Introducción: señales y sistemas
Ingeniería Electrónica de Comunicaciones
Jesús Chacón Sombría
Departamento de Arquitectura de Computadores y AutomáticaUniversidad Complutense de Madrid
Curso 2020-2021
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 1 / 57
Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 Señales
4 Sistemas
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Objetivos del tema
Establecer la terminología adecuada y repasar conceptos:
Señales y sistemasSeñales• Tipos• Operaciones• Ejemplos
Sistemas• Tipos• Propiedades de los sistemas lineales temporalmente
invariantes
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Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 Señales
4 Sistemas
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Señales y Sistemas
SistemaSeñal Señal
Señal:• Función que transporta algún tipo de información sobre la
variabilidad/evolución de una magnitud física respecto auna/varias variables independientes.
• Ejemplos: Señales de audio, imagen, video, tensión, presión, ...Sistema• Definición:
F Entidad que se excita mediante una señal de entrada y produceuna señal de salida.
F Representa la transformación que un sistema físico realiza sobreuna señal.
• Ejemplos: filtro paso bajo, conversor A/D, ...
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Señales y Sistemas
Tx(t) y(t)=T[x(t)]
NotaciónSeñales: x , y ,u, ... (letras minúsculas)• variable independiente: t , n• y(t) - tiempo continuo• y(n), y [n] - secuencia
Sistemas: T ,P,S, ... (letras mayúsculas)• y(t) = T [x(t)]• y [n] = T [x [n]]
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Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 SeñalesTipos de señalesOperaciones con señalesSeñales básicas
4 Sistemas
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Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 SeñalesTipos de señalesOperaciones con señalesSeñales básicas
4 Sistemas
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Tipos de señales I
Núm
ero
deFu
ente
so
Can
ales
Número de variables independientes
Unidimensional MultidimensionalE
scal
ar
0 2 4 6 8 10−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
Tens
ion
(V)
f (t) f (x, y)
Vect
oria
l
[fx (t) fy (t) fz (t) fg (t)] [fR (x, y) fG(x, y) fB(x, y)]
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Tipos de señales II
Respecto a la variable independiente:• Continua: x(t) con t ∈ R (real)• Discreta: x(n) (o secuencia x[n]) con n ∈ Z (entero)
Respecto a la amplitud x(·) de la señal:
• x(·) ∈ R (a x(·) ∈ C)
F x(t)→ AnalógicaF x(n)→ Muestreada
• x(·) ∈ S discreto:
F x(t)→ CuantificadaCuantizada
F x(n)→ Digital
Ej: S ={a+b ·k |k ∈Z}
0 2 4 6 8 10−4
−2
0
2
4
6
8
t (s)
Tens
ion
(V)
0 2 4 6 8 10−4
−2
0
2
4
6
8
n
f(n)
0 2 4 6 8 10−4
−2
0
2
4
6
8
t (s)
f(t)
0 2 4 6 8 10−4
−2
0
2
4
6
8
n
f(n)
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Tipos de señales III
Evolución de la señal (valor en cada instante de tiempo):• Determinista: está definido por una expresión matemática• Aleatoria/Estocástica: queda definido por una densidad de
probabilidad (no se puede determinar de forma exacta).
0 5 10 15 20−1
−0.5
0
0.5
1
n
f(n)
0 5 10 15 20−6
−4
−2
0
2
4
n
f(n)
Determinista Aleatoriax [n] = sin(n) x [n] ∼ N (0, 1)
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Tipos de señales IVSeñales periódicas/aperiódicas:• Periódica: su valor se repite en el tiempo, por lo tanto es
suficiente especificar su valor a lo largo de un intervalo básicollamado periodo fundamental (T o N).
F Continua: x(t + l · T ) = x(t)F Discreta: x [n + l · N] = x [n] con l ∈ Z+, N ∈ Z+
• Aperiódica: no cumple la relación anterior.
0 5 10 15−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
T=5s
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
f(n)
N=20
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Tipos de señales VSeñales pares/impares:• Par: presenta simetría especular respecto a eje vertical.
F Continua: x(t) = x(−t) F Discreta: x [n] = x [−n]
• Impar: presenta simetría radial respecto al origen.F Continua: x(t) = −x(−t) F Discreta: x [n] = −x [−n]
−5 0 5−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
−5 0 5−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t (s)
f(t)
Par ImparEn general, una función arbitraria se puede descomponer en función de suscomponentes par e impar: x(·) = xp(·) + xi (·)
xp(·) = x(·)+x(−·)2 , xi (·) = x(·)−x(−·)
2
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Tipos de señales VISeñales causales/no causales/anticausales:• Causal: relacionadas con los sistemas realizables (causales).
