Download - La Interpolacion en Demografia
TRABAJO SOCIAL
F
AC
ULTA
DDE
Universidad Nacional del Altiplano FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL =================================
CURSO: DEMOGRAFIA TALLER
TEMA : LA INTERPOLACION EN
DEMOGRAFIA
DOCENTE : LIC. EDGARDO SARDÓN MENESES
PRESENTADO POR:
o LAQUISE QUISPE JESUS
PUNO - PERU
Año 2013
INDICE
Pág.
Caratula
Índice
Dedicatoria
Introducción
I. LA INTERPOLACIONEN DEMOGRAFIA 5
DEFINICION. 5
PLANTEAMIENTO GENERAL 7
EJERCICIO N° 01 7
EJERCICIO N° 02 7
EJERCICIO N° 03 8
EJERCICIO N° 04 10
1.3. LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. FÓRMULA DE LAGRANGE 9
EJERCICIO N° 05 10
2 CRECIMIENTO POBLACIONAL E INTERPOLACIÓN 11
2.1 OBJETIVOS 13
2.2 2.3 CRECIMIENTO SOCIAL: 13
2.4 CRECIMIENTO TOTAL 13
2.5 PORCENTAJE DE CRECIMIENTO POBLACIONAL 14
2.6 TASA DE CRECIMIENTO POBLACIONAL 15
3. LOS MODELOS MATEMÁTICOS 18
3.1 MODELO ARITMÉTICO 18
3.2 MODELO GEOMÉTRICO 19
3.3 MODELO EXPONENCIAL 21
4. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN: 24
Conclusiones
Bibliografía
Anexos
A MI MADRE FRANCISCA
INTRODUCCION
En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una
cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar
conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no
hemos medido directamente.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo
en el que conocemos los valores en los extremos.
La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo
conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus
extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.
Por otro lado se denomina interpolación a la obtención de
nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de
puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un
cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un
experimento y pretender construir una función que los ajuste la cual se
desarrolla en presente trabajo.
nacimientos, muertes, movimientos de la población ente otros. El
crecimiento de la población es cuando el crecimiento natural y el saldo migratorio
son positivos. El crecimiento natural de la población es por nacimientos y muertes,
y el crecimiento demográfico es por inmigración y emigración.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
5
I. LA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
1.1 DEFINICION.- La interpolación es una Situación o colocación de una cosa
entre otras, especialmente de palabras o fragmentos en un texto ajeno. Y de otro
modo también se considera como el procedimiento que permite calcular el valor
aproximado de una función para un valor x de la variable, conociendo los valores
que toma dicha función en los puntos x1, x2,..., xn.
1.2 PLANTEAMIENTO GENERAL
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan
una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.
El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la
derecha de xn o a la izquierda de xo.
Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y
que nos sirva para estimar los valores deseados.
El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios
“interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy
próximo a uno de los extremos.
2. Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.
Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la
misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder
estudiarla en otros puntos.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
6
Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos
quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones
más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor
grado que pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en
principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas
(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los
coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez
obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de
la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática
cuando se tomen tres.
En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.
Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué
podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?
Solución
Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado
y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,
Se verifica:
5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)
-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)
11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)
Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:
y= P(x)=
Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
7
El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor
de la función desconocida, en el punto 0.
Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la
función en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.
No se pueden dar reglas generales para decidir cuál es la interpolación más
adecuada, pues no siempre al aumentar el grado del polinomio aumenta la
precisión en la estimación.
Depende siempre del caso concreto a estudiar. A veces la naturaleza del
problema nos da una idea de cuál es la interpolación (o extrapolación) más
conveniente. Por ejemplo si los incrementos de la función son proporcionales a los
de la variable independiente (o casi proporcionales) podremos usar la
interpolación lineal.
Ejercicio 1.
Se conoce la población de cierto municipio, para el 31 de diciembre en los
años que se indican:
años 1950 1960 1970 1980 1990
Población 827 1058 1304 1582 1836
Efectuar una representación gráfica y observar cuál sería en este caso la
interpolación más conveniente.
Ejercicio 2.
