Download - Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
1/77
KUANTUM MEKAN ALIMA SORULARI
PROBLEMLER VE ZMLER
1001
Kuantum olgusu makroskopik dnyada ou zaman ihmaledilebilir.
Aadaki durumlarda bu saysal olarak gsterilmitir:
(a) m=1kg ve =1 m ve uzunluunda bir sarka iin sfr noktas salnm genlii.
(b)Ktlesi m=5kg ykseklii H=5cm ve genilii w=1cmolan bir mermer engele kar 10cm/sn hz iin tnel olaslkhareketi.
(c)m=0.1kg ve v=0.5m/sn de hareket eden bir tenis topuiin 1x1.5metrekarelik bir pencere boyutunda krnm.
zm
(a)Harmonik osilatr teorisi ortalama kinetik enerjiyi verir.
1
2V E= , i.e.,
2 21 1
2 4m ww A = h /w g l=
olduundan ve kk ortalama kare sfr noktas iin sanlmgenliidir.Bundan dolay
17
0.412
10A x mmw
= h
dir.
Bylece sfr noktasndaki salnm makroskopik bir sarkaiin ihmal edilir.
(b)
22 1exp 22
wT m mgH mV
h
22
exp 2
mwgH V
=
h
, olduundan
2 302
2 0.9 10mw
gH V x h
Bylece 300.9 10 0xT e
Yani mermer iin tnel olaslk aslnda sfrdr.
(c)Tenis topu iin De Broglie dalga boyu,
301.3 10h h x cmp mw = = =
Yatay ve dikey yndeki krnm alar srasyla
321 1.3 10 .x radD
=
33
2 9 10 .x radL
=
Bylece o noktada herhangi bir n krlmas yoktur.1002
, , ,e c mh elektron asndan M=protonun ktlesi olarak
adlandrlmaktadr.Ayn zamanda herbirinden kabacasaysal boyutta fikir edinmek iin tahmin verin.
(a)Bohr yarap (cm)
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
2/77
(b)Hidrojenin balanma enerjisi(eV)
(c)Bohr manyetonu(kendi birim seimi)
(d)Bir elektronun Compton dalga boyu(cm)
(e)Klasik elektronun yarap(cm)
(f)Elektronun geri kalan enerjisi(Mev)
(g)Protonun geri kalan enerjisi(Mev)
(h)nce yap sabiti
(i)Hidrojenin tipik ince yap yarlmas(eV)
zm
(a)2
9
25.29 10 .a x cm
me
= =h
(b)4
213.6
2
meE= =
heV
(c) 21 19.27 102
B
ex erg Gs
mc = =
h
(d) 102
2.43 10x cmmc
= =
h
(e)2 13
22.82 10e
er x cmmc
= =
(f) 2 0.511eE mc Mev= =
(g) 2 938pE Mc Mev= =
(h)2
3 17.30 10137
ex
c = =
h
(i)8 2
4 2 4
2 4
11.8 10
8 8
e mcE mc x e
c = = =
h
1003
Aadaki saysal deerler iin bir tahmin veya karmtretiniz.
(a)Elektronun Comton dalga boyu.
(b)Elektronun Thomson kesiti.
(c)Hidrojenin Bohr yarap.
(d)Atomik Hidrojenin iyonizasyon potansiyeli.
(e)Atomik Hidrojenin taban seviyesi iin ar inceyarlma.
(f)ekirdein Z=3 olan 3 7Li iin manyetik dipol
moment.
(g)Proton ile ntron arasndaki ktle fark.
(h)mr boyu cretsiz ntron.
(i)Helyum-4 ekirdeinin balanma enerjisi.
(j)Byk bir ekirdein yarap.
(k)Bir 0 mezonun mr.
(I)Bir mezonun mr.
zm
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
3/77
2
2 31 2
2
2
2
( ) 2.43 10 .
8( ) 6.56 10 .
3
( ) 0.53 .
( ) 13.6 .2
e
e
e
e
ha x A
mc
b r x m
c a Ame
ed eV
a
= =
= =
= =
==
o
oh
(e)Taban enerji seviyesindeki yarlma
2
4113.6 10 .137
fE x eV =
Taban enerji seviyesinde ar ince yarlma
73 10 .10
fhf
EE eV
26 1
30
2
( ) 1.67 10
( ) 2.3 10 .
( ) 15 min 9 10 .
( ) 4 7 28
p n
n
f x J T
g m m m x kg
h x s
i E x Mev Mev
=
= =
== =
g
(f)Bir alan iindeki nkleer kuvvetin etkili olduu
yarap yledir
( )1 13 31.4 1.4 100 6.5 .r A x fm = =
(k) 178.28 10 .x s =
(I)Pi zayf etkileimi iin bozunma bylece
62.2 10 .x s = dir.
1004
Aadaki deneyler radyasyon ve mekanikkuantumlanmann ne olduunu aklar.
(a)Fotoelekrik olay
(b)Siyah cisim ma spektroskopisi
(c)Franck-Hertz deneyi
(d)Davisson-Germer deneyi
(f)Compton salmas
Deneylerde llen kasik olmayan etkilerin kuantumfenomeniyle nasl aklanr.Uygun olmas durumundadenklemleri veriniz.
zm
(a)Fotoelektrik olay:Vakumlanm bir ortamda metalplakaya gelen ultraviyole n, metal plakadan elektronunbiri yaylr, bu gzlenen olay elektronun emisyonunu ifadeeder.Bu ekilde retilen elektrik akm foton younluu iledoru orantldr.Eik frekans metalin cinsine baldrancak fotonlarn enerjilerinin artmas, elektron saysnarttrmaz enerjilerini arttrr.Bu sonular
klasik fizikle aklamak mmkn deildir.
1905 ylnda Einstein henerjisine sahipparacklardan oluan fotonlar olarak adlandrd.Metaldekibir elektron bir foton ile karlatnda henerjili fotontammen emilir.Bu enerjiyi alan elektron bir miktarn ifonksiyonu olarak W (yani metalden sklebilmek iin)harcyor.Kalan
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
4/77
21
2mv h W = Kalan enerji kinetik enerji olarak
ortaya kyor
Bu teori ile bylece n tanecikli niteliinionaylamtr.
(b)Siyah cisim mas:Siyah cisim, zerine denbtn may emer.Siyah cisim tarafndan yaylanradyasyonun spektral dalm elde edilebilir.Bunun iinmadde ve ma arasndaki etkileimi klasik teori ilekarlan Wien yasas ve daha sonraki Rayleigs yasas eskideneyle uyumluluk gsterir.
Fakat ilki sadece yelpazenin ksa dalgaboyuna,ikincisi ise uzun dalga boyu ile toplamndafarkllklara yol aar.
Planck, 1900 ylnda karlalan glkleringiderilmesi iin siyah cisim masn klasik fizikte enerjiyisrekli olduu gibi deil de paral yani kuantumlu yapdaolduunu varsayarak gsterdi.EnerjiyiE h= spektrumundaifade eder.Bu da deneyle uyum iindedir.
3
3
8 1,
1h
kt
hE
ce
=
h Planck sabiti olarak bilinen evrensel bir sabit
Planck hipotezi mikroskobik lekteki fizikselsreksizliklerin varln ortaya koymaktadr.
Yani kuantumlu yapy ortaya koymaktadr.
(c) Franck-Hertz deneyi:Franck-Hertz deneyinde tekenerjili elektronlar atomlarla arparak elektronlarn
hareket enerjileri llr.Varsayalm 0 1 2, , ...E E E atomlarn
ardk enerji seviyeleri ve T elektronlara den kinetikenerji
Tyi yle 1E E = ifade edilebilir.Atomlar enerjiyiabsorbe etmezler ve btn arpmalar elastiktir.imdiesnek olmayan arpmalar meydana gelen baz atomlarn
ilk uyarlm kinetik enerjileri 1 0>ET E dir.Benzer ekilde
atomlarn ikinci uyarlma halinde enerjileri 2 0>T E E vs.Bylece Franck-Hertz deneyi deneysel olarak atomik enerjiseviyelerinin kuantumlu olduunu aklar.
(d) Davisson-Germer deneyi:L.de Broglie madde ve temelinde birleik bir teori gibi varsayarak,madde ve her ikisini de dalga gibi gstermektedir.(hem kdalgasnn hem de maddesel dalgaybirletirmitir.)1927de Davisson ve Germer tarafndanelektron dalgalar elde edildi.Bu olay bir elektriksel
potansiyel vastasyla iinden geen elektronlarnhzlandrlmasyla saland.Kristal kafes parametrelerinibilmek mmkn olan bir elektronun dalga boyu iindeneysel deerlerin ve sonularnn anlalmasn salar
buda deBroglie dalgah
p= ve p elektronun momentumu ile
mkemmel bir uyum iindedir.Benzer deneyler bakalartarafndan Helyum atomlar ve Hidrojen moleklleri ileyapld.Elektronlarn dalga yaps hidrojen molekllerinin
dalga yapsna zg olmad gz nne serildi.(f) Compton salmas:Compton, zayf x nlarnn
salmasnda gzlenen elektron ve x n arasndaki asile dalga boyu fark arasnda
22 sin2
h
mc
= vardr
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
5/77
Burada h planck sabiti, m geri kalan ktledir ayrca gelenfotonun dalga boyundan bamszdr.
