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5/24/2018 Gua de Definiciones y Teoremas Funciones de Variable Compleja - Guillermo Calandrini (UNS 2012)
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Gua de Definiciones y Teoremas estudiados en el
curso de Funciones de Variable Compleja.
Prof. Guillermo Calandrini
2do. cuatrimestre 2012
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Funciones de Variable Compleja.
Esta gua cubre esencialmente gran parte de las definiciones, lemas y teoremas
estudiados en el curso de Funciones de Variable Compleja. Se denomina Guay no
Notas de Curso pues se espera que sus lectores recurran a los textos citados en la
bibliografa.
Para la primer parte de la materia se puede utilizar cualquier libro de Clculo,
como por ejemplo:
Introduccin al clculo y al anlisis matemtico. Courant, Richard; John,
Fritz. Vol. 1 y 2. (517. C833)
Mtodos Matemticos de la fsica. Moretti, Gino. (530. M818)
Matemtica superior para ingenieros y fsicos. Sokolnikoff, Ivan S. (517.
So39ma5)
Series
Definicin 1 Dada una sucesina1, a2, ..., an , ... de nmeros. La expresin
a1+ a2+ + an+ =
Xn=1
an
se llamaserie numrica. Losan se llaman trminos de la serie.
Sucesin de sumas parciales
Definicin 2 La sucesin de sumas parciales es la suma de losNprimeros trminos
de la serie.
SN=a1+ + aN=NX
n=1
an
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Nota: el smbolo
Psignifica la suma de o la serie de, si no se aclaran los
extremos, inferior y superior significa que podran ser cualesquiera.
Definicin 3 Si existe el lmitefinitoS= limN
SNse dice que la serieconvergey
el lmiteSes la suma de la serie. Si el lmite no existe entonces se dice que la serie
diverge y no tiene suma.
La convergencia no depende de los primeros trminos. Por ser un lmite im-
porta lo que suceda a partir de unN suficientemente grande.
Condicin necesaria
Teorema 1 Si una serie converge sun-simo trmino tiende a cero cuandontiende
a infinito.
Corolario: Si el n-simo trmino de una serie no tiende a cero cuandon tiende
a infinito, la serie diverge.
Series con trminos positivos
Criterio de comparacin
Sea0 an bn,n N, entonces:
Si
Pbn converge entonces
Pan converge.
SiP
an diverge entoncesP
bn diverge.
Criterio de DAlambert
Si para la serieP
an , conan>0, limn
an+1an
=L entonces:
siL 1 la serie diverge.
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Criterio de Cauchy
Si para la serieP
an , conan 0, limn nan = L entonces:
siL 1 la serie diverge.
Criterio de comparacin con lmite del cociente
Teorema 2 Seanan
0 ybn > 0,
n
N; y seaA= lim
n
anbn
, entonces
1) SiA 6= 0 yA 6=, las seriesP bn yP an tienen la misma naturaleza (ambasconvergen o ambas divergen).
2) SiA= 0 yP
bn converge entoncesP
an converge.
3) SiA= yP bn diverge entoncesP an diverge.Series alternantes
Las series alternantes son aquellas cuyos trminos son alternativamente positivos ynegativos,es decir
P(1)nan conan>0.
Teorema de Leibniz
Teorema 3 Si una serie alternantePn=0
(1)nan, es tal que sus trminos an sonestrictamente decrecientes, y lim
nan = 0, entonces la serie converge, su suma es
positiva y no supera el primer trmino a0.
Series con trminos positivos y negativos. Convergencia ab-
soluta y condicional
Definicin 4 La serieP
an converge absolutamentesi converge la serieP
|an| .
Teorema 4 Si la serieP
|an| converge entonces la serieP
an tambin converge.
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Definicin 5 Si la serie
Pan converge y la serie
P|an| diverge entonces se dice
que la seriePan converge condicionalmente. La suma de una serie absolutamente convergente no depende del orden de sus
trminos.
Anlisis de Convergencia
Conviene proceder en el anlisis utilizando los criterios en el siguiente orden:
1. Condicin necesaria.
2. Convergencia absoluta: criterios de series de trminos positivos (comparacin,
DAlambert, Cauchy).
3. Convergencia condicional: Leibniz, sumas parciales.
Propiedades
SiP
an yP
bn son series convergentes con sumaA y B respectivamente, entonces:
P
(an+ bn)converge y su suma es A + B.
Sices un nmero real,P
c an converge y su suma es c A.
Integrales impropias
Definicin 6 Dada una integral
Z ba
f(x)dx
en cualquiera de los casos donde:
a) el intervalo de integracin no tiene longuitudfinita,
b) la funcinf(x) no es acotada en(a, b),
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c) una combinacin de los dos casos anteriores,
diremos que la integral es una integral impropia.
Definicin 7 Decimos quef(x) es seccionalmente continua, o continua a tramos,
en el intervalo [a, b] si tiene a lo sumo un nmero finito de discontinuidades tipo
salto (existen los lmites laterales).
Definicin 8 Sif(x) es continua a tramos en [a, R],R > a y existe el siguientelmite
L= limR
Z Ra
f(x) dx
diremos que la integralRa
f(x) dx es convergente y queL es su valor y escribimosRa
f(x) dx= L. En caso contrario se dir que la integral es divergente.
Teorema 5 Una condicin necesaria y suficiente para que converjaRa
f(x) dx es
que: para todo> 0 existe un nmero positivo N tal que
Z qp
f(x) dx
N.
Criterio de la integral
Teorema 6 Sean los trminos de la serieP
an positivos y no crecientes,es decir
a1 a2 , y seaf(x) una funcin continua montona decreciente tal que:
f(1) =a1, f(2) =a2, . . . f (n) =an, . . .
a) Si la integral impropiaR1
f(x) dxconverge, es convergente tambin la serie.
b) Si la integral impropiaR1
f(x) dx diverge, es divergente tambin la serie.
Definicin 9 Se dice que la integral impropiaRb f(x) dx es convergente si existe
y esfinito el lmite
limR Z
b
R
f(x) dx
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Definicin 10 Se dice que la integral impropia
R+ f(x) dxes convergente si existe
y esfi
nito el lmite doble
limP,R
Z RP
f(x) dx
lo cual es equivalente a pedir que las dos integrales impropias siguientes sean con-
vergentes
Za
f(x) dx y
Z a
f(x) dx,
dondea es un nmero real cualquiera.
Definicin 11 La expresin limR
RRR f(x) dx se llama Valor Principal de Cauchy
de la integralR+ f(x) dxy lo notaremos como V.P.C.
R+ f(x) dx.
Este valor puede existir an cuando la integral impropia es divergente (Ej.
R+ x dx).
Integrales impropias en las que el integrando no es acotado
Supondremos ahora quec [a, b] y que limxc
|f(x)|= .
Definicin 12 Se dir queRba
f(x) dx es convergente si existen y son finitos los
siguientes lmites.
1)c= a,
Rb
af(x) dx= lim
0+ Rb
a+f(x) dx
2)c= b,Rba f(x) dx= lim0+
Rba f(x) dx3)c (a, b), Rb
af(x) dx= lim
10+
Rc1a
f(x) dx+ lim20+
Rbc+2
f(x) dx
Definicin 13 En el tercer caso de la definicin anterior tambin se denomina
Valor Principal de Cachy al lmite
V.P.C.
Z ba
f(x) dx= lim0+
Z ca
f(x) dx +
Z bc+
f(x) dx
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Operaciones vlidas con integrales impropias
En las siguientes integrales debe considerarse que alguno de los extremos puede ser
infinito o que el integrando no est acotado, es decir vale para cualquier tipo de
integral impropia.
1. Vale la frmula
Z ba
f(x) dx=
Z ba
f(x) dx
2. La ecuacin Z ba
(f1(x) + f2(x))dx=
Z ba
f1(x) dx +
Z ba
f2(x) dx
no siempre es cierta. Es claro que si las integrales de la derecha convergen, la
de la izquierda tambin y vale la igualdad.
3. Frmula de integracin por partes
Z ba
f1(x) f02(x) dx= f1(x) f2(x)|
ba
Z ba
f2(x) f01(x) dx
Esta ecuacin es vlida si cualquier par de estas expresiones existen
Definicin 14 SiRba
|f(x)|dx es convergente se dice quef(x) es absolutamente
integrable en ese intervalo y queRba
f(x) dx converge absolutamente.
Criterio de comparacin
Teorema 7 Sean f y g dos funciones integrables sobre todo intervalo cerrado y
acotado en [a, ) tales que
0 f(x) g(x) parax a.
Se tiene:
1) SiRa
g(x) dxconverge entonces Ra
f(x) dx converge.
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2) Si
Ra
f(x) dx diverge entonces
Ra
g(x) dxdiverge.
Teorema 8 Sean f y g dos funciones integrables sobre todo intervalo cerrado y
acotado en [a, ) tales que f(x) 0 y g(x) > 0 para x a. SeaA = limx
f(x)g(x)
,
entonces
1) Si A 6= 0 y A 6=, las integrales Ra
f(x) dx yRa
g(x) dx tienen la misma
naturaleza.
2) SiA= 0 yRa
g(x) dxconverge entoncesRa
f(x) dx converge.
3) SiA=
yRa g(x) dxdiverge entonces Ra f(x) dxdiverge.
Aclaracin: El criterio de comparacin y el teorema anterior (comparacin
por limite del cociente) tambin valen para integrales impropias del segundo tipo
(integrandos no acotados). En ese caso el lmite se calcula en el punto del intervalo
de integracin en el cual el integrando no es acotado.
Ejercicio 1 Demostrar el teorema anterior (utilice definicin de lmite y criterio de
comparacin).
En el siguiente teorema y definicin debe considerarse que alguno de los extremos
puede ser infinito o que el integrando no est acotado.
Teorema 9 SiRba |f(x)| dx es convergente entonces Rba f(x) dx tambin es conver-gente.
Definicin 15 SiRba
|f(x)|dxes divergente yRba
f(x) dxes convergente se dice queRba
f(x) dx converge condicionalmente.
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Series de funciones
Definicin 16 Una serie se llama serie de funciones si sus trminos son funciones
de una variable o parmetro, que lo indicaremos con la letrax, es decir:
f1(x) + f2(x) + + fn(x) + =Xn=1
fn(x),
es una serie de funciones. Dndole valores ax, obtenemos diferentes series numri-
cas que pueden ser convergentes o divergentes.