Un investigador ha observado que la vida media de una bacteria varía con
la temperatura media en la siguiente forma
Temperatura 6º 9º 12º 15º 16º
Vida media 104,2 140,4 181,7 220,2 257,6
Se pide:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
8
a) Efectuar una representación gráfica, tomando en abscisas las temperatura s y
en ordenadas la vida media.
b) Calcular las variaciones de la función “vida media” al variar la temperatura.
c) ¿Los resultados anteriores indican que la vida media varía linealmente con la
temperatura?
d) En caso afirmativo, mediante interpolación lineal, obtener la vida media para las
siguientes temperaturas: 8º, 10,2º, 14,5º y 15,3º
Ejercicio 3.
En una facultad universitaria de nueva creación el número de alumnos
matriculados evolucionó de la siguiente forma:
Años 1 2 3 4 5
Alumnos
matriculados
425 640 941 2790 6123
a) Efectuar una representación gráfica tomando como abscisas los años y como
ordenadas el nº de alumnos.
b) ¿Hubiese sido una “buena idea” obtener el número de alumnos matriculados en
el tercer curso mediante la interpolación lineal?
c) ¿Cuál crees que sería la más conveniente?
3. Interpolación lineal
Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o
casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha
función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..
Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal
consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1.
Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
9
Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.
Ejercicio 4.
El número de turistas entrados en España en el período 1980-1995 siguió la
siguiente tendencia:
Año 1980 1985 1990 1995
Millones de
turistas
24,1 30,1 38,0 43,2
a) Expresar la función definida a trozos que daría, por interpolación lineal, el
número de turistas en cada año intermedio. Calcular el número de turistas en 1986
b) Hallar la previsión para el año 1988 (suponiendo fuese lineal).
1.3. LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. FÓRMULA DE LAGRANGE
Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el
nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se
encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es
preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.
En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores
que determinan a la función cuadrática (a, b y c)
También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:
y= a + b(x-x0) + c(x-x0)(x-x1), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy
sencilla.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
10
Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios
interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por
los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):
Que es la fórmula de Lagrange para n=2.
Ejercicio 5.
El número en miles de habitantes, de una determinada ciudad ha
evolucionado según la siguiente tabla:
Años 1997 1998 1999
Población 53 71 91
Sabiendo que dicha población se ajusta a una función cuadrática, calcular
la población que tenía la ciudad en 1995 y que tendrá en el año 2000.
1.4 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El número de turistas que visitaron España en el periodo 1975-1990 está
reflejado en la siguiente tabla:
Años 1975 1980 1985 1990
Millones de turistas 24,1 30,1 38,1 43,2
Calcular, utilizando un polinomio de interpolación adecuado (cuadrático, al
menos), el número de turistas que visitarán España en 1995.
2. En la tabla siguiente se indica el tiempo (en días) y el peso (en gramos) de
tres embriones de cierta especie animal:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
11
Tiempo 3 5 8
Peso 8 22 73
a) Obtener el polinomio de interpolación de 2º grado correspondiente.
b) Determinar, a partir de dicho polinomio, el peso que correspondería a un
embrión de 6,5 días.
3. Dada la siguiente tabla, obtener por interpolación lineal el valor de .
x 0 1 2
1 1,4142 1,7321
(Sol. 0,7514)
4. De una función f(x) se conocen los valores f(1)=0, f(2)=4, f(5)=52. Hallar el
correspondiente polinomio cuadrático de interpolación. Estimar el valor de la
función en x=3 y en x=6. (Sol. P(x) = 3x2 –5x +2, P(3)=14 y P(6)=80)
5. Obtener la ecuación de la interpolación cuadrática que pasa por los puntos
A(0,4), B(1,3) y C(-1, 9). (Sol. P(x)= 2x2 – 3x + 4)
6. El aumento de líneas telefónicas instaladas en España durante los tres últimos
años fue:
Años 1995 1996 1997
Millones de líneas 8,457 8,882 9,640
a) ¿Es lineal el aumento producido?
b) Calcular el valor esperado en 1998 mediante una extrapolación cuadrática. (Sol.
10,731)
7. Dada la tabla de la función y = f(x)
x 1 2 3 4
f(x) 2 -1 6 0
Calcular el error cometido cuando se calcula f(4) mediante la interpolación
cuadrática, obtenida usando los otros valores de la tabla. (Sol. 23)
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
12
2 CRECIMIENTO POBLACIONAL E INTERPOLACIÓN
2.1 OBJETIVOS
Una vez finalizado el estudio de la presente sesión el estudiante será capaz de:
Identificar el efecto de los procesos de entrada y salida en una población.