Compton etkisi, herhangi bir k gibi klasik dalga teorisi ileizah edilemez.Bundan dolay n foton kuramnonaylamaz.
1005
Kuantum mekanii iin nceleri byk problemdurdurulan bir atom n yayar.Aklaynz.Kuantummekanii sonralar byk problem uyarlm atomlar nyayarlar.Aklaynz.Uyarlm atomlar neden mayaparlar.
zm:Kuantum mekaniinden nce,Rutherford gre atommodeli elektronlar ekirdek etrafnda eliptik bir yrngedehareket ederler.Klasik elektrodinamik ykl bir parackhzlandrldnda radyasyon yayar bylece atom kyayar.Bu demektir ki elektronlar srekli enerji kaybedecekve sonuta ekirdek tarafndan yakalanacak.Gerekteelektronlar ekirdein iine dmezler.Bunun nedeniatomlar taban durumunda ma yapmazlar.Problem mayapan atomu nleyebilecek bir mekanizmakeffetmekti.Fakat tm bu giriimler baarszlklasonuland.
Kuantum mekaniinde temel prensib d bir etkileimolmadan, yani zamandan bamsz Hamiltonyenle ile
almaktr.Bunun anlam uyarlm durumda bir atom halasabit durumda ma yapmadan kalamaz ve kendiliindenma yaynlarlar.Ancak kendiliinden gei uyarlmatomlarda atomlarda meydana gelir ve ma yaparlar.
Kuantum mekaniine gre radyasyonun tesirsahasnda elektronlar ve atom iin iki kuantum sistemini
kapsar.Tek bir terim iin foton oluturma a+ operatr
ieren herhangi bir foton balangta olmasa biletamamiyle kaybolmaz.Bu terim uyarlm durumdakiatomlarn geileri srasnda kendiliinden ma yaparakyaymlanr.
1006
Bir elektron demetine ynelik bir deney dnn.ki
tane yark ieren plaka etiketli plaka tesinde A ve B gibibir dizi yeri belirlemeyi salayan dedektrlerledonatlmtr.Aadaki durumlarda kabataslak olarakelektronlarn bu durumlarnn bir fonksiyonu olarak ilikinekran boyunca olaylar tayin ediniz ve ksaca aklamaveriniz.
(a)A ak yark,B kapal yark
(b)B ak yark,A kapal yark
(c)Her iki yark ak
(d)Stern-Gerlanch aygt ekildeki gibi yarklarabalandktan sonra
2
zs =h
sadece Adan tek elektron geebilir2
zs =
hsadece
Bden tek elektron geebilir.
(e)Yalnz
2
zs =h
elektron Adan geer,yalnz
2
zs =
h
elektron Bden geer.
Ik younluu yksek olmayan yalnz bir elektron nekadar zaman iinde cihazdan geiyor?
zm
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
6/77
(a)Perdedeki bu olaslk A yarnn iinden geenelektronlardan meydana gelir.
(a) A
B
(b)
A
B
(c)
A
B
(d)
A
B
(e)
A
B
1 ( )A x =
(b)B yarndan geen elektronlarn olasl,
( )2 B x =
(c) ( )12 1 2 1 2c x giriim = = + + +
(d)Denklemin artlarndan biri A yarndan geenelektronlar veya B yarndan geen elektronlar veherhangibir giriim terimidir.Ekrandaki younluk sadece
toplamdr.
1 2d = +
(e) c ye benzerdir fakat younluk cnin yarsdr
2
ce
=
nk elektronlar dalga fonksiyonunun zkarlamasndaki bu olay yukarda geen n younluu
iin cevaplar geerli klar, bir seferde sadece bir elektrongemesi dk bir olaydr.
1007
m ktleli bir paraca ( ) ( )rF V r= kuvveti maruz
brakldnda ( ),p t dalga fonksiyonunun momentum
uzaynda denklemi
( )( )2 2 ,
,2p
p tpa p t im t
= ,
1=h deimeyen gerek sabit ve,
2 2 22
2 2 2p
x y zp p p
= + +
dir
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
7/77
F(r) kuvvetini bulunuz.
zm:Bir dalga fonksiyonunun koordinat ve momentumgsterimi yledir,
( ) ( )
( ) ( )
3/2
3/2
1, , ,
2
1, , ,2
ikr
ikr
r t k t e dk
k t r t e dr
=
=
pk =
holduundan ( 1=h ile) bylece,
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
, , ,
, , ,p
P p t r t
p t r r t
Schrdinger denklemi koordinat alannda
( )( )2 2 ,,
2
r tar r t i
m t
+ =
Bundan dolay potansiyel
2( )V r ar =
ve kuvvet ise
( ) ( ) ( ) 2r dF r V r V r arr dr
= = = dir.
1008
Tek boyutlu zamandan bamsz Schrdingerdenklemi dnn, V(a) keyfi bir potansiyel.
Eer ( )x dalga fonksiyonu x olduunda ( )x 0olacan ispat ediniz.Bundan dolay olas genel bir fazfaktr olacan gster.
pucu:Aksine varsaymn bir elikiye yol atngster.
zm:O noktada bulunan baka bir ( )x fonksiyonunolduunu farz edelim.Schrndinger denklemi ayn E
enerjisindeki ( ) ( )x ile x fonksiyonlar olduklarndan
( )lim 0x x = diyebiliriz.O zaman
( )
( )
2
2
2,
2,
m E V
m E V
=
=
h
h
ve bylece
0, = veya
deimez =
x snr durumunda 0 = verir. Veya
=
.
Sahip olduumuz integre ifademiz ln ln sabit = +
veya sabitx = dir.Bundan dolay ve dalga fonksiyonlar istatiksel olarakayn yorumu anlatr.
V(x) potansiyelinin olduu zaman * ve birlikte
ayn snr durumlarna getirildiinde ayn enerjiyi salar.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
8/77
*lim 0x = dr.Burada*lim 0x = veya
* *C = den dolaybizim iin
21c = dir veya ic e = burada bir gerel saydr.Eer biz
=0 seersek o zaman c=1 olur
Buda bize (asl dalga) fonksiyonumuzu verir.
1009
Tek boyutlu bir parack dnn
(a) ( ) ( )* , , 0d
x t x t dxdt
+
= olduunu gsteriniz.
( sabit bir durumda olmas gerekmez)
(b)Parack belirli bir anda duraan durumda olduuzaman sabit kalacan gsteriniz.
(c)T=0 annda dalgal fonksiyonu -a
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
9/77
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
10/77
( ) ( )/
2
2
1, 0 , 0
2
exp2
ipxp e x dx
A x ipxdx
a
+
+
=
=
h
h
hh
2 2
2exp
42
Aa a p
= hh
(b)Serbest bir parack iin momentum uzayndaSchrndinger denklemi
( )( ) ( )
2, , ,
2
p t pi H p t p t
t m
= =h verir
( )2
, exp2
ip tp t B
m
=
h
t=0 zamannda ( ), 0B p= bundan dolay
( )2 2 2
2
2
22
, exp ,4 22
exp22
Aa a p ip tp t
m
Aa x
i ti taa
mm
=
=
++
h hh
hh
Ayrca dorusal bir dzlemde sperpozisyon gibi dalgafonksiyonunu geniletebiliriz
( )( )
( ) ( )1/21
, , 02
i k x wtx t p e dp
+
= h
( )
2 2
1/2 2
2
2 2 2
2
2
22
1exp
422
exp2
exp4 22
exp ,22
Aa a p
p p tx i x dp
m
Aa a p ip t ipx dpm
Aa x
i ti taa
mm
+
+
=
= +
++
hhh
h h
h h hh
hh
nceki sonucu kabul eder.
1011
Tekboyutlu m ktleli bir paracn 0 x a aralndaekilde gsterildii gibi t=0 annda dalga fonksiyonunugstermektedir.
( ) ( ), 0 8 / 5 1 cos sin /x
x t a x aa
= = +
(a) 0t t= annda dalga fonksiyonu nedir.
(b) 0t t= ve 0t = annda sistemin ortalama enerjisinedir.
