KARNAUGH MAP (K-MAP) (I)
KARNAUGH MAP KARNAUGH MAP (K(K--MAP) (I)MAP) (I)
Pokok Bahasan :K-map 2 variabel
K-map 3 variabel
K-map 4 variabel
Tujuan Instruksional Khusus :1. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara
membuat k-map 2, 3, dan 4 bariabel
2. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara peng-cover-an minterm dalam sebuah k-map
KARNAUGH MAP (K-MAP)
Suatu peralatan grafis yang digunakan untukmenyederhanakan persamaan logika ataumengkonversikan sebuah tabel kebenaranmenjadi sebuah rangkaian logika
Salah satu metode yang paling mudah untukpenyederhanaan rangkaian logika
Map value A B Y
0 0 0 A’B’1 0 1 A’B2 1 0 AB’3 1 1 AB
K-MAP 2 VARIABEL
Tabel Kebenaran 0 1
0 A’B’0
A’B1
1 AB’2
AB3
BA
0 1
0 A’B’0
AB’2
1 A’B1
AB3
B A
Model 1
Model 2
Desain Pemetaan K-Map 2 Variabel
Karnaugh-Map 2 variabel denganminterm-mintermnya xy
0 1
0 1 1
1 0 0
yx0 1
0 x’y’ x’y
1 xy’ xy
yx
x y F0 0 10 1 11 0 01 1 0
F = ∑(m0,m1) = x’y + x’y’
0 1
0 0 1
1 1 0
BA
0 1
0 0 1
1 1 0
BA
0 1
0 0 1
1 1 1
BA
0 1
0 0 1
1 1 1
BA
F=AB’+A’B F=AB’+A’B+AB
F=AB’+A’B F=A+B
Map value A B Y
0 0 0 11 0 1 02 1 0 03 1 1 1
Tabel Kebenaran
Contoh 1:
0 1
0 10
01
1 02
13
BA
A’B’
AB 0 1
0 A’B’0
01
1 02
AB3
BA
Jadi Y = A’B’ + AB
Map value A B Y
0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 0
Tabel Kebenaran
Contoh 2:
0 1
0 10
11
1 02
03
BA
A’B’A’B
0 1
0 A’B’0
A’B1
1 02
03
BA
Jadi Y = A’
0 1
0
1
BA
0 1
0 1 1
1 0 1
BA
Catatan untuk K-Map 2 Variabel
0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low) AB
A’B’
Y = A’B’ + AB
Y =A’ + B
A’
B
1
1
1 kotak terlingkupi = 2 variabel output
4 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)
Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)
2 kotak terlingkupi = 1 variabel output
Map value A B Y
0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 1
Dari Tabel Kebenaran di bawah ini, tulis persamaanlogikanya dengan menggunakan K-map
Contoh 3:
0 1
0
1
BA
Jadi Y = A’ + B
1 1
10
A’
B
Sederhanakan persamaan logika Y = A + AB’ + A’B menggunakanK-map
Contoh 4:
0 1
0
1
BA
0 1
11
B
A
AB’
Jadi Y = A + B
Map valu
eA B C Y
0 0 0 01 0 0 12 0 1 03 0 1 14 1 0 05 1 0 16 1 1 07 1 1 1
K-MAP 3 VARIABEL
Tabel Kebenaran00 01 11 10
A’B’C’ A’B’C A’BC A’BC’0 1 3 2
AB’C AB’C ABC ABC’4 5 7 6
1
0
Model II
A BC
5731
AB’CABCA’BCA’B’C14620
AB’C’ABC’A’BC’A’B’C’0
10110100C AB
Model I
Map value
0 1A’B’C’ A’B’C
0 1
A’BC’ A’BC2 3
01
ABC’ ABC116 7
AB’C’ AB’C4 5
10
00AB
C
11170116101500141103010210010000
YCBAMap value
Tabel Kebenaran
51
AB’CA’B’C01
ABCA’BC1173
62
ABC’A’BC’10
40
AB’C’A’B’C’00
10BCA
Model III Model IV
Map value
Desain Pemetaan K-Map 3 Variabel
Catatan untuk K-Map 3 Variabel
0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)
00 01 11 1001
A BC
Y = +
00 01 11 100 1 11 1 1
A BC
00 01 11 100 1 11 1 1
A BC
B
C’
1 kotak terlingkupi = 3 variabel output
Melingkupinya harus posisi“horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)
2 kotak terlingkupi = 2 variabel output
4 kotak terlingkupi = 1 variabel output
8 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)
1
1
1
AB’C’ A’B
Contoh Pengcoveran
00 01 11 1001
CAB 00 01 11 10
0 0 0 1 11 0 0 1 1
CAB
00 01 11 100 1 0 0 11 0 0 1 1
CAB
C
B
A
00 01 11 100 0 0 1 01 0 1 1 1
cab
G(A,B,C) =
F(A,B,C) = +
f = + +
ACB’C’
A
abbc ac
00 01 11 100 0 1 0 11 1 1 1 1
ABC
A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1
F = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC
00 01 11 100 0 1 0 11 1 1 1 1
ABC
A
BC’
B’C
F = A + B’C + BC’
Contoh 1 :Diketahui Tabel Kebenaran seperti berikut ini, cari persamaanlogikanya
Map value A B C Y
0 0 0 0 11 0 0 1 12 0 1 0 03 0 1 1 04 1 0 0 05 1 0 1 16 1 1 0 17 1 1 1 1
Tabel Kebenaran
Penyelesaian :
00 01 11 100 1 11 1 1 1
ABC
A’B’
AB
AC
Jadi Y = AC + AB + A’B’
Contoh 2 :Diketahui persamaan Boolean :
D = A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC + AB’C
Sederhanakan dengan metode K-map.
