Download - Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx
![Page 1: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/1.jpg)
KongruensiKelompok 10
Chusnul UmayaNoerma YulisaRada Mustika Sari
Riat SahlizaSri Ade NurkhatijahSusila Wati
![Page 2: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/2.jpg)
Pengertian Kongruensi
Kongruensi adalah salah satu pembahasan dalam teori bilangan.
Salah satu media dalam mempelajari kongruensi adalah menggunakan
sistem bilangan jam.Perhatikan bahwa dalam himpunan jam empatan, yang dilambangkan dengan J4, maka dapat ditulis J4 = {0, 1, 2, 3}
![Page 3: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/3.jpg)
Konsep dan teori kongruensi sebagai berikut:10 2, karena jika 10 dibagi 4 maka bersisa 221 1, karena jika 21 dibagi 4 maka bersisa 1, atau dapat dinyatakan:10 2 karena 10-2 = 8 dan 8 habis dibagi 421 1 karena 21-1 = 20 dan 20 habis dibagi 4
![Page 4: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/4.jpg)
Definisi dan Sifat-sifat Kongruensi
Definisi 1.2Ditentukan a, b, n Z dan n 0, maka a disebut kongruen dengan b modulo n, ditulis sebagai a b (mod n), jika (a-b) habis dibagi oleh n, yaitu n│a – b.a tidak kongruen dengan b modulo n, ditulis a b (mod n), jika (a-b) tidak habis dibagi n, yaitu n (a-b).
![Page 5: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh: 7 2 ( mod 5), karena 5│(7-2)11 4 (mod 9), karena 9 (11-4)
Teorema 1.2.1
Ditentukan a,b,c, d dan x Z, maka kongruensi memenuhi sifat-sifat:a. Refleksif, yaitu: a a (mod n), a Z
Contoh: 12│0 maka 12│15 – 15, sehingga 15 15 (mod 12)
![Page 6: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh: 53 5 (mod 4) maka 4│53-5 4│48Karena 4│48 maka 4│-48 4│5-53,sehingga 5 53(mod 4)
c. Transitif, yaitu Jika a b (mod n) dan b c (mod n),maka a c (mod n) Contoh: 35 25 (mod 5) maka 5 | 35 – 25 5 | 10.25 15 (mod 5) maka 5 | 25 – 15 5 | 10.Karena 5 | 35 – 25 dan 5 | 25 – 15 maka 5 | 35 – 15 5| 10Sehingga 35 15 (mod 5)
b.Simetris, yaitu: a b (mod n) maka b a(mod n)
![Page 7: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh:30 2 (mod 7) maka 2.30 2.2 (mod 7) 60 4 (mod 7)
e. Jika a b (mod n) dan c d (mod n)maka a + c b + d (mod n).
Contoh: 17 5 (mod 6) dan 79 25 (mod 6) maka 17 + 79 (5 + 25) (mod 6)Sehingga 96 30 (mod 6)
d. Jika a b (mod n) maka ax bx (mod n), dengan x Z.
![Page 8: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh: 13 3 (mod 5) dan 7 2 (mod 5) maka 13.7 3.2 (mod 6)Sehingga 91 6 (mod 5)
f. Jika a b (mod n) dan c d (mod n) maka ac bd (mod n).
g. Jika a b (mod n) maka ac bc (mod nc), dengan c Z.Contoh: 23 5 (mod 6) 23.3 5.3 (mod 6.3) 92 15 (mod 18)
h. Jika a b (mod n) dan d | n maka a b (mod d).
Contoh: 33 9 (mod 12) dan 3 | 12 maka 33 9 (mod 3)
![Page 9: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/9.jpg)
Ditentukan f adalah suatu fungsi polinomial dengan koefisien-koefisien bulat.Jika a b (mod n), maka f(a) f(b)(mod n).
