Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
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Il piano
Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sul piano in termini didue parametri
π :
x = 2 + α− βy = −1 + α− βz = 1 + α+ β
x , y , z dipendono linearmentedai parametri;π =0@ 2−11
1A + span
0@0@111
1A ,
0@−1−11
1A1A
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Il piano
Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sul piano in termini didue parametri
π :
x = 2 + α− βy = −1 + α− βz = 1 + α+ β
x , y , z dipendono linearmentedai parametri;π =0@ 2−11
1A + span
0@0@111
1A ,
0@−1−11
1A1A
E quazione cartesianaDescrive il piano π comeinsieme di soluzione diun’equazione lineare
x − y = 3
Il vettore n =
0@ 1−10
1A e normale
al piano.
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La retta
Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sulla retta in termini di unparametro reale
r :
x = 2 + αy = −1 + αz = 1 + α
x , y , z dipendono linearmentedal parametro;
r =
0@ 2−11
1A + span
0@111
1A.
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La retta
Equazione parametricaDescrive le coordinate deipunti sulla retta in termini di unparametro reale
r :
x = 2 + αy = −1 + αz = 1 + α
x , y , z dipendono linearmentedal parametro;
r =
0@ 2−11
1A + span
0@111
1A.
Equazione cartesianaDescrive la retta r = insieme disoluzioni di un sistema linearedi 2 eq. in 3 inc.{
x − y = 3x + y + z = 2
La retta r e intersezione delpiano di eq. x − y = 3 e delpiano di eq. x + y + z = 2.
I vettori
0@ 1−10
1A e
0@111
1A sono
normali alla retta
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Problemi
1 Data un’equazione parametrica di un piano/rettadeterminarne un’equazione cartesiana.
2 Data un’equazione cartesiana di un piano/rettadeterminarne un’equazione parametrica.
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Da parametriche a cartesiane per la retta
Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni
x2 − 1 = y
2 −12
x2 − 1 = z
3 + 13
y2 −
12 = z
3 + 13
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Da parametriche a cartesiane per la retta
Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni
x2 − 1 = y
2 −12
x2 − 1 = z
3 + 13
y2 −
12 = z
3 + 13
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Da parametriche a cartesiane per la retta
Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni
x2 − 1 = y
2 −12
x2 − 1 = z
3 + 13
y2 −
12 = z
3 + 13
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Da parametriche a cartesiane per la retta
Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni
x2 − 1 = y
2 −12
x2 − 1 = z
3 + 13
y2 −
12 = z
3 + 13
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Da parametriche a cartesiane per la retta
Il metodo della cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni { x
2 − 1 = y2 −
12
x2 − 1 = z
3 + 13
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Da parametriche a cartesiane: caso retta
Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x
2 − 1 = y2 −
12
x2 − 1 = z
3 + 13
{ x2 −
y2 = 1− 1
2x2 −
z3 = 1 + 1
3
{x − y = 13x − 2z = 8
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Da parametriche a cartesiane: caso retta
Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x
2 − 1 = y2 −
12
x2 − 1 = z
3 + 13
{ x2 −
y2 = 1− 1
2x2 −
z3 = 1 + 1
3
{x − y = 13x − 2z = 8
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Da parametriche a cartesiane: caso retta
Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x
2 − 1 = y2 −
12
x2 − 1 = z
3 + 13
{ x2 −
y2 = 1− 1
2x2 −
z3 = 1 + 1
3
{x − y = 13x − 2z = 8
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Da parametriche a cartesiane: caso retta
Il metodo di cancellazione dei parametrix = 2 + 2αy = 1 + 2αz = −1 + 3α
2α = x − 22α = y − 13α = z + 1
α = x
2 − 1α = y
2 −12
α = z3 + 1
3
.
Deduciamo dunque che per i punti sulla retta soddisfano leequazioni{ x
2 − 1 = y2 −
12
x2 − 1 = z
3 + 13
{ x2 −
y2 = 1− 1
2x2 −
z3 = 1 + 1
3
{x − y = 13x − 2z = 8
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Da parametriche a cartesiane: caso piano
Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:
β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β
8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β
8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β
Deduciamo dunque che
z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .
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Da parametriche a cartesiane: caso piano
Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:
β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β
8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β
8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β
Deduciamo dunque che
z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .
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Da parametriche a cartesiane: caso piano
Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β
8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β
8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β
Deduciamo dunque che
z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .
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Da parametriche a cartesiane: caso piano
Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:
β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β
8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β
8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β
Deduciamo dunque che
z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .
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Da parametriche a cartesiane: caso piano
Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:
β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β
8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β
8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β
Deduciamo dunque che
z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .
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Da parametriche a cartesiane: caso piano
Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:
β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β
8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β
8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β
Deduciamo dunque che
z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .
