Download - Grundpraktikum Physik I und II · Praktikum (nur am vorherigen Praktikumstag) zu entnehmen. Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangaben am

MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄTHALLE-WITTENBERG

Institut für Physik

Grundpraktikum

Grundpraktikum Physik

I und II

für die Studiengänge

Physik, medizinische Physik

und Physik Lehramt

17. Auflage (2017)

Name: Vorname:

1. Semester Gruppe:

Versuch Datum

1.

2.

3.

2. Semester Gruppe:

Versuch Datum

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Druck: Schäfer Druck & Verlag GmbH, 06179 Teutschenthal OT Langenbogen

PlatzhalterVorwort

Das Physikalische Grundpraktikum für Physik- und Medizinphysik-Bachelor erstreckt sich überdas 1. bis 4. Fachsemester des Regelstudiums. Grundpraktikum I (Einführung) und Grund-praktikum II sind Bestandteil des Moduls Experimentelle Physik A. Grundpraktikum III und IVsind Bestandteil des Moduls Experimentelle Physik B.

Der regelmäßige und erfolgreiche Besuch des Praktikums ist entsprechend der Studien-ordnungen Bedingung für den erfolgreichen Abschluss des Moduls.

Im Praktikum I sind 3 Versuche im Umfang von 2 h, in den Praktika II-IV je 10 Versuche miteinem Zeitumfang von 4 h durchzuführen. Die Reihenfolge der Versuche wird durch Aushangim Praktikum und im Intranet bekannt gegeben.

Studierende der Physik-Lehramt besuchen eine eigene Praktikumsveranstaltung, die sich überdas 3. und 4. Fachsemester des Regelstudiums erstreckt und zum Modul ExperimentalphysikLA-B gehört. Das 3. Semester beinhaltet eine Einführungsvorlesung und 10 ausgewählteVersuche aus dem gesamten vorliegenden Heft.

In den einführenden Kapiteln dieses Heftes finden Sie Hinweise zu Praktikumsablauf undLeistungskontrollen, Versuchsführung sowie zur Protokollierung und Auswertung derMessergebnisse. Kontrollfragen und Literaturangaben am Ende jeder Versuchsanleitung sindals Hilfestellung zur Vorbereitung gedacht. Weitere Hinweise finden Sie auch im Intranet aufder Homepage des Praktikums.

Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für PhysikPhysikalisches Grundpraktikum

http://www.physik.uni-halle.de/praktika/gp/

Herausgeber:Martin-Luther-Universität Halle-WittenbergInstitut für Physik, GrundpraktikumTel.: 0345 55-25551, -25550Fax.: 0345 55-27300Mail: [email protected]

Autoren:K.-H. Felgner, W. Fränzel, H. Grätz, J.Leschhorn, M. Stölzer

Praktikumsleiter: Dr. Mathias Stölzer

17. Auflage Halle, September 2017

Platzhalter

Inhaltsverzeichnis

ALLGEMEINE EINFÜHRUNG

Laborordnung für das Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Hinweise zum Ablauf des Praktikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Richtlinien für die Protokollführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Fehlerrechnung und Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

VERSUCHE IM GRUNDPRAKTIKUM IM 17 Statistische Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

W 1 Lineare Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

W 4 Wärmekapazität eines Kalorimeters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

VERSUCHE IM GRUNDPRAKTIKUM IIM 2 Dichtebestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

M 4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

M 6 Mathematisches und physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

M 9 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

M 10 Adiabatenexponent nach QUINCKE und RÜCHARDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

M 13 Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

M 14 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

M 15 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

W 5 Kondensations- und Schmelzwärme von Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

W 6 Spezifische Wärmekapazität von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

W 10 Dampfdichte nach Dumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

W 12 Luftfeuchtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

W 16 Wärmeleitfähigkeit von Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

W 21 Reales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

E 7 Innenwiderstände von Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

E 10 Thermospannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ANHANG

Hinweise zur Bedienung von CASSY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Kurzanleitung zur Software ORIGIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Einige Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Einführung Laborordnung für das Praktikum

1

Laborordnung für das Praktikum

Allgemeines Verhalten

1 Die Praktikanten haben sich in denPraktikumsräumen so zu verhalten, dassPersonen nicht gefährdet sowie Einrichtun-gen, Geräte und Versuchsaufbauten nichtbeschädigt werden.

2 Die von den betreuenden Assistenten,vom Praktikumspersonal sowie die in denVersuchsanleitungen gegebenen Hinweise zurHandhabung der Geräte und Versuchsanord-nungen sind unbedingt zu beachten.

3 Auftretende Störungen und Unregel-mäßigkeiten bei der Durchführung der Versu-che, Beschädigungen und Funktionsstörungenan Geräten und Einrichtungen sowie Unfällesind sofort zu melden. Es ist nicht zulässig,Geräte selbst zu reparieren!

4 Für grob fahrlässig verursachte Schädenan Geräten und Arbeitsmaterialien können diePraktikanten zur Verantwortung gezogenwerden.

5 Den Praktikanten steht jeweils nur dieam Arbeitsplatz befindliche Ausrüstung zurVerfügung. Es ist nicht gestattet, Geräte vonfremden Arbeitsplätzen zu benutzen.

6 Zur Auswertung von Messergebnissenkann jeder freie Computer genutzt werden.Dazu haben sich die Praktikanten mit derVersuchsbezeichnung anzumelden und beiBeendigung der Arbeit wieder abzumelden.

7 Nach Beendigung des Versuches ist derArbeitsplatz aufgeräumt und sauber zu verlas-sen.

8 Essen und Trinken ist in den Prakti-kumsräumen nicht erlaubt. Rauchen ist imgesamten Gebäude untersagt.

9 Die Benutzung von Handys ist in denPraktikumsräumen untersagt!

10 Das Praktikum beginnt pünktlich zu derim Stundenplan angegebenen Zeit. Mehr als15 Minuten nach Praktikumsbeginn könnenkeine Versuche mehr begonnen werden.

11 Für einen erfolgreichen Abschlussmüssen Sie alle Praktikumstermine wahr-nehmen. In sehr dringenden Fällen sowie beiKrankheit können mit dem Praktikumsperso-nal Ersatztermine vereinbart werden.

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen

12 Der Auf- und Abbau elektrischer Schal-tungen hat stets im spannungslosen Zustandzu erfolgen (Stromversorgungsgeräte aus,Batterien und Steckernetzteile nicht an-geschlossen). Die Schaltungen sollen über-sichtlich aufgebaut werden.