Teorema 1.2.2
f(x) = x2 - 3x 55 -3(mod n) sebab 2 | {5 - (-3)} atau 2 | (5+3) atau 2 | 8f(5) = 52 – 3.5 + 5 = 15f(5) – f(-3) = 15 – 15 = -82 | -8 2 | {f(5) – f(-3)} f(5) f(-3)(mod 2)
![Page 10: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema 1.2.3
1) Ditentukan a, b, x, y Z, dengan m > 0 maka:ax ay (mod n) x y (mod )Contoh:Karena (4,6) = 2 maka 6x 6y (mod 4) dapat dinyatakan sebagai:x y (mod ) x y (mod 2)
![Page 11: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/11.jpg)
2) ax ay (mod n) dan (a,n) = 1 x y (mod n)Contoh:42 14 (mod 2) maka 2 | 42 – 14Karena 42 = 7.6 dan 14 = 7.2 dan 42 14 (mod 2) maka 7.6 7.2 (mod 2), sehingga:6 2 (mod 2)
3) x y (mod n1) dan x y (mod n2) x y (mod [n1, n2] )Contoh:Jika 2x 2y (mod 5) maka x y (mod 5)Jika 4x 4y (mod 6) maka x y (mod 3)
![Page 12: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/12.jpg)
Definisi 1.2.4Jika x y (mod n), maka y disebut residu dari x modulo n
Suatu sistem {x1, x2, x3 , …, xn} disebut sistem residu yang lengkap modulo n jika dan hanya jika untuk setiap y (0 [y] < n) ada satu dan hanya satu xi (1 i < n) sehingga y xi (mod n) atau xi y (mod n).
Definisi 1.2.5
Contoh:{6, 7, 8, 9, 10} adalah suatu sistem residu yang lengkap modulo 5, karena untuk setiap y (0 [y] < 5) ada satu dan hanya satu xi {6, 7, 8, 9, 10}, sehingga :10 0 (mod 5); 9 4 (mod 5); 8 3 (mod 5); 7 2 (mod 5); dan 6 1 (mod 5).
![Page 13: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/13.jpg)
Teorema 1.2.6
Jika x ≡ y (mod n), maka (x,n) = (y,n)
1.3 Sistem Residu Tereduksi Modulo nDefinisi 1.3Suatu himpunan bilangan bulat {x1, x2, …, xk) disebut suatu sistem residu tereduksi modulo n jika dan hanya jika:(x1, n) = 1 untuk setiap 1 i < k.xi yj (mod n) untuk setiap i j, dengan 1 i < k dan 1 j < k.Jika (y, n) = 1 maka y xi (mod n) untuk i = 1, 2, …, k dan (0 [y] < n).
![Page 14: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh:{1, 5} adalah suatu sistem residu tereduksi modulo 6, karena(1, 6) = 1 dan (5, 6) = 15 1 (mod 6);(7, 6) = 1 maka 7 1 (mod 6)(11, 6) = 1 maka 11 1 (mod 6)(13, 6) = 1 maka 13 1 (mod 6)
![Page 15: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/15.jpg)
1.4 Fungsi EulerDefinisi 1.4Ditentukan n Z. Fungsi Euler dari n adalah banyaknya residu di dalam sistem residu tereduksi modulo n dan dinyatakan dengan (n).
Contoh: (2) = 1 (yaitu bilangan 1) (3) = 2 (yaitu bilangan 1 dan 2) (4) = 2 (yaitu bilangan 1 dan 3) (5) = 5 (yaitu bilangan 1, 2, 3, dan 4) (p) = p – 1 (untuk sebarang bilangan prima p)
![Page 16: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/16.jpg)
Teorema 1.4.1 (Dalil Euler)Jika (a,n) = 1, maka1 (mod n)
Contoh:Tentukan 0 x < 5 sedemikian sehingga 9101 x (mod 5)Jawab:Untuk m = 5, maka (5) = 4 sehingga:
x (mod 5) 1 (mod 5) 9100.9 1 (94)25.9 (mod 5)9 (mod 5) 4 (mod 5)
diperoleh x = 4.