Interpretar los conceptos: Crecimiento absoluto y crecimiento natural o
vegetativo.
Valorar la importancia de la ecuación compensadora dentro de los análisis
poblacionales.
Determinar el valor de las tasas de crecimiento de una población bajo
diferentes supuestos.
Identificar modelos matemáticos sobre el crecimiento de una
población: Modelo aritmético, modelo geométrico y modelo exponencial.
Determinar el tiempo aproximado de duplicación de una población.
Valorar la importancia de los procesos de interpolación y extrapolación
dentro de los análisis demográficos.
Dominar estrategias matemáticas de interpolación y extrapolación de
valores demográficos: conociendo dos puntos, conociendo más de dos
puntos y mediante desagregación de grupos.
¿Cuáles son los elementos que intervienen para que una población cambie de
tamaño constantemente?
En el primer capítulo se discutió sobre los principales determinantes del
cambio demográfico y su efecto en el tamaño de una población. Se mencionó
como, en cierto período de tiempo, el tamaño de una población puede crecer,
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
13
mantenerse constante o disminuir, dependiendo del efecto que estén ejerciendo
estos determinantes o componentes de cambio. Estos agentes crean dos proceso
dentro de la dinámica de una población. El primer proceso introduce nuevos
elementos a la población, se conoce como proceso de entrada y en el intervienen
la fecundidad o natalidad y la inmigración. El segundo proceso excluye individuos
de la población, se conoce como proceso de salida, y en él intervienen la
mortalidad y la emigración.
Las relaciones entre estos dos procesos es la que provoca que el tamaño
de la población esté expuesto a cambiar continuamente. De estas relaciones los
demógrafos han establecidos tres procesos de crecimiento:
2.2 CRECIMIENTO NATURAL: Está constituido por la diferencia entre los
nacimientos y las defunciones ocurridas en el período de interés, también se le
llama crecimiento vegetativo. Se denotará con "CN" y su valor, entre el tiempo t y
t+k, se define por:
CN(t,t+k) = B(t,t+k) - D(t,t+k)
2.3 CRECIMIENTO SOCIAL: También se conoce como Saldo Migratorio y está
constituido por la diferencia entre inmigrantes y los emigrantes de la localidad. Se
representará con "SM", su valor entre el tiempo t y t+k, se define por:
SM(t,t+k) = I(t,t+k) - E(t,t+k)
2.4 CRECIMIENTO TOTAL: Constituye el crecimiento total de una población, se
represente con "C" y se define como la suma del crecimiento natural y el
crecimiento social. Entonces su valor entre los momentos t y t+k es:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
14
C(t,t+k) = CN(t,t+k) - SM(t,t+k)
C(t,t+k) = B(t,t+k) - D(t,t+k)+ I(t,t+k) - E(t,t+k)
Estas relaciones constituyen el principio básico de los análisis
demográficos. Entonces el crecimiento de una población entre los momentos t y
t+k viene dada por:
Nt+k - Nt = C(t,t+k)
Con lo cual:
Nt+k = Nt + C(t,t+k)
Nt+k = Nt + B(t,t+k) - D(t,t+k)+ I(t,t+k) - E(t,t+k)
Esta última ecuación recibe el nombre de ecuación compensadora del cambio
demográfico, y como se verá a lo largo del curso, tiene gran cantidad de
aplicaciones dentro del campo demográfico.
¿Cómo medir el ritmo de cambio del tamaño poblacional entre dos o más
momentos?
2.5 PORCENTAJE DE CRECIMIENTO POBLACIONAL: Hasta el momento
únicamente se ha analizado el incremento absoluto; pero este valor, por si solo, no
permite valorar la verdadera magnitud del crecimiento alcanzado. Existen
diferentes estrategias que permiten medir el ritmo de crecimiento de una
población, para ello se debe recurrir a una media relativa donde se eliminen los
efectos de los tamaños poblacionales y del intervalo de tiempo
correspondiente. La medida más simple consiste en el cociente:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
15
Donde:
Ni: Representa la población del inicio del intervalo
Nf: Representa la población al final del intervalo
Este cociente permite medir el peso porcentual de la población final con respecto a
la población inicial. Esta cifra presentan tres posibilidades:
Si P > 100 entonces la población experimentó un crecimiento en este
período y su porcentaje de crecimiento es (P - 100)%.