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Da parametriche a cartesiane: caso piano
Il metodo di cancellazione dei parametri8<:x = 2 + 2α + βy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + βz = 4 + α + 4β
8<:β = x − 2− 2αy = 1 + α + (x − 2− 2α)z = 4 + α + 4β8<:
β = x − 2− 2αy = x − 1− αz = 4 + α + 4β
8<:α = x − y − 1β = x − 2− 2(x − y − 1)z = 4 + α + 4β
8<:α = y − x + 1β = −x + 2yz = 4 + α + 4β
Deduciamo dunque che
z = 4 + (x − y − 1) + 4(−x + 2y) = 3− 3x + 7y .
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Alcuni casi particolari
1)
x = 3y = 2 + 3αz = 1− α
Ricavo i parametri dalla seconda e terza equazione{α = y
3 −23
α = 1− ze deduco y
3 −23 = 1− z ovvero y + 3z = 5.
L’altra equazione?
x = 3.
Equazione cartesiana:{
x = 3y + 3z = 5
.
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Alcuni casi particolari
1)
x = 3y = 2 + 3αz = 1− α
Ricavo i parametri dalla seconda e terza equazione{α = y
3 −23
α = 1− ze deduco y
3 −23 = 1− z ovvero y + 3z = 5.
L’altra equazione?x = 3.
Equazione cartesiana:{
x = 3y + 3z = 5
.
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Alcuni casi particolari
2)
x = 7y = 3z = 3 + 2α
Equazione cartesiana:
{x = 7y = 3
3)
x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β
Equazione cartesiana: x = 12.
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Alcuni casi particolari
2)
x = 7y = 3z = 3 + 2α
Equazione cartesiana:{
x = 7y = 3
3)
x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β
Equazione cartesiana: x = 12.
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Alcuni casi particolari
2)
x = 7y = 3z = 3 + 2α
Equazione cartesiana:{
x = 7y = 3
3)
x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β
Equazione cartesiana:
x = 12.
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Alcuni casi particolari
2)
x = 7y = 3z = 3 + 2α
Equazione cartesiana:{
x = 7y = 3
3)
x = 12y = 2 + 3α+ βz = 1− α− 2β
Equazione cartesiana: x = 12.
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Alcuni casi particolari
4)
x = 7 + 2α+ βy = 3 + 4α+ 2βz = 3 + 2α
Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7− 2α.Sostituendo nella seconda equazione:y = 3 + 4α+ 2(x − 7− 2α)Deduco che y = −11 + 2x .
Il parametro α e sparito!
Equazione cartesiana: y=-11+2x.
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Alcuni casi particolari
4)
x = 7 + 2α+ βy = 3 + 4α+ 2βz = 3 + 2α
Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7− 2α.Sostituendo nella seconda equazione:y = 3 + 4α+ 2(x − 7− 2α)Deduco che y = −11 + 2x . Il parametro α e sparito!
Equazione cartesiana: y=-11+2x.
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Alcuni casi particolari
4)
x = 7 + 2α+ βy = 3 + 4α+ 2βz = 3 + 2α
Ricavo β dalla prima equazione: β = x − 7− 2α.Sostituendo nella seconda equazione:y = 3 + 4α+ 2(x − 7− 2α)Deduco che y = −11 + 2x . Il parametro α e sparito!
Equazione cartesiana: y=-11+2x.
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Procedimento per il piano
Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2.
Possiamo riscrivere l’equazione nella forma seguente
z = 3x + 2y − 2
La soluzione generale di tale equazione ex = αy = βz = 3α+ 2β − 2
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Procedimento per il piano
Consideriamo il piano π di equazione 3x + 2y − z = 2.Possiamo riscrivere l’equazione nella forma seguente
z = 3x + 2y − 2
La soluzione generale di tale equazione ex = αy = βz = 3α+ 2β − 2
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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2
{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z{
x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z
Dunque in definitiva si ottiene il sistema{
y = 1 + 2zx = −3z
la cui
soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α
.
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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2
{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z
{x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z
Dunque in definitiva si ottiene il sistema{
y = 1 + 2zx = −3z
la cui
soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α
.
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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2
{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z{
x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z
{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z
Dunque in definitiva si ottiene il sistema{
y = 1 + 2zx = −3z
la cui
soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α
.
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Procedimento per la retta{x + y + z = 1x + 2y − z = 2
{x + y = 1− zx + 2y = 2 + z{
x = (1− z)− y(1− z)− y + 2y = 2 + z{y = 2 + z − (1− z) = 1 + 2zx = (1− z)− y = (1− z)− (1 + 2z) = −3z
Dunque in definitiva si ottiene il sistema{
y = 1 + 2zx = −3z
la cui
soluzione generale e x = −3αy = 1 + 2αz = α
.