![Page 17: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/17.jpg)
1.5 Kongruensi Linear
Definisi 1.5Kongruensi linear ax b (mod n), dengan a, b, n Z, a 0 dan n > 0 disebut kongruensi linear.
Contoh:Kongruensi linear 7x 3 (mod 12) mempunyai selesaian yaitu x = 9 + 12r, untuk r Z, karena 7.9 = 63 3 (mod 12) dan x = 9 adalah satu dan hanya satu harga sistem residu lengkap modulo 12, yaitu: {0, 1, …, 11} yang memenuhi 7x 3 (mod 12).
![Page 18: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema 1.5.1
Jika (a, n) 1 maka kongruensi linear ax b (mod n) memiliki selesaian yaitu x =
![Page 19: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh:Selesaikan bahwa 7x 5 (mod 24)
Jawab:Karena (7, 24) = 1, maka 7x 5 (mod 24) mempunyai selesaian adalah x (mod 24), karena (24) = 8, maka dapat diperoleh bahwa:
x (mod 24) x (mod 24) x 5.(72)3.7 (mod 24) x 5.13.7 (mod 24), karena 72 1 (mod 24) x 35 (mod 24) x 11 (mod 24)
![Page 20: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorema 1.5.2
Jika (a, n) = d maka kongruensi linear ax b (mod n) memiliki selesaian maka d | b. jika d | b maka kongruensi linear ax b (mod n) mempunyai d selesaian.
![Page 21: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh:1. Selesaikan bahwa 3x 2 (mod 5).
Jawab:(3, 1) = 1 = d, karena 1 | 2 maka 3x 2 (mod 5) mempunyai satu selesaian yaitu : x 4 (mod 5).
2. Selesaikan bahwa 3x 5 (mod 6).Jawab:(3, 6) = 3 = d, karena 3 | 5 maka 3x 5 (mod 6) tidak ada selesaian.
![Page 22: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/22.jpg)
1.6 Kongruensi KuadratisBentuk umum:
ax2 + bx + c 0 (mod n)dengan n 0, n adalah bilangan prima ganjil, dan (a, n) = 1. Karena (a, n), maka kongruensi linear at 1 (mod n), mempunyai satu selesaian, karena (a, n) = 1.
Ini berarti a mempunyai invers perkalian t modulo n sehingga at 1 (mod n).
ax2 + bx + c 0 (mod n)tax2 + tbx + tc 0 (mod n)1.x2 + tbx + tc 0 (mod n)x2 + tbx + tc 0 (mod n)
dengan mengambil p = tb dan q = tc, maka x2 + tbx + tc 0 (mod n) dapat dinyatakan menjadi x2 + px + q 0 (mod n)
![Page 23: Kel. 10 PPT Kongruensi.pptx](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042422/577c83eb1a28abe054b6d19e/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh:Selesaikan 4x2 – 9x + 5 0 (mod 17)Jawab:• 4x2 – 9x + 5 0 (mod 17)• 4.13x2 – 9.13x + 5.13 0 (mod 17) (karena 13 invers perkalian dari 4)• 52x2 – 117x + 65 0 (mod 17)• x2 + 2x + 14 0 (mod 17).• Karena 2 ialah invers perkalian dari 9, karena 2.9 = 18 0 (mod 17), maka
kongruensi diubah menjadi• x2 + 2.1x + (2.9)2 – (2.9)2 + 14 0 (mod 17).• x2 + 2.(2.9)x + (2.9)2 – (2.9)2 + 14 0 (mod 17).• x2 + 2.18x + (18)2 - (18)2 + 14 0 (mod 17).• (x + 18)2 [(18)2 – 14] (mod 17).• (x + 1)2 (12 – 14) (mod 17).• (x + 1)2 - 13 (mod 17).• (x + 1)2 4 (mod 17)• (x + 1) 2 (mod 17) x 1 (mod 17)• (x + 1) -2 (mod 17) 15 (mod 17) x 14 (mod 17)