F Continua: x(t) = 0 ∀t < 0 F Discreta: x [n] = 0 ∀n < 0• No causal:
F Continua: x(t) 6= 0 ∃t < 0 F Discreta: x [n] 6= 0 ∃n < 0• Anticausal:
F Continua: x(t) = 0 ∀t > 0 F Discreta: x [n] = 0 ∀n > 0
Causal No causal Anticausal
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Tipos de señales VIISeñales de energía:• Energía de una señal:
F Continua: εx =∫∞−∞ |x(t)|2dt
F Discreta: εx =∑∞
n=−∞ |x [n]|2
• Señal de energía finita: 0 < εx <∞F En general son señales limitadas en el tiempo con amplitud finita
0 2 4 6 8 10−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
0 2 4 6 8 10−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
Energía finita Energía infinita
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Tipos de señales VIIISeñales de potencia media:• Potencia media de una señal:
F Continua: Pf = lımT→∞1T
∫ T−T |x(t)|2dt
F Discreta: Pf = lımN→∞1
2N+1
∑Nn=−N |x [n]|2
• Señal de potencia media finita: 0 < Pf <∞F En general son señales ilimitadas en el tiempo con amplitud finita
0 2 4 6 8 10−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
t (s)
f(t)
Potencia finita Potencia infinita
Señales que no son de energía ni de potencia media finita son en general ilimitadas en eltiempo y/o amplitud.
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Tipos de señales IX
Señal compleja: x(·) ∈ C
• Se representa mediante dos funciones reales que contengan la partereal e imaginaria, o la fase y la amplitud
x(·) = Re(x(·)) + j · Im(x(·)) = |x(·)|ej·arg(x(·))
Re(x(·)) = |x(·)|cos(arg(x(·))),|x(·)| =
√Re(x(·))2 + Im(x(·))2,
Im(x(·)) = |x(·)|sin(arg(x(·)))
arg(x(·)) = arctan Im(x(·))Re(x(·))
0 5 10 15 20−1
0
1
Re(
f(n))
0 5 10 15 20−1
0
1
Im(f(
n))
n
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
|f(n)
|0 5 10 15 20
−5
0
5
arg(
f(n))
n
Real & Imaginaria Módulo & ArgumentoSeries y Transformadas de Fourier. En teoría de la comunicación modelan señales quetransmiten información en fase y amplitud
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Tipos de señales X
Señal reales: x(·) = x∗(·) a(t) + j · b(t) = a(t)− j · b(t)→ b(t) = 0
Señal imaginarias: x(·) = −x∗(·)a(t) + j · b(t) = −(a(t)− j · b(t))→ a(t) = 0
Señal hermítica: x(·) = x∗(−·)a(t) + j · b(t) = a(−t)− j · b(−t)→ a(t) Par, b(t) Impar
Señal antihermítica: x(·) = −x∗(−·)a(t) + j · b(t) = −(a(−t)− j · b(−t))→ a(t) Impar, b(t) Par
con ∗ conjugado.
Vamos a trabajar con señales: 1D (2D) escalares, continuas y discretas,analógicas y muestreadas, deterministas y aleatorias, periódicas yaperiódicas, reales y complejas.
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Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 SeñalesTipos de señalesOperaciones con señalesSeñales básicas
4 Sistemas
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Operaciones sobre la variable independiente I
Transformación f (t) en la variable independiente:
x(t)⇒ y(t) = x(f (t)), x [n]⇒ y [n] = x [f (n)]
Aunque no alteran los valores de la señal, pueden...
• alterar la forma• provocar la pérdida de muestras (caso discreto).
