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Introdução aos Métodos Numéricos
Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação
Otton Teixeira da Silveira Filho
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Conteúdo específico
● Integração Numérica
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Conteúdo temático
● Conceitos básicos
● Interpretação geométrica da integral definida
● Definição de Riemann para a integral
● Regra dos Retângulos
● Regra dos Trapézios
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Integração numérica
Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja,
∫a
b
f (x)dx
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Integração numérica
Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja,
mas porque e em que situações faríamos isto?
∫a
b
f (x)dx
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Integração numérica
i) Quando o integrando não tem primitiva elementar como em
ou nas funções∫a
b
ex2
dx ;∫a
b
x tan x dx
Si(x)=∫0
xsentt
dt ;Γ(z )=∫0
∞
x z−1e−xdx
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Integração numérica
ii) Quando o integrando for muito complicado
∫a
bsen x e x
−cos2 x e−x+ch x sh3 x
sen x ch x+ x e−x sh x cos xdx
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Integração numérica
iii) Quando a função for dada por pontos
x f(x)
0,12358 12,45678
0,14567 13,47893
0,15678 15,55678
0,21001 15,21145
0,27113 14,31268
0,31897 13,11387
. .
. .
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Integração numérica
Aviso
Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador
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Integração numérica
Aviso
Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador
Lembrem-se das questões que discutimos em interpolação
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Interpretação geométrica
Para facilitar o entendimento tenhamos em mente a interpretação geométrica da integral, ou seja,
é equivalente aI=∫a
b
f (x)dx
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Teorema do valr médio para integrais
Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que sendo f(x) integrável no intervalo [a,b] então existe pelo menos um ponto c dentro deste intervalo tal que
ou seja, se soubermos qual é este ponto c então a integral é igual à área do retângulo de base b-a e altura f(c)
I=∫a
b
f (x)dx=(b−a ) f (c)
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Teorema do valr médio para integrais
Geometricamente é algo assim
no exemplo temos três pontos que satisfazem o teorema
I=∫a
b
f (x)dx=(b−a ) f (c)
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Teorema do valr médio para integrais
Como você deve estar suspeitando, encontrar este ponto c não é nada fácil.
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Integral de Riemann
Temos também a definição da Integral de Riemann
é equivalente a
onde h é a base de cada retângulo
I=∫a
b
f (x)dx=limh→0
∑i→∞
h f (a+i h)
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Integração numérica
Claro que esta definição não é útil numericamente com estes limites de h tendendo a zero e o número de retângulos tendendo ao infinito. Mas a definição da integral de Riemann nos sugere coisas interessantes...
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Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
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Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples
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Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples
● Somamos as áreas obtidas
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Integração numérica
● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos
● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples
● Somamos as áreas obtidas
● Chamaremos a fórmula obtida desta forma de Regra Composta pois será feita pela composição das áreas de cada subintervalo
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Integração numérica
Trabalharemos inicialmente sobre a regra de integração em cada subintervalo inicialmente inspirada na definição da integral de Riemann
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Integração numérica
Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração
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Integração numérica
Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração
Isto simplifica os algoritmos mas é bom observar que é uma limitação artificial que impomos
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Retângulos
Método dos Retângulos
Vamos calcular uma aproximação da integral usando um retângulo
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Retângulos
Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo.
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Retângulos
Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo.
Tecnicamente falando, poderíamos usar qualquer ponto do subintervalo para este cálculo
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Retângulos
A área aproximada é
Observe que a precisão visualmente é bem ruim mas facilitará pensarmos mais além
R1=(b−a) f (a)
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Retângulos
Agora usemos dois retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração
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Retângulos
A área aproximada é
ou
A precisão continua não sendo boa visualmente
R2=b−a
2f (a)+
b−a2
f (a+b−a
2 )
R2=b−a
2 [ f (a)+f (a+b−a
2 ) ]
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Retângulos
Agora usemos três retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração
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Retângulos
A área aproximada é
ou
As coisas estão visualmente melhorando embora lentamente
R3=b−a
3f (a)+
b−a3
f (a+b−a
3 )+ b−a3
f (a+2b−a
3 )
R3=b−a
3 [ f (a)+ f (a+b−a
3 )+ f (a+2b−a
3 ) ]
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Integração numérica
Façamos uma releitura do que fizemos:
● Integramos cada subintervalo como se a função fosse constante, ou seja, um polinômio de grau 0
● Somamos as áreas de cada subintervalo para obtermos uma aproximação da integral original
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Retângulos
Continuando este processo obteríamos para n retângulos
uma versão finita da fórmula de Riemann.
Rn=hn [ f (a)+ f (a+hn )+ f (a+2hn )+⋯+ f (a+(n−1)hn ) ]=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn); hn=b−an
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Integração numérica
Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio
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Integração numérica
Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio
Torna-se natural pensarmos em criar um método similar ao dos retângulos mas usando polinômios de grau mais alto
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Trapézios
Método dos Trapézios
Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b].