Definicin 17 El conjunto de valores dex para los cuales una serie de funcionesPn=1
fn(x)converge se llamadominio de convergenciade esa serie. En el dominio
de convergencia su suma es una cierta funcin dex, S(x).
Definicin 18 En el dominio de convergencia S(x) = SN(x) + rN(x), donde
rN(x) =P
n=N+1
fn(x) se llamarestode la serie.
Teorema 10 En el dominio de convergencia el resto rN(x)de una serie convergentetiende a cero cuando Ntiende a infinito.
Convergencia puntual
Definicin 19 La serieP
fn(x) se llama convergente (o puntualmente conver-
gente) en un intervalo o conjunto de puntos P R, si en cada x P, a todonmero positivo > 0, arbitrariamente pequeo, corresponde un nmero N(, x)tal
que para todos losn > Nse cumple que
|S(x) Sn(x)|< .
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Convergencia uniforme.
Definicin 20 SeaPun intervalo o un conjunto de puntos enR. La serieP
fn(x)
se llamauniformemente convergenteen el conjuntoP, si a todo nmero positivo
>0 arbitrariamente pequeo corresponde un nmero N() tal que para todos los
n > N yx Pse cumple que
|S(x) Sn(x)|< .
Test de Weierstrass
Teorema 11 Sea una serie de funcionesP
fn(x). Si existe una serie numrica
convergente,P
an, con trminos positivos, tales que
|fn(x)| an
para todos los valores dex P, entonces la serie de funciones converge absolutayuniformementeenP.
Teorema 12 La suma de una serie de funciones continuas que converge uniforme-
mente en un cierto intervalo [a, b] es una funcin continua en ese intervalo.
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Integrales impropias paramtricas
Sea S = {(x, t), x P R, t [c, +)}. Sea f : S R y supongamos quepara cadax Pla integral impropia R
c f(x, t) dtes convergente, entonces sobre el
conjuntoPse puede definir la siguiente funcin
F(x) =
Zc
f(x, t) dt
Convergencia puntual
Definicin 21 La integralRc f(x, t) dt converge puntualmente sobre un conjunto
P R, a la funcinF(x),si en cadax Py para todo > 0, existe unR0(, x)> ctal que
F(x)
Z Rc
f(x, t) dt
R0.
Convergencia uniforme
Definicin 22 Supongamos queRc f(x, t) dt converge puntualmente aF(x) en el
conjunto de puntosP. La integral converge uniformemente sobre el conjunto P si
para todo > o existe unR0()> c tal queF(x)
Z Rc
f(x, t) dt
R0.
Criterio M de Weierstrass
Teorema 13 Supongamos que existeR
Rc f(x, t) dtpara todo R cy todox P. Si
existe una funcin positivaM(t) 0 cuandot c tal que
|f(x, t)| M(t) parax Py todo t c
conRc
M(t) dt convergente, entonces la integralRc
f(x, t) dt es absoluta y unifor-
memente convergente sobre el conjuntoP.
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Este criterio tambin es aplicable en integrales impropias del segundo tipo (in-
tegrandos no acotados).
Aplicaciones de la convergencia uniforme
Sea F(x) =Rc
f(x, t) dt una integral impropia y S = {(x, t), x [a, b], t [c, +)}, se tienen los siguientes tres teoremas:
Teorema 14 Seafcontinua enS y supongamos que la integralRc
f(x, t) dtcon-
verge uniformemente en[a, b]. EntoncesF es continua en [a, b].
Teorema 15 Si f es continua en la bandaS yRc
f(x, t) dt converge uniforme-
mente en[a, b], entonces
Z ba
Zc
f(x, t) dtdx=
Zc
Z ba
f(x, t) dxdt
es decir podemos intercambiar el orden.
Teorema 16 Si
1)f y f
x son continuas en la bandaS.
2)Rc
f(x, t) dt converge puntualmente sobre[a, b].
3)Rc
f(x, t)
x dt converge uniformemente sobre[a, b].
EntoncesF(x) =Rc
f(x, t) dt es diferenciable sobre [a, b] y
F0(x) = d
dx
Zc
f(x, t) dt=
Zc
f(x, t)
x dt
Estos tres ltimos teoremas siguen valiendo con condiciones ms generales so-
bre la continuidad de los integrandos, por ejemplo se puede demostar que f(x, t)
yf(x, t)
x pueden no ser continuas en todoS,si tienen la forma
(x, t)(t)
donde es (x, t) continua en S y (t) es acotada e integrable (por ej. continua a
tramos) en todo intervalo cerrado contenido en [c, +
),los tres teoremas se siguen
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verificando, es decirF(x)es continua y se puede intercambiar el orden de integracin
y tambin derivar la integral impropia.
Algunos ejemplos de integrales impropias y series.
La integral impropiaRa
f(x) dx puede ser convergente an cuando el inte-
grando no tienda cero. La integralRa
sen x2 dxconverge condicionalmente y
el integrando no tiene lmite.
Series no uniformemente convergentes con funciones sumas discontinua:
La serieXn=0
x2
(x2 + 1)n converge sobre toda la recta real. Su suma es
discontinua enx = 0.
La serie x + x(x 1) + x2(x 1) + + xn(x 1) + converge a lafuncin
f(x) =
0 0 x
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Ejercicio 2 Estudie la convergencia uniforme de las siguientes integrales impropias
en el intervalo [2, 5]. La funcin a la cual convergen all es continua? Esposible ampliar dicho intervalo?
a)
Z1
dx
x b)
Z0
exdx c)
Z0
ex sen x dx
Ejercicio 3 SeaF(s)una funcin definida por medio de una integral paramtrica,
de la siguiente manera:
F(s) =
Z0
estf(t)dt
donde f(t) es una funcin continua a tramos y se sabe adems que |f(t)|
e3t
t [0, +).
1. Encuentre el dominio de definicin de la funcinF(s),es decir para qu valores
des queda bien definida dicha funcin por medio de la integral impropia.
2. Encuentre un intervalo dondeF(s) sea continua.
3. Encuentre un intervalo donde se verifique:
F0(s) = Z0
esttf(t)dt.
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Funciones de Variable Compleja
Bibliografa
Matemticas Avanzadas para Ingeniera. James, G.,Pearson Educacin
Variables complejas y sus aplicaciones. Churchill, Ruel V.; Brown, James W.;
Verhey, Roger F. McGraw-Hill. Mxico (517.8. C473-2).
Teora de funciones de variable compleja. Churchill, Ruel V. McGraw-Hill.
New York. (517.8. C473-1a2).
Matemticas avanzadas para ingeniera. 2. Kreyszig, Erwin. Limusa. Mxico.
(517. K889-2 / 517. K889-1/517. K889).
Regiones en el plano complejo
Definicin 23 Un entorno de radio de un punto z0, es el conjunto de puntos
z
Cque verifica
|z z0|< .
Definicin 24 Un entorno reducido de radio de un punto dadoz0,es el conjunto
de puntosz C que verifica
0< |z z0|< .
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Definicin 25 Dado un conjunto de puntosS C, un punto z0 C es un punto:
interiordel conjunto Ssiempre que exista algn entorno dez0 cuyos puntos
sean todos deS.
exteriordel conjunto S, cuando existe un entorno suyo que no contiene pun-
tos deS.
fronteradel conjuntoS, cuando cuyos entornos contienen tanto puntos deS
como puntos que no estn enS.
de acumulacindel conjunto S, si cada entorno reducido dez0 contiene al
menos un punto deS.
Definicin 26 Un conjunto es abierto cuando todos sus puntos son interiores.
Definicin 27 Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto (contiene
todos sus puntos frontera).
Definicin 28 Un conjunto abiertoSesconexosi cada par de puntosz1 yz2 en l
se pueden unir por una lnea poligonal, consistente de un nmero finito de segmentos
sucesivos, que est enteramente contenida enS.
Definicin 29 Un conjunto abierto y conexo se llama dominio.
Definicin 30 Un dominio unido a algunos, todos o ninguno de sus puntos frontera
se llamaregin.
Definicin 31 Un conjunto S es acotado si todo punto de Sest dentro de un
crculo (|z| R, z S).
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Funciones
Definicin 32 SeaS un conjunto de nmero complejos. Una funcin f definida
sobre Ses una regla que asigna a cada z en S un nmero complejo w. Es decir
dado S C, sobre el cual definimos la funcinf : S C, y dicha asignacin laexpresamos as:
w= f(z).
El conjuntoSse llama dominio de defi
nicin def .
Lmites
Definicin 33 Se dice que el lmite de f(z) cuando z tiende a z0 es w0, o sea
limzz0
f(z) =w0, cuando para cada nmero > 0, un nmero > 0 tal que:
|f(z)
w0|< siempre que0< |z
z0|< .
Teorema 17 Supongamos que f(z) = u(x, y) +i v(x, y), z0 = x0 +i y0, y w0 =
u0+ i v0. Entonces
limzz0
f(z) =w0
lim(x,y)(x0,y0)
u(x, y) =u0
lim(x,y)(x0,y0)
v(x, y) =v0.
Teorema 18 Supongamos que limzz0
f(z) =w0 y limzz0
g(z) =h0.
Entonces
limzz0
[f(z) + g(z)] =w0+ h0.
limzz0
[f(z) g(z)] =w0 h0.
Sih06= 0, limzz0
f(z)
g(z) =
w0h0
.
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Propiedades
1. limzz0
f(z) =w0 limzz0
|f(z)|= |w0| .
2. limzz0
f(z) = 0 limzz0
|f(z)|= 0.
3. limz0
f(z) =w0limr0
f(r ei ) =w0 uniformemente en.
4. Si limzz0
f(z) = 0 y |g(z)|< Men un entorno de z0 = limzz0
f(z) g(z) = 0.
5. Si limz
z0f(z) =w0 y lim
w
w0g(w) =h0 lim
z
z0g(f(z)) = lim
w
w0g(w) =h0
Ejercicio 4 Seaf(z) =u(x, y) + i v(x, y), z0=x0+ i y0,yw0=u0+ i v0.
1. Muestre que:
(a) |u(x, y) u0| |f(z) w0|.
(b) |v(x, y) v0| |f(z) w0|.
(c) |f(z) w0| |u(x, y) u0|+|v(x, y) v0|.