Suponemos1 f (t) = αt + β
continuo discretoDesplazamiento: y(t) = x(t − t0) y [n] = x [n − n0]
Inversión: y(t) = x(−t) y [n] = x [−n]Compresión/Expansión: y(t) = x(αt) y [n] = x [Kn]
1Veremos otras transformaciones en el Tema 5Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 20 / 57
Operaciones sobre la variable independiente IIDesplazamiento temporal:• Continuo: x(t) → y(t) = x(t − t0)
• Discreto: x [n] → y [n] = x [n − N0]
Inversión:• Continuo: x(t) → y(t) = x(−t)• Discreto: x [n] → y [n] = x [−n]
0 2 4 6 8 10−2
−1
0
1
2
3
t (s)
f(t)
f(t)f(t−2)
t0=2
−10 −5 0 5 10−150
−100
−50
0
50
100
150
t (s)
f(t)
f(t)f(−t)
Desplazamiento Inversión
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Operaciones sobre la variable independiente IIICompresión/expansión temporal:• Continuo (escalado): x(t) → y(t) = x(α · t), α > 0
F Compresión (α > 1), Expansión (α < 1)
• Discreto:F Diezmado: x [n] → y [n] = x [N · n],N ∈ Z+
F Interpolación: x [n] → y [n] = x [ nN ],N ∈ Z+
no existe muestra para nN no entero, necesario generar
0 2 4 6 8 10−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
f(t)f(2*t)
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
f(t)
f(n)f(2n)f(0.5n)
Escalado Diezmado & Interpolación
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Operaciones básicas sobre la señal
Generales:• Suma/Resta/Multiplicación/División:
x1(·)± x2(·), x1(·) · x2(·), x1(·)÷ x2(·)
Continuas:• Derivación: y(t) = dx(t)
dt
• Integración: y(t) =∫ tτ=−∞ x(τ)dτ
Discretas:• Diferencia: y [n] = x [n]− x [n − 1]
• Acumulación: x [n] =∑n
k=−∞ x [k ]
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Convolución
Convolución de dos señales:• Señales continuas: (x ∗ y)(t) =
∫∞−∞ x(τ)y(t − τ)dτ
• Señales discretas: (x ∗ y)[n] =∑∞
k=−∞ x [k ]y [n − k ]
F Invertir: y(−τ), y [−k ].F Desplazar: y(t − τ), y [n − k ].F Multiplicar: x(τ)y(t − τ), x [k ]y(n − k).F Sumar:
∫,∑.
Propiedades:• Conmutativa: (x ∗ y)(·) = (y ∗ x)(·)• Asociativa: (x ∗ y ∗ z)(·) = [(x ∗ y) ∗ z](·) = [x ∗ (y ∗ z)](·)• Distributiva: ((x + y) ∗ z)(·) = (x ∗ z)(·) + (y ∗ z)(·)• Respecto al impulso y al escalón (más adelante)
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Desarrollo en serie de Fourier: Señales periódicasSeñales continuas: x(t) = x(t + T ), ω0 = 2π/T• Desarrollo en exponenciales complejas:• Síntesis: x(t) =
∑∞k=−∞ ck ejkω0t
• Análisis: ck = 1T
∫T x(t)e−jkω0tdt
• Desarrollo en senos y cosenos (x(t) es real):• Síntesis: x(t) = a0
2 +∑∞
k=1 (ak cos(kω0t) + bk sin(kω0t))
• Análisis: ak = 2T
∫T x(t)cos(kω0t)dt , bk = 2
T
∫T x(t)sin(kω0t)dt
Señales discretas: x [n] = x [n + N], ω0 = 2π/N• Desarrollo en exponenciales complejas:• Síntesis: x [n] =
∑N−1k=0 ck ejω0kn
• Análisis: ck = 1N
∑N−1n=0 x [n]e−jω0kn, ck = ck+N
• Desarrollo en senos y cosenos (x [t ] es real):• L = N
2 o L = N−12
• LIM = L− 1 o K = L• Síntesis: x(n) = a0
2 +∑LIM
k=1 (ak cos(kω0kt) + bk sin(ω0kt))
• Análisis: ak = 2N
∑N−1n=0 x(n)cos(ωkn), bk = 2
N
∑N−1n=0 x(n)sin(ωkn)
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TransformadasSerie vs. Transformada• Si una señal es periódica
F Representación mediante exp. armónicas: φk (t) = e jkω0t .F Combinación lineal: x(t) =
∑∞k=−∞ akφk (t).
• Si una señal es aperiódica:F El sumatorio pasa a ser una integral:
∫∞ω=−∞ X (ω)φ(ω)dω.