(c) 0t t= da paracn kuyunun sol tarafnda bulunmaolasl nedir.(0 / 2x a aralnda)
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
11/77
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
12/77
( )2/2
0
0
/2 22 2 0
2
0
2
0
2
0 ,2
38sin 1 cos 2 cos cos
5 2
31 16cos
2 15 2
a
a
aP x x t dx
tx xdx
a a a a ma
t
ma
=
= + +
= +
h
h
1012
Tek boyutlu m ktleli bir paracn l uzunluunda birpotansiyel kuyusunda
0,
0 0 ,
V x
V x
V x
= = =
l
l
t=0 annda bu paracn dalga fonksiyonunun bilinen formu
( )50 30 / , 0 ,
0,
X X X
aksidurumda
=
l l l
Aada ( , 0)x t iin bir dizi ve dizi katsaylar iin ifadeleriyaznz.
zm:zfonksiyonlar ve enerji zdeerleri
2( ) sin ,
n
nxx n
= l l
22
,2
nE n
m
=
h
ln=1,2,3 bylece
,n
n n =
( ) ( )
( )
( ) ( )
5
0
3
3
2 300 sin
14 15 1 cos
4 15 1 1 1/ ,n
xn t n x x dx
nn
n
= =
= =
l
ll l l
ve bylece
( ) ( )
( )
2
1
2 1
2
3 30
, 0 exp
30 1 2 18 sin
2 1
nn
n
ni t
m
n
Ex t n t i t
nx e
n
=
+
=
= =
+ = +
h
l
h
l l
Ayegl AZL
(Blm-1)
1013
atalet momenti ile rijit gvde xy dzleminde izin verilirse as x-ekseni
ve rotator ekseni arasnda serbeste dner.
(a) enerji z deerleri ve karlk gelen z fonksiyonlarn bul
(b)t=0 zamannda bir dalga paketi tarafndan
aklanan t> 0 iin bu
zm :
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
13/77
bir yzey Hamiltonyeni
Ve bylece Schrdinger denklemi
zm olarak yazarsak
A,B keyfi sabitleri iin, dalga fonksiyonu olduu
yerlerde bize gerekli olan:
Enerji z deerden sonra
Ve ilgili z fonksiyonlar
Normlanmas
(a) t=0 da
m = 0 ve m = 2 de bir asal hz tarafndan
verir
Bu nedenle t zamanda
1014
Bir elektronun genilii tek boyutlu bir kutunun temel hali
ile snrldr. enerji 38eV
Hesaplayn.
(a) ilk uyarlm halde elektronun enerjisini
(b) elektron temel haldeki kutunun duvara olan ortalama gcn
zm:
Bir boyutlu kutu ile snrl bir elektron enerji seviyeleri (problem1011)
Bu nedenle ilk uyarlm durumuna (n = 2), enerji
(c) kutunun duvarlarna ortalama kuvvet
sabit durum denklemi ayrt edilmesi ve
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
14/77
ve dolaysyla
Yukardaki denklemin sol tarafn btnletirerek,
gerek olduundan denklemin sa tarafnda btnletirdiimizde
sfr verir.
Bundan dolay
n = 1 temel durumu iin,
1015
enerji dzeyleri tek boyutlu potansiyeli ekil 1.3 (a) da yan sra
enerji dzeyleri potansiyeli ekil. 1.3 (b) verir
zm:(a) ekil .1.4 de gsterildii gibi sistem koordinat kullann.
Schrdinger denklemi
burada
Bal durumlar iin
Schrdinger denklemi
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
15/77
Bu zmler olur
da artlarn gerektirir
ve Snr koullar x= dan sonra snrl olarak
A, B, C, D yok olmad iin zmler A = 0, ya da C = D
verirB=0 ya da C=-D de verir.
Bylece zmlere bal durumlar veren iki
blm mmkn
1.blm
enerji seviyeleri ve pozitif deerler ile snrl olduundan,
kar izilen radyan ile tan erisi daire ilk eyrek daire
iinde kesiimler bulunmaktadr. ekil1.5. ve a kesikli
seviyelerinin says ve a baldr ve Sadece kk bir iinolas belirlenmesidir
2.blm
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
16/77
Benzer bir yap ekil. 1.6. da byk iki zm verirken herhangi bir
kk deeri verir.
(b) ekil 1.7 de grld gibi kullanlan koordinat
Schrndingerin denklem zmleri
0 da X gider ve son olarak
yukardaki ikinci blm zmleridir.
1016
M ktleli bir paracn bir potansiyel iinde tek boyutlu bir problem
dnn
(a)Bal durumuna enerjileri denklemi tarafndan verildiini gster.
(b) baka zm olmadan, zemin durumuna balfonksiyontaslan
zm
(a) iki blge iin schrdinger denklemler
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
17/77
= 0 ve x = 0 snr koullar iin iin 0 x + .
zmler
ve srekli bir sabit olduunda x=a verir
b) taban-durum dalga fonksiyonu olarak ekil 1.8 de gsterilir
1017
Bir V (x) Potansiyeli Dinamikleri hamiltonyeni tek
boyutlu hareket eden bir paracn tarafndan ynetilir.
momentum operatrdr. , n=1,2,3,, z deer. Dnn. Bir
yeni hamiltonyen ve verilen bir parametre. , m ve
zdegerleri bul.
zm:
Yeni Hamiltonyenin
ve z fonksiyonlar ve z deerler yeni z
fonksiyonlar
Ve ilgili z deerler
1018
Tek boyutlu dalga fonksiyonu dnn
A, n ve sabitlerdir
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
18/77
schrndinger denklemini kullanarak, V (x) ve enerji E
(b) balants bu yrnge asal momentum I hydogenic dzlem iin
potansiyel ve etkili bir ekilde radyal potansiyeli arasnda gryor
musunuz?
zm:Verilen dalga fonksiyonu farkll
Ve zamandan bamsz schrndinger denklemde yerine
Biz
olarak ve dolaysyla
hidrojen atomu iin etkin radyal
potansiyelidir. karlatrarak grdmz terim ile
terim resmen zdetir. Burada asal momentum terimi yer alyor.
terimi ve n= hidrojen otumu iin potansiyel yrnge asal
momentumudur. Bu iki potansiyel arasndaki farktr.
1019
Aadaki tek boyutlu kuyuyu gz nnde bulundurun.
(a) derinlii iin bal durumunu nitel olarak
aklaynz?
(b) kuyu iin bal durumlarn enerjileri arasndaki ilikinedir?
(c) Verilen srekli enerji durumlar iin ka bamsz zmolabilir?
(d)Paracn snr durumlar iinde ve dnda bulunmaolasln aklayn?
ZM
(a) bal durumlar iin;
Burada iki durum dr.
ekil 1.9 da verilen potansiyel problem 1015 de zmleri
verilmektedir.
enerji seviyeleri yar apl dairenin merkezi ve kesitii ekil 1.16
da verilmektedir. Grld gibi ve , ve den
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
19/77
byk olmaldr. Dolaysyla snr koullar
verilir.
ekil 1.10 da gsterilen potansiyel iin iki zm mmkndr. ekil
1.16 daki durum ayn ve keyfi iin mmkn deildir. zmler
dier ksm tarafndan verilmektedir.
erisi orjinde olarak erisi ile kesien kesien kk
deerler olabilir. Ancak kk iin her zaman bal durumlar
vardr.
(b) ekil 1.10 da potansiyel iin ekil 1.9 da bal
durumlar potansiyelini bulunuz?
(c) Hhjj(d) parack iinde ve dndaki olaslklar
gstermektedir.
Burada iin
srekliliini x=a salar.
Daha nce olduu gibi dr.
Buradan
Parite zmleri verilmektedir.
Burada olur.
ve Analitik
zm olur.
olur.
1020
Aadaki m ktleli bir paracn ksa uzunluklu potansiyelinedeniyle bir boyutlu enerjisini elde edinin?
ZM
Schrdinger denklemi;
Ve olarak yazlabilir.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
20/77
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
21/77
Burada A keyfi sabittir. Normalletirme tarafndan elde edilmitir.
1022
M ktleli bir parack ile verilen potansiyel bir boyut
olmayan relavistik hareket eder. Burada dirac delta
fonksiyonudur. Paraca baldr. paracn bulunmaolasl ye tam eit olduunda deerini bulun.
ZM
E
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
22/77
E enerji zdeeri iin m ktlesi, potansiyelini ve sistemin
boyutunu L ynnde bulun?
ZM
Schrdinger denkleminin her iki tarafna
uygulayarak
elde edilir.
Burada dr
Snr deerlerini uyguladmz zaman schrdinger
denklemi iin;
zmne sahiptir
Burada ve gelii gzel kk bir pozitif saydr. Dalga
fonksiyonu deki srekliliinden
elde edilir. Dalga
fonksiyonu (1) denklemde yerine yazarsak
elde edilir.
Burada denklemleri enerji z deerleri
iin transandantal
1024
Bir parack bir boyutlu sonsuz kare kuyu potansiyelinde
arasnda hapsedilmitir. En kk enerjili z durum iin dalgafonksiyonunu bulunuz? Eer bu sonsuz kare kuyu potansiyelinin
merkezine eklindeki itici delta potansiyel
fonsiyonu eklenir ise yeni dalga fonksiyonu elde ediniz ve enerjininazalmasn veya artmasn belirleyiniz. Eer enerji deimiyorsa
yani ise ne olur?
