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MÓDULO 4MATRIZES DETERMINANTES
NÚMEROS COMPLEXOS
Inês Chiarelli DiasAirton Clementino
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"Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo,torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Sea educação sozinha não transformar a sociedade, sem elatampouco a sociedade muda." Paulo Freire
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..\..\Downloads\Acreditar na Vida.
pps
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Matrizes Qual o seu significado imediato? Uma tabela de dupla entrada
contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes)
Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.
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Ex: As notas finais dos alunos de uma série, podem formar uma matriz cujas colunas correspondem às matérias lecionadas naquela série e cujas linhas representam os alunos. Na interseção de uma linha com uma coluna figura a nota daquele aluno naquela matéria.
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MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS
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Operações entre duas matrizesO polígono EFGH é uma translação do polígono
ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?
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Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .
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• Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.
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Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B
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Matriz de compensação
553863
456237 456237
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a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual a porcentagem de audiência prevista para cada programa? b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quantos por cento a mais? c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências?
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MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES
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Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz.
Obter a matriz A assim definida: A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j
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Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com jSe o elemento cij= 1, devemos unir i com j
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Em uma prova com 20 questões, cada questão respondida corretamente ganha-se 2 pontos, cada questão não respondida perde-se 1 ponto, e cada questão respondida erradamente perde-se 2 ponto,Camila acertou 12, errou 6 e as outras deixou em branco.Pedro acertou 13, errou 7 e as outras em branco.
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ACERTOS ERROS BRANCO
CAMILA
PEDRO
RESULTADO PONTOS
ACERTOS
ERROS
EM BRANCO
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Calcule quantos pontos cada um fez e coloque o resultado em uma matriz E2x1.
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Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B fabrica 3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite e manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimadas conforme a matriz de venda semanal abaixo:
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Confeitaria Bolo tipo1 Bolo tipo2 Bolo tipo3A 50 unidades 30 unidades 25 unidadesB 29 unidades 20 unidades 40 unidades
Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz n seguinte:
Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos
Tipo1 500g 200g 500ml 150g 4
Tipo2 400g 100g 300ml 250g 5
Tipo3 450g 150g 600ml 0 6
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A direção da empresa, a fim de atender à demanda, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. A resposta deve ser uma matriz P, do tipo 2x5, onde as linhas representam as duas confeitarias e as colunas correspondem aos cinco materiais usados.
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Matriz Transposta: Dada uma matriz A=(aij)mxn, chama-se transposta de A a matriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todo i e todo j.
Matriz Simétrica: Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = A
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Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem
n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular
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Qual é a inversa da matriz A = ?
Qual é a inversa da matriz A = ?
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DETERMINANTES
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações.
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Determinante de uma matriz ordem 1O determinante da matriz de ordem , é
o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real
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O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.
Determinante de matriz de ordem 2
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Determinante de matriz de terceira ordemO determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:
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Calcular o determinante
3125
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Menor Complementar:Consideremos uma matriz M de ordem
n≥2;Seja aij um elemento de M. Definimos
menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.
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Seja M= calculemos D11 e D32
, então D11=
, então D32=
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Complemento algébrico do elemento aij - Cofator
Consideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij
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Seja M = calculemos A11, A12, A13
A11= (-1) 1+1 =
A12= (-1)1+2 =
A13= (-1)1+3 =
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Teorema Fundamental (de Laplace)
O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
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Calcule o determinante da matriz abaixo
3 4 2 1 5 0 -1 -2 0 0 4 0 -1 0 3 3
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Trabalho
Propriedades dos determinantes
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Matriz de Vandermonde (ou das potências)
São as matrizes de ordem n ≥2,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.
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O determinante V(a1,a2,a3,...,an) é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos, com a condição de que, nas diferenças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo.
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(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)=
8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920
=
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Calcule os determinantes abaixo:
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Resolva a equação: 1 1 1 1 1 2 x -5 1 4 x2 25 1 8 x3 -125
= 0
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Processo de Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada M
Teorema: Se M é uma matriz quadrada de ordem n e determinante M ≠0, então a inversa de M é:
M’ = matriz dos cofatores
=
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Qual a condição sobre a para que a matriz
M= Seja inversível?
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Sistemas Lineares
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Vamos resolver: 2x - 3y = 11 x + 2y = 2Para um sistema linear qualquer,
podemos associar uma matriz denominada completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes.
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• Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos aij da matriz em que i > j.
