Download - Interpolacion y Aproximacion Polinomial
![Page 1: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/1.jpg)
INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN
PÓLINOMIAL
![Page 2: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/2.jpg)
SERIES DE TAYLORMÉTODO DE INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIO
![Page 3: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/3.jpg)
Es la representación de una función como la suma infinita de términos calculados con los valores de las derivadas de la función en un punto especifico, es decir, tomando el limite de sus sumas parciales
Si esta serie está centrada sobre el punto cero, a=0, se le denomina serie de McLaurin.
CONCEPTO
![Page 4: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/4.jpg)
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo “a” es la siguiente serie de potencias:
APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS DE TAYLOR
![Page 5: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/5.jpg)
Ejemplo:
Desarrollo de la serie de Taylor Para el Logaritmo Natural
Para -1<x≤1
APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS DE TAYLOR
![Page 6: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/6.jpg)
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones
Es posible calcular la óptimidad de la aproximación.
VENTAJAS DE LA APROXIMACIÓN
![Page 7: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/7.jpg)
Dado que la igualdad solo se expresa
Podemos escribir el termino del error como
Para algún valor c=c(x) que este entre x y a
CALCULO DEL ERROREjemplo para f(x)=exp(x) para x=1, a=0 y n=15
El valor de c esta entre 0 y 1, por lo que y dado que las sumas parciales están acotadas superiormente por 3, obtenemos:
Por lo tanto las cifras de aproximación e 2.718281828459 son exactas
![Page 8: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/8.jpg)
Se puede obtener aproximaciones a la derivada mediante el uso de las series de Taylor de una función f infinitamente diferenciable en el entorno de a, para k suficiente mediante la formula:
COROLARIOS
![Page 9: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/9.jpg)
EJEMPLO
Para la comprobación usaremos la función ya que su derivada es la misma función exponencial y podemos comprobar la respuesta
Mediante el empleo de la formula anterior y con valor inicial igual a cero para obtener la serie de McLaurin obtenemos
La cual es idéntica a la serie de McLaurin para la función original por lo que se comprueba el corolario
![Page 10: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/10.jpg)
Determine el grado del polinomio de Taylor Pn(x), desarrollado alrededor de a=0, que habria que usar para aproximar cos(33π/32) con un error menor que
EJERCICIO DE APLICACIÓN
![Page 11: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/11.jpg)
INTERPOLAIÓN DE LAGRANGE
![Page 12: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/12.jpg)
INTERPOLACIÓN LINEALCondiciones: 2 puntos Pendiente: Ecuación de la Recta: En forma general:
![Page 13: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/13.jpg)
El matemático francés Joseph Louis Lagrange descubrió que se puede encontrar este polinomio usando un método ligeramente distinto:
![Page 14: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/14.jpg)
Los cocientes de la ecuación en función de x son respectivamente
Usando la notación podemos escribir:
Cuando en un intervalo se conoce con el nombre de Interpolación linealSi se denomina extrapolación.