(d) Un entorno circular en R2 en el punto (x0, y0) [utilizado en funciones de
variables reales] es equivalente a un entorno de z0 en el plano complejo
C.
2. Usando (1.) pruebe el teorema17.
3. Pruebe el teorema 18usando el teorema17y propiedades de lmites de fun-
ciones de variables reales.
4. Pruebe las propiedades de la pgina anterior utilizando la definicn de lmite.
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Lmites y el punto del Infinito
Muchas veces es necesario considerar junto con el plano complejo el concepto o
punto del infinito. A este conjunto C {} se le llama plano complejo extendido.Para incorporar la nocin del punto del infinito es conveniente utilizar la esfera de
Riemann como se detalla a continuacin:
Esfera de Riemann
El plano complejo pasa por el ecuador de una esfera unidad centrada en z= 0. A
cada puntozdel plano le corresponde exactamente un punto Pen la superficie de
la esfera. se determina por la interseccin de la recta que pasa por el polo Norte y
el puntozcon la superficie de la esfera. A cada puntoPde la esfera le corresponde
un punto zdel plano, excepto al polo Norte. Haciendo corresponder al polo Norte
el punto del infinito, obtenemos una correspondencia 1 1 entre los puntos de laesfera y los del plano extendido
Esfera de Riemann C {}
Para cada > 0, pequeo, los puntos del plano complejo exteriores al crculo
|z|> 1/corresponden a puntos de la esfera prximos al polo Norte.
Llamaremos al conjunto|z|> 1/un entornode.
Definicin 34 La afirmacin limzz0
f(z) = significa que para cada> 0, > 0tal que|f(z)|> 1/, siempre que0< |z z0|< . Es decir
limzz0
f(z) = limzz0
1
f(z)= 0.
Ejercicio 5 En forma anloga a la definicin anterior muestre que:
i) limz
f(z) =w0limz0
f(1z
) =w0. ii) limz
f(z) = limz0
1f( 1
z)= 0.
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Continuidad
Definicin 35 Una funcin es continua en un punto z0 si satisface las siguientes
tres condiciones
existe limzz0
f(z)
existef(z0)
limzz0
f(z) =f(z0)
Es decir para cada > 0, > 0 tal que |f(z) f(z0)| < , siempre que|z z0|< .
Definicin 36 Una funcin se dice que es continua en una regin R si lo es en
todos sus puntos.
Teorema 19 Una funcinf(z) =u(x, y) + i v(x, y) es continua en un punto z0 =
x0+ i y0 si solo si sus funciones componentesu yv son funciones continuas.
Propiedades
Si dos funciones son continuas en un punto, su suma y su producto tambin
lo son, su cociente es continuo siempre que el denominador no se anule.
Un polinomio es continuo en todo el plano.
La composicin de funciones continuas es continua.
Si una funcin f(z) es continua y no se anula en un punto z0 f(z)6= 0 enalgn entorno de ese punto.
Una funcinf(z)continua en una regin cerrada y acotada R,es acotada enR
y|f(z)|alcanza su mximo en ella. Es decir existeM R tal que|f(z)| M
z
R.
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Ejercicio 6 Demuestre el teorema19 [sugerencia: utilice el teorema 17].
Derivadas
Definicin 37 Seafuna funcin cuyo dominio de definicin contiene un entorno
dez0. La derivada def enz0, f0(z0), se define por:
f0(z0) = limzz0
f(z) f(z0)z z0
supuesto que el lmite existe. La funcinf se dice diferenciable en z0 cuando
existe su derivada.
Si z=z z0, se obtiene una expresin equivalente:
f0(z0) = limz0
f(z0+ z)
f(z0)
z .
En forma similar siw= f(z)y llamando w= f(z+ z) f(z),
f0(z) =dw
dz= lim
z0
w
z.
Teorema 20 Si una funcinfes derivable en un punto z0 entonces dicha funcin
es continua en ese punto. Es decir si f0(z0) limzz0
f(z) =f(z0).
Ejercicio 7 Muestre que:
i) limzz0
f(z) =f(z0) limzz0
(f(z) f(z0)) = 0.ii) lim
zz0(f(z) f(z0)) = lim
zz0
f(z)f(z0)
zz0 (z z0)
.
iii) Usandoi) yii) muestre el teorema20.
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Frmulas de derivacin
d
dzc= 0, ces una constante compleja.
d
dzz= 1.
d
dzcf(z) =cf0(z).
d
dz[f(z) + g(z)] =f0(z) + g0(z).
d
dz
[f(z).g(z)] =f(z)g0(z) + f0(z)g(z).
Cuandog(z)6= 0, d
dz
f(z)
g(z)
=
f0(z)g(z) f(z)g0(z)g(z)2
.
Siw= f(z)yh = g(w), dh
dz =
dh
dw
dw
dz.
d
dzzn =nzn1 (nentero positivo, vale para negativo si z6= 0).
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Teorema 21 (Condiciones necesarias)Supongamos quef(z) =u(x, y)+i v(x, y)
y que existef0(z)en el puntoz0=x0+i y0.Entonces las derivadas parciales primeras
deu yv existen en(x0, y0) y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en l.
ux=vy
uy = vx
enz=z0.
Ademsf0(z0) se puede expresar como f0(z0) =ux(x0, y0) + i vx(x0, y0).
Teorema 22 (Condiciones suficientes) Sea la funcinf(z) =u(x, y) + i v(x, y)
definida en un entorno de un punto z0 = x0+ i y0. Supongamos que las deriva-
das parciales primeras de las funcionesu yv con respecto ax ey existen en todo
punto del entorno y son continuas en(x0, y0). Entonces si esas derivadas parciales
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en(x0, y0),existe la derivada def en
z0.
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Teorema 23 (Condiciones necesarias y suficientes) Sea la funcin f(z) =
u(x, y) +i v(x, y) definida en un entorno de un punto z0 = x0 +i y0. Existe la
derivada def enz0, si y slo siu yv son diferenciables en(x0, y0) y satisfacen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann en(x0, y0).
Ejercicio 8 Seaf(z) = u(x, y) + i v(x, y) una funcin definida en un entorno del
puntoz0 = x0+ i y0.
1. Sabiendo quef(z)es derivable enz0,calcule las derivadas direccionales def(z)
enz0, segn las direcciones:
(a) x= 0y y 0
(b) y= 0y x 0
2. Usando el punto anterior pruebe el teorema21.
3. Seanu(x, y)yv(x, y)dos funciones diferenciables en(x0, y0)[recuerde que:
u(x0, y0) = ux(x0, y0)x + uy(x0, y0)y+ 1px2 + y2
v(x0, y0) = vx(x0, y0)x + vy(x0, y0)y+ 2px2 + y2
donde 1 y 2 0cuando(x,y) (0, 0)]. Adems seaw = f(z).Muestre que:
(a) w= f(z0+ z) f(z0) = u(x0, y0) + iv(x0, y0)
(b) w= (ux+i vx)x+(vyi uy)iy+(1+i2)|z| [en el punto(x0, y0)].
(c) Si adems se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces
existe limz0
w
z en el puntoz0.
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Ecuaciones de Cauchy Riemann en Coordenadas polares
ux=vy
uy = vx
enz=z0
r ur =v
u= r vr
enz=z0.
Ademsux+ i vx= ei(ur+ i vr).
Funciones Analticas (Holomorfas)
Definicin 38 Una funcin de variable compleja se dice analtica (o holomorfa) en
un punto si es derivable en el punto y en el entorno.
Definicin 39 Una funcin de variable compleja se dice analtica en un conjunto
abierto si tiene derivada en todo punto de ese abierto.
Definicin 40 Si una funcinfno es analtica en un punto z0 pero es analtica
en algn punto de todo entorno dez0, se dice quez0 es un punto singularo una
singularidaddef.
Teorema 24 Si dos funciones continuasu(x, y) yv(x, y) tienen derivadas parcia-
les primeras continuas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en algn
dominio D, entonces la funcin complejaf(z) = u(x, y) + i v(x, y) es analtica en
D.
Observacin: Dada una funcin f(z) =u(x, y) + i v(x, y),si las ecuaciones de
Cauchy Riemman se verifican en un punto, esto no alcanza para asegurar que exista
la derivada defen ese punto (teoremas 21 y 22). Si estas ecuaciones se verifican en
todo un dominioD, se podr asegurar que es analtica enD? J.D. Gray y A. Morris
demostraron que si fes continua en un dominio D, existen las derivadas parciales
ux, uy, vx, vyenD, y verifican las ecuacioes de Cauchy-Riemann en D, entonces f
es analitica enD.
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Propiedades de funciones analticas
Si dos funciones son analticas en un dominio, su suma y su producto tambin
lo son, su cociente es analtico siempre que el denominador no se anule.
La composicin de funciones analticas es analtica.
Un polinomio es analtico en todo el plano.
Teorema 25 Si una funcin f tiene derivada nula en todo punto de un dominio
D, entoncesfes constante enD.
Ejercicio 9 Seaf(z) =u(x, y) + i v(x, y)una funcin definida en un dominio D.
1. Pruebe el teorema24 [sugerencia: use el teorema22].
2. Sif(z)tiene derivada nula en todo punto del dominioD (=abierto y conexo).
Muestre que:
(a) fes analtica en D.
(b) ux=uy =vx= vy = 0 enD.
(c) uyv son constantes enD.
Teorema 26 Si una funcinf(z) = u(x, y) + i v(x, y) es analtica en un dominio
D, sus funciones componentesu yv son armnicas enD.
En el caso que se verifique el teorema anterior, las funciones u y v se llaman
armnicas conjugadas.
Recordar que una funcin real h de dos variables x e y se dice armnica en un
dominio del plano x y, si sobre ese dominio tiene derivadas parciales continuas de
primer y segundo orden y satisface la ecuacin de Laplace: hxx+ hyy = 0.
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Ejercicio 10 Seaf(z) =u(x, y) + i v(x, y)una funcin analtica en un dominio D.
a) Sean u(x, y) y v(x, y) dos funciones con derivadas parciales continuas de
primer y segundo orden en todoD. Muestre que en todo punto de D se verifica que:
(a)uxx= vyx (c)vxx= uyx (e)uxx+ uyy = 0(b)uyy = vxy (d)vyy =uxy (f)vxx+ vyy = 0
b) Pruebe la equivalencia entre las condiciones de Cauchy Riemann en coorde-nadas polares y cartesianas.
