Homogeneização em Equações DiferenciaisMotivação - Materiais Compostos
Marcone C. Pereira1 2
PROGRAMA DE VERÃO 2011 - EDP’S E ANÁLISE FUNCIONALINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOSÃO PAULO - BRASIL
1Escola de Artes, Ciências e Humanidades - Universidade de São Paulo -São Paulo - Brasil
2Partially supported by FAPESP 2008/53094-4, CAPES DGU 127/07 andCNPq 305210/2008-4.
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Referências:
1 H. Brézis; Análisis Funcional. Teoría y aplicaciones,Alianza Editorial (1984).
2 D. Cioranescu and P. Donato; An Introduction toHomogenization, Oxford lecture series in mathematics andits applications (1999).
3 D. Cioranescu and J. Saint J. Paulin; Homogenization ofReticulated Structures, Springer Verlag (1980).
4 E. Sánchez-Palencia; Non-Homogeneous Media andVibration Theory, Lecture Notes in Physics 127, SpringerVerlag (1980).
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Neste mini-curso vamos introduzir métodos matemáticos utilizadosno estudo de equações diferenciais parciais que modelamfenômenos físicos considerados em materiais heterogêneos, cominclusões ou buracos.
Para isto, vamos considerar inicialmente materiais compostos comestrutura ε-periódica, ε→ 0, cujos métodos de abordagem estãoheuristicamente baseados em considerações de duas escalas decomprimento associdas com fenômenos macro e microscópicos.
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ExemplosSuperconducting Multifilamentary Composite.
Material com habilidade de transportar largas densidades decorrente elétrica sobre a influência de campos magnéticos de altaintensidade. Por razões físicas é formado por fibras elementares dediâmetro muito pequeno, isoladas por uma matriz de altacondutividade térmica. São milhares de fibras com diâmetro variandode 10 a 100µm.
33http://www.amsc.com/products/htswire/2Gwirearchitecture.html
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ExemplosSyntactic foam.
Materiais compostos sintetizados através do preenchimento damatriz de um metal, polímero ou cerâmica com partículas ocaschamadas "syntactic". A presença de tais partículas ocas resulta emmenor densidade, maior resistência, menor coeficiente de dilataçãotérmica e, em alguns casos, influencia na transparência radar ousonar.
4
4http://www.thefullwiki.org/[email protected] Verão 2011 - IME - USP
Exemplos
Mecânica dos fluidos.Considera-se o fluxo de fluidos em meios porosos, tais como solos,aqüíferos, óleo e reservatórios de gás, tecidos biológicos e plantas,mas também em células de combustível, cimento, têxteis,compósitos poliméricos etc. Tais problemas são encontrados tantoem sistemas naturais como indústriais.
56
5http://education.geo.uu.nl/mschydrology/index.php?contentid=101036http://soilandwater.bee.cornell.edu/research/pfweb/regulators/intro/why.htm
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Exemplos
Etc.Estruturas do tipo ‘honey comb’, reforçadas, grelhas etc.
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Os materiais apresentados anteriormente possuem um número altode heterogeneidades. Por isso, quando tentamos caracterizar suaspropriedades, podemos fazê-la usando uma escala local, isto é,consideramos cada uma das componentes do compostoseparadamente. Mas na prática é mais interessante considerar ocomposto numa escala global. Em geral, é mais importante obter ocomportamento geral do composto negligenciando possíveisflutuações ocasionadas por sua alta heterogeneidade.
Este é o objetivo da teoria de homogeneização. Materiaisheterogêneos são substituídos por outros fictícios e homogêneos,em cujo comportamento do fenômeno considerado deve aproximar odo original de maneira conveniente. Desta maneira procuramosdescrever propriedades globais dos compostos levando em conta aspropriedades locais do problema original.
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Um problema unidimensional com coeficientes oscilantes
Seja f ∈ L2(0,1) e a ∈ L∞(R), T -periódica, 0 < α ≤ a(x) ≤ β <∞ e
aε = a (x/ε) .
Para cada ε > 0, considere o sequinte problema−ddx
(aε
duε
dx
)= f em (0,1)
uε(0) = uε(1) = 0.
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1 uε converge para algum limite u0 quando ε→ 0?
2 Se sim, em que sentido e espaço tal convergência ocorre?
3 É u0 solução de uma equação do mesmo tipo?
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Teorema (Spagnolo 1967)
Existe u0 ∈ H10 (0,1), solução única da equação homogeneizada−
1M( 1
a
) d2u0
dx2 = f em (0,1)
u0(0) = u0(1) = 0
tal queuε u0 w − H1
0 (0,1)
uε → u0 s − L2(0,1).
i) M( 1
a
)= 1
T
∫ T0
dsa(s) é chamado coeficiente de homogeneização.
ii) uε u0 w −H10 (0,1) quando ε→ 0, se para todo φ ∈ H1
0 (0,1)
(uε, φ)H10
=
∫ 1
0
duε
dx(x)
dφdx
(x) + uε(x)φ(x)
dx → (u0, φ)H1
0.
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O que usamos?