Si P < 100 entonces la población decreció en el período en un porcentaje
de (100 - P)%.
Si P = 100 entonces la población se mantuvo constante en el período, por
lo que su ritmo de crecimiento es nulo.
2.6 TASA DE CRECIMIENTO POBLACIONAL: Como se mencionó en la Tercera
Sesión, es posible aproximar el tiempo vivido entre los momentos t y t+k por medio
del producto entre la población media " " y el tiempo de transcurrido entre estos
dos momentos "Dt" es decir:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
16
De esta manera la tasa de crecimiento poblacional entre t y t+k se puede
aproximar por cociente del crecimiento absoluto C(t,t+k) y la aproximación del
tiempo vivido. Esta tasa se acostumbre representar con "r" y viene dada por:
Con lo cual
r = b - d + i - e
o más simplemente
r = b - d + sm
donde:
b: Representa la tasa bruta de natalidad d: Representa la tasa bruta de mortalidad i: Representa la tasa bruta de inmigración e: Representa la tasa bruta de emigración sm: Representa la tasa de migración neta (sm = i - e) Del mismo modo, la tasa de crecimiento natural "r n" viene dada por:
r n = b - d
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
17
El siguiente cuadro presenta la información de los censos de Costa Rica desde
1950 hasta el año 2000. También se incluye el porcentaje de crecimiento
poblacional entre los censos consecutivos y el tiempo transcurrido entre ellos.
Costa Rica: Porcentaje de crecimiento y tasa de crecimiento en los períodos inter-
censales. 1950-2000
Fuente: INEC. Censos Nacionales del año 2000. San José, Costa Rica.
www.inec.go.cr/INEC2/censo2000.pdf.
1 Para la determinación de estas tasas se utilizó la fórmula como población media
el promedio simple de los valores poblacionales. r = (Nf - Ni)/(k· ), donde = (Nf
+ Ni)/2.
Se ha estimado que para el período 1984-2000 la tasa bruta anual de
mortalidad y natalidad para Costa Rica fueron respectivamente de b = 0,026 y d =
0,004. Con estas cifras y el valor de r = 0,028 de la tabla anterior se tiene que:
r n = 0,026 - 0,004 = 0,022
sm = 0,028 - 0,022 = 0,004
El crecimiento vegetativo anual de Costa Rica durante el período 1984-2000
fue de 22 personas por cada mil habitantes. Mientras que a el saldo migratorio
neto en este mismo período fue de 4 personas por cada mil habitantes. Se debe
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
18
aclarar que estos datos suponen que no existen errores en el registro de
estadísticas vitales ni de cobertura en los datos censales.
Una de las aplicaciones de mayor interés que tienen estos conceptos lo
constituye la evaluación de las información censal. Desafortunadamente, para ello
se requiere de contar con información sobre migración. A manera de ejemplo,
considere la siguiente información para Costa Rica.
1 Obtenido por una proyección del Censo de Población 1984
2 Información obtenida por medio de CELADE.
La población de Costa Rica estimada al 1 de enero de 1984 es:
N01/01/84 = 1 902 093 + 663 910 - 96 018 + 50 000 = 2 519 985
Si lo que se pretende es evaluar el censo de población de 1984, esta
información indica que se presentó una diferencia de aproximadamente 130 000
habitantes entre el valor del censo y del valor estimado por esta
técnica. Suponiendo los datos como válidos, se observa una sub-enumeración en
el censo de 1984 en aproximadamente 5,2%.
3. LOS MODELOS MATEMÁTICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
19
Una tasa de crecimiento poblacional puede ser estimada suponiendo que
este crecimiento sigue cierto patrón preestablecido. Los análisis más utilizados en
demografía parten del supuesto que la población sigue cierto modelo matemático,
y el procedimiento consiste en estimar la relación funcional que lo
explica. Generalmente se consideran tres modelos básicos:
3.1 MODELO ARITMÉTICO: Es el más simple de todos, supone que la población
tiene un comportamiento lineal y por ende, la razón de cambio se supone
constante, es decir se incrementa en la misma cantidad cada unidad de tiempo
considerada.
