UJIAN TUGAS AKHIR
KAJIAN METODE JACKKNIFE DALAM
MEMBANGUN SELANG KEPERCAYAAN DENGAN
PARAMETER ARMA(p,q)
Disusun oleh :Novan Eko Sudarsono
NRP 1206.100.052
Pembimbing:
Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes
Dra.Laksmi Prita W, M.Si
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBERSURABAYA
2010
PENDAHULUANI
Latar Belakang
Data ResamplingEstimasi
Parameter
Selang Kepercayaan dan peramalan
Peramalan untukperiode yang akan datang
Rumusan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir
ini adalah:
1. Bagaimana membangun selang kepercayaan
berdasarkan metode Jackknife
2. Mendapatkan Peramalan data jumlah laba
bersih PT. Bank Central Asia Tbk, untuk
periode yang akan datang dengan
menggunakan model ARMA(p,q)
Batasan Masalah
Batasan yang digunakan dalam permasalahan tugas akhir ini
adalah adalah :
1. Data yang dipakai adalah data sekunder pada data
laba bersih di PT. Bank Central Asia, Tbk. Pada bulan
Januari 2010 – bulan Agustus 2010 yang didapat
dari data laporan keuangan publikasi bank di website
resmi Bank Indonesia http://www.bi.go.id
2. Distribusi yang digunakan adalah distribusi normal
3. Resampling dilakukan sebanyak 10 kali
Tujuan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah :
1. Mendapatkan selang kepercayaan berdasarkan
metode Jackknife
2. Memperoleh data perkiraan jumlah laba bersih di
PT. Bank Central Asia, Tbk untuk periode yang
akan datang dengan menggunakan model
ARMA(p,q)
Manfaat
Manfaat dalam penulisan tugas akhir ini adalah dapat
memberikan kontribusi penelitian dalam bidang riset
operasi dan simulasi yang berhubungan dengan metode
jackknife serta memberikan informasi kepada pihak
terkait khususnya PT. Bank Central Asia, Tbk. Tentang
laba bersih yang mungkin akan didapatkan untuk
periode mendatang
TINJAUAN PUSTAKAII
METODE RESAMPLING JACKKNIFE
Metode Resampling Jackknife diciptakan oleh Quenouille pada
tahun 1949 yang mempunyai tujuan mengoreksi kemungkinan yang
bias dari untuk nilai n kecil. Tukey pada tahun 1958
mengumumkan bahwa prosedur dalam resampling Jackknife dapat
digunakan untuk membangun selang kepercayaan yang baik untuk
berbagai macam variasi dari estimator .
Rumus dasar dari Resampling Jackknife adalah , jika diberikan
yang ditetapkan sebagai estimator dari sampel ,
nilai bayangan ke-i dari adalah :
Yang mana, mempunyai arti bahwa sampel dengan
nilai ke-i dari dihapus dari sampel, sehingga merupakan sampel
yang berukuran n-1
MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)
MLE dilakukan dengan memaksimumkan fungsi likelihood,
pada dasarnya estimasi parameter dengan menggunakan
MLE meliputi dua tahap, yaitu mengkontruksi fungsi
Likelihood dan memperoleh fungsi Likelihood tersebut.
Misalkan x variabel random dengan fungsi probabilitas
merupakan himpunan parameter yang tidak diketahui dan
saling independent maka pengkontruksian fungsi likelihood
dapat dinyatakan dengan
MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)
Pengkontruksian fungsi Likelihood seperti pada persamaan diatas tidak
dapat dilakukan pada kasus Jackknife karena data pengamatan pada
Jackknife saling dependent, oleh karena itu fungsi likelihood pada
kasus time series dikonstruksi melalui perkalian dari distribusi-distribusi
bersyarat yang dapat dinyatakan dengan
Dimana adalah distribusi bersyarat untuk suatu nilai
tertentu, Sebagai fungsi Likelihood dikonstruksi langkah
selanjutnya adalah mencari nilai estimator yang memaksimumkan
fungsi Likelihood tersebut dalam hal ini memaksimumkan fungsi
Likelihood dilakukan dengan menurunkan fungsi Likelihood terhadap
parameter, kemudian persamaan hasil turunan tersebut
disamadengankan dengan nol, sehingga dapat diperoleh nilai estimasi
parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut.
SELANG KEPERCAYAAN
Selang kepercayaan adalah sebuah interval yang
berdasarkan observasi sampel dan terdapat probabilitas
yang ditentukan. Interval mengandung nilai parameter
sebenarnya yang tidak diketahui Derajat kemungkinan
tersebut dinyatakan dengan tingkat kepercayaan
(confidence level) misalnya 95% atau 99% Jika tingkat
kepercayaannya tinggi dan menghasilkan interval yang
sempit maka nilai parameter tersebut dapat dikatakan
presisi. Probabilitas bahwa nilai variable acak berada
dalam batas dan adalah
Probabilitas selang kepercayaan dengan selang
kepercayaan sebesar untuk adalah :
Time Series : pengamatan yang diambil berdasarkan
urutan waktu dan antara pengamatan yang berdekatan
saling berkorelasi.