Funciones Elementales
Vamos a estudiar funciones de una variable compleja que se reducen a las funciones
elementales del clculo real cuando z= x + i 0.
Funcin exponencial
ez =ex+i y =ex(cos y+ isen y)
La funcin exponencial es analtica en todo el plano.
Cuandoy = 0, ex+i 0 =ex.
Cuandox = 0, ei y = (cos y+ i sen y),frmula de Euler.
ez =ex+i y =exei y.
ez1+z2 =ez1ez2.
|ez|= ex.
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arg(ez) =y+ 2k, k Z.
ez 6= 0 z C.
ez+2 i =ez. La funcin exponencial es peridica con periodo imaginario puro
de2 i.
Logaritmo general
log(z) = ln |z|+ iArg(z) + 2k i, k Z.
Es una funcin multivaluada, su valor principal es para k = 0
Logaritmo principal
Log(z) = ln |z|+ i Arg(z)
SiArg(z) se restringe al intervalo (,+ 2), es decir < Arg(z)< + 2,
la funcinLog zes univaluada y continua. (en = es discontinua)
En el dominio|z|> 0 y< Arg(z)< + 2 es analtica y ddz
(Log z) =1
z.
Nota: En algunos textos se considera que la funcin argumento principal (Arg())
toma valores nicamente en el intervalo (,], en este curso se deja libertad pa-
ra defi
nirlo en la forma ms adecuada para cada caso particular. Esto requiereespecificar su definicin cada vez que se lo utilice. La funcin argumento general
(arg())es una funcin multivaluada (ntese que la escribimos en minscula), que
la podemos expresar a partir de cualquier definicin de un argumento principal:
arg(z) = Arg(z) + 2k, dondek Z.
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Funciones Trigonomtricas e Hiperblicas
sen z=ei z ei z
2 i senh z=
ez ez2
cos z=ei z + ei z
2 cosh z=
ez + ez
2
Son funciones enteras
d
dz(sen z) = cos z
d
dz(senh z) = cosh z
d
dz(cos z) = sen z d
dz(cosh z) = senh z
Algunas propiedades
sen(z) = sen z sen(i z) =i senh zcos(z) = cos z cos(i z) = cosh z
Son funciones peridicas
sen(z+ 2) = sen z senh(z+ 2 i) = senh z
cos(z+ 2) = cos z cosh(z+ 2 i) = cosh z
Funciones tangente y tangente hiperblica:
tan z=sen z
cos z
tanh z=senh z
cosh z
Funciones multivaluadas
Definicin 41 Unaramao determinacin de una funcin multivaluadafes cual-
quier funcin univaluadaF,que sea analtica en algn dominio donde en cada punto
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z, el valor deF(z) es uno de los valores def(z).
la funcinLog zes una rama de log z(la que llamamos principal, pero existen
otras infinitas determinaciones particulares o ramas).
Definicin 42 Un corte de una funcin multivaluadaf es una porcin de curva
(o recta) que se escoge con el objeto de definir una ramaF.Los puntos sobre el corte
def son puntos singulares deF, y cualquier punto que es comn a todos los cortes
posibles defse llamapunto de ramificacin.
el rayo = es un corte de log z, con < Arg(z)< + 2.
el origen y elson puntos de ramificacin dellog z.
si recorremos una curva cerrada simple que contenga un punto de ramificacin,
y en cada punto elegimos una rama de tal manera que la variacin de la funcin
sobre la curva sea en forma continua, cuando se regresa al punto inicial, el valor
de la funcin es diferente, est en otra rama.
Exponentes complejos
zc =ec log z
Funciones trigonomtricas inversas
arcsen z = 1i
log
iz+ 1 z2
arccos z = 1
i log
z+
z2 1
arctan z = i
2log
1 iz1 + iz
= i
2log
i + z
i z
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Ejercicio 11 Funciones multivaluadas.
1. Encuentre una rama log zque sea analtica en Im(z) < 0 y tal que Log(1) =
4 i.
2. Encuentre dos ramas de
zque sean iguales en el primer cuadrante y tomen
diferentes valores en el tercer cuadrante.
3. Cules son los puntos de ramificacin dearctan z?
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Integrales de Funciones de Variable Compleja
Con el objeto de introducir integrales de f(z)de modo sencillo, consideremos primero
derivadas e integrales de funciones complejas w(t)de una variable real t.
w = w(t) w: R C (0.1)
w(t) = u(t) + i v(t)
uyv son funciones reales R
R.
Definicin 43 La derivadaw0(t) o dwdt
de la funcin (0.1) se define como
w0(t) =u0(t) + i v0(t)
supuesto que existe cada una de las derivadasu0 yv0 ent.
Contornos
Definicin 44 Un conjuntoCde puntosz= (x, y)en el plano complejo se dice que
constituye unarcosix= x(t), y= y(t), a t b,dondex(t) ey(t) son funcionescontinuas del parmetro t
z= z(t) =x(t) + i y(t) t [a, b].
El arco C es un arco simple, o arco de Jordan, si no se corta a s mismo.
z(t1)6=z(t2)cuandot16=t2, t1, t2 (a, b).
Cuando z(a) =z(b), decimos que Ces una curva cerrada. (Si en los extremos
es el nico punto que se repite decimos que Ces unacurva cerrada simple).
Six(t)e y(t)son diferenciables en el intervalo [a, b]se llamaarco diferencia-
ble. Six0(t) ey0(t)son continuas y no valen ambas cero para el mismo valor
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det, se llamaarco suave. La derivada dez(t)es
z0(t) =x0(t) + i y0(t).
Siz0(t)6= 0, z0(t)representa un vector tangente a la curva en el puntoz(t).
La funcin|z0(t)|=p
x0(t)2 + y0(t)2 es integrable sobre el intervalo[a, b],sien-
do lalongitud de arcoL =bRa
|z0(t)| dt.
La representacin paramtrica para Cno es nica.
El nmero L es invariante.
Definicin 45 Uncontorno, o arco suave a tramos, es un arco que consiste
en un nmero finito de arcos suaves unidos por sus extremos. z(t) es continua y su
derivadaz0(t) es continua a tramos.
Cuando slo coinciden los valores inicial y final de z(t), el contorno se llama
contorno cerrado simple.
La longitud de un contorno cerrado simple es la suma de las longitudes de los
arcos suaves.
Definicin 46 Las integrales de funciones definidas como en (0.1) sobre intervalos
[a, b] se definen como
Z ba
w(t)dt=Z ba
u(t)dt + iZ ba
v(t)dt
cuando las integrales de la derecha existen, es decirIm(Rba
w(t)dt) =Rba
Im(w(t))dt,
yRe(Rba
w(t)dt) =Rba
Re(w(t))dt.
Lema 1 Seanw(t) =u(t) + i v(t) yW(t) =U(t) + i V(t) continuas en el intervalo
[a, b] yW0(t) =w(t), entoncesRba
w(t)dt= W(b) W(a)
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Lema 2 Supongamos que una funcinf(z) es derivable en todo punto de un arco
diferenciablez(t), a
t
b. Siw(t) =f(z(t)), entoncesw0(t) =f0(z(t))z0(t).
Ejercicio 12 Demuestre los dos lemas anteriores.
Integral de contorno ZC
f(z)dz
Definicin 47 Sea
C : contorno z(t), t [a, b].
f(z) =u +i vcontinua a tramos sobreC(es decirf(z(t))es continua a tramos
en el intervalo [a, b]).
ZC
f(z)dz =
bZa
f(z(t)) z0(t)dt
=
bZa
(u x0 v y0)dt + ibZa
(u y0 + v x0)dt
=
(x(b),y(b))Z(x(a),y(a))
(u dx v dy) + i(x(b),y(b))Z(x(a),y(a))
(u dy+ v dx)
Propiedades
RCf(z)dz=
RC
f(z)dz.
SeaC=C1+ C2, RC
f(z)dz= RC1
f(z)dz+ RC2
f(z)dz.
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RC f(z)dz=
RC
f(z)dz.
RC[f(z) + g(z)]dz=
RCf(z)dz+
RCg(z)dz.
R
Cf(z)dz
bRa
|f(z(t)) z0(t)| dt M L donde |f(z)| M sobre la curva C yLes la longitud deC.
Ejercicio 13 Integrales de contornos.
1. Calcular las siguientes integrales utilizando la definicin:
(a)R
|zz0|=R
dzzz0 ,
(b)RC
1.dz dondeCes el segmento que une los puntos z1yz2.
2. Seafuna funcin continua a tramos sobre un contornoC :z=z(t), t [a, b].Sea R =
RC
f(z)dz
y = Arg
RC
f(z)dz
, es decir:
RC
f(z)dz = R.ei.
Muestre que:
(a) R=RC
eif(z)dz
(b) Im
RC
eif(z)dz
= 0
(c) Re
RC
eif(z)dz
=
bRa
Re
eif(z(t))z0(t)
dt= R
(d) 0 R=RC
f(z)dz
b
Ra|f(z(t))| |z0(t)| dt M.L
donde M=maxt[a,b]
|f(z(t))|y L =bRa
|z0(t)| dt
Definicin 48 Un dominio simplemente conexoD, es un dominio tal que todo
contorno cerrado simple dentro de l, encierra slo puntos deD.
Definicin 49 Un dominio que no es simplemente conexo se llamamltiplemente
conexo.
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Teorema de la Integral de Cauchy
Teorema 27 Sif(z)es analtica yf0(z)es continua en un dominioD simplemente
conexo y acotado, entonces para toda curva cerrada simple enD,
ZC
f(z)dz= 0
Teorema de Cauchy-Goursat
Teorema 28 Si una funcin f es analtica en todos los puntos interiores de un
contorno cerrado simpleCy sobre los puntos deCentoncesZC
f(z)dz= 0
Ejercicio 14 Teorema de Cauchy.
1. Demuestre el Teorema de Cauchy (27) [sug. utilice el teorema de Green y lasecuaciones de Cauchy-Riemann].
2. Sea D un dominio simplemente conexo yfuna funcin analtica en D. Sean
C1 yC2 dos curvas contenidas enD que unen dos puntos cualesquieraz1 yz2
enD. Como indica la figura:
z1
z2
D
Muestre que:RC1
f(z)dz=RC2
f(z)dz=Rz2z1
f(z)dz.