Puesto que la razón de cambio se supone constante y si "r" es la tasa de
crecimiento por unidad de tiempo, entonces el crecimiento de la población entre un
momento t y un momento t + k viene dada por:
DN = Ni · r · k
Entonces la población en el momento t + k sería:
Nf = Ni + DN
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
20
Es decir:
Nf = Ni + Ni · r · k
Nf= Ni (1+ r · k)
Si se despeja el valor de "r" en la ecuación anterior, se obtiene la fórmula para la
tasa de crecimiento bajo el supuesto aritmético:
Si se considera nuevamente la información de los censos de Costa Rica,
particularmente los dos últimos, se tiene que bajo el supuesto aritmético su tasa
de crecimiento sería:
3.2 MODELO GEOMÉTRICO: En el modelo aritmético el supuesto básico consiste
en que la población crece en un mismo monto cada unidad de tiempo. En el
modelo exponencial se mantiene constante es el porcentaje de crecimiento por
unidad de tiempo y no el monto.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
21
Supongamos que "r" es la tasa de crecimiento por unidad de tiempo, el tamaño de
la población en la primer unidad de tiempo está dado por:
N1 = Ni + Ni · r = Ni ·(1 + r)
Para la segunda unidad de tiempo:
N2 = N1 + N1 · r = N1 ·(1 + r) = [Ni ·(1 + r)]·(1 + r) =Ni ·(1 + r)2
Para la tercera unidad de tiempo:
N3 = N2 + N2 · r = N2 ·(1 + r) = [Ni ·(1 + r)2]·(1 + r) =Ni ·(1 + r)3
Generalizando este resultado para el momento t + k, la población sería;
Nf = Ni ·(1 + r)k
Nuevamente si de despeja el valor de "r" en esta ecuación, se obtiene la fórmula
para la tasa de crecimiento poblacional bajo el supuesto geométrico:
Repitiendo el ejemplo hecho para el caso aritmético, bajo el supuesto geométrico,
la tasa de crecimiento poblacional para el período 1984-2000 es:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
22
3.3 MODELO EXPONENCIAL: A diferencia del modelo geométrico el modelo
exponencial supone que el crecimiento se produce en forma continua y no cada
unidad de tiempo. Este supuesto obliga a sustituir la expresión "(1 + r)k" por "er·t"
o "Exp(r·t)". La justificación de esta sustitución se fundamenta en principios del
Cálculo Matemático, y su demostración sobrepasa los objetivos de este curso.
El tamaño de la población en el momento t + k viene dado por:
Nf = Ni ·er·k = Ni · Exp(r·k)
Entonces, la tasa de crecimiento poblacional bajo este supuesto viene dada por:
Bajo este modelo la tasa de crecimiento poblacional para el período 1984-2000 es:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
23
Como puede notarse esta tasa es similar al obtenido por la fórmula general:
cuyo valor aparece en la tabla dada arriba. Si se analiza el gráficamente el
crecimiento experimentado por la población de Costa Rica desde el año 1864:
Fuente: INEC. Censos Nacionales del año 2000. San José, Costa Rica.
www.inec.go.cr/INEC2/censo2000.pdf.
Claramente puede observarse que efectivamente el crecimiento
experimentado por esta población sigue en patrón que se asemeja a una función
exponencial, por lo que se podría concluir que, al menos entre 1960 y el año 2000,
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
24
el modelo que mejor explica el comportamiento de la población de Costa Rica es
el Exponencial.
¿Cuánto tiempo requiere una población para duplicar su tamaño?
La respuesta a esta pregunta requiere de una serie de hipótesis sobre el
comportamiento futuro de la población. Los métodos más simples consisten en
suponer que el crecimiento de la población sigue un modelo matemático similar a
los estudiados anteriormente. Para aplicar cualquiera de estos métodos se
requiere conocer la tasa de crecimiento de la población y suponer que permanece
constante en el futuro. Bajo estos supuestos la determinación del tiempo de
duplicación se obtiene de un simple despeje matemático sustituyendo Nf con 2Ni.
En la siguiente tabla se presenta las ecuaciones que permiten estimar el tiempo de
duplicación de la población bajo los tres supuestos matemáticos.
Por razones prácticas el modelo que es utilizado en mayor medida por los
demógrafos es el exponencial.