2 -3 11 1 2 2
Essa é a matriz completa
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2 -3 11 L1
1 2 2 L2
2 -3 11L1-2L2 0 -7 7
Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz,m gerando uma nova linha 2
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A matriz do sistema foi escalonada,.Na nova equação da linha2 da matriz temos:0x – 7y = 7 ou y = - 1 Substituindo esse valor em uma das equações iniciais, obtém-se x = 4
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Vamos escalonar?
x + y + z = 3 2x – y – 2z = 2 x + 2z = 4
S= {(2, 0, 1)}
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No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles.
No método do escalonamento o aluno vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.
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Escalonamento x CramerApesar de a regra de Cramer ser uma regra geral para a
resolução de sistemas lineares, na prática ela requer uma quantidade de operações (adições, subtrações, multiplicações e divisões) muito superior ao método do escalonamento, além do fato de ela só servir para resolver sistemas possíveis e determinados. Vejamos o que ocorre com um sistema de vinte equações e vinte incógnitas:
Pelo método do escalonamento serão necessárias até 16.000 operações
Pela regra de Cramer serão necessárias até 1.021.818.843.434.190.000.000 operações.
Muitos dos problemas práticos envolvem uma quantidade muito grande de operações, e mesmo utilizando programas de computadores, é nítida a vantagem do método do escalonamento, pois se deseja o máximo de eficiência e, portanto, o menor tempo de processamento.
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Resolver o sistema abaixo: x – 3y = -6 2x + y + z = 1 -x + 2y – 2z = 6
S={(0, 2, -1)}
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Por Cramer o sistema será apenas identificado como possível e indeterminado, mas não ajudaria na resolução. x + y + z = 3 2x – y + 3z = 4 -x -4y = -5
S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}
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• O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outra situações , que não envolvam resolução de sistemas lineares , por ex. em cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano.
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Conhecendo as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcularmos sua área por intermédio da composição e/ou de composição de polígonos auxiliares.
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..\área de triângulo.ggb
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Área(ABC)= área(ADEF) – área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)
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Área(DEFC)= (xB - xC).(yA - yC)
Área(BFC) = [(xB - xC).(yB - yC)]/2
Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2
Área(ADC) = [(xA - xC).(yA - yC)]/2
Área do triângulo ABC= (xB - xC).(yA - yC)-{[(xB - xC).(yB - yC)]/2 +
[(xB - xA).(yA- yB)]/2 + [(xA - xC).(yA - yC)]/2}
Área do ABC = [xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
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• Por determinante
½
xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
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Vamos determinar a área do polígono?
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De outra maneira, em uma extensão de regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como segue, sendo xi e yi as coordenadas de cada vértice do polígono com n vértices.A=
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1/2
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• Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus.• Metade do resultado final da soma, em
módulo, é igual à área do polígono de n lados.• O ponto inicial pode ser qualquer um
dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.
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Calcule a área do pentágono COISA representado abaixo
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Qual a área do polígono?
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Discussão de um Sistema Linear
![Page 71: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/71.jpg)
Se b= 5/6 S= {(5,-5)} Sist. possível e determinado – S.P.D.
Sistema impossível – S.I.
![Page 72: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/72.jpg)
1) Vamos discutir o sistema
Em função dos parâmetros a e b
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2)Encontre o valor de a para que o sistema
Seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema,isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.
+
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Sistemas Lineares homogêneos
Se num sistema linear todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado sistema linear homogêneo.
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Como os sistemas homogêneos são sempre possíveis, são os únicos que podem ser classificados apenas a partir do cálculo do determinante.Como não há chance de o sistema homogêneo ser SI, se o determinante for nulo, o sistema homogêneo será SPI
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D=0 SPI
Vamos determinar uma solução geral
Fazendo y = k, S={(3k/2,k) , k ϵ R}
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D≠ 0 o sistema é homogêneo, então a única solução é a trivial, ou seja S= {(0, 0, 0)}
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Verifique se o sist. linear homogêneo
é determinado ou indeterminado
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Calcule o valor de a para os quais o sistema
Admita outras soluções além de x = y = z = 0
a= 1 , a = -1
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Verifique se o sistema
zty
tzx
tyx
zyx
Admite soluções próprias
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Aplicações
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O latão é uma liga metálica composta basicamente de cobre e zinco. Em geral a porcentagem de zinco na liga varia de 20% a 35%, dependendo das características que se quer dar ao latão. Uma empresa possui em estoque dois grandes lotes de latão, sendo um lote de 4 toneladas de latão com 23% de zinco na sua composição e um lote de 5 toneladas de latão com 33% de zinco.
