Download - Karmasik sayilar nazlı dalbaşı
KARMAŞIKSAYILAR
Nazlı Dalbaşı10/A 655
A. TanımA. Tanımax2 + bx + c = 0 denkleminin < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önce ortaya koymuştuk. Mesela x2 + 1= 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü (x2 + 1 = 0 x2 = -1 ) karesi -1 olan reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız.
a ve b birer reel sayı ve i = olmak üzere z = a + bi şeklinde ifade edilen
z sayısına karmaşık ( kompleks) sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C =
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel) kısmı, b ye
karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z)=b şeklinde gösterilir.
1
.1,;: diriveRbabiazz .)11( 2 dirii
Örnek ...1izziziz 3,2,2,32 4321
sayıları birer karmaşık sayıdır.
Re(z1) = 2 ve İm(z1) = -3 tür.
Re(z2) = ve İm(z2) = -1 dir.
Re(z3) = -2 ve İm(z3) = 0 dır.
Re(z4) = 0 ve İm(z4) = 3 tür.
iz 321
iz 22 2
23 z
iz 34
B. i nin Kuvvetleri B. i nin Kuvvetleri i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = -i
i4 = 1
i5 = i
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, -i değerlerinden birine eşit olmaktadır.
n N olmak üzere
i4n = 1
i4n+1 = i
i4n+2 = -1
i4n+3 = -i dir.
Örnek ...2 84 = 4.21 olduğu için i84 = 1,
61 = 4.15 + 1 olduğu için i61 = i,
98 = 4.24 + 2 olduğu için i98 = -1
47 = 4.11 + 3 olduğu için i47 = -i dir. Örnek ...3
i2 = -1 olmak üzere
(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22)
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) -i B) -1 C) 0 D) 1 E) i
Çözüm
i20= (i4)5 = 1 , i21= (i4)5.i = i ve
i22= (i4)5.i2 = 1.(-1) = -1 olduğu için,
(1+ i20). (1+ i21). (1+ i22) = (1 + 1). (1 + i). (1 – 1)
= 2. (1 + i). 0
= 0 olur.Cevap C
C. İki Karmaşık Sayının EşitliğiC. İki Karmaşık Sayının EşitliğiReel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
.. 212
1 dirdbvecazzolsundiczbiaz
Örnek ...4
Çözüm
kaçtır?bagöre,olduğuna32
32
21
2
1
zzaibiazibiaz
A) -2 B) -1 C) 2 D) 3 E) 5
olur.3)2(5,göreBuna.2513513
,5322.13322
göre,olduğunave).()32(
).13()2(
21
2
1
badirbbbaveabb
aaadırabbveaa
zziabaz
ibaz
Cevap D
D. Bir Karmaşık Sayının EşleniğiD. Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
.' denireşleniğininzsayısınabiaziçinsayısıkarmaşıkbiaz
Örnek ...5
.53:eşleniğisayısının53.5
.3:eşleniğisayısının3.4
.5:eşleniğisayısının5.3
.32:eşleniğisayısının32.2
.4:eşleniğisayısının41
55
44
33
22
11
diriziz
diriziz
tirzz
türiziz
diriziz.
Reel katsayılı ax2+bx+c=0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri z=m+ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan z=m-ni sayısıdır.
Örnek ...6
x2 - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
.21,21.2121
212162
1.2162
2
,165.1.424
21
2
2,1
22
diriiÇdirixveixise
iia
bx
acb
E. Karmaşık Sayılarda Dört İşlemE. Karmaşık Sayılarda Dört İşlem1. Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ya da çıkarılırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ya da çıkarılır.
diczbiaz
2
1
.)()()()(
21
21
diridbcazzveidbcazz
Örnek ...7
.55)4())3(2()43()2(31)4()32()43()2(
göre,olduğuna432
21
21
21
diriiiiizziiiiizz
izveiz
2. ÇarpmaKarmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
.21 olsundiczvebiaz
)).((. 21 dicbiazz
dbcibdiacaidibcibdiaca
....)1(,.... 22
221111
21
.)).((.