![Page 15: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/15.jpg)
EJEMPLO 1
Calcular: Vamos a usar los nodos y para construir el polinomio de interpolación lineal Vamos a usar los nodos y para construir el polinomio de interpolación lineal
![Page 16: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/16.jpg)
PARTE 1
Primero calculamos
![Page 17: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/17.jpg)
CALCULAMOS LOS COEFICIENTES POLINOMIOS DE LAGRANGE
![Page 18: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/18.jpg)
REMPLAZANDO EN
![Page 19: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/19.jpg)
PARTE 2
Primero calculamos
![Page 20: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/20.jpg)
CALCULAMOS LOS COEFICIENTES POLINOMIOS DE LAGRANGE
![Page 21: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/21.jpg)
REMPLAZANDO EN
![Page 22: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/22.jpg)
GRÁFICOS
![Page 23: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/23.jpg)
GRÁFICOS
![Page 24: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/24.jpg)
En forma general se puede escribir como:
Que pase por los puntos N+1, donde es el polinomio coeficiente de Lagrange para los nodos definido por:
![Page 25: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/25.jpg)
EJEMPLO 2
Calcular: Vamos a usar los nodos para construir el polinomio de interpolación cuadrático Vamos a usar los nodos para construir el polinomio de interpolación cúbico
![Page 26: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/26.jpg)
PARTE 1
Primero calculamos
Calculamos
![Page 27: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/27.jpg)
PARTE 1
Primero calculamos
![Page 28: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/28.jpg)
COEFICIENTES POLINOMIOS DE LAGRANGE
![Page 29: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/29.jpg)
REMPLAZANDO EN
![Page 30: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/31.jpg)
GRÁFICOS
![Page 32: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/32.jpg)
GRÁFICOS
![Page 33: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/33.jpg)
TÉRMINOS Y COTAS DE ERROR
Donde c es el punto medio de un intervalo
![Page 34: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/35.jpg)
Hay ocasiones en las que resulta útil construir varios polinomios aproximantes P1(x), P2(x)1,.... PN(x) y, después, elegir el más adecuado a nuestras necesi dades. Si usamos los polinomios interpoladores de Lagrange, uno de los inconve nientes es que no hay relación entre la construcción de PN-1(x) y la de PN (x): cada polinomio debe construirse individualmente y el trabajo necesario para calcular polinomios de grado elevado requiere hacer muchas operaciones.
![Page 36: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/37.jpg)
El polinomio se obtiene a partir de usando la recurrencia
En este marco se dice que el polinomio dado en la fórmula (4) es un polinomio de Newton con N centros Puesto que involucra sumas de productos de factores lineales, siendo
el de mayor grado, está claro que es un polinomio de grado menor o igual que N.
![Page 38: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/38.jpg)
Ejemplo. Dados los centros y los coeficientes vamos a calcular y evaluar para k=1, 2, 3 y 4
![Page 39: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/39.jpg)
Ahora evaluamos estos polinomios en x=2.5 y obtenemos =2
![Page 40: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/40.jpg)
Multiplicación encajada• Si N está fijo y tenemos que evaluar el polinomio varias veces, entonces
deberíamos usar multiplicaciones encajadas. El proceso es similar a la regla de Ruffini para polinomios escritos en su forma habitual; la diferencia reside en que a la variable independiente x hay que restarle los centros . El esquema de multiplicaciones encajadas para es
de manera que, si deseamos evaluar para un valor dado de x, entonces operamos desde dentro hacia afuera formando sucesivamente las cantidades:
![Page 41: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/41.jpg)
•Esta última cantidad es .
![Page 42: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/42.jpg)
Ejemplo: Vamos a calcular el valor de , que apareció en el ejemplo anterior usando el esquema de multiplicación encajada.Usando la formula escribimos
Luego los valores de son
Y por tanto
![Page 43: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/43.jpg)
APROXIMACIÓN POR POLINOMIOS: NODOS Y CENTROSSupongamos que queremos encontrar los coeficientes de todos los polinomios ...,que nos sirven para aproximar una función dada En tonces cada es el polinomio de Newton que tiene como centros los puntos y es también el polinomio de interpolación para los nodos Para el polinomio , los coeficientes y tienen un significado familiar; en este caso, se tiene que
![Page 44: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/44.jpg)
De modo que
Por tanto ahora
De donde se puede despejar :
![Page 45: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/45.jpg)
Por tanto es la pendiente de la línea recta que pasa por los puntos ( y (Los coeficientes son los mismos para así que, para continuar ahora evaluaremos en el nodo y obtenemos
![Page 46: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/46.jpg)