Pemeriksaan kestasioneran:
1. Stasioner dalam mean nampak pada plot time series
data akan tampak berfluktuasi di sekitar garis yang
sejajar sumbu waktu (t). Data yang tidak stasioner
dalam mean perlu dilakukan pembedaan (differencing).
2. Stasioner dalam varian nampak pada plot time series
simpangan data tidak terlalu besar atau variannya tidak
dipengaruhi deret waktu. Data yang tidak stasioner
dalam varian perlu dilakukan proses transformasi Box-
Cox [8].
Uji Signifikan Parameter
• Hipotesis
(parameter tidak signifikan)
(parameter signifikan)
Statistik uji
H0 ditolak jika atau
Artinya parameter signifikan
Uji Residual Bersifat white noise
Hipotesis
(Residual bersifat white noise)
(Residual tidak bersifat white
noise)
Statistik uji
H0 ditolak jika atau
Artinya residual tidak bersifat white noise
• Uji Residual Berdistribusi Normal
Hipotesis
(Residual berdistribusi normal)
(Residual tidak berdistribusi
normal)
Statistik uji
H0 ditolak jika atau
Artinya residual tidak berdistribusi normal
• In-sample
1. AIC (Akaike’s Information Criterion)
2. SBC (Schwartz,s Bayesian Criterion)
• Out-sample
1. MSE
2. MAPE
METODOLOGIIII
Metodologi
Mendapatkan estimasi parameter
Menguji Estimasi Parameter Menggunakan MLE
Menguji Estimasi Parameter Menggunakan unbiassed estimation
Membangun Selang Kepercayaan
Menguraikan teori dasar
Mencari sifat-sifat dari Metode Jackknife
Studi literatur
Mulai
A
A
Penentuan Banyak Data
Data < 30
Resampling
Jackknife Yang Lainnya
Membuat Plot Seluruh data
Data > 30
Data Sudah Stationer Dalam Varian
Tidak
Box-Cox
ACF+PACF
Ya
B
Metodologi (Lanjutan) B
Estimasi dan Pengujian Parameter
Residual White Noise
Penentuan Model
Tidak
Residual Berdistribusi Normal
Pengujian In Sampel
Model Terbaik
Hasil Peramalan
Selesai
PEMBAHASANIV
Bentuk umum resampling Jackknife
• Mean dari sampel asli adalah :
• Berdasarkan tabel nilai untuk setiap hasil resampling
bergantung kepada hasil resampling sebelumnya,
sehingga
• Dan rata-rata untuk setiap hasil resampling yang didapat
adalah :
• rata-rata dari seluruh hasil resamplingnya adalah
• Maximum Likelihood Estimation
pdf bersamanya adalah
Pengkontruksian MLE
MLE untuk mean
MLE untuk Varian
Misalkan , maka akan menjadi
Karena maka :
Unbiassed Estimator
• Pengujian unbiassed estimator pertama dilakukan untuk
menguji apakah terdapat error pada saat
• Karena dalam resampling Jackknife setiap data dalam
satu resampling bersifat independen maka
• Dalam pengamatan ke- bersyarat untuk untuk
tertentu berarti memperlakukan variabel random sebagai
variabel random yang tertentu, sehingga
• Pengujian unbiassed estimator kedua dilakukan untuk
menguji apakah terdapat error pada saat
• Karena maka :
• Sehingga adalah estimator bias dari , untuk
menjadikannya tak bias maka dapat dilakukan langkah-
langkah sebagai berikut
• Jadi adalah unbiassed estimator untuk
Selang Kepercayaan
• Selang Kepercayaan nya adalah
• Sehingga selang kepercayaannya adalah
Peramalan data
• Penentuan suatu data stasioner atau tidak dalam varian,
perlu dilakukan dengan plot time series dan box-cox,
Bentuk plot time series dan box-cox nya sebagai berikut
• Time series plot Box Cox Plot
• Dari plot box-cox diperoleh maka belum stasioner
dalam varian, sehingga untuk mengatasinya diperlukan
transformasi dengan sehingga memperoleh plot
time series dan plot box-cox sebagai berikut :
• Time series Transformation Box Cox Transformation
Plot ACF Plot PACF
• Tabel Kesignifikanan
Model Parameter EstimasiStandart
Errort hitung P-value