Tecnicamente falando, não é claro quais dos pontos do intervalo deveremos usar
Arbitrariamente usaremos os extremos do intervalo de integração
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Trapézios
Método dos Trapézios
Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b] usando os pontos extremos do intervalo
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Trapézios
Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral.
Mas aqui temos uma facilidade.
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Trapézios
Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral.
Mas aqui temos uma facilidade. Observe que a área que queremos calcular é a área de um trapézio. Assim teremos
T 1=f (a)+f (b)
2(b−a)=
b−a2
[ f (a)+ f (b)]
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Trapézios
Agora vamos calcular uma aproximação da integral com dois trapézios, ou seja, dois subintervalos
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Trapézios
Somemos as áreas
T 2=f (a)+ f (a+(b−a)/2)
2b−a
2+
f (a+(b−a)/2)+f (b)
2b−a
2
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Trapézios
Somemos as áreas
ou
T 2=f (a)+ f (a+(b−a)/2)
2b−a
2+
f (a+(b−a)/2)+f (b)
2b−a
2
T 2=12
b−a2 [ f (a)+ f (b)+2 f (a+
b−a2 ) ]
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Trapézios
Para simplificar escreveremos
T 2=h2
2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h2 ) ] ;h2=b−a
2
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Trapézios
Continuemos o procedimento agora com três subintervalo
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Trapézios
Teremos aqui para a soma das áreas
T 3=f (a)+ f (a+h3)
2h3+
f (a+h3)+ f (a+2h3)
2h3+
f (a+2h3)+ f (b)
2h3 ;h3=
b−a3
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Trapézios
Teremos aqui para a soma das áreas
ou
T 3=f (a)+ f (a+h3)
2h3+
f (a+h3)+ f (a+2h3)
2h3+
f (a+2h3)+ f (b)
2h3 ;h3=
b−a3
T 3=h3
2 [ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3 )+2 f (a+2h3 ) ]
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Trapézios
Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos
T n=hn
2 [ f (a)+f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
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Trapézios
Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos
Vamos a um exercício
T n=hn
2 [ f (a)+f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
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Integração numérica – Um exemplo
Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios
∫1
2dxx
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Integração numérica – Um exemplo
Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios
Aqui a = 1, b = 2 e
∫1
2dxx
f (x)=1x
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Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Um retângulo
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R1=h1 f (a);h1=b−a
1=
2−11
=1
R1=1 f (1)=111=1
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Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Dois retângulos
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R2=h2 [ f (a)+f (a+h2) ] ;h2=b−a
2=
2−12
=12
R2=12 [ f (1)+ f (1+
12) ]=1
2 [ 11 +1
3 /2 ]=12 [1+
23 ]=5
6=0,833
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Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Três retângulos
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R3=h3 [ f (a)+ f (a+h3)+f (a+2h3) ] ;h3=b−a
3=
2−13
=13
R3=13 [ f (1)+ f (1+
13)+ f (1+
23) ]= 1
3 [ 11+1
4 /3+
15 /3 ]=1
3 [1+34+
35 ]= 47
60=0,78 33
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Integração numérica – Um exemplo
Façamos por retângulos
Quatro retângulos
Rn=hn∑i=0
n−1
f (a+i hn);hn=b−an
; f (x)= 1x
R4=h4 [ f (a)+ f (a+h4)+f (a+2h4)+ f (a+3h4) ] ;h4=b−a
4=
2−14
=14
R4=14 [ f (1)+ f (1+
14)+ f (1+
24)+f (1+
34)]=1
4 [ 11+
15 /4
+1
6/4+
17 /4 ]=1
3 [1+45+
46+
47 ]=0,759523
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Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523
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Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
Há uma evolução nos valores mas é lenta e ainda não temos uma ideia boa do valor da integral
Partamos para o método dos Trapézios
R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Um trapézio
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 1=h1
2[ f (a)+ f (b) ] ;h1=
b−a1
=2−1
1=1
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Um trapézio
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 1=h1
2[ f (a)+ f (b) ] ;h1=
b−a1
=2−1
1=1
T 1=12
[ f (1)+ f (2)]=12 ( 11 +
12 )=3
4=0,75
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Dois trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 2=h2
2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=2−1
2=
12
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Dois trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 2=h2
2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=
b−a2
=2−1
2=
12
T 2=12
12
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1/2) ]=14 ( 1
1+
12+
23/2 )= 1
4 (1+12+
43 )=17
24=0,70833
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Três trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 3=h3
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3)+2 f (a+2h3) ] ; h3=
b−a3
=2−1
3=
13