![Page 83: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/83.jpg)
Essa empresa foi consultada sobre a probabilidade de fazer uma entrega de certa quantidade de latão, de modo que no total a porcentagem de zinco fosse de 25%
a) Para cada tonelada com 25% de zinco, quantos quilos de cada tipo de latão que a empresa tinha em estoque seria necessários?
![Page 84: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/84.jpg)
b) Qual é a quantidade máxima que ela poderia obter de latão com25% de zinco, com base em seus estoques atuais?
![Page 85: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/85.jpg)
Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida, Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lápis tivesse custado 1 real a mais ele teria pago em média R$7,75 por cada item comprado. Determine a quantidade de caneta que Joaquim comprou.
![Page 86: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/86.jpg)
Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual o preço da pizza?
![Page 87: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/87.jpg)
Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha de caju,R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00.
![Page 88: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/88.jpg)
Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas
![Page 89: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/89.jpg)
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades em gramas, de cada ingrediente por lata.
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Roberto gosta de fazer caminhada em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto médico e uma banca de revistas. Fazendo o mesmo caminho diariamente, Roberto constatou que , da lanchonete à banca de revistas, passando pelo posto médico, caminhou 1000 passos.
![Page 91: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/91.jpg)
Do posto médico à lanchonete passando pela banca caminhou 800 passos e da banca ao posto passando pela lanchonete, caminhou 700 passos. Considerando que cada um dos passos de Roberto mede 80cm, qual é o comprimento da pista.
![Page 92: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/92.jpg)
Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00, em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$ 50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$ 240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual o valor do meu cheque?
![Page 93: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/93.jpg)
João contou os coelhos, os patos e os bois que havia em sua fazenda, obtendo um total de 340 animais. A seguir, verificou que o nº de coelhos era o triplo do de patos e que o número de bois excedia em 20 unidades o total de coelhos e patos. Determine o número de patos que havia na fazenda.
![Page 94: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/94.jpg)
Em uma mesa de lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e um pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Quanto deve totalizar o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta nessa lanchonete?
![Page 95: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/95.jpg)
Um estudante em férias observou que durante d dias:
Choveu 7 vezes de manhã ou de tarde;
Houve 5 manhãs sem chuva;Houve 6 tardes sem chuvaCalcule d
![Page 96: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/96.jpg)
Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?
![Page 97: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/97.jpg)
NÚMEROS COMPLEXOS
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Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos.
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No século XVIII são mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais.
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• No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano.
![Page 101: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/101.jpg)
• Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática
![Page 102: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/102.jpg)
http://matmagias.blogspot.com/2009/06/ainda-proposito-dos-numeros-complexos.html
![Page 103: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/103.jpg)
• Introdução Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576),
em seu livro “A Grande Arte”, mostrou o método para resolver equações do terceiro grau que é hoje chamada de Fórmula de Cardano. Bombelli (1526-1572), discípulo de Cardano, em sua “Álgebra”, aplicou a fórmula de Cardano à equação x3 -15x -4 = 0 obtendo
+X =
![Page 104: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/104.jpg)
• Embora não se sentisse completamente a vontade em relação às raízes quadradas de números negativos (diziam que eram inúteis e sofísticas), Bombelli operava livremente com elas, aplicando-lhes as regras usuais da Álgebra.
Bombelli mostrou que:
= ... (vamos desenvolver)
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Portanto x = 2 + + 2 - = 4 . Bombelli trabalhava Sistematicamente com a quantidade
,que hoje chamamos de unidade
imaginária e representamos por i.
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Apenas no séc. XIX, quando Gauss(1787-1855), o grande matemático da época e um dos maiores de todos os tempos, divulga a representação geométrica dos números complexos e a sensação de desconforto desaparece (Mat. do E.M. vol3-SBM)
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Os números complexos constituem um conjunto C, onde estão definidas operações de adição e de multiplicação com as propriedades (comutativas, associativas, distributiva , *)
![Page 108: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/108.jpg)
•*Existem e são únicos os números 0 e 1 satisfazendo às condições a+0=a, a.1=a•*A todo real a corresponde um único número real (-a), e se a≠0 um único nº real 1/a, tais que:•a+(-a)=0 e a.(1/a) =1
![Page 109: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/109.jpg)
Além disso, os números reais estão incluídos em C e:
a) Existem um nº complexo i com i2 = -1b) Todo número complexo pode ser
escrito de uma maneira única na forma a + bi, onde a e b são reais (a é chamado parte real e b é chamado parte imaginária do complexo a+bi). Usa-se a notação Re(a+bi)= a e
Im(a +bi)=b
![Page 110: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/110.jpg)
Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = x + yi é representado pelo ponto P(x, y) . O ponto P é chamado de imagem do complexo z.