Transformada de Fourier, Laplace y Z:• Señales continuas x(t):
F Transformada de Fourier: X (jωc) =∫∞−∞ x(t)e−jωc tdt
F Transformada de Laplace: X (s) =∫∞
0 x(t)e−stdtF s = σ ± jω
• Señales discretas x [n]:F T. de Fourier en tiempo discreto: X (ejωd ) =
∑∞n=−∞ x [n]e−jωd n
F Transformada Z: X (z) =∑∞
n=0 x [n]z−n
F X (ejωd ) es periodica (se repite en frecuencias cada 2π)F z = ejωd
F Si muestreamos periodicamente: t = nT , z = esT
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Transformadas
Comparación entre transformadas y sus usos:• Transformada de Laplace y Z permiten:
F Resolver ecuaciones diferenciales (en diferencias)F Obtener la función de transferencia de sistemas LTI y su respuesta
temporal a través de la transformada inversa del producto de la funciónde transferencia y la transformada de la entrada.
F Ver la respuesta a las condiciones iniciales.• Fourier (CTFT y DTFT) permite:
F Estudiar el comportamiento en frecuencia de las señales y de lossistemas.
F Obtener la repuesta permanente de sistemas LTI estables como latransformada inversa del producto de la transformada de Fourier delsistema con la transformada de la entrada.
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Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 SeñalesTipos de señalesOperaciones con señalesSeñales básicas
4 Sistemas
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 28 / 57
Señales básicas: Exponencial ComplejaContinua: x(t) = Ae jωt
• x(t) = x(t + T ), con T = 1f = 2π
ω
x(t + T ) = Ae jω(t+ 2πω
)= Ae j(ωt+2π) = Ae jωt e j2π = Ae jωt =x(t)
• ω = 2πf es la frecuencia (ω rad/s, f Hz)• ω1 6= ω2 ⇒ x1(t) 6= x2(t), para 0 < ω <∞
Fórmula de Euler
ej(ωt+φ) = cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)⇒
cos(ωt + φ) = ej(ωt+φ)+e−j(ωt+φ)
2
sin(ωt + φ) = ej(ωt+φ)−e−j(ωt+φ)
2j
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 29 / 57
Señales básicas: Exponencial ComplejaContinua (Forma General): x(t) = Ceat , con C,a ∈ C
• C = |C|ejφ
a = r + jω
}⇒ x(t) = |C|erte j(ωt+φ)
• Sinusoidal multiplicada por exponencial• Decreciente (r < 0), constante (r = 0) o creciente (r > 0)
r < 0 r = 0 r > 0
Fórmula de Euler
ej(ωt+φ) = cos(ωt + φ) + jsin(ωt + φ)⇒
cos(ωt + φ) = ej(ωt+φ)+e−j(ωt+φ)
2
sin(ωt + φ) = ej(ωt+φ)−e−j(ωt+φ)
2j
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 30 / 57
Señales básicas: Exponencial Compleja
Discreta: x [n] = Cejωn
• ω = 2πf es la frecuencia en rad/muestra• x [n] = x [n + N], con N = 1
f = 2πω sólo si
x [n + N] = Ce jω(n+N) = Ce j(ωn+ωN) = Ce jωne jωN = x [n]
e jωN = 1⇒ 2πfN = 2πk ⇒ f = kN , para algún N, k ∈ N
Nota: kN es una fracción irreducible, en caso contrario a
b = m·km·N = k
N
• ω1 6= ω2 ⇒ x1[n] 6= x2[n], sólo para 0 < ω < 2πωk = ω + 2πk ⇒ Ce j(ω+2πk)n = Ce jωn+j2πkn = Ce jωne j2πkn = Ce jωn
Fórmula de Euler
ejωn+φ = cos(ωn + φ) + jsin(ωn + φ)⇒
cos(ωn + φ) = ej(ωn+φ)+e−j(ωn+φ)
2
sin(ωn + φ) = ej(ωn+φ)−e−j(ωn+φ)
2j
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 31 / 57
Señales básicas: Exponencial Compleja
Exponencial Discreta (sinusoidal): x [n] = Cαn, con C, α ∈ C
• C = |C|eφα = |α|ejω
}⇒ x(t) = |C||α|ne jωn+φ
• Decreciente (0 < α < 1), constante (α = 1), o creciente (α > 1)
0 < |α| < 1 |α| = 1 |α| > 1
Fórmula de Euler
ejωn+φ = cos(ωn + φ) + jsin(ωn + φ)⇒ cos(ωn + φ) = ejωn+φ+e−jωn−φ
2
sin(ωn + φ) = ejωn+φ−e−jωn−φ
2
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Señales básicas: ImpulsoContinuo (δ de Dirac): δ(t) =
{∞ t = 00 ∀t 6= 0
• Es un funcional:∫∞−∞ f (t)δ(t)dt = f (0)
∫∞−∞ f (t)δ(t − t0)dt = f (t0)
• Algunas propiedades:∫ t2t1
f (t)δ(t − t0)dt ={
f (t0) t1< t0< t20 c.c.
