Download - Jessica dugarte
Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Departamento de Medición y Evaluación
Cátedra: Álgebra I
Profesor: Francisco Rivero.
Br. Dugarte Jessica V –
18.209.101
Educación mención
Matemática.
Mérida, marzo de 2011.
Los objetivos de esta
unidad son:
Manejar los vectores
con soltura y operar con
ellos gráficamente y en
coordenadas.
Utilizar los vectores para
resolver problemas de
álgebra y geometría
analítica.
Utilizar los medios
tecnológicos para resolver
y comprobar soluciones en
problemas geométricos.
CONCEPTOS
• Vectores fijos y libres.
Equipolencia de vectores fijos.
• Vector de posición de un
punto del plano.
• Módulo de un vector.
Distancia entre dos puntos.
• Adición de vectores.
• Producto de un vector por
un número real.
• Problemas métricos. Punto
medio de un segmento.
• Vectores paralelos y
perpendiculares.
Construcción de vectores que verifiquen ciertas condiciones sobre su módulo,
dirección y sentido.
Obtención de las coordenadas de un vector como diferencia entre las
coordenadas del extremo menos las del origen.
Identificación de vectores fijos equipolentes.
Obtención de la expresión del módulo de un vector y aplicación al cálculo de la
distancia entre dos puntos.
Uso de las operaciones con vectores para obtener nuevos vectores,
representando gráficamente y calculando sus coordenadas.
Relación entre las coordenadas de un vector y otro perpendicular a él a partir de
sus coordenadas.
Determinación de las coordenadas del punto medio de un segmento, en función
de las coordenadas de los puntos extremo y origen.
Formulación, planteamiento y resolución de problemas.
Sesión 1:
Vectores fijos. Vector de posición de un punto del plano. Equipolencia
de vectores fijos. Vectores libres.
Comenzamos la
sesión planteando
una actividad de
introducción.
Dibujaremos en la
pizarra el trazado de
un circuito y
propondremos a los
estudiantes que
dibujen la
trayectoria que les
parece más
beneficiosa para
ganar la carrera.
A partir de esta idea
podemos definir los
vectores fijos,
indicando que se
representan mediante
una flecha que tienen
un punto inicial
(origen) y otro final
(extremo) de modo
que representan un
movimiento. Así el
vector representa el
movimiento desde el
punto A hasta el
punto B.
A B
Y estará
caracterizado por el
módulo: longitud,
la dirección: la
recta que define
y el sentido: en que
la recorre.Los estudiantes
conocerán tanto la
nomenclatura
asociada a los
vectores como la
notación y simbología
adecuada.
Sesión 2:
Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.
Comenzamos la sesión resolviendo dudas y revisando y
corrigiendo las actividades propuestas el día anterior.
La parte central de la sesión la dedicaremos a deducir, mediante el
Teorema de Pitágoras, la fórmula de cálculo del módulo de un vector,
observaremos que entre las coordenadas del vector y el mismo se forma un
triángulo rectángulo.
Haremos ejemplos de este tipo si = (2, 2) 22822 22AB
Sesión 3:
Operaciones con Vectores
Comenzaremos con el producto de vectores por un número.
Definiremos también la suma de dos vectores indicando que
geométricamente significa hacer un movimiento, , y después el otro, , así
el resultado irá desde el origen del primer vector al extremo del segundo.
En general definiremos la resta de vectores coordenada a coordenada
de forma análoga a la suma, así, .
wv
v w
3,221,132,11,3wv
Sesión 4:
Aplicaciones
Dedicaremos el resto de la sesión a plantear y resolver problemas
relacionados con el punto medio de un segmento, puntos intermedios,
determinar cuándo tres o más puntos están alineados, etc.
También deduciremos gráficamente cuando dos vectores son
perpendiculares, como aplicación del teorema de Pitágoras y como
consecuencia de la resta de vectores.
Estableceremos la relación entre sus componentes de forma que si
Pondremos algún ejemplo con números y en el tiempo restante haremos
actividades del tipo de la hoja N 4 y propondremos, para casa actividades del
mismo tipo.
),( bav abv ,
HOJA N 4
1.- Dado el segmento de extremos P (4,3) y Q (2, 5) halla las coordenadas de su punto medio.
2.- El punto P (2, 3) es el punto medio del segmento AB, y conocemos A (1, 8). Halla B.