3. Use el ejercicio anterior y el ejercicio13 para probar que si f(z) = 1
ZC1 dz= ZC2 dz= Z z2
z1
dz=z2 z1
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4. Seafuna funcin analtica en la regin comprendida entre las curvas cerradas
simples C1 yC2 y sobre las mismas, como indica la figura:
C1
C2
Muestre a partir del Teorema de Cachy queRC1 f(z)dz=
RC2 f(z)dz.
[Sug. considere las curvas ,o 1y 2 como muestran las figuras].
2
1
5. Sea Cuna curva cerrada simple que encierra al punto z0 en sentido positivo.
CalculeRC
dzzz0 , [recuerde el resultado del ejercicio13].
6. De manera similar al ejercicio anterior muestre que sifes analtica en la regin
comprendida entre las curvasC,C1 yC2,y sobre las mismas (como indica la
regin sombreada de la figura)
ZC
f(z)dz=
ZC1
f(z)dz+
ZC2
f(z)dz
C1
C2
C
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Teorema de Cauchy para dominios mltiplemente conexos
Teorema 29 Supongamos que
Ces un contorno cerrado simple con orientacin positiva.
Ck (k = 1, 2,...,n) denota un nmero finito de contornos cerrados simples
orientados positivamente, interiores aCy cuyos interiores no tienen puntos
en comn.
Si una funcinfes analtica en la regin cerrada formada por los puntos inte-riores aCo del propioC, excepto en los puntos interiores a cadaCk, entonces
ZC
f(z)dz=k=nXk=1
ZCk
f(z)dz
Primitivas
Teorema 30 Sea f(z) una funcin continua en un dominio D (puede ser mult.
conexo). Si cualquiera de estas afirmaciones es verdadera, lo son tambin las dems:
f(z) tiene una primitivaF enD.
las integrales defa lo largo de contornos contenidos enD que unen dos puntos
fijosz1 yz2 tienen todas el mismo valor (F(z2) F(z1)).
las integrales def a lo largo de cualquier contorno cerrado contenido en D
tienen todas el mismo valor (cero).
Teorema 31 Sif(z) es analtica en un dominio simplemente conexo D, entonces:
Rz2z1
f(z)dzes independiente del contorno de integracin en el dominio D.
f(z) tiene primitiva enD.
una primitiva def esF(z) = Rz
z0f(z)dz.
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Rz2z1
f(z)dz=F(z2) F(z1).
Ejercicio 15 Seafuna funcin continua en un dominio D.
1. Muestre que si existe una primitivaF def enD entonces
Z z2z1
f(z)dz=F(z2) F(z1)
[este es un resultado muy prctico para el clculo de integrales por primitivas].
2. Sea la integral de f independiente del contorno en D, es decir si C1 y C2
son dos curvas cualesquieras, que unen dos puntos z1 y z2 en D, entoncesRC1
f(z)dz=RC2
f(z)dz=Rz2z1
f(z)dz. Muestre que
(a) Para unz0 dado enD, el valor deRzz0
f(s)dses nico para cada z D.
(b) F(z) =
Rz
z0f(s)dses una funcin definida enD.
(c) W =F(z+ z) F(z) = Rz+zz f(s)ds.(d) z=
Rz+zz
ds [use ejercicio13].
(e) Wz
f(z) = 1z
hRz+zz
f(s)ds f(z)zi
= 1z
hRz+zz
f(s)ds Rz+zz
f(z)dsi
(f) Wz
f(z) =Rz+zz
(f(s)f(z))dsz
(g) Dado > 0,siempre existe un ()> 0 tal que:
i. |f(s) f(z)|< siempre que|s z|< ii.Wz
f(z)< siempre que|z|<
(h) limz0
Wz
=f(z) F0(z) =f(z) z D (Fes una primitiva de f enD).
3. Si ademsD es simplemente conexo yfes analtica en D,probar el teorema
31utilizando el teorema de Cauchy y el30.
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Frmula Integral de Cauchy
Teorema 32 Seafanaltica en el interior y en los puntos de un contorno cerrado
simpleC, orientado positivamente. Siz0 es un punto interior aC, entonces
f(z0) = 1
2i
ZC
f(z)
z z0dz
f(n)(z0) = n!
2i
ZC
f(z)
(z z0)n+1dz n= 1, 2,...
Teorema 33 Una funcin analtica tiene derivadas de todo orden y son todas ana-
lticas.
Ejercicio 16 SeaD un dominio simplemente conexo y fanaltica en D.SeaCun
contorno cerrado simple, con orientacin positiva, contenido en D, que encierra un
puntoz0 en su interior. SeaC0 un crculo centrado en z0 de radio suficientemente
pequeo para quedar contenido ntegramente dentro del contornoC. Muestre que:
1.RC
f(z)zz0dz=
RC0
f(z)zz0 dz.
2.RC0
1zz0dz= 2i.
3.RC
f(z)zz0dz 2i f(z0) =
RC0
f(z)zz0dz f(z0)
RC0
dzzz0 .
4. RC f(z)zz0dz2i f(z0) = RC0 f(z)f(z0)zz0 dz.
5. 0R
Cf(z)zz0 dz 2i f(z0)
, donde es un nmero arbitrariamente pe-
queo.
6.RC
f(z)zz0dz= 2i f(z0)
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Teorema de Morera
Teorema 34 Si una funcinfes continua en un dominio D simplemente conexo
y siRC
f(z)dz = 0 para todo contorno cerrado C contenido en D, entonces f es
analtica enD.
Teorema de Liuville
Teorema 35 Sifes analtica y acotada en mdulo para todazdel plano complejo,
entoncesf(z) es constante.
Ejercicio 17 Derivadas de funciones analticas, teorema de Morera, principio del
mdulo mximo.
1. A partir de la Frmula Integral de Cauchy para las derivadas demuestre el
teorema 33.
2. Demuestre el teorema de Morera, utilice los teoremas30y 33.
3. Seafanaltica en un entorno de un punto z0,|z z0|< .
(a) Muestre que si una funcin es analtica dentro y sobre un crculo dado,
su valor en el centro es la media aritmtica de sus valores sobre el crculo
(teorema del valor medio de Gauss), es decir
f(z0) = 12
2R0
f(z0+ ei) d, donde < . x
z0
[sug. utilice la frmula integral de Cauchy].
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(b) Sea z0 un punto tal que |f(z)| |f(z0)|, para todo z en ese entorno.Muestre:
i. |f(z0)| 122R0
f(z0+ e
i)
d.
ii. |f(z0)| 122R0
f(z0+ e
i)
d.
iii.2R0
|f(z0)|
f(z0+ ei)
d= 0.
iv. |f(z)|= |f(z0)|para todo punto del crculo |z z0|= .v. |f(z)|= |f(z0)|para todo punto del entorno.
vi. Si f es analtica en un dominio D, y |f(z)| = c es constante en
D, entonces fes constante. (usar ecuaciones de Cauchy-Riemann y
notar quef(z) =c2/f(z)).
vii. Lema: Sea f una funcin analtica en un entorno de un punto z0,
|z z0|< , si|f(z)| |f(z0)|, para todozen ese entorno, entoncesfes constante.
4. Use el lema anterior para probar elprincipio del mdulo mximo:
Si una funcin fes analtica y no constante en un dominioD,|f(z)|no tiene
valor mximo en D.
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Sucesiones y series
Definicin 50 Una sucesin de nmeros complejos es una funcin deN C.
Definicin 51 Una sucesinzn es convergente si tiene lmitez, es decir para cada
> 0, existe un nmero naturalN0 tal que|zn z|< n > N0,
limn
zn = z zn z.
Teorema 36 Supongamos quezn = xn+ i yn, yz= x + i y. Entonces
limn
zn = z
limn
xn = x
limn
yn = y
Propiedades de lmites de sucesiones:
1. Seanzn ywn dos suceciones convergentes tales que zn zywn w. Enton-ces:
(a) an= zn+ wn tambin es convergente y an z+ w.
(b) bn= zn wn tambin es convergentebn z w.
(c) Sizn 6= 0para todon, yz6= 0;cn= 1
zntambin es convergente ycn1
z.
(d) Toda subsucesin dezn tiene lmitez.
2. Toda sucesin convergente es acotada.
3. limn
zn= z limn
|zn|= |z| .
4. limn
zn= 0 limn
|zn|= 0.
5. limn
zn= 0 y|wn|< Mpara todon = limn
zn wn= 0.
6. Si limn
zn = zy limwz
f(w) =c limn
f(zn) =c.
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Definicin 52 Una serie de nmeros complejos
Pn=1zn =z1+z2+ +zn+ ,
converge con sumaS, si la sucesin
SN=NX
n=1
zn=z1+ z2+ + zN
de sumas parciales converge aS.
Teorema 37 Supongamos quezn = xn+ i yn, yS=X+ i Y
Xn=1
zn= S
Pn=1
xn
=X
Pn=1
yn=Y
En consecuencia una condicin necesaria para la convergencia de la serie es que
limn
zn= 0.
Definicin 53 Una serie
Pn=1 zn es absolutamente convergente si la serie
Pn=1 |zn|denmeros reales es convergente.
Teorema 38 SiPn=1
|zn| es convergente entoncesPn=1
zn tambin es convergente.
Si la serieP
|an|converge se dice que la serieP
anconverge absolutamente.
Si la serieP
an converge y la serieP
|an|diverge entonces se dice que la serie
Pan converge condicionalmente.
La suma de una serie absolutamente convergente no depende del orden de sus
trminos.
SiP
an yP
bn son series convergentes con suma A y B respectivamente,
entonces:
P
(an+ bn) converge y su suma es A + B.
Sices un nmero complejo,P c an converge y su suma es c A.
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Criterio de Dirichlet.
Si la sucesin de nmeros reales a1, a2, . . . , an, . . . tiende montonamente a cero yPzn tiene sumas parciales acotadas (zn es una sucesin compleja,
PN1 zn
k,
independiente deN), entonces la seriePn=1
anzn es convergente.
Series de funciones
Definicin 54 Una serie de funciones es una serie cuyos trminos son funciones
de una variable compleja definida en una reginD del plano complejo
Xn=1
fn(z).
fn:D C
Sucesin de funciones de sumas parciales: SN(z) =NP
n=1
fn(z).
