PENDUGAAN DATA RUNTUT WAKTU
MENGGUNAKAN METODE ARIMA
KEMENTERIAN PEKERJAAN UMUM BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN
PUSAT PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN SUMBER DAYA AIR
Prediksi data runtut waktu.
Pelaksanaan dan evaluasi menjadi terarah sesuai dengan
kebutuhan sehingga prioritas dan pemilihan alternatif solusi
sesuai dengan sumber daya yang tersedia.
Salah satu cara untuk menduga data runtut waktu dapat
digunakan metode stokastik yang dinamakan ARIMA
(Autoregressive Integrated Moving Average).
PENDAHULUAN
Autocorrelation Function (ACF)
• Koefisien ini menunjukkan keeratan hubungan antara nilai variabel yang sama
tetapi pada waktu yang berbeda
• Koefisien autokorelasi mengukur tingkat keeratan hubungan antara Xt dengan
Xt-1. Sedangkan pengaruh dari timelag 1, 2, 3. . . . dan seterusnya sampai k-1
dianggap konstan
ACF dan PACF
Partial Autocorrelation Function (PACF)
• Koefisien autokorelasi parsial mengukur derajat hubungan antara nilai-nilai
sekarang dengan nilai-nilai sebelumnya (untuk time lag tertentu), sedangkan
pengaruh nilai variabel time lag yang lain dianggap konstan
• Koefisien autokorelasi parsial mengukur tingkat keeratan hubungan antara Xt
dan Xt-k sedangkan pengaruh dari time lab 1,2,3,…,k-1 dianggap konstan.
Fungsi Model Autoregresif (AR)• Fungsi linear dari observasi deret stasioner sebelumnya (meregresikan
terhadap dirinya sendiri pada periode yang berbeda) dengan kata lain model
ini mengasumsikan bahwa data periode sekarang dipengaruhi oleh data
pada periode sebelumnya.
• Model ini dapat dipilih apabila ACF menunjukkan pola dying down dan
PACF menunjukkan pola yang cut off.
Fungsi Moving Average (MA)• Proses yang menyatakan hubungan ketergantungan antara nilai pengamatan
Yt dengan nilai-nilai kesalahan yang berurutan dari periode t sampai t-q.
• Model ini dapat dipilih apabila ACF menunjukkan pola yang cutoff dan
PACF menunjukkan pola dying down
MODEL AR dan MA
• Autoregressive (AR)
Menunjukkan korelasi antara data Yt dengan lag sebelumnya Yt-1,Yt-2, .., Yt-k.
• Biasanya dinotasikan dengan AR(p). P merupakan order dari lag model AR
• Identifikasi
Cek correlogram residual : PACF (AR)
t
p
itit
yay
1
10
0
0
q
t i t iy a
• Moving Average (MA)
Menunjukkan adanya hubungan error term pada periode t (t) dengan error term periode
sebelumnya (t-i)
• Biasanya dinotasikan dengan MA(q). (q) adalah order dari lag model MA
• Identifikasi
Cek correlogram residual : ACF (MA)
CUT OFF
Cut off adalah lag yang tidak signifikan terhadap garis batas signifikansi
Lag
Au
toco
rre
lati
on
605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the autocorrelations)
DYING DOWN
Dying down adalah lag yang bergerak turun dengan bertambahnya lag (sinusoidal)
Lag
Pa
rtia
l A
uto
co
rre
lati
on
605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Partial Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Model ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) yang merupakan model
gabungan dari model autoregresif dan moving average yang telah melalui proses differencing
sebanyak d kali agar menjadi stasioner.
Data runtut waktu yang diperoleh akan digunakan untuk
menganalisis runtun waktunya sehingga pola dari data
tersebut akan diperlukan dalam peramalan di masa
mendatang
Model ARIMA Musiman (1)
ARIMA Multiplikative (Musiman) = (p,d,q)(P,D,Q)s:
Macam-macam model ARIMA Multiplikative:
1. SAR (0 0 0)(1 0 0)
2. SMA (0 0 0)(0 0 1)
3. ARSMA (1 0 0)(0 0 1)
4. dll
Keterangan:
p, d, q : Orde AR, Difference, MA non musiman
P, D, Q : Orde AR, Difference, MA musiman
Difference adalah teknik pengurangan (selisih) untuk menghilangkan
nonstationer data dalam mean atau variance.
s : Periode musiman s = 3 => Triwulan
s = 4 => Kwartalan
s = 6 => Semesteran
s = 12 => Tahunan
dst
Model ARIMA Musiman (2)
Estimasi Model dengan melihat perilaku grafik ACF dan PACF.