ZM
Sonsuz kare kuyu potansiyeli iin en dk enerji seviyesinekarlk gelen z fonksiyonlar ve z deerler srasyla aadakigibidir
Bu dalga fonksiyonun ekli ekil 1.12 deki gibidir.eklindeki delta potansiyeli eklediimiz zaman schrdingerdenklemi;
Burada dr. Snr deerleri
olur.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
23/77
Denklem (2) schrdinger denkleminin her iki tarafna
uyguland zaman elde edilir. Ve denklem (3) in x= deki
srekliliinden elde edilir.
iin (1) denklemi salayan zmler
dr.
Taban durumu iin alalm. Denklem (3)olmasn gerektirir ve taban durum iin dalga fonksiyonu
eklinde olur.
Denklem 2, n eklindeki transistandal
denklemin en kk kk olduunu gsterir.
negatif olduu iin dr. Grld gibi enerji
artmtr.
Dolaysyla, eer a giderken ye gider ve yeni
taban durum enerjisi dr
1025
Relativistik olmayan m ktleli bir parack,
eklindeki potansiyel altnda hareket
etsin.
Burada g>0 olan bir sabit ve dirac delta fonksiyonu taban
durum enerji z fonksiyonlarn bulunuz ve nin sabit olduudurumlar iin enerji z deerlerini elde ediniz.
ZM
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
24/77
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
25/77
zm: Potansiyel yukardaki ekilde gsterildii gibi schrdinger
denkleminde
iin snrl iken, bu biimsel zmlere sahiptir.
gerekliliinin yan sra x=0 da dalga fonksiyonunun
sreklilii ve trevinin sreksizlii
verir. Burada bulduklarmz zersek
,
dir.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
26/77
Yaklam bal sabiti veren denklemidir.
Son ifadenin ikinci ksm duvarn yol at enerji deiimidir. Bylece
enerji deiimi iin gerekli kkln olmas iin
olmaldr.bu uzakta olmak anlamna gelir.
(b) iken ikinci grafii i fade eden doru 1i ve
ifade eden eri 2 yi gsterir.
denklemi iin balang koulunun zm
noktasndaki 2 erisinin eiminin 1 dorusundan daha fazla olmasdr.
Bundan dolay, eer ise bir bal sabit vardr.
1027
m ktlesi ve k sabit kuvvetine sahip harmonik bir salncnn zemin durumundaki
dalga fonksiyonu
,
Klasik blge dnda paracn bulunma olasl iin bir ifade elde ediniz.
zm: Eer ise paracn klasik blge dnda bulunduu
sylenebilir. Zemin durumu iin ve klasik olmayan durum iin
ise. Yani:
dr. Bu nedenle, klasik olmayan blgede paracn bulunma olasl:
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
27/77
1028
Lineer bir harmonik salnc dnn ve srasyla normalize edilmi zeminin ve
birinci durumun enerji z fonksiyonlar olan i onun asl (reeli) olarak
alalm. ile A ve B reel saylarn salncnn anlk dalga fonksiyonu
olarak ele alalm. in ortalama deerinin genel olarak sfrdan farkl olduunu
gsterelim. A ve B nin ni maksimuma karan ve azaltan deerleri nelerdir?
zm: Ortonormal durum
,
i verir.
Genellikle A ve B sfr deildir. Bu yzden in ortalama deeri,
, sfra eit deildir.
Yukardaki ilemi
olarak yazarsak ve
de extramuma sahip olan olduunu dnerek,
eer ise maksimuma karldn; eer
ise in azaldn grrz.
1029
iken olduunda, basit bir harmonik
salncnn minimum enerjisinin h/2 olduunu gsterin.
zm: Harmonik bir salnc iin, dir ve bylece
dir. O zaman harmonik bir salncnn Hamiltonyeni
,
olarak ortalama bir enerji deeri verir. a,b pozitif reel saylar ve
veya ise
dir.
1030
Bir elektron olduu gibi, tek boyutlu harmonik
salncnn taban durumunda snrldr. Elektronun 1. uyarlm duruma uyarlmasiin gerekli olan enerjiyi eV cinsinden bulun. (virial teoremi yardmc olabilir.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
28/77
zm:Virial teoremitek boyutlu harmonik salnc iin (T)=(V) yi belirtir.
Bylece ya da taban
durum iin
, olduunu vererek, harmonik bir
salnc iin iken
m yi elde ederiz. Bu
Nedenle 1. uyarlm duruma uyarlmas iin gerekli olan enerji:
1031
Harmonik bir salncda potansiyel iin dalga fonksiyonu t=0, ve A
reel sabit, iken
eklindedir ve hermitik polinoma dntrlyor ve bylece
oluyor.
(a)(x,t) iin bir ifade yazn.
(b) Bu durumdaki bir enerji lmnn olas sonular nelerdir ve bu
deerlerin alnmasnn greceli olaslklar nelerdir?
(c) T de nedir? zamanla nasl deiir?
zm:
(a) Sistem iin Schrdinger denklemi t=0 da deeri verilen yi
alrken
dir. t ye aka bal deilken,
, doyurucu enerji z
fonksiyonu iken, dir. genileyerek
asndan,
iken dir.
Bylece, dir.
Harmonik bir salnc iin, dir. Bu
nedenle,
dir.
Fonksiyonlar ortanormal iken,
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
29/77
hari, tm dr. Buradan
, olmas iin e gre
olarak verilir.
(b) Bu durum iin grnr enerji deerleri ve dir
ve bu deerlerin greceli olasl dr.
(c) , ift pariteye sahip olan ve in tek dorusal bileimiiken, dr. Bundan dolay, t=0 iin
dr. Zamanla deimeyen in ortalama
deerini takip eder.
1032
(a) Tek boyutlu harmonik salnm yapan m ktleli paracn potansiyeli
dir. Harmonik salncnn z durumlar cinsinden,
zamana bal schrdinger denklemi iin en genel zm yazn.
(b) (a) y kullanarakx in beklenen deerini gsterin. A ve B sabit ise
zamann fonksiyonu olarak yazlabilir.
(c) (a) da apak grld gibi geneldir. Bunu kullanarak ortalama
bir zamanda potansiyel enerjinin olduunu gsteriniz.
Eitlii dikkate aln
zm:
(a)Zamana bal schrdinger denkleminden iin
aka zaman bal olmakszn
elde ederiz. ve
ile in z fonksiyonlar iken
asndan geniletebiliriz. Bundan dolay
dr.
(b)
iken ve y kullandmzda, verilen eitlii kullanarak
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
30/77
yi elde ederiz.
(c)Zamanla potansiyel enerjinin ortalama deeri zerinden, operatrV nin genel etkisinin ortalama sresi olarak grlr. Bir tam salnm iin
geen ortalama zaman (periyodu) olarak almak yeterlidir.
ve y bir A operatrnn zaman ve genel ortalamas olarak ayr ayr
belirtelim.
iken,
ken, durumundadr. kinci terim sfr iken bir periyot zerinden
alnan ortalama potansiyel:
Dier taraftan,
ve dir. Bu yzden,
dir.
1033
m ktleli bir paracn bir boyutta potansiyeli
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
31/77
ile x=0 da harmonik salncnn potansiyelinden yksek ince
ve neredeyse alamaz engel vardr. ek 1.16.
(a) Tamamyla nfuz edilemez olan engelin tahminin altndaki alak enerjispektrumu nedir? Engelden tamamnn gemedii tahmin edilen dk
enerji spektrumu nedir?
(b) Engelin nfuz edilebilirlik snrnn spektrum zerindeki etkisini
bakmdan belirtin.
zm:
(a) Dk enerji spektrumlarn bariyer tamamen tamamen nfuz edemezken,potansiyel; harmonik salnc potansiyelinin iki ayr yarmna eittir ve
alak z fonksiyonlar duruma uymaldr . Dkenerji spektrumu bylece 2nin bir dejeneresiyle n=0,1,2,,x=0 ve
de iin tek kuantum saylaryla 2n + 1
normal bir salncya karlk gelir.bylece sadece tek pariteli dalga
fonksiyonlarnn alak seviyeleri iin izin verilir.
(b) Orada zayf olanlar engelin iine girecek. Apak parack iin olaslk
de engelinin dnda olasl nispeten daha byk olurken, engel
olduunda, herhangi bir potansiyel durum iin daha az olur. Balang
noktasna yakn ift pariteli durumlarn dalm olasl tek pariteli
durumlarnkinden daha bykken: ift parite zmlerinin kk bir ksmparack durumlarna kartrlr. Buna paralel olarak, enerjinin
kk bir ksm durum (a) iin enerjinin kartrlr.
engel potansiyeli | olduu iin, enerji seviyeler yukardoru kayacak. ift pariteli durum iin seviye deiimleri tekpariteli durumda olduundan daha byktr. Ayrca, enerjideiimi ayn eik durumlar iin olan daha byk enerjileriin daha kktr.
1034
Daha kk birimlerde (m=h==1) harmonik bir salnc iin Hamiltonyen
Burada
Normalize edilmemi bir enerji z fonksiyonu
dir
e enerji bakmndan en yakn olan dier iki normalize edilmemi z fonksiyonu
bulun.
zm: harmonik salncnn Fock gsterimi, ve aada gsterildii gibi
imha etme ve reme operatrdr.
