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TF RTF
Introducción a las RepresentacionesTiempo-Frecuencia
Transformación de Fourier Fraccionaria
Rafael Ángel Torres Amarís
GOTSEscuela de Física
Universidad Industrial de Santander
Pamplona, Marzo 27, 2009
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Contenido1 Transformación de Fourier2 Representaciones Tiempo-Frecuencia3 Transformación de Fourier Fraccionaria4 Filtrado en Tiempo-Frecuencia
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Transformación de Fourier
DefiniciónTransformación de Fourier
F (ν) =∫ ∞−∞
f(t)e−i2πνtdt , (1)
f(t) =∫ ∞−∞
F (ν)e+i2πνtdν . (2)
tν
f(t) F(ν)F
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Filtrado
t
f(t) F(ν)F
ν
t
h(t) H(ν)
t
∗
f ′(t) =∫∞−∞f(τ)h(t− τ)dτ
ν
ν
×
F′(ν) = H(ν)F(ν)
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Localización en Frecuencia
La transformación de Fourier es un tratamiento localizado enfrecuencia.
F(ν)
t
δ(ν − ν0)
ν0F−1
t
???
ν
ν0
cos(2πν0t)
Dirac
f(t)F
ν
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Resolución en Tiempo y Frecuencia
f(t) perfecta resolución temporal
Una representación temporal f(t) de una señal, puede serconsiderada como una representación con perfecta resolucióntemporal.
F (ν) perfecta resolución espectral
Una representación frecuencial F (ν) de una señal puede serconsiderada como una representación con perfecta espectralresolución.
tν
f(t) F(ν)F
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Señales no-estacionarias
Son señales cuyas componentes frecuenciales varían en el tiempo.
t
t
t
s(t)
r(t)
x = s + r
R(ν)
X = S + R
ν
ν
S(ν)
ν
Ruido
Señal
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Representación Tiempo-Frecuencia
Tiempo
Frecuencia
Ruido
Señal
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Representación Tiempo-FrecuenciaLas representaciones Tiempo-Frecuencia en general son unrediseño de la transformación de Fourier.
Formas Lineales1 Transformación de Fourier Ventaneada
Transformación de Fourier en Tiempo CortoTransformación de Gabor
2 Transformación en Ondeletas3 Transformación de Fourier Fraccionaria
Formas Cuadráticas1 Espectrograma2 Escalograma3 Distribución de Wigner-Ville4 Función de Ambigüedad
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Representación Tiempo-FrecuenciaLas representaciones Tiempo-Frecuencia en general son unrediseño de la transformación de Fourier.
Formas Lineales1 Transformación de Fourier Ventaneada
Transformación de Fourier en Tiempo CortoTransformación de Gabor
2 Transformación en Ondeletas3 Transformación de Fourier Fraccionaria
Formas Cuadráticas1 Espectrograma2 Escalograma3 Distribución de Wigner-Ville4 Función de Ambigüedad
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Representación Tiempo-FrecuenciaLas representaciones Tiempo-Frecuencia en general son unrediseño de la transformación de Fourier.
Formas Lineales1 Transformación de Fourier Ventaneada
Transformación de Fourier en Tiempo CortoTransformación de Gabor
2 Transformación en Ondeletas3 Transformación de Fourier Fraccionaria
Formas Cuadráticas1 Espectrograma2 Escalograma3 Distribución de Wigner-Ville4 Función de Ambigüedad
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Formas Lineales
DefiniciónTransformación de Fourier Ventaneada
Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f(t′)w(t′ − t)e−i2πt′νdt′ , (3)
f(t) =∫∫ ∞−∞
Fw[f ](t′, ν)w(t− t′)e+i2πtνdνdt′ , (4)
donde w es la función ventana.
t′
f(t′)
t
w(t′ − t)
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Transformación de Fourier en Tiempo Corto
DefiniciónFunción ventada rectangular
rect
(t− t0
∆t
)={ 1/∆t t0 −∆t/2 ≤ t ≤ t0 + ∆t/2
0 fuera(5)
Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f(t′)rect(t′ − t∆t
)e−i2πt
′νdt′ . (6)
∆ν∆t ≥ 14π
, Relación de IncertidumbreHeisenberg-Gabor
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Transformación de Fourier en Tiempo Corto
DefiniciónFunción ventada rectangular
rect
(t− t0
∆t
)={ 1/∆t t0 −∆t/2 ≤ t ≤ t0 + ∆t/2
0 fuera(5)
Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f(t′)rect(t′ − t∆t
)e−i2πt
′νdt′ . (6)
∆ν∆t ≥ 14π
, Relación de IncertidumbreHeisenberg-Gabor
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Transformación de Gabor
DefiniciónFunción ventada gaussiana
gauss
(t− t0
∆t
)=
21/4
√∆t
e−πt2
∆2t (7)
Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f(t′)gauss(t′ − t∆t
)e−i2πt
′νdt′ . (8)
∆ν∆t =1
4π, Máxima resolución
Tiempo-Frecuencia
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Transformación de Gabor
DefiniciónFunción ventada gaussiana
gauss
(t− t0
∆t
)=
21/4
√∆t
e−πt2
∆2t (7)
Fw[f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f(t′)gauss(t′ − t∆t
)e−i2πt
′νdt′ . (8)
∆ν∆t =1
4π, Máxima resolución
Tiempo-Frecuencia
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Resolución Tiempo-Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
Tiempo Tiempo
w(t) = rect(t) w(t) = gauss(t)
∆ν
∆t ∆t
∆ν
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TF RTF
Filtro Variante en el Tiempo
Gabor
Tiempo−Frecuencia
Filtro
T. Gabor Filtrada
Gabor Inverza
Señal con ruido Señal filtrada
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Transformación en Ondeletas
DefiniciónTransformación en Ondeletas
Ww[f ](t, τ) =∫ ∞−∞
f(t′)wτ (t′ − t)dt′ = (f ∗ wτ )(t) , (9)
donde wτ (t′ − t) = 1√τw( t
′−tτ ) es la función ventana.