∀a 6= 0⇒ δ(at) = δ(t)|a|
(x ∗ δ)(t) =∫∞−∞ x(τ)δ(t − τ)dτ = x(t)
Discreto (δ de Kronecker): δ(n) ={
1 n = 00 ∀n 6= 0
x [n] =∑∞
k=−∞ x [k ]δ[k − n]
(x∗δ)[n]=∑∞
k=−∞ x [k ]δ[n − k ] = x [n]
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Señales básicas: Escalón unitario
Continuo: u(t) =
{0 t < 01 t ≥ 0
Relación con el impulso:
δ(t) = du(t)dt
u(t) =∫ t−∞ δ(τ)dτ
Convolución: (x ∗ u)(t) =∫ t−∞ x(τ)dτ −10 −5 0 5 10
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
u(t)
Discreto: u[n] =
{0 n < 01 n ≥ 0
Relación con el impulso:
δ[n] = u[n]− u[n − 1]
u[n] =∑n
k=−∞ δ[k ]
Convolución: (x ∗u)[n]=∑n
k=−∞ x [k ]−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
u(n)
El producto de cualquier señal x(·) por u(·) produce una señal causal.
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Señales básicas: Rampa
Continuo: r(t) =
{0t
t < 0t ≥ 0
Relación con el escalón:u(t) = dr(t)
dt
r(t) =∫ t−∞ u(τ)dτ
−10 −5 0 5 100
2
4
6
8
10
t (s)
u(t)
Discreto: r [n] =
{0n + 1
n < 0n ≥ 0
Relación con el escalón:
u[n] = r [n]− r [n − 1]
r [n] =∑n
k=−∞ u[k ]−10 −5 0 5 100
2
4
6
8
10
12
n
u(n)
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 35 / 57
Señales básicas: Pulsos
Pulso rectangular
Π(t) =
{1 |t | ≤ 1
20 |t | > 1
2
−1 −0.5 0 0.5 1−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
u(t)
Pulso triangular
Λ(t) =
{t + 1 − 1 ≤ t ≤ 01− t 0 ≤ t ≤ 1
−2 −1 0 1 2−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
u(t)
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 36 / 57
Señales básicas: muestreo, sinc, signoMuestreo
Sa(t) =
{ sin(t)t t 6= 0
1 t = 0Sinc
sinc(t) =
{ sin(πt)πt t 6= 0
1 t = 0
Signo
sgn(t) =
1 t > 0−1 t < 00 t = 0
−10 −5 0 5 10−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
f(t)
Sa(t)sinc(t)
−10 −5 0 5 10
−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 37 / 57
Señales básicas: ondas
Onda cuadrada
−10 −5 0 5 10
−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
T = 5
Onda triangular
−10 −5 0 5 10
−1
−0.5
0
0.5
1
t (s)
f(t)
T = 5
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 38 / 57
Señales básicas: chirp
Chirp de variación lineal
ft=0 = 0,2 y ft=10 = 1
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 39 / 57
Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 Señales
4 SistemasTipos de SistemasSistemas LTI
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 40 / 57
Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 Señales
4 SistemasTipos de SistemasSistemas LTI
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 41 / 57
Tipos de Sistemas I
Tx(·) y(·)
Según el número de variables de entrada y de salida:• SISO (Single-Input, Single-Output): 1 variable de entrada, 1
variable de salida• MIMO (Multiple-Input, Multiple-Output): multiples variables de
entrada, multiples variables de salida• SIMO (Single-Input, Multiple-Output): 1 variable de entrada,
multiples variables de salida• MISO (Multiple-Input, Single-Output): multiples variables de
entrada, 1 variable de salida• Autónomo: sistema sin entradas de control
Según las características de la variable independiente:• Sistemas Continuos: admite/devuelve señales continuas• Sistemas Discretos: admite/devuelve señales discretas• Conversores: Admiten señales continuas/discretas y devuelven
señales discretas/continuas
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 42 / 57
Tipos de Sistemas II
Tx(·) y(·)
Según la existencia o no de procesos aleatorios:• Sistemas Deterministas: no hay procesos aleatorios
involucrados, por lo que la respuesta del sistema ante lamismas entradas es siempre la misma.