, ,
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
32/77
,
ken, elde ederiz. Bundan dolay, ya en yakn enerji z
fonksiyonlar, ve olan normalize edilmemi dalga fonksiyonlardr.
Bunlar:
1035
t = 0 zamannda bir paracn potansiyeli , dalga fonksiyonu
Burada, enerjinin z durumlar ve z deerleridir.
olduu veriliyor.
(a) A sabitinin normalizasyonunu bulunuz.
(b) olduunda iin bir ifade yaznz.
(c) nin zamann periyodik bir fonksiyonu olduunu ve en uzun
periyot T yi gsterin.
(d) t=0 iin enerjinin beklenen deerini bulun.
zm:
(a) Normalizasyon durumu
Ay pozitif reel olarak aldmzda yi verir.
(b) Zamana bal dalga fonksiyonu
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
33/77
(c) Olaslk younluu
dir.
Not: Zaman faktr ve maksimum periyodu 2/ iken,
periyotlu bir fonksiyon olduuna dikkat ediniz.
(d) Enerjinin beklenen deeri
1036
potansiyelindeki ktleli bir paracn bir boyutlu hareket eden
bir parac gz nne alalm. Burada n pozitif bir tam deer ve .
paritelerin ve z deerlerin dalmn uygun z fonksiyonlara gre nitel olaraktartn. Byklk mertebesini elde etmek iin belirsizlik ilkesini kullanarak en
dk enerji z deerini tahmin edin. n=1 ve n iin bu tahminleri belirleyin.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
34/77
Bu durumlarda V(x) in ne olduunu aklayn ve nceki sonularla bunu
karlatrn.
zm: a nk potansiyel de gider.burada potansiyeldeki
bal durumlarn says sonsuzdur ve enerji z deerleri kesiklidir. yleyse m.
uyarlm durum ile verilen blgesindeki m iaretteki
deiime sahip olmaldr. yavaa azald gibi m de azalr.
orantldr. Virial teoreminden
ve bylece
ifadesine sahip oluruz.
Genel olarak n in azalmasna karlk e deer enerji seviyeleri arasndaki fark da
azalr. olduunda z durumlar kesin paritelere sahiptir. Temel
durum ikinci, drdnc uyarlm durumlar ift pariteye sahiptir. Dier durumlartek pariteye sahiptir.
Paracn enerjisi bilirsizlik ilkesiyle tahmin edilebilir
burada
Bylece
1037
Bir boyutta hareket eden bir paracn Hamiltonyeni
Burada btn x ler iin ve V her yerde sfr deildir.en
az bir bal durum olduunu gsterin (zel bir dalga fonksiyonu iin Rayleigh-
Ritz) prensibini kullanmak bir metot dur) bununla birlikte eer baka bir metot
biliyorsan bunu da kullanabilirsin.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
35/77
zm:
ekilde gsterildii gibi bir potansiyeli
varsayalm. yi bir kare potansiyel de yledir.
iyi bir potansiyeli iin en az bir bal durumunun olduunu biliyoruz;
Biz o zaman
lerle H z fonksiyonunu belirler ve geniletirsek:
Eitsizlii karlayan en azndan bir z fonksiyonu vardr.
Bu nedenle de en az bir bal durum vardr.
2. metot: b belirsiz bir parametre iken dalga fonksiyonu
olarak alalm.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
36/77
ve bylece
Bylece
verimi iin ifadede yerine konulursa
Tm x ler iin iken dr ve V her yerde 0 deildir,
elde ederiz.ve bundan dolay dr. Aslndabu artlar altnda, belirli bir negatif deere sahip olan toplam enerji (T yi poziti f
yapmak iin V den byk olan) deeri, ne olursa olsun V iindeki bir parack
eklinde sonsuza kadar hareket edemez bir bal sabit kalmaldr.
1038
eklindeki bir boyutlu potansiyelde M ktleli bir paacn dalga fonksiyonu
Burada , ve pozitif sabitlerdir.
(a) Parack balmdr? Aklaynz.
(b) Paracn toplam E enerjisinin lm iin olaslk nedir?
(c) Verilen bykle gre in en kk enerji z deerini bulun.
zm:
(a) Paracn bal sabit olmas nedeniyle dalga fonksiyonu i karlar.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
37/77
(b) (c) schrdinger denkleminde iin dalga fonksiyonu yerine,
veren
iin potansiyel
dir.
i karlayan paracn sabit bir dalga fonksiyonu olarak
veya
ayarlayarak
ve , yukardaki denklemin ile bir hidrojen atomunun
radyal dalga fonksiyonu ile karlandn gryoruz. Enerji seviyeleri
ken, ilgili Bohr yar ap dr. Bundan dolay,
dir. Ve sonu olarak en dk enerji z deeri
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
38/77
Dalga fonksiyonu ile dir. Olaslk younluu
dir. Bu nedenle
Demet KAHRAMAN
(Blm-1)
Soru 1039:m ktleli bir parack t=0 da serbest braklr.Tekboyutlu ift kare ekil 1.14 de gsteriliyor
yleki t=0daki dalga fonksiyonu bir sinzoideal lop(yarm sinsdalga) potansiyel konum grafiinde gsterilmitir.
V(x) a
(x)
x
(a)t=0 annda ortalama deeri bulunuz(yukarda belirtilensembollere gre)
(b) Enerjinin ortalama deeri takip eden denemelerde(izleyenzamanlarda) deimez midir?niin?
(c)Bu deimeyen bir enerji durumu olabilir mi?(Bu enerjinin birlm olabilir mi bu durumda hep ayn sonuca ulalr m?)niin?
(d)Dalga fonksiyonu t=0dan baka deerler alrsa deiir mi?Eercevap evet ise dalga fonksiyonunu nasl hesaplarsn?Eer cevap
hayrsa neden hayrdr?(e)Bir paracn potansiyelden kamas mmkn mdr?(ikidurum iinde geerlidir)Aklaynz.
zm: t=0 da dalga fonksiyonun normalizasyonu
(b) t>0 da sabittir ve bu nedenle olur.
(c)Bu durum sabit bir enerji durumu deildir.nk sonsuz karekuyunun z fonksiyonu balang aamasndaki a, ve verilenolaslktaki potansiyel deildir.z fonksiyonun belirttiisperpozisyondur.Bu yzden bu durumda enerji llnce her
zaman ayn deeri vermez.Fakat baz enerji paketleri bu durumundndadr.
(d)Dalga fonksiyonun ekli zamana gre deiir.Bu yzdensperpozisyon durumu iin yeterli bir zmlemedir.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
39/77
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
40/77
(c) Tartalm
sonular gsteriyor ki gaussian dalga paketleri t zamannda da
sabittir.(t=0 da )
prensibi yeterlidir.
Problem 1041:
m ktleli bir parack tek boyutta V(x) potansiyeli etkisi altnda
hareket eder.Eer z durumunda bir enerji
yazarsak .
(a)Paracn ortalama konumunu bulun.
(b)Paracn ortalama momentumunu bulun.
(c)V(x) bulun.
(d)Paracn olas p ile p+dp arasndaki momentumu bulun.
zm:(a) Paracn ortalama konumu,
(b)Ortalama momentumu,
(c)Schrdinger eitliini yle yazabiliriz:
eklinde yazabilir.
Sahip olduumuz denklem,
Veya,
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
41/77
(d)Schrdinger eitlii momentum ifadesinde yle gsterilebilir;
Fonksiyonunu yukardaki eitlikteki yerine yazarsak bu ,
Veya
Yukardaki denklemde a=1/2 yerine yazarsak bu durumda,
Buna z fonksiyonu ile enerjinin belirtilmesi
denir.Momentumu gsterirsek normalizasyonu dr.Bu
paralarn momentumu p ile p+dp arasndadr.
dp
Unutmayalm ki fourier transformlar bu deeri direk verir ;
Problem 1042:Tek boyutlu, m ktleli bir parack ok kkparacklara ayrlm durumda iken uzayda kk bir blgedebirbirine potansiyelle balanabilir.t=0 da bu olaslk ortadankalkar.t>0 zamana ulaan paracn gzlemci L noktasndanuzakta iken muhtemel konumunu birim zaman cinsinden formleedin.
zm:Dalga fonksiyonu t=0 da,
Yerine yazarsak,
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
42/77
Bu yzden,
Gaussian dalgalarndan bir paket gsterirsek a:
En sonki integral bu deeri verir
Bundan dolay akm younluu;
Formlde yerine koyarsak birim zamanda paracn x=Lnoktasndan uzakta olan gzlemciye ulama zamann
hesaplayabiliriz.
Problem 1043:
m ktleli bir paracn balangtaki dalga fonksiyonu (x,0)dr.
(a)Balangtaki fonksiyonun dalga boyu
Fouier transformuna gre parack zerine etkisi ile t zamandayeteri kadar sre getikten sonraki yaylm nedir?