t′
w(t′ − t)
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Transformación de Fourier Fraccionaria
DefiniciónTransformación de Fourier fraccionaria
Fαf(ν ′) = Cαe−iπν′2 cotα
∫ ∞−∞
f(t)e−iπt2 cotαei2πtν
′/ senαdt . (10)
Para α = π/2 se tiene
Fπ/2f(ν) =∫ ∞−∞
f(t)ei2πtνdt . (11)
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Transformación de Fourier Fraccionaria
DefiniciónTransformación de Fourier fraccionaria
Fαf(ν ′) = Cαe−iπν′2 cotα
∫ ∞−∞
f(t)e−iπt2 cotαei2πtν
′/ senαdt . (10)
Para α = π/2 se tiene
Fπ/2f(ν) =∫ ∞−∞
f(t)ei2πtνdt . (11)
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Transformación de Fourier Fraccionaria
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Formas Cuadráticas
DefiniciónEspectrograma
Pw[f ](t, ν) = |Fw[f ](t, ν)|2 . (12)
DefiniciónEscalograma
Sw[f ](t, τ) = |Ww[f ](t, τ)|2 . (13)
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Distribución de Wigner-Ville y Función de Ambigüedad
DefiniciónDistribución de Wigner-Ville
W [f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f(t+
τ
2
)f(t− τ
2
)e−2iπτνdτ . (14)
DefiniciónFunción de Ambigüedad
A[f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f
(τ +
t
2
)f
(τ − t
2
)e−2iπτνdτ , (15)
dondeA[f ](t, ν) =
∫ ∞−∞
W [f ](t′, ν ′)e−2iπ(t′ν−tν′)dt′dν ′ . (16)
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Distribución de Wigner-Ville y Función de Ambigüedad
DefiniciónDistribución de Wigner-Ville
W [f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f(t+
τ
2
)f(t− τ
2
)e−2iπτνdτ . (14)
DefiniciónFunción de Ambigüedad
A[f ](t, ν) =∫ ∞−∞
f
(τ +
t
2
)f
(τ − t
2
)e−2iπτνdτ , (15)
dondeA[f ](t, ν) =
∫ ∞−∞
W [f ](t′, ν ′)e−2iπ(t′ν−tν′)dt′dν ′ . (16)
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Proyección integral de la distribución de Wigner-Ville
∫RW [f ](x, y)dy = |f(x)|2
∫RW [f ](x, y)dx = |F (y)|2 . (17)
Figura: Proyección integral de W [f ].
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TF RTF
Rotaciones de la distribución de Wigner-Ville
W [Fαf ](x, y) = W [f ](x cosα− y senα, x senα+ y cosα) . (18)
Figura: Trans. de Fourier fraccionaria y la distribución de Wigner-Ville.
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Rotaciones de la distribución de Wigner-Ville
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Filtrado en la Transformación de Fourier fraccionaria.
Figura: Densidades espectrales fraccionarias
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Representación Tiempo-Frecuencia
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Filtro Variante en el Tiempo
Gabor
Tiempo−Frecuencia
Filtro
T. Gabor Filtrada
Gabor Inverza
Señal con ruido Señal filtrada
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TF RTF
Convolución fraccionaria
DefiniciónConvolución fraccionaria de orden α
[f ∗α h](t) =∫ ∞−∞
f(t′)h(t− t′)ei2πt′(t−t′) cotαdt′ . (19)Frecuencia
Tiempo
h
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Filtro de Óptimo fraccionario
Se propone el filtro, de respuesta percusional h, que aplicado aXω = Sω +Bω, en general, minimice el error cuadrático medio
z2(α) = E{| [Xω ∗α h] (t)− Yω(t)|2} . (20)
Luego
Ecuación de optimización
[Y ~α X](σ) =
tf∫ti
h(θ)Tθ;α[X ~α X](σ)e−iπθ2 cotαdθ . (21)
Caso particular: ecuación de Wiener-Hopf para α = π/2.
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Filtro de Óptimo fraccionario
Se propone el filtro, de respuesta percusional h, que aplicado aXω = Sω +Bω, en general, minimice el error cuadrático medio
z2(α) = E{| [Xω ∗α h] (t)− Yω(t)|2} . (20)
Luego
Ecuación de optimización
[Y ~α X](σ) =
tf∫ti
h(θ)Tθ;α[X ~α X](σ)e−iπθ2 cotαdθ . (21)
Caso particular: ecuación de Wiener-Hopf para α = π/2.
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Filtro no causal
Señal Yω = Sω y Sω y Bω no correlacionados
Hα =SαS (να)
SαS (να) + SαB(να)e−iπν
2α cotα . (22)
La dependencia con el orden fraccionario α lo convierte en un filtroadaptativo.
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Aplicaciones
Radar/Optics (continous CFrFT)1 chirp-component detection2 pattern recognition (fractional correlation)
Image Processing (discrete CFrFT)1 chirp-component detection2 pattern recognition (fractional correlation)3 blurred image restoration (fractional filters)4 digital correction of slightly defocused astronomical images5 image coding (fractional DCT)
Communications (discrete CFrFT)1 modulated multi-path problems (fractional filters)2 ???
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GRACIAS