Regin de convergencia: es el conjunto de puntos RC D, para los cuales laserie converge, es decir dondeSN(z)tiene lmite.
Funcin suma: S(z) = limn
SN(z),en la regin de convergencia.
Resto de la serie: RN(z) =S(z) SN(z), en la regin de convergencia.
Convergencia uniforme.
Definicin 55 Se dice que la serieP
fn(z) converge uniformemente en la regin
M, si dado > 0, existe un nmero naturalN(), tal quen > N yz M
|Rn(z)|< .
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Criterio de Weierstrass
Si existen nmeros positivos a1, a2, . . . , an, . . . tales que para todos los z de un
subconjuntoMde la regin de convergencia RCde la serieP
fn(z),
|fn(z)| an ny z M RC,
yPn=1
an es convergente, entonces la serieP
fn(z) es absoluta y uniformemente
convergente en M.
Teorema 39 Si los trminos de una serie de funcionesP
fn(z) son continuos en
un dominio y la serie converge uniformemente en ese dominio, entonces la suma de
la serie es una funcin continua dezen ese dominio.
Series de Potencias
Definicin 56 Una serie de potencias es una serie de funciones con la siguiente
estructura:
Xn=0
an(z z0)n =a0+ a1(z z0) + + an(z z0)n +
dondez0 y los coeficientescn son constantes complejas yzcualquier punto del plano
complejo.
Si an 6= 0
n
N,y existe lim
n
|an+1|
|an
| = 1
R, la serie de potencias converge abso-
lutamente en el crculo|z z0|< Ry diverge absolutamente cuando|z z0|>R.
Radio de convergencia: Frmula de Cauchy-Hadamard: 1R = limsup |an|n
1/n.
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Ejercicio 18 Seafuna funcin analtica en un disco abierto centrado en z0 y de
radioR0, yC :s(t) =z0+r0eit, 0 t 2, conr0 < R0. Seazun punto interior
al crculoC, es decir|z z0|< r0, muestre que:
1. f(z) = 12i
ZC
f(s)
s zds.
2. f(z) = 12i Z
C
f(s)
s z0
1
1z z0s z0
ds.
3. 1
1 w = 1 + w+ + wN +
wN+1
1 w
4. f(z) = 12i
ZC
f(s)
s z0
1 + z z0
s z0 + +
z z0s z0
N+
z z0s z0
!N+1
1z z0s z0
ds.
5. f(z) =f(z0) + f0(z0)(z
z0) + +
f(N)(z0)
(N)! (z
z0)
N + N(z),
conN(z) = (zz0)N+1
2i
ZC
f(s)
(s z)(s z0)N+1ds.
6. limN
N(z) = 0.
7. f(z) =Pn=0
f(n)(z0)
n! (z z0)n.
Teorema de Taylor
Teorema 40 Seaf una funcin analtica en un disco abierto |z z0| < R0. En-tonces en todo punto z de ese disco f(z) admite la representancin en serie de
potencias:
f(z) =
Xn=0
an(z z0)n
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dondean=f(n)(z0)
n! .
La serie de potencias converge a f(z)cuando|z z0|< R0.
Cuandoz0 = 0 se llama serie de Maclaurin.
La serie converge a f(z) dentro del crculo centrado en z0 cuyo radio es la
distancia dez0 al punto z1 ms prximo en el quefdeje de ser analtica.
Convergencia absoluta y uniforme de las series de potenciasTeorema 41 Si una serie de potencias
Pn=0
anzn converge cuando z=z1, (z1 6= 0)
es absolutamente convergente en todo punto del disco abierto |z|< |z1| .
El conjunto de puntos interiores a algn crculo en torno al origen es la regin
de convergencia.
El mayor crculo centrado en el origen tal que la serie converge en todos los
puntos interiores se llama crculo de convergencia.
La serie no puede converger en ningn punto z2 exterior a ese crculo pues si
lo fuera sera convergente dentro de un crculo mayor.
Teorema 42 Siz1 es un punto interior al crculo de convergencia|z|= R, de una
serie de potenciasPn=0
anzn, entonces esa serie es uniformemente convergente en el
disco cerrado |z|
R1, dondeR1 = |z1|< R.
La suma de la serie es una funcin continua en todo punto interior al crculo
de convergencia.
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Integracin y derivacin de series de potencias
Ejercicio 19 SeaPn=0
anzn una serie de potencias con crculo de convergencia |z| 1R
.
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2. Extienda los teoremas41,42,43 y45para el caso general de z0 6= 0.
Unicidad de las representaciones en series de Potencias
Teorema 46 Si una seriePn=0
an(z z0)n converge af(z)en todo punto interior aalgn crculo, entonces es la serie de Taylor defen potencias dez z0.
Series de LaurentTeorema 47 Seaf una funcin analtica en un dominio anularR1 < |z z0| m, el punto singular aislado sellama polo de orden m. Sim= 1 se llama polo simple.
2. Si la parte principal de f en z0 tiene infinitos trminos no nulos, se llama
punto singular esencial.
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3. Si todos los coeficientesbn de la parte principal defen son cero, el punto z0
se llama punto singular evitable. Si se definef(z0) =a0 la funcin pasa a
ser analtica enz0.
Teorema de los residuos
Teorema 48 SiCes un contorno cerrado simple, positivamnete orientado, sobre y
dentro del cual una funcinfes analtica a excepcin de un nmerofinito de puntos
singulareszk (k= 1, 2, . . . , n) interiores aC, entonces
ZC
f(z)dz= 2 inX
k=1
Resz=zk
f(z).
Ejercicio 22 Demuestre el teorema de los residuos [sug. utilice teorema 29]
Ceros y polos de orden m
Definicin 60 Sifes analtica enz0, f(z0) = 0, y existe un entero positivo m, tal
quef(m)(z0)6= 0 y todas las derivadas de orden inferiores am se anulan enz0, se
dice quef tiene un cero de ordenmenz0. Adems se puede expresar
f(z) = (z
z0)
mg(z)
dondeg es analtica enz0 yg(z0)6= 0.
Lema 3 ftiene un polo de ordenmenz0, si y slo si, puede expresarse como
f(z) = (z)
(z z0)m,
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donde es analtica enz0 y(z0)6= 0. Los coeficientes de la parte principal enz0
verifican
bk =(mk)(z0)
(m k)! .
Esta frmula es de gran utilidad en el clculo de residuo en polos pues
b1 = (m
1)(z0)
(m 1)!
= 1
(m1)! limzz0
dm1
dzm1((z z0)m
f(z)) ,
sim= 1, b1 = limzz0
(z z0)f(z).
Tambin es muy til en la descomposicin en fracciones parciales de una fun-
cin racionalR(z) = P(z)Q(z)
,
R(z) =r
Xj=1mj
Xk=1bk(zj)
(z
zj)k
= b1(z1)
z z1+
b2(z1)
(z z1)2+ +
b1(zr)
z zr+
b2(zr)
(z zr)2+ +
bmr(zr)
(z zr)mr,
donde P y Q son polinomios y el grado de P es menor que el grado de Q,
Q tiene r ceros distintos zj de orden mj y no tiene ceros en comn con P.
Los coeficientes de las fracciones se pueden calcular utilizando la frmula de
la definicin anterior, sea j(z) = (z zj)mjR(z) para z6=zj y j(zj) = limzzj
(z zj)mjR(z)
bk (zj) =
(mjk)j (zj)
(mj k)!
= 1(mjk)! limzzj
dmjk
dzmjk((z zj)mjR(z))
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Teorema de Picard
Teorema 49 En todo entorno de un punto singular esencial, una funcin alcanza
todo valorfinito, con una nica posible excepcin, un nmero infinito de veces.
Ejercicio 23 Seaz0 un punto singular aislado de f.
1. Probar que:
(a) limzz0 f(z) existe z0 es punto singular evitable de f.(b) lim
zz0f(z) = z0 es polo def.
(c) limzz0
f(z) no existez0 es punto singular esencial de f.
2. Seak un entero, k 0, usando el Lema 3 muestre que:
z0 es polo de orden m def limzz0
(z z0)kf(z) =
k < m(z0)6= 0 k= m
0 k > m
Teorema 50 Los ceros de una funcin analtica (no nula) son aislados.
Lema 4 Sif(z) = 0 en todo punto zde un dominio o arco que contiene un punto
z0, entoncesf(z) 0en cualquier entornoN0 dez0,en el quefsea analtica. Estoesf(z) = 0 en todo punto deN0.
Teorema 51 Si una funcinf es analtica en un dominio D yf(z) = 0 en todo
punto de un dominio o arco interior aD, entoncesf(z) 0 enD.
Prolongacin Analtica
Definicin 61 Dos funciones analticas: f1 definida en el dominio D1 yf2 definida
en el dominio D2 se dicen que sonprolongaciones analticasuna de la otra si
D1 D2 6= yf1(z) =f2(z) enD1 D2.
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Ejercicio 24 Ceros - Regla de Lhopital - residuos - descomposicin en
fracciones parciales
1. Seanf(z)y g(z)funciones analticas en un dominioD. Muestre que sif(z) =
g(z) en todo punto de un dominio o arco interior a D, entonces f(z) g(z)enD.
2. Sean f(z) y g(z) funciones analticas ambas con un cero en z0. Analizar lasingularidad que presentan las funciones f(z)
g(z) y f
0(z)g0(z)
en el punto z0 y probar
que limzz0
f(z)g(z)
=limzz0
f0(z)g0(z)
,si este ltimo existe.
3. Sea C un contorno cerrado simple que encierra un nico polo de una fun-
cin f(z) en sentido antihorario. Comparar la forma de resolver la integralRC
f(z)dzutilizando la Frmula Integral de Cauchy y el Teorema de los Resi-
duos.
4. Descomponer en fracciones parciales utilizando residuos:
(a) z+ 12
z2 + 4z
(b) 2
z2(z+ 1)
(c) 10 4z(z 2)2
(d) z+ 2z2 + 1
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Transformada de Laplace
Bibliografa:
Matemticas Avanzadas para Ingeniera. James, G.,Pearson Educacin
Matemticas avanzadas para ingeniera 1. Kreyszig, Erwin. (517. K889-1/
517. K889).
Transformadas de Laplace. Spiegel, Murray R. (517.7 Sp43-1)
Teora y problemas de matemticas superiores para ingenieros y cientficos.