O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de Argand-Gauss (Argand 1768-1822, matemático francês).
![Page 111: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/111.jpg)
Os números representados no eixo x são da forma (x, 0)= x + 0i = x, isto é, são números reais, por esse motivo, o eixo dos x é chamado de eixo real.
Os complexos representados no eixo y são da forma (0, y) = 0 + yi = yi, esses complexos são chamados de números imaginários puros.
![Page 112: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/112.jpg)
• Módulos e Conjugados• Dado um nº Complexo z = a +bi, e z≠0,
temos z.(1/z) = 1. Convém definir o conjugado de um nº complexo =a - bi
• Geometricamente o conjugado é representado pelo simétrico de z relativamente ao eixo
=(a,-b)
z=(a,b)
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• Chama-se módulo de z (|z|) ao número real não negativo |z|= .
• Geometricamente |z| mede a distancia de O a z
= =(a+bi)(a-bi) = = |z|
z=(a, b)
![Page 114: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/114.jpg)
• Corolário: Se um polinômio de coeficientes reais
admite uma raiz complexa a +bi, a e b reais, então ele admite também a raiz a – bi.
P(a + bi) = 0 = 0 + 0i, então, pelo teorema P(a –bi) = 0 – 0i = 0
![Page 115: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/115.jpg)
Vamos fazer exercícios?
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![Page 118: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/118.jpg)
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• Lista de classe nº 1• Lista para casa nº 1
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FORMA TRIGONOMÉTRICA
z= a+ bi z=(a,b)
b= r sen Ѳ
Ѳ
a= r cos Ѳ
|z| = r
z= a+bi = r cosѲ + r senѲ i
= r (cosѲ + i senѲ)
![Page 122: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/122.jpg)
Encontrar a forma trigonométrica
• z = 3 +3i
|z|= = 3
cosѲ= Ѳ= π/4 +2kπ, k ϵ Z argumento
z= 3 (cos(
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• 1 + i =• - 8
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Multiplicação de ComplexosSendo
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![Page 126: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/126.jpg)
Na figura P é afixo do número complexo z. Determine o complexo
![Page 127: Implementação módulo4](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022013011/557f6e3fd8b42aab368b4cda/html5/thumbnails/127.jpg)
Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles e está inscrito em uma circunferência de raio 3.
Qual a área do triângulo ABC ?
2
Re(z)
Im(z)
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• No plano de Argand-Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z.z = 10, são vértices de um polígono regular.
a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual é a área desse polígono?
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RadiciaçãoDado um número complexo z, chama-se raíz enésima de z, e denota-se , a um número complexo , tal que =
Exs: 1 é um valor de pois 13 = 1 - é um valor de pois =1
- é um valor de pois = 1
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SEGUNDA FÓRMULA DE MOIVRETeorema:Dado o número complexo z = ƿ (cosѲ + i senѲ)
e o número natural n (n ≥ 2), então existem n raízes enésimas de z que são da forma:
em R+ e K ϵ Z
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Interpretação geométrica da multiplicação de complexos
Quando multiplicamos um complexo z por , o vetor que representa z sofre uma rotação de um ângulo em torno da origem.Como tem módulo =1, z.[ ] tem o mesmo módulo que z.
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O argumento de z. [ ] é o argumento de z aumentado de Ѳ . Logo o vetor que representa z.[ ] é o resultado da rotação do vetor que representa z de um ângulo Ѳ em torno da origem.
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• ABCD é um quadrado. Se A(1; 2) e B(2; 5), determine as coordenadas de C e D.
A B
CD
C’D’
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O vetor AD é obtido por uma rotação de + 90°. Portanto (D – A) = (B – A) [cos90° + i sen 90°].D – ( 1 + 2i) = ( 1 + 3i). i e D = 1 + 2i + i + 3i2 = -2 + 3i = (-2; 3).Vetor AD = vetor BC. Daí D - A = C – B,C = B + D – A = ( -1; 6)A é o ponto médio de DD’.Logo D’= (4; 1) e C’= ( 5, 4)
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ABCD é um quadrado. Dados A= (1, 2) , e B= (3, 5), determine as coordenadas C e D.
Dois vértices consecutivos de um octógono regular convexo são (1, 2) e ( 3, -2). Determine o centro do octógono
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• No plano de Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z. z = 10 são vértices de um polígono regular.
a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual a área desse polígono?