00 01 11 1001
ABC
Penyelesaian :
1
A’BCD = + A’BC’ + AB’C
11 1 1
+ ABC’ + ABC
AC B
Jadi D = B + AC
Map value A B C D Y
0 0 00001111
8 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1
0 01 0 0 12 0 1 03 0 1 14 0 0 05 0 0 16 0 1 07 0 1 1
Tabel KebenaranK-MAP 4 VARIABEL
00 01 11 10A’B’C’D’ A’B’C’D A’B’CD A’B’CD’
0 1 3 200
A’BC’D’ A’BC’D A’BCD A’BCD’4 5 7 6
01
ABC’D’ ABC’D ABCD ABCD’12 13 15 14
AB’C’D’ AB’C’D AB’CD AB’CD’8 9 11 10
10
11
ABCD
Model I
81240AB’C’D’ABC’D’A’BC’D’A’B’C’D’00
91351AB’C’DABC’DA’BC’DA’B’C’D01
101462AB’CD’ABCD’A’BCD’A’B’CD’10
111573AB’CDABCDA’BCDA’B’C’D11
10110100AB
CD
Model II
Desain Pemetaan K-Map 3 Variabel
00 01 11 1000
01
10
11
ABCD
A’ A
D’
C’
C
D
B
B’
Catatan untuk K-Map 4 Variabel
0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)
00 01 11 1000
01
11
10
ABCD
00 01 11 1000
01
11
10
ABCD
A’ ACD’
AC’
A’BCD ABCD’
B’C’
2 kotak terlingkupi = 3 variabel output
1 kotak terlingkupi = 4 variabel output
4 kotak terlingkupi = 2 variabel output
16 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)
8 kotak terlingkupi = 1 variabel output
Melingkupinya harus posisi“horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
Contoh Pengcoveran
00 01 11 1000 0 0 0 0
01 1 0 0 0
11 1 1 0 1
10 1 1 0 0
ABCD 00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 0 1 0 0
11 0 0 1 0
10 0 0 0 1
ABCD
AB’CD’A’B’C’D’ A’BC’DABCD
A’C B’CDA’B’D
F = A’B’D+A’C+B’CD F = A’B’C’D’+A’BC’D+ABCD+AB’CD’
Contoh Pengcoveran
00 01 11 1000 0 0 0 1
01 1 1 0 1
11 1 1 1 1
10 1 0 1 1
ABCD
A’D AB’B’C
F = A’D+B’C+AB’+AC
00 01 11 1000 0 1 1 1
01 0 0 1 1
11 0 0 0 0
10 0 0 1 0
ABCD
ABD’ AC’BC’D’
F = ABD’+AC’+BC’D’
AC
Contoh 1 :F(A,B,C,D)=Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)
Penyelesaian :
Jadi
F(A,B,C,D) = C+B’C’D’+A’BD
00 01 11 1000
01
11
10
ABCD
B’C’D’
C
A’BD
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1 1
F(A,B,C,D)=Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15)
Contoh 2 :Diketahui Tabel Kebenaran sebagai berikut, cari persamaan logikanya.
Map value A B C D Y
0 0 00001111
8 1 0 0 0 09 1 0 0 1 110 1 0 1 0 011 1 0 1 1 112 1 1 0 0 113 1 1 0 1 014 1 1 1 0 015 1 1 1 1 0
0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 13 0 1 1 14 0 0 0 05 0 0 1 06 0 1 0 17 0 1 1 1
Penyelesaian :
00 01 11 1000
01
11
10
ABCD
AB’D
A’C ABC’D’
1
1
1
1
1
1
1
Jadi
Y(A,B,C,D) = A’C+AB’D+ABC’D’
Contoh 3 :Lingkarilah dan tulis Persamaan logikanya.
00 01 11 1000 1 1
01 1
11 1 1 1 1
10 1
WXYZ
YZ
WXZ’W’X’Y’Z’
WX’Z
Jadi
M = YZ+WX’Z+WXZ’+W’X’Y’Z’
Latihan Soal
1. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, sertasederhanakan dengan pengcoveran yang benar:
a. AB + BC’ + A’B’
b. AC + ABC’ + BC + B’C’
c. XY + X’Z + Y’Z’
d. XY + YZ + XZ + X’Y’
e. BC + AD + ABCD + ADC + A’
f. BC + D + AD
2. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, sertasederhanakan dengan pengcoveran yang benar:
a. (B+D)(A+C) + ABD
b. A(BC’ + C) + B(A + A’C)
c. (AC + ABC’).(BC + B’C’)
d. Z(XY + X’Z).Y’Z’(X + Z)
e. A’(B’C + B’C’) + A’BC’
f. B’(CD’ + A’D) + B’C’(A + A’D’)
Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah ke bentuk SOP)