Hydro- und Aerodynamik
Die Bernoulli-Gleichung
So fliegen die Vögel!
…und die Flugzeuge
Inhalt
• Strömung idealer Flüssigkeiten– Die Volumenstromstärke – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli
• Strömung realer Flüssigkeiten– Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung– Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes– Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz
• Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz
2p
•Bei Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ändert sich der Druck in Abhängigkeit vom Rohr-Querschnitt•Unabhängig von Reibung – also auch in idealen Flüssigkeiten
Die Bernoulli Gleichung
Es gelte die Kontinuitätsgleichung: Das bewegte Volumen ΔV sei in beiden Rohren gleich, das heißt, der Druck führe zu keiner Volumenänderung
10
5
0
10
5
0p2
p1
Statisches System, ohne Fluss
2p
A1 A2
p2
p110
5
0
10
5
0
Ohne Fluss: Konstanter Druck im ganzen System
Bei Fluss: Vom Querschnitt abhängiger Druckabfall
Arbeit gegen den Druck im „großen“ Rohr mit Querschnitt A1
1 J Arbeit gegen den DruckVpsApsFW p 1111111
1s
2p
A1 A2
p2
p110
5
0
10
5
0
1 J Arbeit gegen den DruckVpsApsFW p 2222222
Arbeit gegen den Druck im „kleinen“ Rohr mit Querschnitt A2
2s
2p
A1 A2
p2
p110
5
0
10
5
0
Bei Fluss: Stäkerer Druckabfall im kleinen Rohr
1 JArbeit zur Beschleunigung des Mediums, Masse m=ρ·ΔV
)(2
1)(
2
1 21
22
21
22 vvVvvmWkin
Zunahme der kinetischen Energie beim Übergang ins kleine Rohr
Beim Übergang ins kleine Rohr steigt die Geschwindigkeit von v1 links zu v2 rechts, deshalb nimmt die kinetische Energie der Flüssigkeit (Masse m) zu
2p
p2
p110
5
0
10
5
0
1 JArbeit zur Beschleunigung des Mediums, Masse m=ρ·dV
Arbeit in beiden Rohren
Beim Übergang ins kleine Rohr steigt die Geschwindigkeit von v1 links zu v2 rechts, deshalb nimmt die kinetische Energie der Flüssigkeit zu, m = ρ·dV
2p
p2
p110
5
0
10
5
0
)(2 21
2221 vvVWW pp
1 J Energie-Erhaltung
1 Pa Bernoulli Gleichung
p1, p2 1 Pa Drucke
v1, v2 1m/s Geschwindigkeiten
ρ 1 kg/m3 Dichte des Mediums
Die Bernoulli-Gleichung
2121
22 )(
2
1ppvv
Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab
)(2 21
2221 vvVVpVp
Der Bernoulli Effekt
• Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt
• Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab
Der Bernoulli-Effekt
Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck
Versuch zur Bernoulli-Gleichung
Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit:
• Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit
• Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit
Frage zur Bernoulli Gleichung
• Q: Wann ist in zwei Rohren unterschiedlichen Querschnitts unterschiedlicher Druck zu erwarten?
• A: Beim Transport des Mediums, weil es beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird
Dieser Effekt ist unabhängig von der Reibung!
Zusammenfassung
• Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen:
– 1/2·ρ ·(v22 – v1
2) = p1 – p2 [Pa]
– p1, p2 [Pa] Drucke in Bereichen unterschiedlicher Strömungsgeschwindigkeiten v2 und v1 [m/s]
– ρ [kg/m3] Dichte des Mediums• Daraus folgt: In Bereichen großer
Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit
• Ursache: Energiesatz, daher unvermeidlich • Kein Reibungseffekt, es wird keine Energie in Wärme
umgewandelt, daher:– Im Idealfall vollständig reversibel
So fliegen die Vögel!
…und die Flugzeuge
finis