• Sistemas Estocásticos: hay procesos aleatorios involucrados,por lo que la respuesta del sistema ante la mismas entradasdepende del experimento.
Causales/no causales:• Sistemas Causales: La salida del sistema en un instante
únicamente depende de las entradas hasta dicho instante detiempo.
y(t) = T [ x(τ)|τ <= t ] ó y [n] = T [ x [k ]|k <= n ]
• Sistemas No Causales: La salida del sistema en un instantedepende de la entrada en instantes posteriores. No esfísicamente realizable.
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 43 / 57
Tipos de Sistemas III
Tx(·) y(·)
Respecto a la memoria del sistema:• Sistemas Estáticos: La salida del sistema en un instante
depende únicamente de la entrada en dicho instante.y(t) = T [ x(t) ] ó y(n) = T [ x [n] ]
• Sistemas Dinámicos: La salida del sistema en un instantedepende de la historia pasada del sistema. Los sistemasdinámicos continuos se pueden modelar con una ecuacióndiferencial. Los discretos con una ecuación en diferencias.y(t) = T [ x(τ)|τ ⊆ R ≤ t ] ó y(n) = T [ x [k ]|k ⊆ Z ≤ n ]
Estable/inestable:• Sistemas Estables: cuando responde con una salida acotada
en amplitud ante cualquier entrada acotada (BIBO-estable:bounded-input, bounded-output).
|x(·)| < B1 → |y(·)| < B2
• Sistemas Inestables: cuando no cumplen la propiedad anterior.Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 44 / 57
Tipos de Sistemas IVSistemas lineales/no lineales:
• Sistemas Lineales: Los que cumplen el principio de superposición,i.e. la respuesta del sistema producido por varias fuentesexcitadoras a la vez es la suma de las respuestas producidas porlas fuentes individualmente.T [ αx1(·) + βx2(·) ] = αT [ x1(·) ] + βT [ x2(·) ] = αy1(·) + βy2(·)
• Sistemas No Lineales: Los que no cumplen el principio desuperposición. Los sistemas reales son sistemas no lineales,aunque pueden ser tratados como sistemas lineales en torno a undeterminado punto de operación.
Tx(·) y(·)
0 2 4 6 8 10
u1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t0 2 4 6 8 10
y1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10
u2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
t0 2 4 6 8 10
y2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0 2 4 6 8 10
u1+u
2
-1
-0.5
0
0.5
1
t0 2 4 6 8 10
y1+y
2
-1
-0.5
0
0.5
1
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 45 / 57
Tipos de Sistemas VSistemas temporalmente invariantes/no invariantes:• Sistemas Temporalmente Invariantes: Aquellos en los que su
relación entrada-salida es invariante en el tiempo (a una entradadesplazada temporalmente le corresponde la misma salidadesplazada el mismo valor).T [ x(t) ] = y(t)→ T [ x(t − t0) ] = y(t − t0)
T [ x [n] ] = y(n)→ T [ x(n − N0) ] = y(n − N0)
• Sistemas Temporalmente No Invariantes: Los que no cumplen lapropiedad anterior.
0 2 4 6 8 10
u1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t0 2 4 6 8 10
y1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10
u2(t)
=u1(
t-3)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t0 2 4 6 8 10
y2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sistemas Lineales Temporalmente Invariantes: Sistemas LTI
Tx(·) y(·)
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 46 / 57
Esquema
1 Objetivos
2 Señales y Sistemas
3 Señales
4 SistemasTipos de SistemasSistemas LTI
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 47 / 57
Sistemas LTI
LTIx(·) y(·)
Constituyen una clase de sistemas muy importantes enprocesamiento de señales, control de sistemas, teoría de lacomunicación.Características más relevantes:• La respuesta de un sistema LTI a una entrada puede obtenerse
como la convolución de la entrada con la respuesta del sistemaa la entrada impulso unitario.
• Las transformadas de Laplace, Z, Fourier de la convolución esel producto de las transformadas.
• Por lo tanto, podemos calcular la respuesta de los sistemas LTIante una entrada a partir del producto de la transformada de laentrada y de la transformada del sistema.