Misalkan model SAR (0 0 0)(1 0 0),
- Model tersebut menunjukkan nilai d & D adalah nol, yang berarti data asli telah stasioner
sehingga tidak diperlukan Difference baik terhadap data non musiman dan musimannya.
- Nilai p nol dan P bernilai 1, yang berarti perilaku PACF menunjukkan tidak ada yang
signifikan untuk data musiman, sedangkan pada data musimannya ada yang signifikan.
- Nilai q & Q adalah 0, yang berarti perilaku ACF menunjukkan tidak ada yang signifikan
untuk data musiman dan non musiman.
CONTOH ESTIMASI MODEL
1. Tahap Identifikasi1. Tahap Identifikasi
Tahap identifikasi dilakukan tiga hal yaitu identifikasi terhadap pola data, kestasioneran data
dan perilaku ACF dan PACF.
2. Estimasi Model. 2. Estimasi Model.
Pada tahap estimasi, penentuan nilai estimasi awal untuk parameter-parameter dari model
tentatif berdasarkan pola ACF dan PACF.
3. Evaluasi Model. 3. Evaluasi Model.
Melakukan uji diagnostik untuk menguji kedekatan model dengan data. Uji ini dilakukan
dengan menguji nilai residual dan signifikansi.
4. Peramalan. 4. Peramalan.
Peramalan dilakukan menggunakan perangkat lunak MINITAB 14. Nilai hasil peramalan
disediakan dari perangkat tersebut.
Langkah-langkah metode ARIMA :
Model ARIMA Musiman (3)
Diagram Alir ARIMA
Membuat plot runtut waktu
Membuat plot ACF
Data sudah Stasioner?
Melihat Plot ACF dan PACF data yang
sudah stasioner dalam mean dan varians
Data Inflow
Varians: Transformasi
Mean: Differencing
Pendugaan Model & Pengujian Parameter
dari Plot ACF dan PACF
Check model dengan
white noice
Model yang sesuai
lebih dari 1
Pemilihat model terbaik. Terlihat dari P
value dan SS serta MS
Perolehan model ARIMA terbaik
Peramalan dengan model yang dibentuk
Ya
Tidak
Tidak
Identifikasi model dilakukan untuk mengetahui kestasioneran data aktual. Suatu data harus
stasioner terhadap varian dan rataan agar dapat diolah dan menghasilkan prediksi yang baik
menggunakan metode ARIMA. Berikut adalah ciri-ciri data yang tidak stasioner berserta
contohnya:
Gambar 1Gambar 1
Tidak stasioner dalam Tidak stasioner dalam meanmean
Gambar 2Gambar 2
Nilai ACF dari Gambar 1Nilai ACF dari Gambar 1
Gambar 3Gambar 3
Nilai PACF dari Gambar 1Nilai PACF dari Gambar 1
IDENTIFIKASI MODEL (1)
Gambar 4Gambar 4
Tidak stasioner dalam variansTidak stasioner dalam varians
Gambar 5Gambar 5
Nilai ACF dari Gambar 4Nilai ACF dari Gambar 4
Gambar 6Gambar 6
Nilai PACF dari Gambar 4Nilai PACF dari Gambar 4
Gambar 7Gambar 7
Tidak stasioner dalam varians dan Tidak stasioner dalam varians dan meanmean
Gambar 8Gambar 8
Nilai ACF dari Gambar 7Nilai ACF dari Gambar 7
Gambar 9Gambar 9
Nilai PACF dari Gambar 7Nilai PACF dari Gambar 7
Lag
Pa
rtia
l A
uto
co
rre
lati
on
605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Partial Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Lag
Au
toco
rre
lati
on
605550454035302520151051
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
Autocorrelation Function for Pembedaan musiman dan reguler(with 5% significance limits for the autocorrelations)
Index
Pe
mb
ed
aa
n m
usim
an
da
n r
eg
ule
r
3202882562241921601289664321
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Accuracy Measures
MAPE 100.148
MAD 0.242
MSD 0.095
Variable
Actual
Fits
Trend Analysis Plot for Pembedaan musiman dan regulerLinear Trend Model
Yt = -0.000490105 + 8.224064E-06*t
Gambar 10Gambar 10
Stasioner dalam varians dan Stasioner dalam varians dan meanmean
Gambar 11Gambar 11
Nilai ACF dari Gambar 10Nilai ACF dari Gambar 10
Gambar 12Gambar 12
Nilai PACF dari Gambar 10Nilai PACF dari Gambar 10
Apabila data yang digunakan belum stasioner maka
jangan melanjutkan tahap estimasi, dikarenakan asumsi
untuk mengerjakan model ARIMA adalah menggunakan
data yang telah stasioner terhadap mean dan varian.
