II
LES EQUILIBRES
LIMITES
1) Définitions
Les équilibres limites (E.L.) permettent de déterminer les
contraintes dans les zones où le sol a été amené à la rupture.
En tous points de ces zones, l’état de contrainte peut être
représenté par un cercle de Mohr à la rupture qui est tangent aux
droites intrinsèques.
Les théories des E.L. sont relatives aux contraintes effectives.
On distingue 2 types d’E.L.
L’équilibre de POUSSEE ou état ACTIF qui correspond à l’action du sol sur l’ouvrage
L’équilibre de BUTEE ou état PASSIF qui correspond à l’action de l’ouvrage sur le sol
2) L’état de contrainte des terres au repos
En l’absence d’actions extérieures, il existe un état de contrainte initial dans le sol qui est appelé « état de contrainte au repos ».
Cas du massif à surface libre horizontale
’v
’Ho
’v : contrainte effective principale majeure
’Ho : contrainte principale mineure dépendant de l’histoire
du sol.
Représentation de Mohr
On dit que l’équilibre est surabondant.
’
’
Dr.Intr.
’Ho
’v
Ko : coefficient des terres au repos
’Ho = Ko.’v
Expérimentalement on montre que :
Sables Ko = 0,4 à 0,5
Argiles Ko = 0,5 à 0,7
Argiles molles et vases Ko = 1
Ce paramètre étant difficile à mesurer, on prend pour la plupart des sols
Formule empirique de JAKY (pour les milieux granulaires)
Ko = 0,5
Ko = 1 – sin’
3) Etude expérimentale des E.L.
écran
déplacement de l’écran
sable H
ButéePoussée
Force
Force
déplacementdéplacement
Ko
H/1000
Fa
poussée
H/100
Fp
butée
4) Equilibres de RANKINE
La diminution de ’Ho va conduire le sol à un E.L. de Poussée.
’Ho’H1
Cercle de poussée
On peut ainsi calculer ’H1 à la rupture
L’augmentation de ’Ho va conduire le sol à un E.L. de Butée.
’Ho
’H2
Cercle de butée
Pour les sols pulvérulents (c’ = 0) et pour un terrain horizontal, les contraintes sont liées par les relations suivantes :
En poussée :
En butée :
avec Ka : coefficient de poussée
avec Kp : coefficient de butée
Comme ’V = .h (pour un sol homogène), ’H varie linéairement avec la profondeur.
= Ka.’V VH '.'sin1
'sin1' 1
VH '.'sin1
'sin1' 2
= Kp.’V
Pour les sols pulvérulents et cohérents et pour un terrain horizontal, les contraintes sont liées par les relations suivantes :
En poussée :
En butée :
'sin1
'cos'2'.
'sin1
'sin1' 1
cVH
'sin1
'cos'2'.
'sin1
'sin1' 2
cVH
Terrain horizontal : v = .h
5) Cas des sols purement cohérent - Court terme
H2
v
H1
Cu
En poussée :
En butée :
Ha = v – 2Cu = .z – 2Cu
Hp = v + 2Cu = .z + 2Cu
Le sol est en traction sur une certaine profondeur
Attention : il s’agit ici de contraintes totales, est le poids volumique apparent, généralement sat.
Remarques concernant la théorie de Rankine
-Cette théorie existe également pour la butée, mais elle est peu utilisée.
- la théorie de Rankine n’est pas bien adaptée pour les écrans réels qui imposent une orientation des contraintes .
Sols pulvérulents : c’ = 0
Elle s’applique à la poussée et à la butée.
Hypothèses :
6) Théorie générale de Boussinesq (1882)
Cette théorie donne la répartition des contraintes effectives sur un plan réel dans le sol (paroi B.A., palplanche…).
Répartition des contraintes linéaires
On connaît l’état de rugosité de la paroi (inclinaison ).
Sol (’)
a
ea
r
ep
p
Ecran réel
Expression des contraintes :
valeurs usuelles de :
Les coefficients ka et kp sont donnés par les tables de
Caquot et Kérisel.
Poussée : eaka..r (inclinaison a positive )
Butée : epkp..r (inclinaison p négative)
Paroi lisse : = 0 (ex : palplanches)
Paroi rugueuse : = ’ (ex : paroi coulée)
Paroi B.A. : = 0,66.’ (ex : paroi banchée)
Forces résultantes :
En poussée :
En butée :
L : longueur de l’écran
2..2
1LkF aa
2..2
1LkF pp
Attention :
• Ces forces résultent de l’application des contraintes effectives sur l’écran.
• Pour les sols humides, correspond au poids volumique apparent du sol.
• En présence d’une nappe, il faut prendre en compte le poids volumique déjaugé du sol ’.
Surcharge uniforme verticale
7) Actions des surcharges - Théorie de Prandtl
q
eaq
Sol : = 0c’ = 0’
Poussée
La répartition des contraintes est uniforme :
eaq = kaq.q ( inclinaison )
Force résultante : (longueur de l’écran L)
Faq = kaq.q.L
cos
aaq
kkavec:
8) Les E.L. et le calcul des soutènements
Sol (, ’)
Faka..L²
Faqkaq.q.L
q
Poids du mur