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Três trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 3=h3
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3)+2 f (a+2h3) ] ; h3=
b−a3
=2−1
3=
13
T 3=12
13
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /3)+2 f (1+2 /3)]=14 ( 1
1+
12+
24 /3
+2
5 /3 )=16 (1+
12+
64+
65 )= 7
10=0,7
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Quatro trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 4=h4
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=
b−a4
=2−1
4=
14
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Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Quatro trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 4=h4
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=
b−a4
=2−1
4=
14
T 4=12
14
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /4)+2 f (1+2 /4)+2 f (1+3 /4) ]
![Page 65: Introdução aos Métodos Numéricosotton/graduacao/introducaonumericos/...Teorema do valr médio para integrais Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051903/5ff3737866072f3edb7c2f36/html5/thumbnails/65.jpg)
Integração numérica – Um exemplo
Trapézios
Quatro trapézios
T n=hn
2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1
n−1
f (a+i hn ) ] ;hn=b−an
; f (x )=1x
T 4=h4
2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=
b−a4
=2−1
4=
14
T 4=12
14
[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /4)+2 f (1+2 /4)+2 f (1+3 /4) ]
T 4=18 ( 11 +
12+
25 /4
+2
6 /4+
27 /4 )=1
8 (1+12+
85+
86+
87 )=0,697023
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Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é
T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023
![Page 67: Introdução aos Métodos Numéricosotton/graduacao/introducaonumericos/...Teorema do valr médio para integrais Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051903/5ff3737866072f3edb7c2f36/html5/thumbnails/67.jpg)
Integração numérica – Um exemplo
Observemos os valores obtidos
Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é
T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023
∫1
2dxx
=ln(2)≈0,693147
![Page 68: Introdução aos Métodos Numéricosotton/graduacao/introducaonumericos/...Teorema do valr médio para integrais Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051903/5ff3737866072f3edb7c2f36/html5/thumbnails/68.jpg)
Integração numérica – Um exemplo
Comparemos os resultados
Indiscutivelmente o resultado do Método dos Trapézios é bem melhor com um esforço computacional quase idêntico ao Método dos Retângulos
T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023
∫1
2dxx
=ln (2)≈0,693147
R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523
![Page 69: Introdução aos Métodos Numéricosotton/graduacao/introducaonumericos/...Teorema do valr médio para integrais Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051903/5ff3737866072f3edb7c2f36/html5/thumbnails/69.jpg)
Integração numérica – Avaliando os resultados
Avaliando os resultados
Em tese fazemos integração numérica por ser difícil ou impossível calcular a integral analiticamente.
Então, como avaliar os resultados obtidos?
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Integração numérica – Avaliando os resultados
Neste curso usaremos a seguinte regra:
● Calcule a integral para número de intervalos diferentes e crescentes
● A cada dois valores estime a mudança usando
onde são as estimativas calculadas.
Exemplifiquemos como os valores obtidos anteriormente
|Ei−E j||Ei|
Eie E j
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Integração numérica – Um exemplo
Obtivemos os valores
Assim temos uma avaliação da evolução do valor como
Calculado temos a estimativa
Temos um testemunho da evolução da precisão
T 1=0,75 ;T 2=0,70833
|T 2−T 1||T 1|
=|0,70833−0,75|
|0,75|=0,0 55
T 3=0,7
|T 3−T 2||T 2|
=|0,7−0,708 33|
|0,708 33|=0,011764
![Page 72: Introdução aos Métodos Numéricosotton/graduacao/introducaonumericos/...Teorema do valr médio para integrais Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022051903/5ff3737866072f3edb7c2f36/html5/thumbnails/72.jpg)
Integração numérica – Um exemplo
Como o cálculo de obtemos outra avaliação
Veremos da aplicação deste critério em outros métodos que seguirão
T 4=0,697023
|T 4−T 3||T 3|
=|0,697023−0,7|
|0,7|=0,00425
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Trapézios não regular
Regra dos Trapézios não Regular
Não somos obrigados a criar um método de integração apenas para subintervalos regulares. Veja a figura
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Trapézios não regular
...o que é equivalente a termos uma tabela com os valores xi
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Trapézios não regular
Vamos somar a área de cada trapézio
ou
I≈h1
f (a)+ f (x1)
2+h2
f (x1)+ f (x2)
2+h3
f ( x2)+ f (x3)
2⋯+hn
f (xn−1)+ f (b)
2hi=x i+1−x i
I≈h1
2f (a)+
h1+h2
2f ( x1)+
h2+h3
2f (x2)⋯+
hn−1+hn
2f (xn−1)+
hn
2f (b)
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Trapézios não regular
O que nos deixa com
I≈12 [h1 f (a)+(h1+h2) f (x1)+(h2+h3) f (x2)⋯+(hn−1+hn) f ( xn−1)+hn f (b) ]
hi=xi+1−x i
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Trapézios não regular
O que nos deixa com
Tal fórmula pode ser útil não só quando temos a função explicitamente como também quando temos a função dada por pontos
I≈12 [h1 f (a)+(h1+h2) f (x1)+(h2+h3) f (x2)⋯+(hn−1+hn) f ( xn−1)+hn f (b) ]
hi=xi+1−x i