IDENTIFIKASI MODEL (2)
1. Cara untuk menstasionerkan data secara mean dengan cara melakukan
difference.
2. Sedangkan untuk menstasionerkan data secara varian dengan melakukan
Transformasi. Syarat untuk dilakukan Transformasi adalah data tidak bernilai
0, sehingga data yang digunakan adalah data bulanan.
Cara untuk menstasionerkan data aktual
Macam-macam transformasi yang dapat dilakukan adalah
a. Transformasi Log
b. Transformasi Square Root
c. Transformasi Square
d. Transformasi Arcsin
e. Transformasi Cubic
IDENTIFIKASI MODEL (3)
ACF PACF Model
Cut off setelah lag 1 atau 2, koefisien
korelasi tidak signifikan pada lag-lag
musiman
Dying downNon Seasonal – Moving Average
(q=1 atau 2)
Cut off setelah lag musiman L,
koefisien korelasi tidak signifikan
pada lag-lag non musiman
Dying downSeasonal – Moving Average
(Q=1)
Cut off setelah lag musiman L,
terdapat koefisien korelasi yang
signifikan pada lag non musiman ke-
1 atau 2
Dying downNon Seasonal – Seasonal Moving
Average (q=1 atau 2, Q=1)
Dying down
Cut off setelah lag 1 atau 2, koefisien
korelasi tidak signifikan pada lag-lag
musiman
Non Seasonal – Autoregressive
(p=1 atau 2)
Dying down
Cut off setelah lag musiman L, koefisien
korelasi tidak signifikan pada lag-lag non
musiman
Seasonal – Autoregressive (P=1)
Dying down
Cut off setelah lag musiman L, terdapat
koefisien korelasi signifikan pada lag-lag
non musiman ke-1 atau 2
Non Seasonal – Seasonal
Autoregressive (p=1 atau 2, P=1)
Dying down Dying downMixed (Autoregressive – Moving
Average)
Sumber: Gaynor and Kirpartik (1994)
ESTIMASI MODEL
1. Residual peramalan bersifat acak. Untuk memastikan apakah model sudah
memenuhi syarat ini, dapat digunakan indikator Box- Ljung Statistic. Dari
session diketahui bahwa nilai P-value untuk uji statistik ini lebih besar dari
0,05 yang menunjukkan bahwa residual sudah acak.
2. Model parsimonious (model relatif sudah dalam bentuk yang paling
sederhana).
3. Parameter yang diestimasi berbeda nyata dengan nol. Ini dapat dilihat dari
nilai P-value koefisien yang kurang dari 0,05.
4. Kondisi invertibilitas ataupun stasioneritas harus terpenuhi. Hal ini
ditunjukkan oleh jumlah koefisien MA atau AR dimana masing-masingnya
harus kurang dari satu.
5. Model harus memiliki MS & SS yang kecil.
6. Selain itu grafik ACF dan PACF dari residual menunjukkan pola cut off, yang
berarti bahwa residual memang sudah acak.
EVALUASI MODEL
Contoh output MINITAB