Usando los valores de y :
![Page 47: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/47.jpg)
Por motivos computaciones, escribimos mejor como:
El cálculo de los coeficientes se puede realizar de forma más rápida y sencillaUtilizando la notación de las diferencias divididas
![Page 48: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/48.jpg)
Definición (Diferenciales divididas). Las diferenciales divididas de una función f(x) se define como:
![Page 49: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/49.jpg)
![Page 50: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/50.jpg)
![Page 51: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/51.jpg)
Las diferenciales divididas de orden superior se forman de acuerdo con la siguiente formula recursiva:
Regla que se usa para construir la tabla de diferenciales divididas.Los coeficientes de de los polinomios de dependen de los valores de interpolación (con j=0,1,…, k); el siguiente teorema establece que puede calcularse usando las diferencias divididas de f(x);
![Page 52: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/52.jpg)
Teorema (polinomio interpolador de Newton). Supongamos que son N+1 numero distintos de . Entonces existe un único polinomio de grado menor o igual que N tal que
La forma de Newton de este polinomio interpolador es
Siendo
![Page 53: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/53.jpg)
Corolario (Aproximaciones de Newton) Supongamos que es el polinomio interpolador de Newton dado en el teorema y que los usamos para aproximar la función f(x), esto es,
Si , entonces para cada existe un numero en (a, b), tal que el termino del error puede escribirse como
![Page 54: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/54.jpg)
Ejemplo: Sea . Vamos a construir la tabla de diferenciales diferencias divididas para los nodos y a calcular el polinomio interpolador de Newton de para los nodos aparecen en la diagonal de a tabla de diferencias divididas y valen, respectivamente
![Page 55: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/55.jpg)
=0
=1 -0.4596977
=2 -0.9564491
-0.2483757
=3 -0.5738457
0.1913017 0,1465592
=4 -0.653653 0.3363499 0.450973 0,0879318 -0.0146568
Tabla de diferencias divididas usada para construir los polinomios interpoladores de Newton
![Page 56: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/56.jpg)
Usaremos para calcular los coeficientes de y los cuatro polinomios interpoladores de newton
=2
![Page 57: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/57.jpg)
GRAFICA DE Y=COS(X) Y DEL POLINOMIO INTERPOLADOR LINEAL Y=P1(X) PARA LOS NODOS X0=0 Y X1=1
![Page 58: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/58.jpg)
FIGURA (B) Y=COS(X) Y DEL POLINOMIO INTERPOLADOR DE NEWTON CUADRÁTICO Y=P2(X) PARA LOS NODOS X0=0 Y X1=1 X2=2
![Page 59: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/59.jpg)
POLINOMIOS DE CHEBYSHEV
![Page 60: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/60.jpg)
Polinomio que interpola la función f(x) , definida en [-1,1]Con los nodos El polinomio interpolador tanto en su forma de Lagrange como en la forma de Newton cumple:
Error
![Page 61: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/61.jpg)
Relación de Recurrencia
PROPIEDADES
![Page 62: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/62.jpg)
Coeficiente Líder
![Page 63: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/63.jpg)
SIMETRÍA
REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA
![Page 64: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/65.jpg)
Ceros simples en [-1,1] o Nodos de CHEBYSHEV
Valores extremos
![Page 66: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/66.jpg)
TeoremaSupongamos que N esta fijo. Entre todas las posibles elecciones del factor Q(x) en la ecuación (2), el polinomio
Es más,
![Page 67: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/67.jpg)
EJEMPLOSe aproxima la función por un Polinomio de N=3 con nodos equiespaciados por LagrangeCalculamos los coeficientes de Lagrange
![Page 68: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/68.jpg)
Evaluamos la funcion en los respectivos nodos
![Page 69: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/69.jpg)
Multiplicamos los coeficientes por la función evaluada en el respectivo nodo
![Page 70: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/70.jpg)
Se aproxima la función 𝒇ሺ𝒙ሻ= 𝒆𝒙 por un Polinomio de N=3 con nodos de CHEBYSHEV
𝑥0 = 𝐜𝐨𝐬൬𝟕𝝅𝟖൰ 𝑥1 = 𝐜𝐨𝐬൬𝟓𝝅𝟖൰ 𝑥2 = 𝐜𝐨𝐬൬𝟑𝝅𝟖൰𝑥3 = 𝐜𝐨𝐬ቀ𝝅𝟖ቁ
![Page 71: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/71.jpg)
Calculamos los coeficientes de Lagrange con los nodos de Chebyshev
![Page 72: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/72.jpg)
Evaluamos la función en los nodos de Chebyshev
![Page 73: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/73.jpg)
![Page 74: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/74.jpg)
|
Sacamos la primera derivada e igualamos a cero
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐=|𝒆𝒙−𝑷 (𝒙 )|≤𝟎 .𝟎𝟎𝟗𝟗𝟖𝟒𝟖𝟏𝒑𝒂𝒓𝒂−𝟏≤ 𝒙 ≤𝟏
![Page 75: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/75.jpg)
|
![Page 76: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/76.jpg)
![Page 77: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/77.jpg)
Nodos de CHEBYSHEV en otros intervalos.