13 Bei elektrischen Messgeräten ist auf dierichtige Polung, auf die Einstellung desrichtigen Messbereiches und die Verwendungder richtigen Messeingänge zu achten. (Über-lastungsgefahr!)

14 Elektrische Schaltungen müssen vor derInbetriebnahme vom zuständigen Betreuerüberprüft werden!

15 Unter Spannung stehende Anlagenmüssen ständig überwacht werden.

16 Spannungsführende Teile dürfen nichtberührt werden. Gefährliche Spannungen(> 42 V) sind in der Regel durch Schutzvor-richtungen vor Berührung gesichert. Es istuntersagt, solche Schutzvorrichtungen außerBetrieb zu setzen!

17 Bei Unfällen ist die Spannung sofortabzuschalten (Notausschalter: gelb-rote Tast-schalter in jedem Raum). Der Unfall mussunverzüglich gemeldet werden.

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

2

Arbeiten mit Chemikalien

18 Bei der Arbeit mit Chemikalien ist aufSauberkeit zu achten. Verwenden Sie Trichterzum Umfüllen und Fließpapierunterlagenbeim Abwiegen von Chemikalien!

19 Mit dem Versuchszubehör ausgegebeneArbeitsschutzmittel (z. B. Schutzbrille)müssen getragen werden!

20 Bei Unfällen oder bei Verschüttengefährlicher Substanzen (z. B. Quecksilber)muss sofort ein Betreuer verständigt werden!Es sind keine eigenständigen Beseitigungs-versuche zu unternehmen!

21 Alle Chemikalien befinden sich inGefäßen mit eindeutiger Kennzeichnung desInhaltes. Dies ist besonders zu beachten,wenn Chemikalien nach der Verwendung indie Aufbewahrungsgefäße zurückgegossenwerden müssen.

22 Nach Beendigung des Versuches sindalle verwendeten Gefäße (außer Vorrats-gefäßen) sorgfältig auszuspülen.

Arbeiten mit radioaktiven Präparaten

23 Im Praktikum wird ausschließlich mitumschlossenen Präparaten unterhalb derFreigrenze laut Strahlenschutzverordnunggearbeitet. Die Strahlenbelastung während

eines Versuches ist 100...1000 mal geringerals bei einer Röntgenaufnahme.

24 Vermeiden Sie trotzdem jede unnötigeBestrahlung. Abstand ist der beste Strahlen-schutz! Halten Sie radioaktive Präparate nichtunnötig in der Hand. Halten Sie während derMessung einen Abstand von 0,5 m zumPräparat ein.

25 Es ist untersagt, die Präparate aus ihrenAcrylglashüllen zu entfernen.

Brandschutz

26 Bunsenbrenner und elektrische Heizge-räte sind so aufzustellen, dass sich keinebenachbarten Gegenstände entzünden kön-nen. Offene Flammen und eingeschalteteHeizgeräte müssen ständig beaufsichtigtwerden!

27 Vorsicht beim Umgang mit brennbarenFlüssigkeiten (z. B. Ethanol)! Sie sind vonoffenen Flammen fernzuhalten.

28 Wird ein Brand bemerkt, so ist diessofort zu melden und es sind nach Möglich-keit Löschmaßnahmen einzuleiten.

29 Jeder Praktikant hat sich über die Lageund Funktionsweise der Handfeuerlöschersowie über die vorhandenen Fluchtwege zuinformieren.

Hinweise zum Ablauf des Praktikums

1 Vorbereitung

Das Versuchsthema ist der Praktikums-Homepage im Internet oder dem Aushang imPraktikum (nur am vorherigen Praktikumstag)zu entnehmen.

Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangabenam Ende jeder Versuchsanleitung) und das

Protokoll vorbereitet (siehe auch „Richtlinienfür die Protokollführung“).

2 Versuchsausgabe

Das benötigte Zubehör wird an der Ausgabegegen Hinterlegung eines Studentenaus-weises pro Versuchsgruppe abgeholt.

Einführung Hinweise zum Ablauf des Praktikums

3

3 Kontrolle der Versuchsvorbereitung

Vor Versuchsbeginn kontrolliert der zu-ständige Betreuer die Protokollvorbereitungund führt ein kurzes mündliches Antestatdurch. Bei ungenügender Vorbereitung darfder Versuch nicht durchgeführt werden undmuss zu einem späteren Termin innerhalb derVorlesungszeit des laufenden Semestersnachgeholt werden. Hierzu ist ein Termin zuvereinbaren!

4 Versuchsdurchführung

Die Versuche werden in der Regel in Zweier-gruppen durchgeführt, notfalls allein. JederStudent führt ein eigenes Protokoll. DerAblauf gliedert sich wie folgt:

- Selbständiger Aufbau des Versuchs

- Prüfung elektrischer Schaltungen vorInbetriebnahme vom Betreuer

- Durchführung der Messungen und Proto-kollführung (siehe nächstes Kapitel).

- Kontrolle der Messwerte und Kurzunter-schrift des Betreuers.

5 Versuchsauswertung

Die Versuchsauswertung wird, wenn mög-lich, noch während der Praktikumszeit durch-geführt bzw. begonnen. Sie ist bis zumnächsten Praktikumstermin fertigzustellen.Hinweise zur Auswertung geben die „Richt-linien zur Protokollführung“.Es werden Taschenrechner, Lineal, evtl.Kurvenlineal und Millimeterpapier benötigt.Computer können eingesetzt werden undstehen im Praktikum zur Verfügung. Milli-meterpapier und zu manchen Versuchenerforderliche Spezialpapiere können imPraktikum erworben werden.

6 Abschluss des Versuchs

Die Bestätigung der erfolgreichen Versuchs-durchführung erfolgt nach Kontrolle derAuswertung durch die Eintragung von Note,

Datum und Langunterschrift des zuständigenBetreuers in das Protokoll, in der Regel zumnächsten Praktikumstermin. Der Betreuerkann einmal eine Nachbesserung der Aus-wertung verlangen.Ist der Versuch nicht spätestens am über-nächsten Praktikumstag abgeschlossen, soverschlechtert sich die Bewertung um eineNote für jede weitere angefangene Woche.

7 Fehlversuche

Zum Nachholen versäumter oder nicht be-standener Versuche werden jedem Studieren-den zwei zusätzliche Praktikumsterminegarantiert. (ein “Nachhol-Termin” für alle amSemesterende, weitere Termine nach Mög-lichkeit im laufenden Semester) In jedem Fallmüssen Sie den Termin an der Versuchsaus-gabe vereinbaren, damit sichergestellt ist,dass der Arbeitsplatz frei ist! Zu einemPraktikumstermin kann jeweils nur einVersuch durchgeführt werden.