(0,1) -0,85053 0,05939 -14,32 < .0001
(2,1)
1,72908
-0,72908
0,85523
0,26344
0,26197
0,20863
6,56
-2,78
4,10
< .0001
0,0068
0,0001
([5,6],1)
0,39147
0,57013
-0,68407
0,12705
0,12698
0,09964
3,08
4,49
-6,87
0,0029
< .0001
< .0001
(1,0) 0,98589 0,02260 43,62 < .0001
Uji Asumsi Residual White Noise
Model Lag Q DF Pr>ChiSq Ket
(1,0)
6
12
18
24
2,48
6,72
7,01
7,05
11,0705
19,6751
27,5871
35,1725
5
11
17
23
0,7789
0,8210
0,9835
0,9994
White
noise
(0,1)
6
12
18
24
334,12
648,04
937,69
1200,74
11,0705
19,6751
27,5871
35,1725
5
11
17
23
< .0001
< .0001
< .0001
< .0001
Tidak
White
noise
(2,1)
6
12
18
24
1,17
5,21
5,52
5,53
7,81473
16,9190
28,8693
32,6705
3
9
15
21
0,7595
0,8159
0,9867
0,9997
White
noise
([5,6],1)
6
12
18
24
35,08
41,48
42,88
42,99
7,81473
16,9190
28,8693
32,6705
3
9
15
21
< .0001
< .0001
0,0002
0,0032
Tidak
White
noise
• Uji Kenormalan
• Dengan tidak mempertimbangkan uji asumsi residual
normal maka diperoleh model yang memenuhi adalah
model ARMA(1,0) dan ARMA(2,1) sehingga untuk
menentukan model terbaik maka perlu dilakukan
pengujian in-sample dengan membandingkan nilai AIC
sebagai berikut :
• Nilai AIC
Model P-value Keputusan Kesimpulan
(1,0) < 0,0100 Tolak Tidak Normal
(2,1) < 0,0100 Tolak Tidak Normal
Model Nilai AIC
(1,0) 6367,27
(2,1) 6367,864
• Hasil Peramalan
PeriodeHasil
Peramalan
Data
TransformasiL95 U95
81 2,233963E17 2949,953669 2659,23 3157,43
82 2,202432E17 2941,5789 2477,14 3221,95
83 2,171346E17 2933,227896 2288,11 3265,91
84 2,140699E17 2924,900665 2058,98 3299,63
85 2,110484E17 2916,59692 1706,13 3327,02
86 2,080696E17 2908,316897 1421,33 3350,04
87 2,051328E17 2900,060256 1892,68 3369,83
PENUTUPV
• Kesimpulan
• Metode resampling Jackknife yang dilakukan dengan
menggunakan pengestimasian dengan dua metode yaitu
Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Unbiassed
Estimation menghasilkan
• Maximum Likelihood Estimation
Untuk mean :
Untuk varian :
Unbiassed Estimator
Untuk mean :
Untuk varian :
• Sehingga dari hasil pengestimasian secara MLE dan
unbiassed estimation dibuat selang kepercayaan
100% untuk dengan dan s yang merupakan rataan
dan simpangan dari suatu populasi adalah :
• Hasil Ramalan Tahun Periode Peramalan
2010
September 2949,953669
Oktober 2941,5789
November 2933,227896
Desember 2924,900665
2011
Januari 2916,59692
Februari 2908,316897
Maret 2900,060256
Saran
Saran yang dapat diberikan pada penelitian berikutnya
adalah Menggunakan metode Resampling yang
lainnya seperti metode resampling Bootstrap,
sehingga hasilnya bisa dibandingkan untuk
mengetahui keakuratan hasilnya.
DAFTAR PUSTAKA
Daftar Pustaka
Amstrong, J.Scout. 2002. Prinsiples of Forecasting. Kluwer Academic
Publishing.
Atiqoh Zahroh. 2005. Estimasi Parameter Arma Untuk Peramalan Debit Air
Sungai Menggunakan Goal Programming. Jurusan Matematika ITS.
Surabaya
Cahyaningrum Puspasari, 2003. Kajian Estimasi Parameter Model ARMA.
Jurusan Matematika ITS. Surabaya.
Efron Bradley, 1994. The Jackknife, The Bootstrap and The Other
Resampling Plans, Department of Statistics Stanford University
Makridakis, W. M. G. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi kedua.
Bina Rupa Aksara. Jakarta.
Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S. 2003. Analisis Time Series.
Surabaya: Jurusan Statistik ITS
Sawyer. S, 2005. Resampling Data: Using a Statistical Jackknife,
Washington University
Wei, W.W.S. 1990. “Time Series Analysis : Univariate and Multivariate
Methods”. United State of America : Addison-Wesley Publishing Company.