)()(.
bazzbiabiazz
ibcadbdaczz
Örnek ...8
Örnek ...9
?hangisidirerdenaşağıdakilsonucuçarpımının)2.()2( 33 ii
A) 125 B) 64 C) 27 D) 8i E) 4i
Çözüm
.1255
)14()12(
)2).(2()2.()2(
3
3322
333
tir
iiii
Cevap A
yapalım.iişlemlerin..
,göreolduğuna2212
11121
21
zzzzz
izveiz
1. 2. 3.
Çözüm
)2).(21(. 21 iizz
ii
iiii
5)1(252
)1(,242 22
1.
541)21)(21(. 11 iizz2.
.43)1(441441
)2(2.1.21)21(2
2221
oluriiii
iiiz
3.
3. BölmeKarmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılmasıyla sonuçlandırılır.
.21 olsundiczvebiaz
222
1 )()())(())((
dciadbcbdac
dicdicdicbia
dicbia
zz
Örnek ...10
olur.55
41)1(252
21242
)21)(21()21)(2(
212
göre,olduğuna21ve2
22
2
2
1
21
iii
iiiiiii
ii
zz
iziz
z=a+bi sayısının,
toplama işlemine göre tersi : -z = - a – bi
çarpma işlemine göre tersi :
.1122 dir
babia
biaz
Örnek ...11
kaçtır? kısmı imajinern eşleniğinitersinin göre,çarpmayasayısının
3
(sanal)
i
Çözüm
dur.101- kısmıimajiner sayının Bu
dur.1010
3eşleniğibunun için olduğu
10103
193
133
)3)(3(3
31
tersi;göre çarpmayasayısının 3
22
i
iiiii
ii
i
ÇÖZÜMLÜ SORULARSoru ...1
Çözüm
kaçtır? kısmı iner)sanal(imajn eşleniğinisayısının karmaşık zsağlayan eşitliğini
12342 iziz
1312
135
135
1312 1A) B) C) D) E)
tür.135)zİm(
: kısmı sanalsayısının 135
1312
için,olduğu 13
51232
6496)32)(32()32)(23(
3223
23)32(12342
22
2
iz
iz
iiiiiii
iiz
iiziziz
Cevap B
Soru ...2
?hangisidirerden aşağıdakilsonucu çarpımının)3.()3( 1110 ii
202 )3(220 i )3(220 i
)3(210 i )3(210 iE)
A) B) C)
D)
Çözüm
olur.)3(2
)3.()13(
)3.()3)(3(
)3.()3.()3()3.()3(
20
10
10
10101110
i
i
iii
iiiii
Cevap C
Soru ...5 Soru ...6
kaçtır? toplamı göre olduğuna 3 birin köklerinden denklemini
0
üzere,olmak ,,2
cbai-
cbxax
IRcba
A) 5 B) 9 C) 11 D) 15 E) 17
Çözüm
olur.171061 halde, Odır.0106010)6(x
denklemi; 0 göre, Buna
101)3()3)(3(x.x
6)3(3xxdir. 3olan eşleniği
bununkökü diğer ise 3 birin köklerinden denklemini0 katsayılı Reel
22
2
2221
21
2
cbaxxx
cbxax
-i-i
-i-i-i-
i cbxax
Cevap E
kaçtır?z göre, olduğuna
431-
iz
51
52
53
54 1A) B) C) D) E)
Çözüm
olur.515z
için,olduğu 5)4(343
111-
22
z
ziz
Cevap A
Soru ...7 Soru ...8
?hangisidirerden aşağıdakil
eşiti ifadesinin z-z
göre, olduğuna
22
zz
iz
A) –4i B) –2i C) -2 D) -4 E) 4
Çözüm
olur.
zz
için, olduğu
41
442
24
)2(222
22
2
2
222
ii
iiiii
zz
iziz
Cevap D
?hangisidirerden aşağıdakil eşiti ifadesinin11
üzereolmak 150
2
ii
i
Çözüm
.1i-1i1
için,olduğu 2
21)1)(1()1)(1(
11
25050
2
dirii
iiiiiii
ii
Cevap B
A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i
5.