8 Leistungskontrollen

Das Bestehen eines kurzen Antestates zuBeginn des Praktikums (siehe oben) ist Vor-aussetzung für die Zulassung zum Versuch.

Zu jedem Versuch wird während der Prakti-kumszeit ein benotetes mündliches Testatdurchgeführt, ohne Wiederholmöglichkeit.Für jeden Versuch wird eine Gesamtnotezwischen 1 und 5 gebildet, wobei die Testat-note sowie die Einschätzung der Versuchs-durchführung, der Protokollführung und derAuswertung berücksichtigt werden. Die Note5 bedeutet “nicht bestanden”.

9 Abschluss des Praktikums

Aus den Gesamtnoten der Versuche wird eineAbschlussnote für das Praktikum gebildet.Das Praktikum gilt als erfolgreich absolviert,wenn die geforderte Anzahl Versuche (imNormalfall 3 im 1. Semester und je 10 im 2.-4. Semester) bestanden wurden.

Einführung Richtlinien für die Protokollführung

4

Richtlinien für die Protokollführung

Allgemeines

1 Jeder Student führt während des Versu-ches und unmittelbar ein Protokoll. DasProtokoll enthält - die Versuchsvorbereitung,- das Messprotokoll (alle Messwerte und

Beobachtungen in chronologischer Reihen-folge),

- die Auswertung.

2 Das Protokoll wird handschriftlich mitnicht löschbarem Stift geführt. Bleistift ist nurfür Diagramme und Skizzen zulässig. Fehl-messungen werden mit Angabe des Grundesdurchgestrichen und dürfen nicht unlesbargemacht werden. Fehler sind Teil der Arbeit,das Ausradieren oder Löschen von Messdatenist schlechter wissenschaftlicher Stil!

3 Alle Protokolle des Praktikums sind ineinem gebundenen Heft der Größe A4 oder ineinem Schnellhefter zu führen und zu jederVeranstaltung mitzubringen.

4 Lose Blätter (auch Computerausdrucke)sind mit Name und Datum zu beschriften undin das Protokoll einzufügen.

Vorbereitung zu Hause

5 Jedes Protokoll muss enthalten: - Datum, - Versuchsbezeichnung und Aufgaben-

stellung (wörtlich), - kurze Beschreibung des Versuches mit

wichtigen Grundlagen, geplanter Durch-führung (z. B. Schaltskizze) und vorgese-hener Auswertung einschließlich der dafürbenötigten Formeln,

- vorbereitete Urlisten (Tabellen) für dieAufnahme der Messdaten und, soweitsinnvoll, der aus diesen zu berechnendenDaten.

Dieser Teil des Protokolls ist Bestandteil derVersuchsvorbereitung und wird vor Ver-suchsbeginn vom Betreuer kontrolliert.

Protokollführung während des Versuches

6 Es werden alle Versuchsgeräte registriert(Versuchsaufbau).

7 Das Protokoll soll übersichtlich und gutlesbar sein, z.B durch eine klare Gliederungmit Zwischenüberschriften (“Messwerte zuAufgabe 1” oder ähnlich).

8 Alle physikalischen Größen sind voll-ständig mit Zahlenwert und Einheit anzuge-ben. Tabellen müssen eine Überschrift oderLegende besitzen, die Spalten sind mit physi-kalischer Größe und Einheit zu beschriften.

9 Es werden grundsätzlich alle Messdatenvor jeglicher rechnerischer Aufbereitungprotokolliert (Urlisten).

10 Das Messprotokoll ist dann vollständig,wenn nur mit seiner Hilfe auch eine Person,die den Versuch nicht selbst durchgeführt hat,die vollständige Auswertung des Versuchesvornehmen kann!

11 Das Messprotokoll muss vom Betreuermit Datum und Kurzunterschrift abgezeichnetwerden.

Zur Auswertung

12 Alle Rechnungen müssen anhand derFormeln und der Messdaten im Protokollnachvollziehbar sein. Das erreicht man ameinfachsten durch übersichtliche Tabellen.

13 Diagramme werden auf Millimeterpapiermit Lineal bzw. Kurvenlineal gezeichnet odermit dem Computer erstellt. Es sind geeigneteübersichtliche Maßstäbe zu wählen und dieAchsen sind mit Größe und Einheit zu be-schriften. Meist ist eine Legende erforderlich.

14 Zu jedem Versuch gehört eine Fehler-diskussion, in der Regel mit Fehlerrechnung.

15 Die Versuchsergebnisse werden ineinem verbalen Ergebnissatz zusammenge-fasst, eingeschätzt (z. B. bezüglich ihrer

Einführung Fehlerrechnung und Statistik

5

Messgenauigkeit) und, wenn möglich, mitLiteraturwerten verglichen.

16 Das komplette Protokoll wird in derRegel (siehe oben) am nächsten Praktik-umstag dem verantwortlichen Betreuer

vorgelegt, von diesem durchgesehen undbewertet. Durch die Gesamtnote und dieLangunterschrift mit Datum wird der erfolg-reiche Versuchsabschluss bescheinigt.

Fehlerrechnung und Statistik

Jede Messung einer physikalischen Größe istmit mehr oder weniger großen „Messfehlern”behaftet. Misst man eine Größe mehrmals, soweichen die Ergebnisse im Allgemeinensowohl voneinander als auch vom zu be-stimmenden „wahren Wert“ ab. Ziel derAuswertung einer Messung ist das Ermittelndes besten Schätzwertes für den wahren Wert(das Messergebnis) und für die Größe derAbweichung vom wahren Wert (die Messun-sicherheit). Beide Informationen zusammenbilden das „vollständiges Messergebnis”.

1 Begriffsbestimmungen

Messgröße:Die zu messende physikalische Größe, z.B. Spannung U, Strom I, Masse m

Messwert:Der gemessene Wert einschließlich Ein-heit, z. B. I = 2,0 A; l = 1254 mm

Messergebnis:Das aus mehreren Messwerten berechneteErgebnis, z. B. P = U I = 231 V 2,0 A = 462 W

Messabweichung:Differenz zwischen einem Messwert oderMessergebnis und dem wahren Wert. Derwahre Wert ist eine Idealvorstellung, inder Regel nicht exakt definiert und nichtbekannt. Daher ist auch die Messabwei-chung ist im Allgemeinen unbekannt.