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Alcuni casi particolari
1) x + z = 3. Ricavo z = 3− x , la soluzione generale ex = αz = 3− αy =
β
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Alcuni casi particolari
1) x + z = 3. Ricavo z = 3− x , la soluzione generale ex = αz = 3− αy =β
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Alcuni casi particolari
2){
x + y − z = 1x + y + 2z = 0
Procedendo come prima otteniamo{
x + y = 1 + zx + y = −2z
Osserviamo che affinche tale sistema abbia soluzione bisognache 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3.
In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistemanelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni sez 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3.
Come procediamo in questo caso?
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Alcuni casi particolari
2){
x + y − z = 1x + y + 2z = 0
Procedendo come prima otteniamo{
x + y = 1 + zx + y = −2z
Osserviamo che affinche tale sistema abbia soluzione bisognache 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3.
In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistemanelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni sez 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3.
Come procediamo in questo caso?
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Alcuni casi particolari
2){
x + y − z = 1x + y + 2z = 0
Procedendo come prima otteniamo{
x + y = 1 + zx + y = −2z
Osserviamo che affinche tale sistema abbia soluzione bisognache 1 + z = −2z ovvero che z = −1/3.
In particolare abbiamo che il sistema sopra (come sistemanelle x,y con z parametrico) non ammette soluzioni sez 6= −1/3 e ammette infinite soluzioni se z = −1/3.
Come procediamo in questo caso?
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche
Alcuni casi particolari
2){
x + y − z = 1x + y + 2z = 0
Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y
Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.
Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{
x = 2/3− yz = −1/3
⇒
x = 2/3− αy = αz = −1/3
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche
Alcuni casi particolari
2){
x + y − z = 1x + y + 2z = 0
Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y
Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.
Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{
x = 2/3− yz = −1/3
⇒
x = 2/3− αy = αz = −1/3
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Alcuni casi particolari
2){
x + y − z = 1x + y + 2z = 0
Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y
Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{
x = 2/3− yz = −1/3
⇒
x = 2/3− αy = αz = −1/3
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
SintesiPassaggio da parametriche a cartesianePassaggio da cartesiane a parametriche
Alcuni casi particolari
2){
x + y − z = 1x + y + 2z = 0
Invece dell’incognita z, esplicitiamo l’incognita y :{x − z = 1− yx + 2z = −y
Dalla prima equazione ricaviamo x = (1− y) + z.Sostituendo nella seconda 1− y + z + 2z = −y da cuiricaviamo 1 + 3z = 0 ovvero z = −1/3.Sostituendo nell’espressione della x otteniamo x = 2/3− y .Ovvero il sistema diventa{
x = 2/3− yz = −1/3
⇒
x = 2/3− αy = αz = −1/3
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Due piani possono essere:coincidenti;paralleli;incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Due piani possono essere:coincidenti;paralleli;incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.
Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa.
π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.
Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.
In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.
π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.
Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione reciproca tra due piani
Consideriamo i due piani π e π′ di equazione cartesianarispettivamentex + y + z = 3 2x + 2y + 2z = 6.Ogni soluzione della prima equazione e anche soluzione dellaseconda equazione e viceversa. π = π′.Supponiamo che le equazioni cartesiane di π e π′ sonox + y + z = 3 x + y + z = 5.In questo caso non ci sono punti comuni a π e π′.π ‖ π′.Consideriamo infine il caso in cui le equazioni sianox + y + z = 3 2x + y + 7z = 6.
I vettori normali
111
,
217
sono indipendenti. π e π′ sono
incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:
incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidenti
x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:
parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallele
x + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:
incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti
2x + 13y = 2 3x + 1
2y = 3:coincidenti√
3x + z = 1 3x +√
3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:
coincidenti√
3x + z = 1 3x +√
3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:
paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Esempi
x + y + z = 3 x + 2y + z = 3:incidentix + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 1:parallelex + 3y = 2 y + 3z = 2:incidenti2x + 1
3y = 2 3x + 12y = 3:coincidenti
√3x + z = 1 3x +
√3z = 1:paralleli.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente
ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′
I vettori
abc
e
a′
b′
c′
sono uno multiplo dell’altro?
se la
risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente
ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′
I vettori
abc
e
a′
b′
c′
sono uno multiplo dell’altro?se la
risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:
Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente
ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′
I vettori
abc
e
a′
b′
c′
sono uno multiplo dell’altro?se la
risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:Le due equazioni sono multiple fra loro?