(b) a deerleri aral iin tahmin edici bilgi verin.
pucu: giderken zaman dikkate aln.
zm: (a) schrdinger eitlii
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
43/77
Fouier transformu ekildeki gibi yazlr,
eitlik bu duruma gelir,
integrali bunu verir,
bu yzden,
alrsak eer,
iin,
Uzun bir t sresi getikten sonra (t
Ve
(b)
nk fourier trasnformundaki ile ayndr
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
44/77
Deerlerine sahibiz
Buda bize toplam olasln korunduunu gsterir.t giderkensnrl durumda bulduumuzu yerine yazarsak,
Buda paracn dalga fonksiyonunun sonsuzda nasl yayldngsterir.
Soru 1044:m ktleli bir paracn tek boyuttaki kuantum
mekanii dikkate alnarak ki enerisi
ekil 1.19 da grld gibi t=0 durumunda paracn dalgafonksiyonu a
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
45/77
n=1,2. ile
En dk normal enerji fonksiyonu n=1 olarak verilmitir.
(b)x>-a iin schrdinger eitlii
veya
ile
st artlar ve srekli olmayan artlar yeterlidir
Kk bir aralktaki schrdinger eitlii en son denklemden elde
edilir ve da y grelim.
(c)Hem I ve hem de II blgedeki dalga boylardr.
.Bunlarn gerek zm sinzoideal fonksiyonlardr. st artlar iinyeterli zm,
Srekli olmayan ve normal artlar,
(d) durum iin nin dalga fonksiyonu geniletelim ve
Veya
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
46/77
(e) gibi
Sahip olduumuz
t=0 zamannda ok kk paralar halindeki parack sonsuz derin
kuyuda a engelini delip geer. dalga paketi,t>0 artylayaylr.nce unu hesaplarz.
Ve buradan
Blge I ve blge II iin yukar sradaki ve aa sradaki dalgalar iinu ifadeler verilmitir.
zamannda salnm faktr dr.Deiiklik ok hzl
olsada integral normal davranma eilimi gsterir.Bu yzden
dr.ok geni olduunda k numaral kk dalgay oluturanetmenler birinci rol oynar.O anda parack o blgeden kaabilir.
Soru 1045: radyoaktif izotoplar ve E=6.0 Mev da
kaybolur enerjinin paracklar tarafndan dar verilir.
(a)Yarlanma sresini hesaplamak iin ve ekil 1.20 deki potansiyelsnr dnmek gerekir.m ktleli bir paracn gei olasln Thesaplamak iin gereken enerji snr nedir?Enin snr T
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
47/77
(a)Eer T
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
48/77
parac ile,Tl ekirdeinde v hz ile hareket eder duvardaki
arpma her saniyesinde yarlanma sresi
veya
Kare potansiyelin en st snr budur. b= =33.
v=0.1 bizim bulduumuz
Problem 1046: E=1 eV enerjiye sahip olan elektron kare snrlar
iinde olan bir enerji iin rnek midir?Geiinsalanabilmesi iin snrn genilii ne olmaldr?
V(x) d
E
x
zm:zm olasl Problem 1045
nereden
Problem 1047:ekil 1.23 deki tek boyutlu potansiyel kareyidnn
pozitif iken m ktleli bir parack relativistik olmayan bir kinetik
enerjiye rnek olursa potansiyel arasndaki gei olasl nedir?Bunun iin Enin hangi deerleri olasdr?
V(x)
0 a x
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
49/77
zm:Deimeyen deerler,
Ve katsaylar
x=0 ve x=a ki bunlar R.S.A.B deerlerini verir ve ve bu
snrlar iin belirleyicidir.unu verir
Bu yzden
Ve gei olasl
Gei rezonans ka=n srasnda ortaya kar,bu paracn kinetik
enerjisi E olur,
Olas gei ,P,bir btnlk salar.
Soru 1048:Tek boyutta bir potansiyel kare dnelim,
(a)E
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
50/77
(b)E>0 da bir enerjiye sahip paracn bir durumu rnek tekilettiini varsayalm.Bu dalga ile dar kan dalgann aamalarnbulun.
zm:Schrdinger eitlii farkl blgelerdedir
(a)E0. Fonksiyonumuz
nereden
X=a da sreklidir
bylece
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
51/77
x>a iin
nereden
Bu aama deimesi olarak ortaya kan dalgann bahsettiimizdalga ile ilikisi vardr.
Soru 1049:ekil 1.25 deki tek boyutlu potansiyel sistemde
bir pozitif sabittir.Edeki paracktaki foton bir rnek tekil
ederse hangi ksmlara yaylr?Hangi ksmdan yansr?Enin olasbtn deerlerini gz nne aln.
V(x)
E
zm: x>0 iin,Schrdinger eitlii yledir
Bunun zmne baldr
nerede
x>0 iin, eitlik
Eer E< ise yukardakini yle yazn,
iin sabit olmaldr
nerde
Devam eden durum unu verir
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
52/77
Bu yzden r=(k+ik)/(ik-k)=(1-ik/k)/(1+ik/k).Bu ksmdanyansyan R=j/j=1,yaylan ise T=1-R=0 olur.
E> . x>0 iin .sahip olduumuz
nerede
Sadece darya kan dalgalar vardr. iin 1+r=t(ik-
ikr)=ikt,ver=(k-k)/(k+k).Bu yzden yansyan ksm R=,yaylan ksm T=1-R=4kk/ dr.
Soru 1050:m ktleli bir parack ve p momentumu ekil 1.26gsterilen admdaki potansiyele rnek olsun da geri planda kalanseyrek paracn olasln hesaplayn.
(a)
(b)
zm:schrdinger eitlii,
(a)Eer E< ise,sahip olduumuz,
Nerede
durumunda snrl olacandan durum byledir.Devameden artlar 1+r=t,ik- ikr=-kt bu yzden r=(k+ik)/(ik-k).Yansma
ihtimali R=j/j= dr.
(c)Eer E> ise,sahip olduumuz
Nerede
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
53/77
x> iin sadece dar kan bir dalgadan baka bir ey deildir.
Devamndan 1+r=t,ik- ikr=-kt olur.Bu yzden r=(k+ik)/(ik-
k).Olas yansma R= dr.
Soru 1051:ekil 1.27 de gsterilen bir aama iin tek boyutlupotansiyel yansma ve yaylma katsaylarn bulun eer potansiyelsadan bir rnekse,
x
zm:Eer potansiyel sadan byk bir rnekse E> dr.Herikiside tesadf ve x>0 blgesinde yansyan bir dalgadr.x>0 iinschrdinger denklemi
zm iin olmaldr
X
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
54/77
potansiyel srama tespit edilmitir.Potansiyel, iin sfr ve
iin 3E/4 tr. da yansyan paracklarn olasl nedir?
zm
Schrdinger eitliinden;
olduu yerde iin molekller zaten yansyan
dalgalar olacaktr. zm de u formda olur;
Dalga fonksiyonunun x=0 da sreklilik koullar ,
elde ederiz ve bylelikle ,
tr.Bylece da yansyan paracklarn olasl 1/9 dur.
1053
Dzlem dalgas tarafndan yaklatrlm, soldan x ekseni boyunca
yneltilmi, yke gre potansiyeli olan
molekl gz nne alndnda, Dirac delta fonksiyonu;
(a) iin, dalga fonksiyonunu veren form ?
(b) iin, dalga fonksiyonunu veren form ?
(c)Dalga fonksiyonunun snr blgeler arasndaki artlarn
veren form ?
(d)letim ihtimalini hesaplaynz ?
zm
(a) iin formunda gelen dalgalar ve
formunda yansyan dalgalar. Bylece;
(b) iin, sadece var olan iletilmi dalgalardr.
Bylece;
(c)Schrdinger eitliinden;
Ve bu zm problem 1020ye yeter.
Dalga fonksiyonu devamldr.
(d)(a), (b) ve (c) zmlerinden elde ettiimiz ,
bize,
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
55/77
0
E
x
V(x)
y verir.
Bu nedenle olduu yerde, iletim katsays ;
1054
emada gsterilen ekilde m ktleli bir parack stne gelen bir
boyutlu potansiyel problemi dnelim. da E enerjisinin
dan daha byk olduunu farzedelim. iken asimptotik
potansiyel deeridir.
Gelen bir gerilim tarafndan blnm, yansyan ve iletilen
gerilimlerin toplamn gsterir.
zm
iken asimptotik formlar varsayabiliriz.
r, t, k, lar burada sabitdirler.Tanmlanm younluk olaylar birim
zaman bana paracklar younluunun numaras dir.
Ayn ekilde, srasyla iletilen ve yansyan gerilimler;
Schrdinger eitlii a gre arpm ;
ve schrdinger eitlii a gre elenii ;
ve iki eitliin farkn ;
alrz.
Bunun manas udur ;
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
56/77
gstersin Gelen dalgann genlii 1 olsun O halde 2 ortama
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
57/77
1056
E enerjisinin izafi olmayan ntronlarnn tek enerjili paralel n t
kalnlndaki madde plakas dzleminden gemektedir.