Zufällige (statistische) Messabweichungen:Sie treten unregelmäßig auf; sie schwan-

ken in der Größe und im Vorzeichen.Hervorgerufen werden sie z. B. durchnicht beeinflussbare unsystematischeÄnderungen der Versuchs- und Umge-bungsbedingungen sowie durch Unvoll-kommenheiten beim subjektiven Erfassenvon Messwerten. Durch mehrfachesMessen und Bildung des arithmetischemMittelwertes kann der Einfluss zufälligerMessabweichungen verringert werden.

Systematische Messabweichungen:Sie beeinflussen bei gleichen Versuchs-bedingungen die Messung in der gleichenWeise. Hervorgerufen werden sie z. B.durch Unvollkommenheiten der Mess-geräte, der Maßverkörperungen und derMessverfahren sowie durch systematischeÄnderungen der Versuchsbedingungen.Sie können sich aus einem bekannten undeinem unbekannten Anteil zusammenset-zen. Das Messergebnis ist um bekanntesystematische Messabweichungen zukorrigieren.

ToleranzMaximale Messabweichung. Wird meistvom Hersteller eines Messgerätes in derBedienungsanleitung angegeben. Be-zeichnet man die Toleranz eines Mess-wertes x mit t(x), so liegt der wahre Wertmit Gewissheit im Intervall x ± t(x).

(Mess)unsicherheit u:Sie kennzeichnet die Streuung der Werte,die der Messgröße vernünftigerweisezugeordnet werden können. Die Unsi-cherheit u(x) des Messwertes oder Mess-


6

s

x x

n

ii

n

( )

.

2

1

1

(2)

.x

ssn

(3)

ergebnisses x kann als Schätzung derMessabweichung angesehen werden. Derwahre Wert liegt mit relativ großer Wahr-scheinlichkeit im Intervall x ± u(x). Die Messunsicherheit wird entwederm.H. statistischer Methoden aus denMesswerten ermittelt (Methode A) oder,wenn dies nicht möglich ist, auf derGrundlage aller vorliegenden Informatio-nen zu den Messgeräten und Messverfah-ren geschätzt (Methode B).Beispiel (für den Messwert l = 1,254 m):u(l) = 0,005 m (absolute Unsicherheit),u(l)/l = 0,4% (relative Unsicherheit)

Vollständiges MessergebnisMessergebnis mit Messunsicherheit. DieUnsicherheit wird mit 1...2 Stellen ange-geben. Mögliche Schreibweisen sind:l = 1,254 m ± 5 mml = (1,254 ± 0,005) ml = 1,254(5) ml = 1,254 m und u(l)/l = 0,4 %

2 Ermittlung von Messunsicherheiten

Zur Abschätzung der Genauigkeit von Mes-sungen dienen verschiedene Informations-quellen, z.B. die Messwertstatistik (Me-thode A), Herstellerangaben und Zertifikatezu den verwendeten Messgeräten, odereinfache Schätzung. Damit die auf verschie-denen Wegen ermittelten Unsicherheitenquantitativ vergleichbar sind, sollen siegrundsätzlich immer die Bedeutung einerStandardabweichung haben. Um das zubetonen, nennt man sie auch Standardun-sicherheiten.

2.1 Ermittlungsmethode A

Wird eine Messgröße x n mal gemessen, sostreuen die einzelnen Messwerte xi (i = 1 ... n)aufgrund der zufälligen Messabweichungenum einen Erwartungswert μ. Die Verteilungder Messwerte ist meist näherungsweise eineNormalverteilung (Abb.1). Der beste Schätz-wert für μ ist dann der arithmetische Mittel-

wert

Ein Maß für die Streuung der Messwerte istdie Standardabweichung σ. Der aus denMesswerten berechnete beste Schätzwert fürσ ist die experimentelle Standardabweichung

Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68 %der Messwerte im Intervall μ ± σ, d. h. dieWahrscheinlichkeit, einen Messwert indiesem Intervall anzutreffen, beträgt 68 %.Für das Intervall μ ± 2σ beträgt diese Wahr-scheinlichkeit etwa 95 %.

Wenn zufällige Messunsicherheiten dominie-ren (d.h. systematische Unsicherheitsanteilevernachlässigt werden können), ist die Unsi-cherheit eines Einzelmesswertes u(x) = s.Der Mittelwert aus n Einzelmesswerten istxgenauer als ein einzelner Messwert. Mankann sich vorstellen, viele Messreihen derMessgröße x vom selben Umfang n auf-zunehmen. Die Mittelwerte aller dieserMessreihen werden sich etwas voneinanderunterscheiden. Sie sind ebenfalls normal-verteilt, das Maß für ihre Streuung ist dieStandardabweichung des Mittelwertes:

1

1 .n

ii

x xn

(1)

f(x)

x

Abb. 1: Normalverteilung mit dem Mittelwertμ und der Standardabweichung σ


7

2

1

( )

.( 1)

n

ii

x

x x

u x sn n

(4)

Ist das Messergebnis ein Mittelwert einerxMessreihe mit ausreichend vielen (n 10)Messwerten xi und können dabei die systema-tischen Unsicherheitsanteile gegenüber denzufälligen vernachlässigt werden, so ist dieMessunsicherheit:

Weitere Beispiele, wie Messunsicherheitenm.H. statistischer Methoden als Standard-abweichungen berechnet werden, finden sichin Abschnitt 3 (Regression).

2.2 Ermittlungsmethode B

Wenn die Berechnung einer Standardabwei-chung nicht möglich ist (z.B. weil systemati-sche Unsicherheiten immer in gleicher Weisewirken oder weil nur ein Messwert vorhandenist), wird die Standardunsicherheit auf derBasis aller vorliegenden Informationengeschätzt.