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 48 / 57
Respuesta temporal sistema LTISistemas Continuos:• Respuesta al impulso (función ponderatriz): T [δ(t)] = h(t)• Respuesta a una entrada arbitraria:
T [x(t)] = T [(x∗δ)(t)]=T [∫∞−∞x(τ)δ(t−τ)dτ ]=
∫∞−∞ T [x(τ)δ(t−τ)]dτ=
=∫∞−∞ x(τ)T [δ(t−τ)]dτ =
∫∞−∞ x(τ)h(t−τ)dτ = (x ∗ h)(t)
Sistemas Discretos:• Respuesta al impulso (función ponderatriz): T [δ(n)] = h(n)
• Respuesta a una entrada arbitraria:T [x(n)] =T [(x∗δ)(n)]=T [
∑∞k=−∞x(k)δ(n−k)]=
∑∞k=−∞T [x(k)δ(n−k)]=
=∑∞
k=−∞ x(k)T [δ(n−k)]=∑∞
k=−∞ x(k)h(n−k)=(x∗h)(n)
La respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada x(·) se puedecalcular como la convolución de la entrada y la respuesta delsistema a la entrada impulso h(·).
h(·) = T [δ(·)]→ T [x(·)] = (x ∗ h)(·)
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 49 / 57
Sistemas LTI continuos ITransformada de Laplace (TL):• Bilateral: L[x(t)]=X (s)=
∫∞−∞x(t)e−tsdt con s ∈ C
• Unilateral: L[x(t)]=X (s)=∫∞
0 x(t)e−tsdt con s ∈ C, x(t) causal
Propiedades (similares, se diferencian en las condicionesiniciales que aparecen en las derivadas):• Linealidad : L[αx1(t) + βx2(t)] = αL[x1(t)] + βL[x2(t)]
• Desplazamiento temporal: L[x(t − t0)] = e−st0L[x(t)]
• Derivada: L[ dx(t)dt ] = sL[x(t)]− x(0)
• Convolución: L[(x ∗ y)(t)] = L[x(t)]L[y(t)]
TL de la respuesta del sistema:L[y(t)]=L[T [(x)(t)]=L[(x ∗ h)(t)]=L[x(t)]L[h(t)]↔ Y (s)=H(s)X (s)
La respuesta de un sistema LTI continuo a una entrada se puede calcular apartir de la TL inversa del producto de la TL de la señal y de la TL de larespuesta del sistema a la entrada impulso.
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 50 / 57
Sistemas LTI continuos IITL de la respuesta del sistema:
L[y(t)]=L[x(t)]L[h(t)]↔ Y (s)=H(s)X (s)
Ecuación diferencial de un sistema LTI continuo:∑Nk=0 ak
dk y(t)dt =
∑Mk=0 bk
dk x(t)dt
TL−→∑N
k=0 ak sk Y (s) =∑M
k=0 bk sk X (s)→
Y (s) =∑M
k=0 bk sk∑Nk=0 ak sk X (s) = H(s)X (s)
H(s), la TL de la respuesta del sistema LTI a la funciónimpulso, es la función de transferencia del sistema.
Condiciones adicionales:• Sistema dinámico N ≥ 1• Sistema causal:
F M ≤ NF h(t) = T [δ(t)], h(t) = 0 t < 0
• Estable: Polos (ceros del denominador de H(s)) tienen quetener la parte real negativa.
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 51 / 57
Sistemas LTI continuos III
LTIx(·) y(·)
Transformada de Fourier respuesta u(t) = δ(t): H(jw) = H(s = jw)
Respuesta permanente LTI estable a u(t) = ejwt
y(t) = T [ejwt ] =∫∞−∞ h(τ)ej(w(t−τ))dτ =
∫∞−∞ h(τ)ejwte−jwτdτ =
= ejwt ∫∞−∞ h(τ)e−jwτdτ = H(jw)ejwt = |H(jw)|ej(wt+arg(H(jw)))
Respuesta permanente LTI estable a u(t) = sen(wt):
y(t) = |H(jw)|sen(wt + arg(H(jw)))
Respuesta permanente LTI estable a u(t) periodica (T , w = 2πT ):
y(t) =∑∞
k=−∞ ck |H(jkw)|ej(wkt+arg(H(jkw)))
Respuesta permanente LTI estable a u(t) genérica: Y (jw) = H(jw)U(jw)
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 52 / 57
Sistemas LTI discretos ITransformada Z (TZ):• Bilateral: Z[x(n)]=X (z)=
∑∞n=−∞x(n)z−n con z∈C
• Unilateral: Z[x(n)]=X (z)=∑∞
n=0x(n)z−n con z∈C, x(n) causal
Propiedades (similares, se diferencian en las condicionesiniciales que aparecen en los retardos):• Linealidad : Z[αx1(n) + βx2(n)] = αZ[x1(n)] + βZ[x2(n)]
• Desplazamiento temporal: Z[x(n − n0)] = z−n0Z[x(n)]
• Adelanto: Z[x(n + 1)] = zZ[x(n)]− zx(0)
• Convolución: Z[(x ∗ y)(n)] = Z[x(n)]Z[y(n)]
TZ de la respuesta del sistema:Z[y(n)]=Z[T [(x)(n)]=Z[(x ∗ h)(n)]=Z[x(n)]Z[h(n)]↔ Y (z)=H(z)X (z)
La respuesta de un sistema LTI discreto a una entrada se puede calcular apartir de la TZ inversa del producto de la TZ de la señal y de la TZ de larespuesta del sistema a la entrada impulso.