1 Compacidade. Se ‖uε‖H1(O) é uniformemente limitada, entãoexiste u0 ∈ L2(O) tal que
uε → u0 s − L2(O).
2 Teorema de Eberlein-Smuljan. Seja X = L2(O) ou H1(O) esuponha ‖f ε‖X ≤ C. Então, existe uma sub-seqüência f εii∈N ef ∈ X tal que, quando i →∞,
f εi f w − X , ie.(ϕ, f εi )X → (ϕ, f )X ∀ϕ ∈ X ′.
3 Desigualdade de Hölder. Suponha 1 ≤ p ≤ ∞. Então∫O|f (x) g(x)|dx ≤ ‖f‖Lp(O)‖g‖Lp′ (O), 1/p + 1/p′ = 1.
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4 Desigualdade de Poincaré. Existe uma constante C|O| tal que
‖f‖L2(O) ≤ C|O| ‖∇f‖L2(O) ∀f ∈ H10 (0,1).
5 Funções periódicas rapidamente oscilantes. Suponha1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(Y ), Y -periódica com
Y = (0, l1)× ...× (0, lN) ⊂ RN .
Consideref ε(x) = f (x/ε) q.t.p. Y .
Então, se p <∞ e ε→ 0,
f ε M (f ) =1|Y |
∫Y
f (x) dx w − LP(ω)
para qualquer aberto ω ⊂ RN . Se p =∞, temos
f ε M (f ) =1|Y |
∫Y
f (x) dx w∗ − L∞(RN).
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Formulação variacional do ε-problema∫ 1
0aε(x)
duε
dx(x)
dϕdx
(x) dx =
∫ 1
0ϕ(x) f (x) dx ∀ϕ ∈ H1
0 (0, 1).
Formulação variacional do problema homogeneizado∫ 1
0
1M (1/a)
du0
dx(x)
dϕdx
(x) dx =
∫ 1
0ϕ(x) f (x) dx ∀ϕ ∈ H1
0 (0, 1).
Em geral, não é possível obter convergência forte em H1.
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Gráficos de a1/4 e u1/4
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 2: Graficos de a(·/!) e da solucao exata para ! = 1/4.
2.1 Solucao exata
Nos nossos exemplos, consideramos
f(x) = 1, a(x) =12("!#)(1+sin(2$x))+#, # =
12, " =
52. (2.16)
Seja a sequencia de problemas onde ! = 1/4, ! = 1/8 e ! = 1/16.E facil notar pelas Figuras 2, 3 e 4 deste exemplo, que crescem as oscilacoes
de a(·/!) quando ! " 0.Em geral, nao e possıvel obter solucoes analıticas para dimensoes maiores.
Motivados por esta dificuldade, investigaremos agora como encontrar solucoesaproximadas para (2.15).
Uma possibilidade explorada na Secao 2.2 e o uso de tecnicas de homogenei-zacao. Como vimos, a ideia basica apoia-se no fato de que, quando ! " 0, asolucao exata converge para a solucao homogeneizada. Espera-se entao que para
Comparação entre os gráficos de u1/4 e u0.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
Solucao exataSolucao homogeneizada
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
Solucao exataSolucao homogeneizada
Fig. 5: Solucoes exatas e homogeneizadas para ! = 1/4 e ! = 1/8.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
Solucao exataSolucao homogeneizada
Fig. 6: Comparacao entre as solucoes exata e homogeneizada para ! = 1/16.
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Gráficos de a1/16 e u1/16
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 3: Graficos de a(·/!) e da solucao exata para ! = 1/8.
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fig. 4: Graficos de a(·/!) e da solucao exata para ! = 1/16.Comparação entre os gráficos de u1/16 e u0.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
Solucao exataSolucao homogeneizada
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
Solucao exataSolucao homogeneizada
Fig. 5: Solucoes exatas e homogeneizadas para ! = 1/4 e ! = 1/8.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
PSfrag replacements
Solucao exataSolucao homogeneizada
Fig. 6: Comparacao entre as solucoes exata e homogeneizada para ! = 1/[email protected] Verão 2011 - IME - USP
O caso N-dimensionalEstudaremos o comportamento assintótico do problema
div (Aεuε) = f em Ω,uε = 0 sobre ∂Ω
com ε→ 0.
Supomos f ∈ L2(Ω), Aε = (aεij )Ni,j=1, com
aεij (x) = aij (x/ε) x ∈ RN ,
Aε(x) = A(x/ε) = (aij (x/ε))Ni,j=1
ondeaij (y) são Y − periódicos
(A(y)x , x) ≥ α|x |2
|A(y)x | ≤ β|x |
para todo x ∈ RN e q.t.p. Y ,
Y = (0, l1)× ...× (0, lN) ⊂ RN .