2.2.1 Toleranzangaben zu MessgerätenIn Bedienungsanleitungen von Messgerätenfindet man Angaben zu Messtoleranzen odergarantierten Messgenauigkeiten (Beispiele:1,5 % vom Messbereich; 0,5 % vom Mess-wert + 3 Digit). Auf manchen Geräten ist die„Genauigkeitsklasse” angegeben. Das ist diemaximale Messabweichung in % vom End-wert des Messbereichs bzw. vom Wert derMaßverkörperung.Bezeichnet man die Toleranz eines Mess-wertes x mit t(x), so ergibt sich daraus seineStandardunsicherheit entsprechend

Erklärung: Einzige Information ist die Garan-tie, dass die Messabweichung nicht größer istals t(x). Daher ordnet man der Messgröße xeine Gleichverteilung der Breite 2t zu. Deren

Standardabweichung ist .3t

2.2.2 Unsicherheit von ZählrohrmessungenZählt man zufällige Ereignisse in einemZeitintervall (z.B. bei Messung mit einemGeigerzähler) und werden N Ereignissegezählt, so ist die Messunsicherheit (ohneBerücksichtigung systematischer Einflüsse)

.( )u N NErklärung: siehe Versuch O16

2.2.3 Schätzung der MessunsicherheitBei sehr einfachen Messgeräten liegen oftkeine Angaben zur Messgenauigkeit vor.Dann ist die Standardunsicherheit (nicht diemaximale Messabweichung!) zu schätzen. Siesetzt sich zusammen aus der Ungenauigkeitdes Messgerätes selbst und der Ungenauigkeitbeim Ablesen des Wertes.- Ablesen von Skalen (Lineal, Thermo-

meter,...): u(x) 0,5 Skalenteile- Längenmessungen mit einem Messschieber

(Noniusablesung): u(l) = 1 Skalenteil desNonius

- Messung eines Zeitintervalls mit einerHandstoppuhr: u(t) 0,1 s

2.3 Die Unsicherheit von Messergebnissen(„Fehlerfortpflanzung”)

Es sei y = f(x1, x2, ..., xn) ein Messergebnis,das aus den Messwerten x1, x2, ..., xn mit denUnsicherheiten u1, u2, ..., un zu berechnen ist.Wie groß ist dann die Unsicherheit u(y) desMessergebnisses?

2.3.1 Maximale UnsicherheitEine kleine Änderung Δxi des Messwertes xi

würde im Messergebnis etwa die Änderung

hervorrufen; bezeichneti i

i

yy x

x

i

y

x

dabei die partielle Ableitung der Funktiony = f(x1, x2, ..., xn) nach xi. Wenn man alsovoraussetzt, dass die Unsicherheiten derMesswerte im Vergleich zu den Messwertenselbst klein sind, ergibt sich durch Additionder Auswirkungen aller Messunsicherheitenauf das Ergebnis die Maximale Unsicherheitdes Messergebnisses:

( ) ( ) 3 .u x t x (5)


8

( )y f x a b x (12)

2

2

1

( ) .n

c iii

yu y u

x

(7)

2 2 2 2

1 1 2 2( ) .cu y c u c u (9)

Gl.(6) kann in einfachen Fällen (wenigeMesswerte) zur groben Abschätzung derUnsicherheit des Ergebnisses dienen.

2.3.2 UnsicherheitsfortpflanzungsgesetzIm Allgemeinen werden sich die einzelnenUnsicherheitskomponenten nicht immeraddieren, sie können sie sich auch teilweisegegenseitig kompensieren. Die exakte ma-thematische Behandlung dieses Problemsnach C. F. GAUß ergibt das Unsicherheitsfort-pflanzungsgesetz

uc(y) heißt kombinierte Messunsicherheit.Gl.(7) setzt voraus, dass die Messgrößen xi

voneinander statistisch unabhängig sind. Dasist im Grundpraktikum in der Regel der Fall.Daher ist die Messunsicherheit des Ergeb-nisses in den meisten Fällen nach (7), (8) oder(9) zu berechnen.

2.3.3 Besonders einfache FälleOft besitzt die Gleichung y = f(x1, x2, ..., xn)eine sehr einfache Struktur. In bestimmtenFällen lässt sich der Rechenaufwand zurBestimmung von uc(y) nach (7) deutlichverringern. Im eigenen Interesse sollte jederdavon Gebrauch machen.

Fall 1: 1 1 2 2y c x c x (8)

(c1, c2 Konstanten) Durch Einsetzen in (7) ergibt sich

Fall 2: 1 2

n my c x x (10)

(c reelle und n, m ganzzahlige Konstanten)Einsetzen von (9) in (7) ergibt eine einfacheGleichung für die relative kombinierte Unsi-cherheit des Ergebnisses:

Beispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewe-gung s = a/2 t2 ; Weg s und Zeit t werdengemessen mit einer relativen Messunsi-cherheit von jeweils 1 %, die Beschleunigunga ist zu berechnen:

1 2

2

2 2

2

2 22

2 2

( ) ( ) ( )2

1% 2 1% 2,3%

c

sa s tt

u a u s u t

a s t

3 Anpassung einer Funktion an eineMessreihe (Regression)

3.1 Lineare Regression

Häufig besteht zwischen verschiedenen Mess-größen x und y ein linearer Zusammenhang

oder es wird ein solcher vermutet.

Beispiel: Bei der thermischen Ausdehnung von Metal-len gilt für die Länge l = l0 + αl0ΔT, α istder lineare thermische Ausdehnungskoeffi-zient, l0 die Länge bei der Temperaturdiffe-renz ΔT=0 (siehe Versuch W1).

Die eigentliche Messaufgabe besteht in derBestimmung der (konstanten) Parameter aund b in Gl. (12). Grundsätzlich könnten aund b durch Messung von zwei Wertepaaren(x, y) bestimmt werden. Meist wird jedocheine ganze Messreihe mit n Wertepaaren(xi, yi) (i = 1 ... n) aufgenommen, um zunächstden linearen Zusammenhang nachzuweisen,ehe a und b ermittelt werden.Werden die Messwerte grafisch dargestellt, sostreuen die Messpunkte wegen der unver-meidlichen statistischen Messabweichungenum eine ausgleichende Gerade. Die Aufgabe

11 1

( )n

n in ii

y y yu y u u u

x x x

(6)

2 2

2 21 2

1 2

( )cu y u un m

y x x

(11)


9

2

1

2

1

( , )

( ) min .

n

i

i

n

i ii

F a b y

y a bx

(13)

ax y x x y

n x x

ny b x

i i i i i

i i

i i

2

22

1(14a)

b

n x y x y

n x x

i i i i

i i

2

2 (14b)

s

y

n

x

n x xa

i i

i i

2

2 2

222

(15a)

s

y

n

n

n x xb

i

i i

2

2

222

. (15b)

besteht nun darin, die Gerade zu finden, die„am besten“ zu den Messpunkten „passt”(siehe Abb.2). Hierfür gibt es ein auf C. F.GAUß zurückgehendes mathematisches Ver-fahren, welches man als lineare Regression,Ausgleichsrechnung, Geradenanpassung oderauch (englisch) linear curve fit bezeichnet.