Maddedeki ntronlar tek boyutlu ekici V potansiyelinde hareket
etmektedir. Resim 1.29da gsterildii gibi gelen n dzleme
normale nazaran 0lk bir a yapmaktadr.
(a) t sonsuz ise gelen n nasl krlr?
(b) V itici ve V = E ise gelen n nasl krlr? tyi sonlu aln.
zm
Alternatif zm:
zm, optikteki Fabry-Perot interferometresine benzer ekilde
sonsuz genliklerin aktrlmasyla da elde edilebilir (bkz. Resim
1.30).
Sadece dalgalarn x bileenini gz nne almamzgerekmektedir.T12 ve R12 srasyla 1. ortamdan 2. ortama
geen bir dalga eklinde genlik aktarm ve yansmasnn
katsaylarn gstersin. T21 ve R21 de 2. ortamdan 1. ortama
gerekleen genlik aktarm ve yansmasnn katsaylarn
gstersin. Gelen dalgann genlii 1 olsun. O halde 2. ortama
aktarlan dalgann genlii toplam
1057
-iV sabit sanal bir potansiyelin bir boyutta hareket eden
parack iin dalga fonksiyonunu bulun.Burada dir.
Gncel olasln hesaplayn ve paracn absorbsiyonunu
temsil eden sanal potansiyeli gsterin.Vnin absorbsiyon
katsaylarn temsil eden terimleri bulun.
zm
Schrdinger eitliinden
Diyelim ki ;
ik l Sanal potansiyel iV paracn absorbsiyonu iin
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
58/77
iken ; alrz.
Ve bylelikle ;
Burada srasyla sa ve soldan hareket eden
dalgalarn stel olarak azalmas ile ilgilidir.geerli olaslk;
Burada, ynergeler ayr ayr stel azalma
olasllaryd.absorbsiyon katsaysndan ;
Sanal potansiyel iV paracn absorbsiyonu iin
sorumludur.daha sonra madem j hayali olacak.Bylelikle ,
eer V gerekse orada absorbsiyon olmayacaktr.
1058
(x,t) koordinatlar erevesinde, O gzlemcisi civarnda
tanmlam dalga boyu olarak belirlenmi nin bir
boyutlu zamana bal serbest parac scrdinger
denkleminde zelim.imdi ayn parac dalga
fonksiyonuyla tanmlanm gzlemcisine gre (x,t) ye
bal koordinatlar ile beraber Galileo da ekildeitirdiini dnn.
(a) Ayn dalga boyunun , tanml dalgalarn
yapn?
(b) Ayr ayr koordinatlarnn schrdinger eitliini her ikisi
de salyorsa ve arasndaki iliki nedir?
zm
(a) Serbest parack iin bir boyutlu zamana bal
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
59/77
(a) Serbest parack iin bir boyutlu zamana bal
schrdinger eitlii;
dalga boyu ile belirli zme uyan;
Bununla birlikte ;
ki referans etrafnda paracn p momentumu farkldr
ayrca dalga boyu da farkldr.
(b) etrafnda schrdinger eitliini kullanarak yaplan
ve Galileo nun ekil deitirmesini uygulayarak buluruz.
Dnn;
Ve
nn (1) eitliini kullanarak ve tanmlayarak unu grrz.
Bu sadece shrdinger eitliinden doyumuna
ulamtr.Bylelikle, faz faktrn hatasz ilikilendiririz.
1059
frekansnn tek boyutlu harmonik osilatr potansiyelinde ve
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
60/77
frekansnn tek boyutlu harmonik osilatr potansiyelinde ve
taban durumda bulunan bir m ktle paracna itici gc
uygulanmaktadr.
Taban durumda kalma olasln bulun.
zm
Parack t = 0da ani p momentumu kazanr ve hz aniden p/m
eklinde deiir. Ancak itici gcn sresi dalga fonksiyonunu
deitiremeyecek kadar ksadr. Bu nedenle parackla birlikte
hareket eden K erevesi gz nnde bulundurulduunda
ikincisi harmonik osilatr nin taban durumunda kalr.
Ama hareketsiz K erevesi gz nnde bulundurulduunda
durumundadr. Sre boyunca paracnkonumunu makul derecede sabit tutabiliriz, bylece itici g
sona erdiinde paracn konumu K ve K iin ayn olur. Bu
nedenle Kdeki ilk dalga fonksiyonu;
Bylece itici g uygulandktan sonra paracn taban durumda
kalma olasl ;
Buradan;
1060
dealletirilmi m ktleli bir pin pon topu sadece hs ynylebirlikte bir boyutlu evrende geri tepmesiz masada, taban
durumunda zplyor.
(a) ye uyarak m,g,h enerjide uygun yerine
koyarak ispat ediniz ve y tespit ediniz.
(b) Ergin m=1 gram iin deerinin ve srekli K deerinin
deiken hesabn tahmin ediniz.
zm
(a) Boyut analizi metotunu kullanrsak ;
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
61/77
Buradan ; tr.
Bylece; verilirse topun enerjisi izah edilmi olur.
(b) Hz masadan orjin ile beraber yukar ynde x koordinatnda
alnrsa ; hamiltonyene gre ;
en aza indirilmi, alnr ve salanr.
Taban durum enerjisinden ;
verir.
1061
enerji zdeerleri ile ilgili teorem bir boyuttaschrdinger eitliini takip ediyor.
Teorem: Eer zdeerlerini veren potansiyeli ve
zdeerlerini veren potansiyeli ve tm x deerleri iin
ise, buradan dir.
(a) Bu teoremi ispat edin
pucu: potansiyelini dnn.Burada ve
(tm x deerleri iin) ve hesaplanr.
(b) imdi ekil (1.31) deki potansiyeli dnn.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
62/77
Biz bu potansiyeli tutabilir bal durumlarn saysn belirlemek
isteriz. Bu say varsayalm. Bu en yksek bal durum iin
dalga fonksiyonunun kaitelibi resmini izmeye faydal olabilir.
zlebilir bir karlatrma potansiyeli ve N ye iddetli bal
alt deer veya N ye iddetli bal st deer belirlemek iin
yukardaki teoremi sein(her ikisi de yaplabilir fakat sadece biri
istenir.)
zm
(a) tanmlanr. Aka grlyor ki;
Hamiltonyenden;
Ve zgn denklemi ;
Buradan ;
Bundan dolay ;
alrz ve teorem ispatlanm olur. u
notu kullanrz.
(b) izin verilendir.Buradan dir. Eer
potansiyeli iin enerji seviyesi ise ; dr.
Burada dir. Bal durum iin dir.
yi zersek ;
Burada belirlemeleri maximum A tamsaysndan daha azdr.
imdi V(x) iin sonlu derinlikte bir kare kuyu seeriz.
U(x)e bal durumlarn says V(x) den daha azdr.kincisi iin
dir. ihmal edilebilir bir terim iin U(x) in
bal durumlarn saysn kadar bal stten
alabiliriz.
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
63/77
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
64/77
Denklemini veren ;
Eer operatrleri bazen nin zvektrleri ise , yan ;
Buradan ;
Bylelikle , nin zdeerleri ;
dir. Bununla beraber
lgili fonksiyonlarn matris denklemleri elde edilebilir.
Bununla ;
Veya;
1063
Neden Kristal katlarda enerji bantlar bulunduuyla ilgili ksa bir
aklama yapn. Kuantum mekanii fikirlerini kullann ancakkarmak hesaplamalar yapmayn. Aklamanz okuyan
herhangi birinin Kuantum mekaniini anlayacan ama katlarn
teorisiyle ilgili hibir ey anlamayacan varsaymalsnz.
zm
Kristal, 1065. sorudaki rg yap gibi potansiyel kuyularn
sonsuz periyodik dizilii olarak grlebilir. Bloch teoremine gre
Schrodinger denkleminin zm formundadr.
Burada K sabit ve u(x) rgnn belli aralklarla gereklemesiyle
periyodiktir. u(x) ve in kuyu snrlarndaki sreklilik
durumu yaylan paracn enerjisini belli deer aralklarna yani
enerji bantlaryla snrlandrr. 1065. soruda detayl bir rnek (d)Gizlevi olamayan E0dan daha byk E deerlerinin
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
65/77
j y y
verilmitir.
1064
m ktle parac sonsuz kapsamn periyodik potansiyelinde tek
boyutlu olarak hareket eder. ou alanda potansiyel sfrdr,
fakat b geniliinin a uzunluunun aralklaryla (b
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
66/77
y g
blgesinde, Blochun teoremine gre ;
Burada K, Bloch dalga saysdr.Snr artlarn veren ;
A ve B nin sfrdan farkl zmleri iin ihtiya duyduumuz;
Veya
Bloch dalga says, K determinesine gredir. Bu nedenle k nn izin
verilen dalgalar belirlenen aralkla snrldr.
Veya
y
(c) iin ;
Burada ;
normalizasyonunu verenler ;
x=a da snr atlarn veren ;
Yani ;
iin ; dalga fonksiyonu formundadr. Burada ;
(d) , burada , ufak bir pozitif saydr. Biz ;
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
67/77
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
68/77
=r - , r=
iletim ve yansma katsaylar olduu dalga olay iin ve r' srasyla .
t'=t , r'= .
