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INSTABILITA’ Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro
dell’anello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene.
Se GH>1 il segnale di uscita, ad ogni giro nell,anello si amplifica e quindi si ha una oscillazione che aumenta di ampiezza anche senza alcun ingresso
G
H
U=UGH
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INSTABILITA’ Qual è la situazione limite per l’instabilità?
si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e’ uguale a 1, e lo si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e’ uguale a 1, e lo sfasamento è uguale a -180sfasamento è uguale a -180oo..
NB Sfasare di 180o corrisponde a moltiplicare per –1 , poiché il nodo di confronto moltiplica a sua volta per –1, il segnale risulta uguale a se stesso e si automantiene!!!!
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Punto critico modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a
-180-180oo corrisponde al punto complesso corrisponde al punto complesso
-1+j0-1+j0 tale punto è detto
punto criticopunto critico
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Sistemi a sfasamento minimoSistemi a sfasamento minimo Una condizione necessaria, ma non sufficiente,
perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s) siano a parte reale non positiva
Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto
frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo
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Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso.
Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato.
Margini di stabilità
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G(s)
H(s)
+
-
R(s) Y(s)E(s)
Margine di fase
Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardoche può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità.
1)( : cc iL )(arg cm iL
L’angolo che manca alla fase della funzioned’anello per raggiungere π in corrispondenzadella pulsazione di cross-over, cioè dellapulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario.
0m Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico
0m Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico
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G(s)
H(s)
+
-
R(s) Y(s)E(s)
Margine di guadagno
Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità.
)L(iωc arg :)(
1
iLgm
1)( iL Il sistema è stabile
Rappresenta di quanto l’ordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω)sta al di sotto dell’asse ω in corrispondenzadella pulsazione .
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Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.
2
3
m
mg
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CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over , per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π.
c
c
c
m
Criterio di stabilità di Bode
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Criterio di stabilità di BodeUn sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s), alla pulsazione di taglio coco, ha una fase con valore assolutominore di 180°
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Cos’è co?
co è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 dB e quindi co è la pulsazione che si individua nell’intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l’asse delle pulsazioni
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Cos’è co?
Questo è il valore di co
|G(s)•H(s)|
E questa è la
fase della G(s)•H(s) alla pulsazione co
Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) co?
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Condizioni di stabilità In realtà, il criterio di Bode individua
condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo
Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno)
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Cos’è il margine di fase? Il margine di fase può essere definito:
m= 180° + (co)
Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover
L’individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue
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Cos’è il margine di fase?
|G(s)•H(s)|
Si considerino i diagrammi di Bode di una
generica funzione G(s)H(s)
si trova (t)
In corrispondenza
di co
che, in questo
esempio, vale
-135°Il margine di
fase m
dell’esempio considerato, vale
dunque180°-135°=+45°
-90°
-180°-135°
(t)
m
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Condizioni di stabilità
Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30° (m> 30°)
Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (m< 0°)
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Cos’è il margine di ampiezza? Il margine di ampiezza può essere definito:
mgdB= 0 - |G(s)•H(s)|dB(=-180°)
Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180°
L’individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue
![Page 18: INSTABILITA Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro dellanello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene. Se GH>1 il segnale di uscita,](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062701/5542eb69497959361e8d4dd4/html5/thumbnails/18.jpg)
Cos’è il margine di ampiezza?
|G(s)•H(s)|
Si considerino i diagrammi di Bode di una
generica funzione G(s)H(s)
si rileva il modulo del
guadagno in dB
In corrispondenza
di = -180°
che, in questo
esempio, è negativo
Il margine di ampiezza mgdB
dell’esempio considerato, è
dunque positivo-180°
|G(s)•H(s)|dB(=-180°)mgdB
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Condizioni di stabilità Concludendo, si può dire che un sistema di
controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase m e di ampiezza mgdB sono entrambi positivi
Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che m sia maggiore di 30° e che mgdB sia maggiore di 1020 dB