Nach der GAUßschen Methode der kleinstenQuadrate (bei der vereinfachend angenom-men wird, dass nur die yi fehlerbehaftet sind)ist für die am besten angepasste Gerade dieSumme der Abweichungsquadrate minimal:

Diese Summe ist eine Funktion der Parametera und b; zur Lösung des Problems sind alsodie partiellen Ableitungen F/a = 0 undF/b = 0 zu setzen. Dies führt zu demErgebnis

wobei alle Summen von i = 1 bis n gehen.Die durch (12) und (14) bestimmte Geradeheißt Regressionsgerade oder Ausgleichs-gerade.Als Messunsicherheiten der Parameter a undb werden die entsprechenden Standardabwei-chungen verwendet (siehe 2.1), sofern diesystematischen Messabweichungen gegen-über den zufälligen vernachlässigbar sind: u(a) = sa und u(b) = sb mit

3.2 Regression mit anderen Funktionen

Grundsätzlich kann die GAUßsche Methodeder kleinsten Quadrate (13) nicht nur auf einelineare Funktion (12), sondern auf beliebigeFunktionen mit mehreren Parametern ange-wendet werden. Im Allgemeinen ist diesesProblem jedoch nicht mehr analytisch lösbar,sondern muss mit Hilfe numerischer Metho-den iterativ gelöst werden. Die im Praktikumeingesetzten Computerprogramme Origin undCassyLab bieten diese Möglichkeit. (Stich-worte: non-linear curve fit bzw. Freie An-passung)Einige Funktionen können durch Transfor-mation bequem in eine lineare Funktionüberführt werden. In solchen Fällen kann dielineare Regression mit der transformiertenFunktion durchgeführt werden.

Beispiel (aus Versuch O16):Beim Durchgang radioaktiver Strahlungdurch Materie der Dicke d gilt für die Intensi-tät der Strahlung: I = I0e

-μd . Der „Schwä-chungskoeffizient” μ soll aus mehrerenMesswerten für I und d bestimmt werden.

o u

o u

y yb

x x

xox

u

yu

yo

yi

x

y

0

y = a + b·x

a

Abb. 2: Lineare Regression. Δyi = yi(a+b xi)ist die „Abweichung” eines Messpunktes vonder Geraden


10

( ) und ( ) ,y u y u y y (16)

Logarithmiert man die Gleichung, ergibt sichln I = ln I0 - μd . Setzt man ln I = y undd = x und vergleicht mit (12), sieht man, dassa = ln I0 und b = μ. Der Schwächungs-koeffizient μ kann also durch lineare Regres-sion mit den Wertepaaren (lnI, d) bestimmtwerden. Alternativ wählt man für die graphi-sche Darstellung I = f(d) Millimeterpapier mitlogarithmischer Teilung für I und normaler(linearer) Einteilung für d, dann ergibt sichebenfalls eine Gerade.

3.3 Praktische Hinweise

Die Formeln (14) und (15) muss man sichnicht einprägen, dafür gibt es Software. Es istausreichend, das Regressionsverfahren grund-sätzlich und die Bedeutung der Parameter a,b, sa und sb zu kennen. Lineare Regression lässt sich auch mit vielenTaschenrechnern durchführen (lesen Sie inder Bedienungsanleitung nach). Die Standard-abweichungen sa und sb werden in der Regelnur von Computerprogrammen berechnet. In Programmen und in der Literatur werdendie Begriffe Regression, Ausgleichsrech-nung, Anpassung und Fit (englisch) synonymverwendet.

Wenn keine geeigneten Rechenhilfsmittel zurVerfügung stehen, nimmt man die Anpassunggrafisch (mit Bleistift auf Millimeterpapier)vor, wie in Abb.2 gezeigt. Dabei wird dieRegressionsgerade mit einem durchsichtigenLineal „nach Augenmaß“ eingezeichnet, aund b werden abgelesen und ihre Unsicher-heiten geschätzt.

4 Angabe von Messergebnissen im Prak-tikum

Es ist immer das vollständige Messergebnismit absoluter und relativer Unsicherheit(sofern bekannt) anzugeben:

wobei die Messunsicherheit nur ein oder zweizählende (signifikante) Ziffern haben darf.Entsprechend ist die Zahl der Ziffern für dasMessergebnis y zu wählen.

Beispiele:

y = (531 ± 2) mm; u(y)/y = 0,4 %

U = (20,00 ± 0,15) V; u(U)/U = 0,12 %

R = 2,145 kΩ ± 0,043 kΩ; u(R)/R = 2,0 %

Grundpraktikum I M 17 Statistische Auswertung

11

F h f Tk ii

k

ii

k

1 1

(6)

Abb. 1: Empirische Häufigkeitsverteilung(Histogramm)

T

ni

2

. (1)

s

T T

ni

2

1. (2)

hn

nk

k . (3)

.k kk

h nf

T n T

(4)

H nk ii

k

1

(5)

1 Aufgabenstellung

Die Schwingungsdauer eines Fadenpendelsist 300 mal zu messen. Aus dieser Messreihesind die empirische und die theoretischeVerteilung der Messwerte zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Wird die Schwingungsdauer T einesFadenpendels n mal gemessen, so streuendie Messwerte Ti (i = 1…n) auf Grund vonzufälligen Fehlern um den wahren Wert μ(statistisch: Erwartungswert).Als Maß für diese Streuung wird die Stan-dardabweichung σ definiert:

Da im Allgemeinen der wahre Wert μ einerMessgröße weder bekannt noch exakt be-stimmbar ist, wird als Näherung für dieseGröße das arithmetische Mittel T eingeführt.Mit dieser Näherung ergibt sich dann für dieempirische Standardabweichung s der Einzel-messung:

Für die Ermittlung der empirischen Ver-teilung werden die Messwerte in Klassen mitder Klassenbreite ΔT zusammengefasst undabgezählt. Ist nk die Anzahl der Messwerte inder k-ten Klasse, so ist die relative Häufigkeithk

Sie gibt an, wieviel Prozent der Messwertesich in der k-ten Klasse befinden. Da dierelative Häufigkeit und somit auch der Ver-

gleich mit anderen (z.B. theoretischen)Verteilungen von der (willkürlich) gewähltenKlassenbreite abhängt, wird die relativeHäufigkeit pro Klassenbreite fk eingeführt:

Die Größe fk hat die Bedeutung einer empiri-schen Verteilungsdichte. Sie wird in Abhän-gigkeit von der Messgröße T als Histogrammgraphisch dargestellt (Treppenkurve, sieheAbb. 1).Unter der absoluten Summenhäufigkeit Hk

versteht man die Gesamtzahl der Messwerte,die sich in den Klassen 1 bis k befinden.Unter der relativen Summenhäufigkeit Fk

versteht man, wieviel Prozent der gesamtenMesswerte in den ersten k Klassen liegen.