Spiegel, Murray R.(510 Sp43)
Modern operational mathematics in engineering. Churchill, Ruel V. (517.7
C473/ 517.7 C473-1a2)
Functions of a complex variable. Moretti, Gino.(517.8 M818)
Definicin 62 Seaf : R+ R, es decir una funcin real definida para t 0. Sila integral
R0
estf(t)dt, existe donde s puede ser real o complejo, se define una
funcin des
F(s) =
Z0
estf(t)dt.
La funcinF(s) se llama transformada de Laplace de la funcin originalf(t) y se
denota porL{f(t)}, entonces
F(s) =L{f(t)}=
Z0
estf(t)dt.
La funcin originalf(t)se conoce como transformada inversa o inversa deF(s),
es decir
f(t) =L1{F(s)}.
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La funcin original tambin puede ser una funcin compleja de variable real, es
decirf : R+
C , f(t) =fr(t) +i fi(t). La transformada de Laplace en este caso
se define del mismo modo
F(s) =
Z0
estf(t)dt=
Z0
est (fr(t) + i fi(t)) dt.
Notacin: las funciones originales se denotan mediante letras minsculas y sus
transformadas por las mismas letras en mayscula.
Teorema 52 Si la integralR0 e
st
f(t)dt converge absolutamente paras =
0 en-tonces la integral converge absoluta y uniformemente para todo Re(s) 0.
Abscisa de convergencia
Definicin 63 El nmero es la abscisa de convergencia absoluta si la integral
de Laplace converge absolutamente para Re(s) > y diverge absolutamente para
Re(s)< .
Definicin 64 El nmero 0 es la abscisa de convergencia si la integral de Laplace
converge paraRe(s)> 0 y diverge paraRe(s)< 0.
Orden Exponencial
Definicin 65 Sea f : R R y R diremos que f es de orden exponencialcuando t si existen constantes positivasM yT tales que
|f(t)| Met t > T
et |f(t)| M t > T
y escribimosf=O(et).
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Lema 5 Si limt
etf(t) existe entoncesf=O(et).
Ejercicio 25 Probar que1, t,tn, sen t,cos t,eat, eit,son de orden exponencial yet2
no es de orden exponencial.
Condiciones para la existencia de la Transformada de Laplace
Teorema 53 Si
f(t) es continua a tramos en0 t < .
f(t) es de orden exponencial, f=O(et).
EntoncesF(s)existe paraRe(s)> .Es decir la abscisa de convergencia0 es
menor o igual a.
Analiticidad de la Transformada de Laplace
Lema 6 Sif(t) es de orden exponencialf=O(e0t) entoncestf(t) =O(et) para
todo > 0.
Teorema 54 Si f(t) es continua a tramos y de orden exponencial f = O(e0t),
entonces F(s) = L{f(t)} es analtica y converge absoluta y uniformemente con
respecto as en el semiplano Re(s)> 0. AdemsF0(s) = L{tf(t)}.
Funcin de Heaviside o escaln unitario
h(t) =
0 sit 0
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Conjunto de funciones transformables segn Laplace
T L = {f(t) :fcontinua a tramos y de orden exponencial, f(t) = 0t 0.
Si dos funcionesf(t)yg(t)tienen la misma transformada de Laplace, entonces
f y g toman los mismos valores en todo los puntos t > 0 donde ambas sean
continuas.
Teorema 56 Sif(t)es de orden exponencialO(et)y continua a tramos, entonces
limRe(s)+
Im(s)=0
F(s) = 0
y |sF(s)| K cuandoIm(s) = 0 yRe(s) .
Ejercicio 27 Pruebe los siguientes items:
1. Lema6,Teoremas 53, 54, y 56.
2. L{h(t)}= L{1}.
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3. Sobre el conjunto de funcionesT LC ={f(t) :fcontinua y de orden exponen-
cial,f(t) = 0
t p
g(t) G(s) Re(s)> q
Linealidad
Para, C: f(t) + g(t) F(s) + G(s) Re(s)> max(p, q)
Traslacin
Para C:
et f(t) F(s ) Re(s)> p + Re()Paraa >0:
h(t a)f(t a) easF(s) Re(s)> pCambio de escala
Paraa >0:
f(at) 1a
F( sa
) Re(s)> a p
Derivadas
f(n)(t) snF(s) sn1f(0) f(n1)(0) Re(s)> p(1)ntnf(t) F(n)(s) Re(s)> p
IntegralesRt0
f(t)dt 1s
F(s) Re(s)> max(p, 0)
Si limt0
f(t)t
f(t)t
Rs
F(u)du Re(s)> p
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Ejercicio 28 Pruebe las propiedades anteriores para valores de s que estn sobre
una semirecta en el eje real y luego extindalas por prolongacin analtica sobre todo
el semiplano de la regin de convergencia.
Funciones Peridicas
Teorema 57 Seaf(t) peridica, de periodo T, es decirf(t+T) =f(t), t > 0. Si
fes continua a tramos en el periodo 0 t T, su transformada existe y podemosescribir
F(s) = 1
1 esTZ T0
es tf(t)dt.
Propiedades asintticas
Teorema 58 Teorema del Valor Inicial. Sif yf0 son continuas a tramos y de
orden exponencial, L{f(t)}= F(s) y existe el limRe(s)+
Im(s)=0
sF(s), entonces
f(0) = limRe(s)+
Im(s)=0
sF(s).
Teorema 59 Teorema del Valor Final. Si f y f0 admiten transformada de
Laplace paraRe(s)> 0 yL{f(t)}= F(s), si existe limt
f(t), entonces
lims0
sF(s) = limt
f(t).
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Producto de Convolucin
Definicin 66 El producto de convolucin entre dos funciones f(t) y g(t) (cuya
notacin esf g) se define mediante la integral R+ f(u)g(t u)du, sin embargoen el caso de utilizarse en aplicaciones junto a la transformada de Laplace, o bien
porque se considera que f(t), g(t) y (f g)(t) son nulas para t < 0, o estn slodefinidas en(0, +), la integral resulta con los siguientes extremos:
(f g)(t) =Z t0
f(u)g(t u)du t >0.
Propiedades
f g= g f
(f g) v= f (g v)
f (g1+ g2) =f g1+ f g2
Teorema de Convolucin
Teorema 60 Sif(t) yg(t) son las transformadas inversas deF(s) yG(s) respec-
tivamente, la transformada inversa del productoF(s)G(s)es la convolucin def(t)
yg(t).
Resolucin de ecuaciones diferenciales.
La transformada de Laplace provee un mtodo para resolver ecuaciones diferenciales
(lineales con coeficientes constantes) y los correspondientes problemas con condicio-
nes iniciales o con valores en la frontera. El proceso de resolucin consta de tres
pasos principales:
1. El problema complejo de resolver una ecuacin diferencal o un sistema de
ecuaciones diferenciales se transforma, utilizando la propiedad de las derivadas,
en un problema ms sencillo de resolver una ecuacin algebraica o un sistema
algebraico lineal.
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2. Se resuelve el problema haciendo manipulaciones algebraicas.
3. La solucin del sistema algebraico se transforma en sentido inverso para obte-
ner la solucin del problema dado.
En la mayora de las aplicaciones consideradas en este curso se obtienne una
solucin de la forma Y(s) = P(s)Q(s)
,donde P y Q son polinomios en s. En tal caso
es posible determinar la solucin y(t) = L1{Y(s)}, expresando primero Y(s) en
trminos de fracciones parciales, y luego antitransformando. A este mtodo se lo
llama: Desarrollo de Heaviside.
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Series de Fourier
Bibliografa
Matemticas Avanzadas para Ingeniera. James, G.,Pearson Educacin
Series de Fourier y problemas de contorno. Churchill, Ruel V. (517.2. C473-
1).
Introduccin al clculo y al anlisis matemtico. Courant, Richard; John,
Fritz., vol. 1(517. C833).
Matemticas avanzadas para ingeniera. 2. Kreyszig, Erwin. Limusa. Mxico.
(517. K889-2 / 517. K889-1/517. K889).
Definicin 67 Una funcin real, f : R R es peridica, de periodo T, si verificaf(x) = f(x + T),x R, y el valor= 2
T se denomina frecuencia.
Ejercicio 29 Muestre que:
1. Las funcionessen x ycos x son funciones peridicas de periodo T = 2, y las
funcionescos nxL
ysen nxL
tienen periodo T = 2L y frecuencia = L
.
2. Sif(x) es una funcin peridica de periodo T , para cualquier constante arbi-
traria a Z T0
f(x)dx=
Z a+Ta
f(x)dx=
Z T/2T/2
f(x)dx
Definicin 68 Una funcin real, f : R R es par, si verifica f(x) = f(x),x R.
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Definicin 69 Una funcin real, f : R Resimpar, si verificaf(x) = f(x),
x
R.
Definicin 70 Seafuna funcin cuyo lmite a derechaf(x+0) existe en el punto
x0. La derivada a derecha se define como sigue:
f0D(x0) = lim0+
f(x0+ ) f(x+0)
cuando el lmite existe.
Definicin 71 Seafuna funcin cuyo lmite a izquierdaf(x0) existe en el punto
x0. La derivada a izquierda se define como sigue:
f0I(x0) = lim0+
f(x0) f(x0 )
cuando el lmite existe.
Si existe f0(x0), entonces existen ambas derivadas laterales y son iguales,
f0(x0) =f0D(x0) =f0I(x0).
Series de Fourier
Definicin 72 La serie trigonomtrica
1
2a0+
Xn=1
(ancos nx + bnsen nx)
o bien en notacin compleja
Xn=
neinx
es la serie de Fourier de una funcinf(x) si sus coeficientes vienen dados por las
frmulas
a0 = 1
Z
f(x) dx,
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an = 1
Z
f(x)cos nx dx n= 1, 2,...
bn = 1
Z
f(x)sen nx dx n= 1, 2,...
n = 1
2
Z
f(x)einxdx n= 0, 1, 2,...
dondefes alguna funcin definida en el intervalo (,).
El trmino a02
=0 es el valor medio de f(x)en el intervalo(
,).
Cada uno de los trminos de la serie es peridico en x con periodoT= 2.
n=an i bn
2 paran >0.
n= n.