Periyodik potansiyelde, komu interpotential noktalarnda iletim ve
yansma katsaylar ilikileri var = ve = exp(i2kl).bylece tek bir gsterim iletim katsays ile gsterilir.
(a) komu i potansiyel noktalarda dalgalar halinde gsterilmitir.
ekil 1.33belli ki, sadece yansmas vadeli ve iletim vadeli
katkda
+t
Benzer ekilde
+
bylece biz = +t
= +t
ekil 1.33
(b) n ile n +1 deitirilmesi vermektedir = +t
=
r ve r exp(i2nkl).Varsayabiliriz =
potansiyeli dnemi olarak l, blgedeki dalga fonksiyonu
,o zaman, exp( blgedeki dalga fonksiyonu
.
=
= ve =
1= ,
= +t ve = +t
) (1- +
+ + =0
Biz zmnde =
Ve -4
= -4
(d)Sonsuz periyodik alannda varln kararl bir dalga iin gereklibir kouldur.
=
1+ - =t (c) gzlemlenebilir olduunu kantlamak?
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
69/77
1+ - =t
= t(
Yerine yukardaki denklemin ve kullanlmas + =1
elde ederek
t + =2 cos ,
veya tanm kullanarak
(e) Metaller, pozitif iyonlar dzenli bir dalm olup iletimielektronlarn dnemsel bir potansiyelinin bir ekilde hareket ettii.
1066
ikinci derece denklemini cevap verici bir gerek bir operatr
verilir.
, -3
Bu deklem opratr ile oluan en dk dereceli denklem ise
(a) zdeer vektrleri nelerdir?
(b) n zdurumlar nelerdir?
g
zm:
(a)kinci dereceden bir denklemi olduu gibi karlayan 2x2matris tarafndan temsil edilebilir. z deerler ikinci dereceden
denklemin kkleri =1, =2
(b) matrisi ile temsil edilir.
z deer denklemi ,
a= 1, b = 0 = 1 ve a = 0, b = 1 = 2 verir.
(c ) , bu nedenle hermityenyendir.
SORU 1067
Qelektrik ykndeki operatrn q karlk gelenherhangi birzdeer denklemi,
demek ki, Q =q , ekim yk operatrn C uygulanan
bir eigenstate yol aar. zdeeri k Q'nun karlk gelen
q :
C =
(a) CQ+QC nin operatrn zdeerlerini bul
(b)Ayn anda C ve Q eigenstate olabilir?
ZM : =
Sonra
(CQ+QC) =qC +Q q q 0
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
70/77
R -q
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
71/77
(1+
Ayrca aadaki ekilde
R + (1+
= + + +
Deneysel bylece veren
bu nedenle sleri ve R matrisi i
R zdeerlerini bulmak iin, = 0
- =(1 ) ( 1 )=0 zlr.R=
1069
Bir manyetik alanda, ykl bir paracn, hz bileenleri ile ilgilioperatrleri iin komtasyon kurallarn belirlemek.
ZM:Manyetik alannda bir A vektr potansiyelini ortayaktn varsayalm;
=
= = ( - )
=
1070
Koordinat momentumu komtasyon ilikisini kullanarak patlamak
=constant,
ZM:
H= +V(x),
=
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
72/77
Hamilton ile tek boyutlu osilatr dnn H= + = coswt-w + sinswt+ m
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
73/77
(a) "balang pozisyonuna" beklenti deerleri zaman bamllkve "balang momentumu" operatrleri bulmak
)sinwt,
= +mwx.
Hamiltonyenin ile bu operatrlerin gidip gelmek?
(a) ve (b) uyumlu olmasnn sonularnbulun?
Heisenberg grnt operatrlerinin hareket denklemleri
nelerdir?
komtatr llmesi teori adna nemi nedir?
ilikisi faydalanarak
= -w -
coswt
= coswt-w - sinwt-
- +
+m
=0
bylece bu operatrlerinin beklenti deerleri zamanbamsz olarak bulundu.
(b) = coswt- sinwt
coswt+i
= coswt+mw sinwt
xcoswt+i
(c ) (a) ve (b) sonularn uyumludur. ve . ifadeleri
iin ise t ak bir ekildeH ile komtasyon kendi korunur.
= + =0
= + =0
bunlar aslnda korunur olduunu gsterir.
(c) Heisenberg grnt, bir operatr hareket denklemi
= + .
Bylece hareket denklemleri srasyla
=0 , =0 SORU 2001
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
74/77
ve ifadeler kullanarak
=
coswt+ mwsinwt
coswt+ mwsinwt
= co wt- si wt
=-
=-i
= =0, = i
genel denklemi, A ve B iki gzlenebilirler karlayan = i
Sonra onlarn karekk sapmalar anlamna , E zamanl
olarak llr zaman, belirsizlik ilkesi yerine getirmelidir.
Bu durumda
ortaya kar.
ayn anda llmesi, olas st limitlerinin arasndaki birilikidir.
Bir elektron boyutlu iyi sonsuz potansiyel snrldr. x,y vez eksenleri paralel kenarlarnda her L uzunluu ;
a) Uygun bir Schrdinger denklemi yazlr.
b) Mmkn olan en dk enerji durumuna tekabl edenzamandan bamsz dalga fonksiyonu yazlr.
c) Varsayalm ki iin baz verilen E ok daha az enerjiyesahip olan N says iin bir ifadesini verir.
Den
Buradan
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
75/77
Eksenleri olan bir koordinat sistemini gz nne
alalm. Bir N doal says yarap olan bir
krenin ilk eyrek dairesinin hacmine eitliine gereklilik
ksm iin salanmtr. Buradan
'Kuark' (ktlesi = ) kbik kutusunda uzunluu 2 fermis = 2xile snrl durum iin zemin t uyarma enerji Zemin durumuna
MeV ilk uyarlm hal uyarlma enerjisini bulun.
zm:
Kp eklinde kutusunun enerji dzeyleri tarafndan verilir.
= ( + , =1,2,3..
zemin durumuna gre enerjisi dolaysyla = ilk
uyarlm duruma = = .bu nedenle zemin
uyarlm hal ilk uyarlm durumuna uyarlma enerji olan
= =461MeV
SORU 2003
Bir NaCl kristalinde, Negatif iyonu bo bir elektron bulunduu,boyutlar sabit rg zerindeki bir hacim ierisindeki serbestehareket eden bu elektronlarn davran kristalin oda scaklndakielektronlar tarafndan gl bir ekilde absorbe edilenelektromanyetik nmn en uzun dalga boyunda iin saysal birtahmini bulmak.
zm: Bir elektronun enerji dzeyleri iki tarafn ile kbik
kutusunda tarafndan verilmektedir. =( (
n, m ve k pozitif tamsaylara temel durum enerjinin =(
= =112Ev
= =110
SORU 2004
Bir elektron yarap R almaz duvarlar olan ii bo bir kreselboluunun ilerine kadar snrldr.Elektronun duvarlarnauygulad basnc, zemine durumda iin bir ifade bulmak
ZM:
Zemin durumu iin, l = 0 veR(x)= radyal dalga fonksiyonugibisonra X (r) verilir
iin r
X=0 iin r l =0 taban durumu iin bylece radyal dalga fonksiyonu nemsiz
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
76/77
Bu durum karlayan zmler = sin , (n=1,2,3,)
=
duvarlarda elektron radyal hareket ortalama F kuvveti tarafndan
verilen
F= =- = ( = n=1 ve F= =
P= =
Mustafa DEVELOLU
(Blm-2)
2005
m ktleli bir paracn r=a ve r=b de snrlandrlmgeirimsiz iki kre arasnda baka bir potansiyel vardr.Tabandurumunda enerjiyi ve normalize edilmi dalga fonksiyonunubulunuz.
zm: Paracn radyal dalga fonksiyonu ( ) ( )R r X r r=
olsun.Sonra ( )X r denklemi
( )( )
( )2 2
120
mE V r X r
r
+ =
l l
h
( )a r b
olduundan ( )V r =0 izin vermektedir. 2 22K mE= h deyip denklemi
azaltrsak
2 0X K x + = ile
0r a r b
X X= =
= =
V(a)=0 formu zm gerektirir.
( ) ( )sinX r A K r a=
Sonra X(b)=0, K olas deerler olmak zere
( )K n b a= , ( )1,2,3...n =
n=1 de yani taban durumunda paracn enerjisi elde edilir.
( )2
2 2 2 22 2E K m m b a= = h h
normalize durumunda
( ) ( )2 2 2 1b b
a a
R r r dr X r dr= =
( )2A b a= olsun.Dolaysyla taban durum iin radyal dalga
fonksiyonu normalize durumu
( )( )2 1
sinr a
R rb a r b a
=
dir.
ve normalize edilmi dalga fonksiyonu
-
7/31/2019 Kuantum Mekanigi Calisma Sorulari
77/77