Vergrößert man dem Umfang der Messreihen, so steigt auch die Anzahl nk der Messwertein einer Klasse. Dabei nähert sich die relativeHäufigkeit hk mit wachsendem n einemGrenzwert, der statistische Wahrscheinlich-

Statistische Auswertung M 17


12

f TdF T

dT( )

( ) (7)

F T f t t

T

( ) ( ) .

d (8)

P T T f t dtT

T

( , ) ( ) .1 2

1

2

(9)

f Ts

e

T T

s( ) .

1

2

2

22

(10)

s

s

n

T T

n n

i

2

1( )(11)

Abb. 2: GAUSSsche Normalverteilung

keit. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlich-keit ein Messwert T in der k-ten Klasseangetroffen wird, bzw. wieviel Prozent dergesamten Messwerte auf die k-te Klasseentfallen.Verfeinert man zusätzlich die Klassenein-teilung (n und ΔT 0), so gelangt manzur theoretischen Verteilung der stetigenMessgröße T. Die dazugehörige Verteilungs-dichte ist f(T):

und F(T) ist die Wahrscheinlichkeit dafür,dass ein Messwert kleiner als T auftritt:

Die theoretische Verteilungsdichte f(T) isteine Wahrscheinlichkeitsdichte und ent-spricht der relativen Häufigkeit pro Klassen-breite fk (sie ist deren Grenzwert für n ).Die Größe F(T) heißt auch Verteilungs-funktion, sie entspricht der relativen Sum-menhäufigkeit Fk.Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreteneines Messwertes im Intervall T1 T T2

ergibt sich zu:

Dieser Wert entspricht der relativen Häufig-keit hk in diesem Intervall (er ist dessenGrenzwert für n ).Nimmt man an, dass die stetige Messgröße Tnur zufällige Fehler aufweist, so ist T normal-verteilt. Die Verteilungsdichte (Wahrschein-lichkeitsdichte) dieser Normalverteilung istnach GAUSS:

Die graphische Darstellung dieser Normal-verteilungsdichte f(T) ist die GAUSSsche

Glockenkurve (Abb. 2).Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreteneines Messwertes in einem Intervall (T1, T2)ist proportional dem Flächeninhalt, der durch(9) bestimmt wird (Abb.2).

Im Intervall liegen 68,3 %T s T T s der Gesamtfläche unter der Glockenkurve,d.h. 68,3 % aller Messwerte liegen in diesemIntervall, d.h. die Wahrscheinlichkeit, einenMesswert in diesem Intervall anzutreffen, ist

68,3 %. Im Intervall T s T T s 2 2liegen 95,5 % aller Messwerte.

Werden aus einer normalverteilten Grund-gesamtheit mit dem Erwartungswert T undder Standardabweichung s viele Stichprobenvom Umfang n entnommen, so sind dieMittelwerte dieser Stichproben ebenfallsnormalverteilt, und zwar mit dem gleichenErwartungswert T und mit der Standard-abweichung s´ des Mittelwertes:

Diese Standardabweichung des Mittelwerteswird häufig als Messunsicherheit für solcheMesswerte gewählt, bei denen nur zufälligeFehler auftreten.


13

( )x ex

1

2

2

2 (12)

xT T

s

(13)

f tx

s( )

( ).

(14)

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Fadenpendel- Computer mit Software Origin


Die Schwingungsdauer T des Fadenpendelswird 300 mal einzeln gemessen. Dabei istdarauf zu achten, dass das Pendel nicht mehrals 6° ausgelenkt wird, damit die Schwin-gungsdauer unabhängig von der Amplitudeist. Um unterschiedliche, subjektive systema-tische Fehler zu vermeiden, sollten die Mes-sungen nur von einem Studenten durch-geführt werden.Als Stoppuhr dient der Computer mit derDatenanalyse-Software Origin. Starten Siehierzu das Icon „Stoppuhr“ auf der Windows-oberfläche. Die gestoppten Zeiten werdenautomatisch in das Programm übernommenund stehen dort für die Auswertung zurVerfügung. Eine Kurzanleitung gibt dasStoppuhr-Worksheet, für weitere Hilfe nutzenSie die Online-Hilfe zu Origin oder fragenSie den zuständigen Assistenten.

5 Auswertung

Die Ergebnisse der Auswertung (Grafiken,Tabelle mit an den Klassenmittelpunktenberechneten Werten) können für das Proto-koll ausgedruckt werden. Die 300 Messwertesollen nicht ausgedruckt werden!

Der Mittelwert T , die empirische Standard-abweichung s nach (2) und die Standardunsi-

cherheit des Mittelwertes nach( ) 'u T s

(11) werden berechnet (in Origin z.B. mittels‘Spaltenstatistik’). Die Messwerte werden inetwa 10…20 Klassen zusammengefasst (inOrigin mittels ‘Häufigkeiten zählen’. Die

Klassenbreite ΔT ist entsprechend zu wählen.

Die empirische Verteilungsdichte fk wird nach(4) ermittelt und in Abhängigkeit von T alsTreppenkurve oder Säulendiagramm (vgl.Abb.1) graphisch dargestellt.Die Berechnung der theoretischen Vertei-lungsdichte f(T) an den Klassenmittelwertennach Gl. (10) soll ebenfalls mit Origin erfol-gen. Zur Berechnung ohne Computer-Hilfedient die Tabelle der normierten Normalver-teilung. Die Normierung besteht darin, dassfür die Streuung σ = 1 und für den Erwar-tungswert μ = 0 gesetzt wird. Somit ist dieVerteilungsdichte der normierten Normalver-teilung:

Mit Hilfe der Transformation:

und den tabellierten Werten von (x) ergebensich die Funktionswerte für die theoretischeVerteilungsdichte f(T) aus:

Zeichnen Sie die Funktion f(T) in die gleichegraphische Darstellung wie die empirischeVerteilungsdichte fk als stetige Kurve ein undmit vergleichen Sie beide Verteilungsdichtenmiteinander.Bestimmen Sie, wieviel Prozent der Mess-

werte innerhalb der Intervalle sowieT s

(Vertrauensbereich) liegen undT s vergleichen Sie die Ergebnisse mit denErwartungswerten für normalverteilte Mess-werte. Diese Aufgabe löst man am schnell-sten durch Sortieren und Abzählen der Mess-werte. Um die Originalmesswerte nicht zuverändern, sollte das Sortieren an einer Kopieder Werte durchgeführt werden.

