
WWWNW
..
...
..
..0
)..(1
2211
G
22
22
2
11
2
2211
210
dxpdf
dpdfx
ii
ji
i
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Determinazione dei sigma points
Variabili di ingresso incorrelate e distribuite
simmetricamente :
momenti centrali fino all’ottavo ordine.
Variabili di ingresso incorrelate e distribuite asimmetricamente :
momenti centrali fino al quarto ordine.
Variabili di ingresso correlate e distribuite simmetricamente :
momenti centrali fino al quarto ordine.
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Trasformazione dei sigma points
I sigma points vengono trasformati attraverso la funzione di misura.
, , , 32NNNx
, , , 32
222 x
, , , 32NNNx
)(i
f ... , , , 32
yyy
1,..,1,
GNjf
jj
j
é la j-esima colonna della matrice
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Stima dei momenti di uscita
L’ultimo passo consiste nella stima dei momenti di Y.
, , , 32NNNx
, , , 32
222 x
, , , 32NNNx
)(i
f ... , , , 32
yyy
10
11
2
1
2
1
1 ..
GN
GN
NGj
jG
N
Nj
j
N
j
j WWWWy
i
GN
GN
NGj
i
jG
N
Nj
i
j
N
j
i
j
i
y yWyWyWyW
10
11
2
1
2
1
1 ..
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Stima dei momenti di uscita
Esplicitando i sigma points nella stima di y
e applicando un’espansione in serie di Taylor al generico sigma point trasformato
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Esempi applicativi
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Componenti impedenza capacitiva
Modulo m ~ N(1000 W, 1 W)
Fase j ~ N(-p/2, p/40)
j
j
sinIm
cosRe
mZ
mZ
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Componenti impedenza capacitiva
Marcata compatibilità tra le stime fornite dalla
soluzione proposta e quelle ottenute da 106 simulazioni Monte Carlo.
(W) (W)
y uc y uc
UT 0.000 78.29 -996.920 4.46
MC -0.03 78.22 -996.927 4.44
ZRe ZIm
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Potenza dissipata su carico resistivo
2IRP
Resistenza R ~ N (10 W, 1 W)
Intensità di corrente I ~ N (5 A, 0.6 A)
r =0.77
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FFT su 16 campioni
• Segnale sinusoidale con fx = 100 kHz
• Frequenza di campionamento fc = 1MS/s
• Risoluzione nominale A/D = 8 bit
Pdf uniforme per ciascun campione
Per ciascuna riga spettrale (bin), le stime di media e incertezza standard sono state confrontate con quelle fornite da 106 simulazioni Monte Carlo
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FFT su 16 campioni
ANGRISANI et al.: UNSCENTED TRANSFORM: A POWERFUL TOOL FOR MEASUREMENT UNCERTAINTY EVALUATION 741
TABLE IVRESULTS OBTAINED IN TESTS ON THE CONSIDERED NONLINEAR MEASUREMENT MODEL WITH X 1 AND X 2 MODELED AS
SYMMETRICALLY DISTRIBUTED VARIATES. ∆ y AND ∆ uc ARE EXPRESSED IN PERCENTAGE RELATIVE TERMS
TABLE VRESULTS OBTAINED IN TESTS ON THE CONSIDERED NONLINEAR MEASUREMENT MODEL WITH X 1 AND X 2 MODELED RESPECTIVELY AS
SYMMETRICALLY AND ASYMMETRICALLY DISTRIBUTED VARIATES. ∆ y AND ∆ uc ARE EXPRESSED IN PERCENTAGE RELATIVE TERMS
As expected, both the proposed approach and the LPU have
shown similar performances.
B. Nonlinear Measurement Model
The nonlinear measurement model Y = X 1 cos(X 2) has
been taken into account. Input quantities X 1 and X 2 have
been modeled, respectively, as a rectangular distributed variate
(X 1 = U(1,∆ )) and as a Gaussian random variate (X 2 =
N (π,σ)). Increasing values of standard deviation σ and width
∆ have been considered; they are summarized in Table IV.
For each couple of values of σ and ∆ , estimates of output
expectation and standard uncertainty have been gained both
through the proposed approach and LPU. 106 MC simulations
have also been carried out to estimate the output cumulative dis-
tribution function. This way, it has been possible to evaluate the
CL associated to the interval [y − 2uc, y + 2uc], for both the
proposed approach and the LPU. Results presented in Table IV
clearly prove the superior performance of the proposed ap-
proach with respect to LPU, especially in critical conditions
(high values of σ and ∆ ).
Further examples have concerned asymmetrically distributed
input variates in the same nonlinear measurement model; X 2
has, in particular, been modeled as a Rayleigh distribution with
parameter σ. The obtained results are given in Table V; con-
siderations very similar to those stated above can be drawn.
C. DSP Algorithm
The proposed approach works well also in the presence of
DSP algorithms as measurement models. The given example
refers to the application of the fast Fourier transform (FFT) to
a portion (16 samples) of an actual 100-kHz sinusoidal signal
in order to gain its amplitude spectrum. Samples have been
acquired at a rate of 1 MS/s and quantized through an 8-bit
analog-to-digital converter. The same rectangular pdf has been
assumed for each sample. For each spectral line (bin), differ-
ences (∆ y and ∆ uc) between expectation and standard devi-
ation estimates provided by the proposed approach and those
granted by 106 MC simulations have been calculated. Their
values, in percentage relative terms, have never been greater
Fig. 5. Differences, for each spectral line, between expectation and standarddeviation estimates provided by the proposed approach and those granted by106 MC simulations.
than 0.2% (Fig. 5). Moreover, the time taken by the proposed
approach has been much lower (31 ms) than that required by
MC simulations (about 23 s), hardware and software resources
being equal.
IV. CONCLUSION
An original approach for estimating output expectation y
and standard uncertainty uc in indirect measurements has been
presented. It proposes the use of the UT to overcome typ-
ical problems affecting current GUM recommendations. To
assess its performance, several tests have been conducted on
a linear measurement model, a nonlinear measurement model,
and an FFT-based algorithm. Differences between obtained
estimates and those granted by 106 MC simulations have, in
particular, been evaluated; values always lower than 0.7% have
been achieved. Moreover, the effective CL associated with the
interval [y − 2uc, y + 2uc] has also been derived; CLs higher
than 90% have been experienced.
Tempo di misura
• UT = 31 ms
• MC = 23 s
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Conclusioni La soluzione proposta usa la Trasformata Unscented per stimare il valore e l’incertezza standard del misurando nelle misurazioni indirette.
La soluzione opera con variabili di ingresso sia incorrelate sia correlate, quest’ultime solo se distribuite simmetricamente.
Consente di superare alcuni limiti della GUM, in termini di funzione di misura non lineare o non esprimibile analiticamente, o con derivate difficili (se non impossibili) da valutare.
Si configura come valida alternativa all’approccio suggerito dal Supplemento 1, esibendo un carico computazionale contenuto.
Leopoldo Angrisani, Giornata della Misurazione - 2012
Grazie per l’attenzione