Nestas condiçõ[email protected] Verão 2011 - IME - USP
Sanchez-Palencia (1970b, 1980), Bakhvalov (1974), Bensoussan, Lionsand Papanicolaou(1978)
uε u0 w − H10 (Ω)
Aε∇uε A0∇u0 w −(L2(Ω)
)N
onde u0 ∈ H10 (Ω) é a única solução da equação homogeneizada
N∑i,j=1
∂
∂xi
(a0
ij∂u0
∂xj
)= f em Ω
u0 = 0 sobre ∂Ω
em que a matriz A0 = (a0ij )
Ni,j=1 é constante, elíptica e dada por
A0λ = MY (A∇ωλ) ∀λ ∈ RN ,
onde ωλ é a função auxiliar dada por−div (A∇wλ) = 0 em Y ,wλ − λ · y Y − periódicoMY (wλ − λ · y) = 0
.
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1 Formulação variacional do problema auxiliar: encontrar ωλ ∈ Wp,
Wp =
v ∈ H1(Y ) | v é Y − periódico, MY (v) = 0,
tal que ∫
YA(y)∇ωλ∇v dy = 0 ∀v ∈ Wp
ωλ − y · λ Y − periódico
MY (ωλ − y · λ) = 0
.
Além disso temos que este problema é equivalente a−div
(A(y)∇Xλ
)= −div (A(y)λ) em Y ,
Xλ Y − periódico
MY
(Xλ)
= 0
cuja formulação variacional é: encontrar Xλ ∈ Wp tal que∫Y
A(y)∇Xλ∇v dy =
∫Y
A(y)λ∇v ∀v ∈ Wp
onde as funções ωλ e Xλ se relacionam pela expressão
ωλ = y · λ− Xλ.
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2 Fórmulas explícitas para a matriz homogeneizada A0 =(a0
ij
)i,j
.
Seja e1, ..., eN a base canônica do RN . Então
A0ej = MY (A∇ωj ) e (A0ej )i =N∑
k=1
aik∂ωj
∂xk,
que nos dá para todo i, j = 1, ...,N
a0ij = MY
(N∑
k=1
aik∂ωj
∂xk
)= MY
(aij −
N∑l=1
aik∂Xj
∂xk
)
= MY (aij )−MY
(N∑
k=1
aik∂Xj
∂xk
)
=1|Y |
∫Y
aij (y) dy − 1|Y |
N∑k=1
∫Y
aik (y)∂Xj
∂xkdy .
Observe que a matriz A0 é diferente da matriz MY (A) de Aε (associadaa lei das misturas). Com efeito, A0 é obtida mediante a soma de umvalor corretor, a saber
MY
(N∑
k=1
aik∂Xj
∂xk
).
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3 Fazendo N = 1 no teorema anterior obtemos
a0 = M(0,l1)
(a(y)
ddy
(y − X
))= M(0,l1)
(a(y)− a(y)
dXdy
)onde
ddy
(a(y)
dXdy
)=
ddy
(a(y)) y ∈ (0, l1)
X Y − periódica
M(0,l1)
(X)
= 0
.
Logo
X (y) = − 1M(0,l1) (1/a)
∫ y
0
dsa(s)
+ y + C0,
onde a constante C0 é dada pela condição M(0,l1)
(X)
= 0, e
M(0,l1)
(a(y)− a(y)
dXdy
)=
1M(0,l1) (1/a)
.
Assim o valor corretor no caso unidimensional é
M(0,l1)
(a(y)
dXdy
).
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4 Pode-se mostrar também que
a0ij =
1|Y |
N∑k,l=1
∫Y
akl (y)∂ωj
∂xl
∂ωi
∂xkdy i , j = 1, ...,N,
e que existe α0 > 0 tal que
∑i,j
a0ij ξi ξj ≥ α0 |ξ|2 ∀ξ ∈ RN .
Note que se A é simétrica, então A0 é simétrica.
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Duas escalas caracterizam nosso problema, uma macroscópica x e outramicroscópica x/ε que descreve as micro-oscilações. Empiricamente, somoslevados a olhar para o desenvolvimento de uε da forma
uε(x) = u0(x , x/ε) + ε u1(x , x/ε) + ε2 u2(x , x/ε) + ...
onde ui (x , y) é uma função Y -periódica na segunda variável y .
Este método clássico é muito utilizado em Mecânica, Física e Engenharia,em problemas cujos parâmetros são de ordem pequena e descrevemdiferentes escalas. Em geral, nos permite identificar o problemahomogeneizado de maneira formal.
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Nosso problema admite a seguinte expansão assintótica:
uε = u0 − εN∑
i=1
Xi (x/ε)∂u0
∂xi+ ε2
N∑i,j=1
θij (x/ε)∂2u0
∂xi∂xj+ ...
onde u0 é a solução do problema homogeneizado, Xi é a solução doproblema auxiliar
−div(
A(y)∇Xi
)= −div (A(y)ei ) em Y
Xi Y − periódico
MY
(Xi
)= 0
e θij satisfaz−div
(A(y)∇θij
)= −a0
ij −∑
kl∂aklδik Xj∂yk
−∑
k ail∂Xj−yj∂yj
em Y
θij Y − periódico
MY
(θij
)= 0
.
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Prova de convergência.
Método variacional das funções testes oscilantes de Tartar (1977 e1978).
Método de duas escalas devido a Nguetseng (1989) e Allaire (1992).
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