se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere due piani π e π′ di equazionirispettivamente
ax + by + cz = d a′x + b′y + c′z = d ′
I vettori
abc
e
a′
b′
c′
sono uno multiplo dell’altro?se la
risposta e negativa allora π e π′ sono incidenti. Altrimenti:Le due equazioni sono multiple fra loro?se la risposta enegativa allora π e π′ sono paralleli. Se la risposta epositiva π e π′ sono coincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Equazione del piano parallelo ad un piano dato epassante per un punto dato
Supponiamo di avere un piano di equazione
x + 3y + z = 2
Determinare l’equazione del piano π′ parallelo a π passante per
il punto P =
2−46
:
l’equazione avra la forma x + 3y − z = k :Poiche il punto P appartiene al piano π′ dobbiamo avere2 + 3 · (−4)− 6 = k . Ovvero ricaviamo k = −16.
x + 3y − z = −16 .
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Equazione del piano parallelo ad un piano dato epassante per un punto dato
Supponiamo di avere un piano di equazione
x + 3y + z = 2
Determinare l’equazione del piano π′ parallelo a π passante per
il punto P =
2−46
:
l’equazione avra la forma x + 3y − z = k :Poiche il punto P appartiene al piano π′ dobbiamo avere2 + 3 · (−4)− 6 = k . Ovvero ricaviamo k = −16.
x + 3y − z = −16 .
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Equazione del piano parallelo ad un piano dato epassante per un punto dato
Supponiamo di avere un piano di equazione
x + 3y + z = 2
Determinare l’equazione del piano π′ parallelo a π passante per
il punto P =
2−46
:
l’equazione avra la forma x + 3y − z = k :Poiche il punto P appartiene al piano π′ dobbiamo avere2 + 3 · (−4)− 6 = k . Ovvero ricaviamo k = −16.
x + 3y − z = −16 .
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Data una retta r e un piano π ci sono tre casi:r e contenuta in π;r e π sono paralleli;r e π sono incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Data una retta r e un piano π ci sono tre casi:r e contenuta in π;r e π sono paralleli;r e π sono incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Data una retta r e un piano π ci sono tre casi:r e contenuta in π;r e π sono paralleli;r e π sono incidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
110
+ span
10−1
Il punto
110
appartiene a π:
r e π sono coincidenti o
incidenti.
Il vettore
10−1
e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0:r e contenuto in π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
110
+ span
10−1
Il punto
110
appartiene a π: r e π sono coincidenti o
incidenti.
Il vettore
10−1
e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0:r e contenuto in π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
110
+ span
10−1
Il punto
110
appartiene a π: r e π sono coincidenti o
incidenti.
Il vettore
10−1
e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0:r e contenuto in π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
10−1
Il punto
120
non appartiene a π:
r e π sono incidenti o
paralleli.
Il vettore
10−1
e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0: r e parallelo a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
10−1
Il punto
120
non appartiene a π: r e π sono incidenti o
paralleli.
Il vettore
10−1
e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0: r e parallelo a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
10−1
Il punto
120
non appartiene a π: r e π sono incidenti o
paralleli.
Il vettore
10−1
e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0:
r e parallelo a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
10−1
Il punto
120
non appartiene a π: r e π sono incidenti o
paralleli.
Il vettore
10−1
e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0: r e parallelo a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
101
Il punto
120
non appartiene a π:
r e π sono incidenti o
parallele.
Il vettore
101
non e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0: r e incidente a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
101
Il punto
120
non appartiene a π: r e π sono incidenti o
parallele.
Il vettore
101
non e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0: r e incidente a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
101
Il punto
120
non appartiene a π: r e π sono incidenti o
parallele.
Il vettore
101
non e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0:
r e incidente a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Riconoscimento della posizione retta/piano
Consideriamo il piano π di equazione x + y + z = 2 e la retta
r =
120
+ span
101
Il punto
120
non appartiene a π: r e π sono incidenti o
parallele.
Il vettore
101
non e contenuto nel piano π0 di equazione
x + y + z = 0: r e incidente a π
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .
Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?
se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:P appartiene a π?se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .
Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:
P appartiene a π?se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .
Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:P appartiene a π?
se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Procedura generale
Supponiamo di avere un piano di equazione ax + by + cz = de una retta di equazione parametrica r = P + span v .
Il vettore v e contenuto nel piano π0 di equazioneax + by + cz = 0?se la risposta e negativa allora π e πsono incidenti. Altrimenti:P appartiene a π?se la risposta e negativa allora π e πsono paralleli. Se la risposta e positiva π e π′ sonocoincidenti.
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Due rette possono esserecoincidenti;parallele;incidenti;sghembe;
Equazioni cartesiane e parametrichePosizioni reciproche
Posizioni reciproche tra pianiPosizioni reciproche retta/pianoPosizione reciproche tra rette
Due rette possono esserecoincidenti;parallele;incidenti;sghembe;