A continuación se detallan el tiempo de duplicación del tamaño de la población de
Costa Rica, a partir del año 2000 y bajo las hipótesis de un crecimiento similar al
que se presentó en el período 1984-2000.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
25
Estos tres modelos señalan que si la población de Costa Rica continúa creciendo
al ritmo que lo hizo en el período 1984-2000, duplicaría su tamaño antes del año
2030.
¿Cómo poder estimar el tamaño de una población en períodos inter-censales
y post-censales?
4. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN:
Los modelos matemáticos que se han utilizado anteriormente pueden ser
utilizados para estimar el tamaño de una población en un momento concreto, ya
sea en un memento entre dos censos o predecir el tamaño que esta población
podría tener o haber tenido en un momento futuro o pasado respectivamente. Para
ello se deben considerarse las mismas hipótesis analizadas antes. Cuando la
estimación se realiza para un momento entre dos puntos conocidos (dos censos)
se llama interpolación; pero cuando se realiza hacia el futuro o hacia el pasado de
un período conocido se le llama extrapolación.
Por ejemplo, supóngase que se desea estimar la población de Costa Rica,
bajo los tres modelos básicos, para el 30 de junio de 1990 y para el 30 de junio del
año 2010. El siguiente cuadro presenta un resumen de los elementos más
importantes que deben considerarse para efectuar estas estimaciones.
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
26
Como se puede notar existen importantes diferencias en las predicciones
hechas por los diferentes modelos, entre los modelos. De acuerdo con la discusión
hecha, si los supuestos se mantienen, el modelo que daría la mejor predicción
sería el exponencial, aunque no presenta diferencias muy marcadas con el
geométrico.
Sin embargo, existen muchas otras técnicas matemáticas que permiten
efectuar interpolaciones y extrapolaciones. Las que se han desarrollado hasta el
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
27
momento parten del conocimiento de dos puntos; sin embargo muchas otras
técnicas requieren de más de un punto para estimar el modelo funcional que
puede ser utilizado en las predicciones.
Basados en principios matemáticos y estadísticos es posible aproximar funciones
que realicen predicciones fundamentadas en una serie de puntos u
observaciones. Con los actuales herramientas tecnológicas no es necesario saber
mucha matemática para poder poner en práctica estos principios. Con una simple
"hoja de cálculo" (Microsoft Excel) es posible determinar una modelo matemático
que ajuste una serie de puntos de una manera muy acertada.
A modo de ejemplo, si se considera la población Costa Rica de acuerdo con los
nueve censos de población efectuados, es posible por medio de Microsoft Excel
generar un modelo matemático que permita estimar la población a partir de 1850.
De este modo el modelo matemático generado por el programa es:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL
DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA
28
Nt = 78475·e0,0252·t (t es número de años trascurridos desde 1850)
Con este modelo para el año 1990 (t = 140) la población de Costa Rica era de:
N1990 = 78475·e0,0252·140 = 2 672 528
Mientras que para el año 2010 (t = 160) la población de Costa Rica sería de:
N2010 = 78475·e0,0252·160 = 4 423 914
De acuerdo con los resultados del último censo, pareciera que este modelo
subestima el valor poblacional, sobre todo en los años en que se efectuaron las
estimaciones; no obstante, es una muy buena aproximación matemática sobre el
comportamiento de la población de Costa Rica en los últimos 150 años.
CONCLUSIONES
PRIMERA.- La interpolación es una Situación o colocación de una cosa entre
otras, especialmente de palabras o fragmentos en un texto ajeno.
SEGUNDA.- El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los
polinomios “interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe
estar muy próximo a uno de los extremos.
TERCERA.- La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es
en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas
(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los
coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)
BIBLIOGRAFIA WEBGRAFIA
Roland Pressat, Introducción a la demografía, Ariel, 1977, ISBN 84-344-1033-8,
pag. 187
www.inec.go.cr/INEC2/censo2000.pdf. Fuente: INEC. Censos Nacionales del año 2000. San José, Costa Rica.
www.inec.go.cr/INEC2/censo2000.pdf.
http://age-tig.es/docs/XII_1/012%20-%20Garcia%20y%20Cebrian.pdf
http://www.eustat.es/document/Proyecciones_2020_Informe_Metodol%F3gico_c.pdf