![Page 78: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/78.jpg)
![Page 79: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/79.jpg)
![Page 80: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/80.jpg)
|𝒇 (𝒙 )−𝑷𝑵 (𝒙 )|≤( 𝝅𝟏𝟔 )𝟔
( 𝟐𝟔 ! )𝟐−𝟏𝟐≤𝟓 .𝟔𝟐𝟕𝟕𝟏𝟏𝟕𝟔𝟒𝟎∗𝟏𝟎−𝟖
El error se calcula de la siguiente expresión.
𝑼𝒔𝒂𝒏𝒅𝒐𝒍𝒂𝒄𝒐𝒕𝒂∨ 𝒇 𝟓+𝟏 (𝒙 )∨≤∨−|𝒔𝒆𝒏( 𝝅𝟒 )|=𝟐−𝟏𝟐
![Page 81: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/81.jpg)
APROXIMACION DE CHEBYSHEV
j=1,2….N
![Page 82: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/82.jpg)
![Page 83: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/83.jpg)
+++=1.26606568
==1.13031500
==0.24175036
==0.04379392
![Page 84: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/84.jpg)
𝑷ሺ𝒙ሻ= 𝟏.𝟐𝟔𝟔𝟎𝟔𝟓𝟔𝟖𝑻𝟎ሺ𝒙ሻ+ 𝟏.𝟏𝟑𝟎𝟑𝟏𝟓𝟎𝟎𝑻𝟏ሺ𝒙ሻ+ 𝟎.𝟐𝟒𝟏𝟕𝟓𝟎𝟑𝟔𝑻𝟐ሺ𝒙ሻ+ 𝟎.𝟎𝟒𝟑𝟕𝟗𝟑𝟗𝟐𝑻𝟑ሺ𝒙ሻ
𝑷 (𝒙 )=𝟎 .𝟗𝟗𝟒𝟔𝟏𝟓𝟑𝟐+𝟎 .𝟗𝟗𝟖𝟗𝟑𝟑𝟐𝟑 𝒙+𝟎 .𝟓𝟒𝟐𝟗𝟎𝟎𝟕𝟐 𝒙𝟐+𝟎 .𝟏𝟕𝟓𝟏𝟕𝟓𝟔𝟗 𝒙𝟑
![Page 85: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/85.jpg)
![Page 86: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/86.jpg)
CODIFICACIONES EN MATLAB
![Page 87: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/87.jpg)
SERIE DE TAYLOR
![Page 88: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/88.jpg)
Ejercicio de AplicaciónDetermine el grado del polinomio de Taylor Pn(x), desarrollado alrededor de a=0, que habria que usar para aproximar con un error menor que
![Page 89: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/89.jpg)
CALCULO DEL ERROR
![Page 90: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/90.jpg)
POLINOMIO DE LAGRANGE
![Page 91: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/91.jpg)
![Page 92: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/92.jpg)
POLINOMIO DE NEWTON
![Page 93: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/93.jpg)
![Page 94: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/94.jpg)
POLINOMIO DE CHEBYSHEV
![Page 95: Interpolacion y Aproximacion Polinomial](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022042721/56d6be951a28ab301692bcf5/html5/thumbnails/95.jpg)