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 53 / 57
Sistemas LTI discretos IITZ de la respuesta del sistema:
Z[y(n)]=Z[x(n)]Z[h(n)]↔ Y (z)=H(s)X (z)
Ecuación en diferencias de un sistema LTI discreto:∑Nk=0 ak y(n+k)=
∑Mk=0 bk x(n+k)
TZ−→∑N
k=0 ak zk Y (z)=∑M
k=0 bk zk X (z)→
Y (z) =∑M
k=0 bk zk∑Nk=0 ak zk X (z) = H(z)X (z)
H(z), la TZ de la respuesta del sistema LTI a la funciónimpulso, es la función de transferencia del sistema.
Condiciones adicionales:• Sistema dinámico N ≥ 1• Sistema causal:
F M ≤ NF h(n) = T [δ(n)], h(n) = 0 n < 0
• Estable: Polos (ceros del denominador de H(z)) tienen queestar dentro del círculo unidad.
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 54 / 57
Sistemas LTI discretos III
LTIx(·) y(·)
Transformada de Fourier respuesta u(n) = δ(t): H(ejw ) = H(z = ejw )
Respuesta permanente LTI estable a u(n) = ejwn
y(n) = T [ejwn] =∑∞
k=−∞ h(k)ejw(n−k)) =∑∞
k=−∞ h(k)ejwne−jwk =
= ejwn∑∞k=−∞ h(k)e−jwk = H(ejw )ejwn = |H(ejw )|ej(wn+arg(H(ejw )))
Respuesta permanente LTI estable a u(n) = sen(wt):
y(n) = |H(ejw )|sen(wt + arg(H(ejw )))
Respuesta permanente LTI estable a u(n) periodica (N, w = 2πN ):
y(n) =∑N−1
k=0 ck |H(ejkw )|ej(wkt+arg(H(ejkw )))
Respuesta permanente LTI estable a u(n) genérica: Y (ejw ) = H(ejw )U(ejw )
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 55 / 57
Sistemas LTI discretos IVy(n) = T [x(n)] = (x ∗ h)(n) = (h ∗ x)(n) =
∑∞k=−∞ h(k)x(n − k)
h(n) = T [δ(n)]
Sistema causal: h(n) = 0, n < 0
Tipos de sistemas LTI discretos:• Sistemas FIR: Finite Impulse Response
Respuesta finita a la entrada impulsoh(n) = 0, n ≥ L
y(n) =∑L−1
k=0 h(k)x(n − k)
M = N, N = L− 1, aN−k =
{0 k < N1 k = N , bN−k = h(k)
• Sistemas IIR: Infinite Impulse ResponseRespuesta infinita a la entrada impulsoy(n) =
∑∞k=0 h(k)x(n − k)
Nos interesan los IIR recursivos∑Nk=0 ak y(n+k)=
∑Mk=0 bk x(n+k)→
∑Nk=0 aN−k y(n−k)=
∑Nk=N−M bN−k x(n−k)
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 56 / 57
Sistemas LTI continuos IV
¿Equivalente LTI continuo a los sistemas FIR e IIR discretos ?
No existen sistemas FIR en continuo:
• Sistema FIR discreto:y(n)=
∑L−1k=0 h(k)x(n−k)→ Y (z)=[h0 +h1z−1+...+hL−1z−L+1]X (z)
Tiene los polos en z=0.
• Su equivalente continuo (z = eTs) tendría que tenerlos ens = −∞. Y eso no es fisicamente realizable.
Los sistemas LTI continuos estables son IIR
Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Introducción 57 / 57