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Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011
Une phase méconnuedes pratiques algorithmiques
(IXe-XVe siècles)
Ahmed DJEBBARUniversité des Sciences et des Technologies de Lille
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Les algorithmes de la tradition arabe(IXe-XVe s.)
Un ensemble d’instructions pour :
- Calculer une solution exacte ou appro-chée d’un problème
- Réaliser une construction
- Etablir un résultat
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Origine du mot algorithme
Algorithme
Algoritmus
Algorismus
Alchorismus
Al-Khwarizmi
الخوارزمي
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Les sources de l’algorithmique arabe
• Pratiques locales (arabes, persanes, égyptiennes, mésopotamienne)
• Tradition indienne
• Tradition chinoise (?)
• Tradition grecque (?)
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SAVOIR-FAIRE SAVOIR SAVANT
* Deux traditions :- algorithmique
- hypothético-déductive
* Deux types de pratiques :- orales et instrumentales (mental & digital)
- écrites :
# Takht
# Papier
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LES NUMERATIONS
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OPERATIONS DU CALCUL
• Multiplication
• Division
• Addition
• Soustraction
• Procédés d’approximation des fractions
• Racine carrée exacte et approchée
• Racine cubique exacte et approchée
• Racine nième
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Procédures arithmétiques
• Test de primalité• Test pour déterminer les carrés et
les cubes parfaits• Détermination des nombres
parfaits• Détermination des nombres
amiables
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Procédures trigonométriques
• Calcul de • Calcul de sin(1°), à partir de sin(3°)
• Résolution de « l’équation de Kepler »
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Formules du calcul mental
15n = 10n + (10n)/2
14n = 15n – n
16n = 15n + n
25n = (100n)/4
10m/10n = 10m-n
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Formules du calcul mental(suite)
ab = [(a+b)/2]2 – [(a-b)/2]2
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Algorithmes pour le takht
• Produit avec translation et effaçage (debout ou couché)
• Produit avec semi-translation (n2)
• Produit sans translation- Technique du tableau
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ALGORITHMES POUR LE CALCUL APPROCHE
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Approximation d’une fraction
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Méthode d’Abû l-Wafâ (m. 997)
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Test pour les carrés et les cubes parfaits
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Racine carrée approchée
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Racine cubique approchée
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Racine pième
rna p
ppp
nnr
na
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1
1
0)1(
pk
k
kkp
pp nann
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PROCEDES D’INTERPOLATION
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Al-Kashi, sin1°
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CARRES MAGIQUES
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Algorithmes de résolution de problèmes
Algorithmes mentaux
• Déterminer un ou plusieurs nombres pensés
• Rechercher une ou deux bagues cachées
• Déterminer le doigt qui porte la bague
• Déterminer le nom du mois pensé ou le signe du zodiaque
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Procédé de l’inverse
2(2(2x-1)-1) = 1
1 1/2 1 + 1/2 = 3/2 3/2 + 1 = 7/4 (7/4)/2 = 7/8 = le capital
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P(x) = b;
P(x1) = b1;
P(x2) = b2
[x1(b – b2) – x2(b – b1)]/(b1 –b2) = x
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L’algorithme algébrique
Un bien et dix racines égalent trente neuf dirhams
1. Tu divises les racines par deux : ce sera cinq dans ce problème;
2. Tu le multiplies par lui-même : ce sera vingt cinq;3. Tu l’ajoutes à trente neuf : cela donnera vingt cinq;4. Tu prends alors sa racine carrée : ce sera huit;5. Tu en retrancheras la moitié des racines qui est cinq :
il restera trois.6. C’est la racine du bien que tu cherches;7. Le bien est neuf.
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Problème babylonien(1750 av. J. C.)
Problème d'Ibn ôAbdn(Xe siècle)
Enoncé:J'ai additionné la surface et <le côté>, mon carré : 0; 45.
Résolution :* tu poses 1, l'unité,
* tu fractionnes 1 en deux : 0; 30,* tu multiplies 0; 30 et 0; 30: 0; 15,
* tu ajoutes 0; 15 à 0; 45: 1,
* 1 est le carré de 1,* 0; 30 que tu as multiplié, de 1 tu le soustrais: 0; 30,* 0; 30 est le <côté du> carré.
Enoncé:Si on te dit: nous avons additionné ses côtés et sa surface, il en ait résulté cent quarante. Combien <vaut> chacun de ses côtés ?
Résolution:* tu additionnes le nombre des côtés, et c'est quatre,* tu prends alors sa moitié, et c'est deux,* tu le multiplies par lui-même, et c'est quatre,* tu l'ajoutes à cent quarante, et c'est cent quarante quatre,* tu prends la racine, et c'est douze,* tu ôtes de ce qui reste la moitié de quatre,* c'est alors <la valeur de> chacun de ses côtés.
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Solutions exactes ou approchées d’équations trigonométriques ou algébriques du 3e degré
Habash al-Hâsib (IXe s.)
Al-Khayyâm
Sharaf ad-Dîn at-Tûsî (procédé de Ruffini-Hörner)
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Algorithmes et optimisation
• Produit par translation :
Pour un nombre à n chiffres, il y a n2 produits et n(n-1) translations.
• Produit par semi-translation :
Pour un nombre à n chiffres, il y a n(n+1)/2 produits et n(n-1)/2 translations.
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Approximation de
Al-Kashi : ar-Risala al-muhitiyya [L’épître sur le cercle]
• Méthode des polygones avec moyenne arithmétique.
• Utilisation d’un polygone dont le nombre de côté est 3.228 = 805.306.368
• Valeur approchée de :
2
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Optimisation de l’approximation de
• Choix préalable de la marge d’erreur :
• = 1/12 de millimètre
• « La circonférence d’un cercle doit être exprimée en fonction du diamètre avec une précision telle que l’erreur sur la longueur de la circonférence d’un cercle, dont le diamètre est égal à 600.000 fois le diamètre de la Terre, ne dépasse pas l’épaisseur d’un crin de cheval ».
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JUSTIFICATION
DES ALGORITHMES
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![Page 45: Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081520/56814c5f550346895db98125/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081520/56814c5f550346895db98125/html5/thumbnails/46.jpg)
Preuve de Qusta Ibn Luqa
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![Page 48: Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081520/56814c5f550346895db98125/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022081520/56814c5f550346895db98125/html5/thumbnails/49.jpg)
Justification du procédé d’extraction de la racine
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Algorithmes de la racine cubique
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