La serie de Fourier tiene dos aplicaciones fundamentales:
1. Representar una funcin definida en el intervalo (,).2. Representar una funcin peridica, con periodo 2 para todos los
valores de x.
Teorema 61 Seafuna funcin continua a tramos en el intervalo [,]y peridi-ca de periodo 2. Entonces su serie de Fourier converge al valor
f(x+0) + f(x0)
2
en todos los puntosx0 dondef tenga derivada a derecha y a izquierda.
La convergencia de la serieP
n=ne
inx,significa la existencia del lmite de la
suma parcial
SN(x) =N
Xn=Nne
inx =1
2a0+
N
Xn=1(ancos nx + bnsen nx)
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Si las extensiones peridicas de f(x) yf0(x) son continuas a tramos, la serie
de Fourier de fes convergente para todox real.
Condiciones de Dirichlet
Si bien de acuerdo al teorema anterior la serie de Fourier converge si f(x) y f0(x)
son continuas a tramos, puede demostrarse tambin para condiciones mucho ms
generales. Sin embargo, el resultado formulado es suficiente para la mayora de
las aplicaciones. Las condiciones ms generales se conocen como Condiciones de
Dirichlet.
Definicin 73 Una funcinf(x) se dice que satisface las condiciones de Dirichlet
en un intervalo (a, b), en el cual est definida cuando satisface una de estas dos
condiciones:
1. f(x)es acotada en(a, b),y el intervalo puede ser partido en un nmero finito
de intervalos abiertos parciales, en cada uno de los cuales f(x)es montona (
ftiene un nmero finito de mximos y mnimos en (a, b)).
2. f(x)tiene un nmero finito de puntos de discontinuidad infinita en el intervalo
(a, b). Cuando se excluyen pequeos entornos alrededor de estos puntos,f(x)
es acotada en el resto del intervalo y ste puede ser partido en un nmero finito
de intervalos abiertos parciales, en cada uno de los cuales f(x) es montona.
Adems la integral Rb
af(x)dxes absolutamente convergente.
Serie de Cosenos
Cuando fes una funcin par en el intervalo (,)sus coeficientes tienen valores
a0 = 2
Z 0
f(x) dx,
an = 2
Z
0
f(x)cos nx dx n= 1, 2,...
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bn = 0 n= 1, 2,...
Por lo tanto su serie de Fourier se reduce a
a02
+Xn=1
ancos nx.
Es la serie de Fourier de cosenos. Sirve para:
1. Representar funciones pares definidas en el intervalo (,).
2. Representar funciones peridicas pares de periodo 2.
3. Representar funciones definidas en el intervalo (0,).
Serie de Senos
Cuandofes una funcin impar en el intervalo (,)sus coeficientes tienen valores
a0 = 0,
an = 0 n= 1, 2,...
bn = 2
Z 0
f(x)sen nx dx n= 1, 2,...
Por lo tanto su serie de Fourier se reduce a
Xn=1
bnsen nx.
Es la serie de Fourier de senos. Sirve para:
1. Representar funciones impares definidas en el intervalo (,).
2. Representar funciones peridicas impares de periodo 2.
3. Representar funciones definidas en el intervalo (0,).
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70
En consecuencia si una funcin f(x) est definida solo en el intervalo [0,],
podemos extenderla al intervalo [,] ya sea como una funcin par o como
una funcin impar y desarrollar en una serie de cosenos o una serie de senos
que represente a f(x)en la mitad del intervalo.
Teorema 62 Si una funcinfes peridica con periodoT = 2L,continua a tramos
en[L, L], tiene como representacin la serie
f(x) va02
+
Xn=1
ancosnx
L + bnsen
nx
L
a0 = 1
L
Z LL
f(x) dx
an = 1
L
Z LL
f(x)cosnx
L dx n= 1, 2,...
bn = 1
LZ
L
L
f(x)sennx
L
dx n= 1, 2,...
o bien en la forma exponencial
f(x) X
neinxL
donde
n= 1
2LZ
L
L
f(x)einxL .
La serie converge a f(x+
0)+f(x
0)
2 en todos los puntos x0 donde f tenga derivada a
derecha y a izquierda.
Ejercicio 30 Muestre que:
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1. Sifes peridica con periodoT = 2Ly un nmero real cualquiera, entonces
a0 = 1L
Z +2L
f(x) dx
an = 1
L
Z +2L
f(x)cosnx
L dx
bn = 1
L
Z +2L
f(x)sennx
L dx
2. Los coeficientes de Fourier de una suma de funciones f1+ f2 son las sumas de
los coeficientes correspondientes af1 yf2.
Simetras
En cualquier funcin peridica con perido T = 2L se puede demostrar que hay
condiciones de simetra que permiten establecer la existencia o no de determinados
trminos en la serie de Fourier, lo que ahorra trabajo en el clculo.
Funcin impar: f(x) = f(x),slo tienen trminos en senos, a0=an= 0y
bn= 2
L
Z L0
f(x)sennx
L dx
para n = 1, 2,...; es decir dos veces la integral sobre la mitad del intervalo.
Ademsn es imaginario puro.
Funcin par: f(x) =f(x), slo tienen trminos en cosenos y la constante.bn= 0y
an = 2
L
Z L0
f(x)cosnx
L dx
-
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para n = 0, 1, 2,...;es decir dos veces la integral de la mitad del intervalo.
Ademsn
es real.
Simetra de media onda: Se dice que hay simetra de media onda cuando
esf(x) = f(x L). Resulta que:
a0= 0,
para n par (n= 2k) :
a2k =b2k = 0,
y paran impar (n= 2k+ 1) :
a2k+1 = 2
L
Z L0
f(x)cos(2k+ 1)x
L dx,
b2k+1 = 2
L
Z L0
f(x)sen(2k+ 1)x
L dx,
para k = 0, 1, 2,...
El hecho de ser funcin par o impar nada tiene que ver con los ndices o frecuen-
cias armnicas pares o impares. Adems puede hacerse una funcin par o impar
mediante un cambio de ejes.
En resumen si una funcin es par, o impar, o tiene simetra de media onda,
ciertos coeficientes son cero y el clculo de los restantes puede hacerse integrando
sobre medio perodo y multiplicando el resultado por dos. Ms an, si la onda tiene
simetra de media onda y adems es par o impar, es suficiente integrar en un cuarto
del periodo y luego multiplicar por cuatro.
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Ejemplos: Sumas parciales de la serie:
Xk=0
4(2k+1)
sen(2k+ 1)x
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
S1(x)
S3(x)
S5(x)
x
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102
1
0
1
2
S10
(x)
S20
(x)
S100
(x)
x
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Sumas parciales de la serie: 2
+
Pk=0
4(2k+1)2
cos(2k+ 1)x
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
S1(x)
S3(x)
S5(x)
x
Sumas parciales de la serie:P
n=12(1)n
n sen nx
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
1
0.5
0
0.5
1
x
f(x)
16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
0.5
1
Modulo
16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 163.14
1.57
0
1.57
3.14
Fase
[rad]
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Sntesis de ondas.
Las series de Fourier se pueden utilizar para sintetizar ondas peridicas como una
suma infinita de senoidales y/o cosenoidales de la frecuencia fundamental = L
y
sus multiplos (armnicos)n.Es decir dichas ondas se pueden aproximar mediante
la sumas parciales de su serie de Fourier. Por ejemplo, partiendo de la expresin de la
onda cuadrada desarrollada en serie y viendo grficamente sus sumas parciales como
muestran las figuras del ejemplo anterior, se puede apreciar como la aproximacin
comienza a ser mejor a medida que se incrementa la cantidad de trminos. Sin
embargo siempre permanece una ondulacin que semejan orejas a ambos lados
de la discontinuidad (fenmeno de Gibbs). Con el aumento de los trminos las
mismas se estrechan pero no disminuyen su amplitud que se establece en un 9% del
salto de la discontinuidad. La serie infinita, sin embargo, converge exactamente a la
funcin, excepto en la discontinuidad donde converge al punto medio de la misma.
Convergencia Uniforme
Teorema 63 Seafuna funcin continua en el intervalo [L, L], tal quef(L) =f(L) cuya derivadaf0 es continua a tramos en ese intervalo. Entonces la serie
a02
+Xn=1
ancos
nx
L + bnsen
nx
L
y la serie
X
neinx
L
convergen af(x) en el intervalo [L, L] absoluta y uniformemente.
La hiptisis de este teorema es equivalente a pedir que la extensin peridica
defsea continua para todas lasxy la derivada continua a tramos.
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Una serie de Fourier no puede converger uniformemente en un intervalo que
contenga alguna discontinuidad.
Ejercicio 31 Compare el teorma anterior (63) con el teorema (12 y 11) de conver-
gencia uniforme de serie de funciones reales y el test de Weierstrass.
Teorema 64 Sifes una funcin continua en el intervalo [L, L],tal quef(L) =f(L)yf0 es continua a tramos en ese intervalo, entonces la serie de Fourier def(x)
a02
+Xn=1
ancos
nx
L + bnsen
nx
L
X
neinxL
es derivable trmino a trmino en todo punto dondef0
(x) tenga derivada a derechay a izquierda, y
f0(x) Xn=1
n
Lansen
nx
L + n
Lbncos
nx
L
f0(x) X
inL ne
inxL .
Teorema 65 Sifes una funcin continua a tramos con derivada continua a tramosen el intervalo [L, L] y desarrollo en serie de Fourier (a0= 0)
f(x) Xn=1
ancos
nx
L + bnsen
nx
L
,
entonces
Z x
L
f(u)du A02
+
Xn=1
Lann
sennx
L Lbn
n cos
nx
L
-
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conA0= 1LR
L
L uf(u)du.
(Sia06= 0basta considerarg(x) =f(x) a0/2).
Identidad de Parseval
Teorema 66 Sif(x) es acotada e integrable en[L, L], an ybn los coeficientes deFourier def, entonces
1
LZ
L
Lf2(x)dx=
a20
2 +
Xn=1
a2n+ b2no bien
1
2L
Z LL
f2(x)dx=X
n=|n|
2 .
De la identidad de Parseval se observa que el valor RMS (medio cuadrtico) de
la onda total es la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores RMS de
sus componentes:
RMS(f(x)) =
s 1
2L
Z LL
f2(x)dx=
vuuta02
2+
Xn=1
an
2
2+
bn
2
2!