3.- Dado el segmento de extremos A (2, 5) y B (7, 9), halla las coordenadas de un punto P, tal
que
4.- Dado el segmento determinado los puntos P (6, 8) y R (x, y) sabemos que el punto Q (9, 2)
está situado a una distancia de P igual a las tres séptimas partes de la longitud del segmento
total, hallar las coordenadas de R.
5.- Se quiere construir un supermercado entre dos ciudades A y B. Lo ideal sería que estuviese a
la misma distancia de las dos ciudades para que ningún ciudadano se pudiera ofender y
asegurarse así, el favor de todos los vecinos. Si en un plano las coordenadas de las ciudades
son A (1, –2) y B (3, 7). ¿Podrías decir el punto exacto donde debe situarse el supermercado?
6.- Los puntos del plano A (1, 2), B (1, 5) y C (4, 2), ¿Forman un triángulo? ¿De qué tipo es?
7.- Los puntos A (– 1, –4), B (3, 1) y C (– 2, 5) son los vértices de un triángulo. Calcula su
perímetro y di de qué tipo es: equilátero, isósceles o escaleno. ¿Es rectángulo?
8.- Si M es el punto medio del segmento AB, y las coordenadas de B son (5, -2) ¿Cuáles
son las coordenadas de A?
ABAP2
5
2
5,3
Sesión 5:
Repaso
En atención a la diversidad en el aula propondré actividades de ampliación y
de refuerzo. Además esta sesión servirá de síntesis por lo que se revisarán
todos los contenidos tratados en la unidad.
En esta sesión trataremos todos los objetivos y contenidos. Además nos
servirá para organizar la sesión siguiente que se llevará a cabo en el aula de
informática del centro educativo.
Sesión 6:
CABRI/DERIVE
En esta sesión haremos uso de las tecnologías de la información y la comunicación
desarrollando una sesión interactiva en la que se refuercen y repasen los contenidos
tratados en la unidad.
Tendremos en cuenta la sesión de repaso para insistir en los contenidos en que
hayamos observado que los estudiantes tienen más dudas y profundizaremos en
aquellos que nos lo permitan. Para ello usaremos Internet visitando la página del
Proyecto Descartes, buscando el índice de unidades didácticas de secundaria y
haciendo clic en Vectores nos aparecerá un índice con diferentes actividades para
trabajar los conceptos de esta unidad.
Con el software geométrico Cabri-Geómetre haremos actividades del tipo de la hoja
N 5.
HOJA N 5
HOJA CABRI
1.- El módulo de es 5 y el de es 6 ¿Podemos saber sólo con esos datos cuál es el módulo de
+ ? Dibuja, si es posible, los vectores y de modo que:
El módulo de + sea igual a 11.
El módulo de + sea menor que 11.
El módulo de + sea mayor que 11.
2.- Dibuja el punto medio del segmento de extremos A (2, 5) y B (7, 9), utilizando dos formas
diferentes para la construcción.
3.- Dibuja un heptágono regular, nombra con letras mayúsculas sus vértices y observa los
vectores que determinan sus lados, ¿qué observas respecto a sus direcciones y módulos?
Haz lo mismo con un octógono y anota en tu cuaderno lo que has observado.
4.- Inventa dos vectores , y determina gráficamente los vectores + , 2 , – ,
3 + 5 y – 3 .
5.- Sitúa tres punto A, B y C cualesquiera,
¿Cómo puedes determinar el punto D para que al unirlos obtengas un paralelogramo ABCD?
Determina su perímetro.
Determina su área.
Marca los puntos medios de sus lados y únelos, ¿qué figura se obtiene?
Determina la relación entre los perímetros y áreas de los dos cuadriláteros obtenidos.
a b a b
a b
a
a
a b
b
b
a a ab b ba
a b b
EXÁMEN
1.- (4 puntos)Si es un representante del vector libre hallar las coordenadas
del punto A conocidas las de B (-1, -5).
2.- (4 puntos) Dados el vector , calcula el valor de x para que su módulo sea 5.
3.- (4 puntos) Dados los vectores , y , calcula:
2 -
3
+ 2
4.- (3 puntos) De qué tipo es el triángulo de vértices A (-4, 1), B (6, 3) y C (-2, -3).
5.- (4 punto) Dados los puntos A (3, 0), B (1, 4), C (-1, 3) y D (-1, -2), calcula la
diagonal del cuadrilátero formado por dichos puntos.
6.- (1 punto) Sean los puntos A, B, C ¿Cómo puedes saber si están alineados?
AB 2,3v
),4( xv
)4,3(a
)2,4(b
)0,1(c
b a
c
b2
3c
AC