Grundpraktikum I W 1 Lineare Ausdehnung

14

l l T T

l l T T

1 0 1 0

2 0 2 0

1

1

(2)

l lT T

T T2 1

2 0

1 0

1

1

( )

( ). (3)

l l T T0 0 0 ( ) (1)

l l T T2 1 2 11 , (4)

l l T 1 . (5)

1 Aufgabenstellung

Der lineare Ausdehnungskoeffizient zweierunbekannter Materialien ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

In Festkörpern und Flüssigkeiten führen dieTeilchen (Atome bzw. Moleküle) temperatur-abhängige Schwingungen aus. Wegen derunsymmetrischen Potentialkurve der zwi-schenatomaren Bindung werden die mittlerenAtomabstände mit zunehmender Schwin-gungsamplitude größer. Das äußert sich ineiner Volumenausdehnung, in festen Körpernauch in einer Längenausdehnung. Diese ist inhomogenen und isotropen Festkörpern (Me-tall, Polymere, Glas) in alle Richtungengleich groß.Bei der Erwärmung bzw. Abkühlung einesStabes ändert sich seine Länge mit der Tem-peratur T. Ist l0 die Länge des Stabes bei derTemperatur T0 = 0C, so ist die Längen-änderung Δl0 = l - l0

Dabei ist α der lineare Ausdehnungskoeffi-zient (SI-Einheit: 1/K), eine Materialgröße,die für das verwendete Metallrohr im Bereichvon 0C bis 100C nur geringfügig von derTemperatur abhängt. Ist l1 die Länge bei derTemperatur T1 und l2 die Länge bei derTemperatur T2, so ergibt sich:

und damit

Da α sehr klein ist, kann näherungsweise für

(3) gesetzt werden:

bzw. mit Δl = l2 - l1

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Messuhr- Bandmaß- Halterung mit zwei eingespannten Rohren- Umwälzthermostat

3.1 Die Rohre sind einseitig eingespannt. ImAbstand l1 von der Einspannung drückt jedesRohr gegen den Stift einer Messuhr, so dassdie Längenänderung Δl mit einer Genauigkeitvon 1/100 mm gemessen werden kann. DieTemperaturveränderungen werden mit Hilfeeines Thermostaten erzeugt, der temperiertesWasser durch die Rohre pumpt.


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegendeKurzanleitung zum Thermostaten. SchaltenSie zu Beginn auf keinen Fall die Thermostat-heizung ein, das Wasserbad benötigt viel Zeitum wieder abzukühlen!

Der Thermostat wird ohne Heizung (vor-gewählte Temperatur unterhalb der Raum-temperatur) in Betrieb genommen, damit dieRohre die Temperatur annehmen, die dasThermometer am Thermostaten anzeigt.Diese Temperatur wird abgelesen und dieMessuhr auf Null gestellt.Die Längen l1 zwischen der Einspannung undder Stirnseite der Rohre ist mit dem Bandmaßzu messen.

Lineare Ausdehnung W 1

Grundpraktikum I W 1 Lineare Ausdehnung

15

Danach ist am Thermostat eine Temperatureinzustellen, die um ca. 10 K höher liegt alsdie Ausgangstemperatur. Etwa 5 min nachErreichen der Solltemperatur werden dieTemperatur T und die dazugehörigen Län-genänderungen Δl abgelesen.Die Temperatur wird in Schritten von ca.10 K weiter erhöht; dabei sind jeweils dieTemperatur und die Längenänderungen ingleicher Weise zu messen, bis eine Tempera-tur von ca. 80C erreicht ist.

Während der gesamten Messungen müssenErschütterungen vermieden werden!

5 Auswertung

Entsprechend der Gleichung (5) ist die Län-genänderung Δl in Abhängigkeit von derTemperatur T grafisch darzustellen. DerAnstieg der Kurve ist durch lineare Regressi-on zu ermitteln. Aus dem Anstieg ist derlineare Ausdehnungskoeffizient α zu be-rechnen.Anhand des Ausdehnungskoeffizienten ist

das vermutete Material der Rohre zu be-stimmen.

6 Literatur

Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer,Berlin u.a., 2010

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1 Mechanik, Akustik,Wärme. de Gruyter, Berlin u.a., 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Welche physikalischen Phänomenewerden zur Temperaturmessung genutzt?

7.2 Weshalb ist die Wärmekapazität einesThermometers für die Temperaturmessungvon Bedeutung?

7.3 Wie groß etwa ist der lineare bzw. derVolumen-Ausdehnungskoeffizient vonMetallen, Polymeren, Gasen, Wasser?

Grundpraktikum I W 4 Wärmekapazität eines Kalorimeters

16

CU I tT T

m cK W W

2 1

. (5)

cCm

Qm T

. (1)

Q U I t , (3)

Q C T T m c T 2 1 (2)

Q Q Q

m c C T T U I t

W K

W W K

2 1 .(4)

1 Aufgabenstellung

Die Wärmekapazität eines Kalorimeters (sein“Wasserwert”) ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zu-geführten Wärme Q und der dadurch hervor-gerufenen Temperaturerhöhung ΔT. Diespezifische Wärme c ist die Wärmekapazitätpro Masseneinheit:

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ΔT zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

zugeführt werden.

Die Messung der spezifischen Wärme vonFlüssigkeiten und festen Körpern geschieht inder Regel in einem (Flüssigkeits-)Kalori-meter. Ein Kalorimeter ist einfach ein gutwärmeisoliertes Gefäß, das dem Idealfalleines adiabatischen Systems möglichst nahekommen soll. Bei der Messung muss berück-sichtigt werden, dass auch das Kalorimeterge-fäß selbst eine gewisse Wärmemenge auf-nimmt, wenn sich seine Temperatur ändert.Die Wärmekapazität eines Kalorimetergefä-ßes nennt man auch seinen Wasserwert.

Im durchzuführenden Versuch befindet sichin einem Kalorimeter mit der Wärmekapazi-tät CK Wasser der Masse m und der bekanntenspezifischen Wärmekapazität c. Durch eineelektrische Heizung im Kalorimeter kanndem Wasser definiert Wärme zugeführtwerden.Gefäß und Wasser haben zunächst die Tem-

peratur T1. Wird die Heizung eingeschaltet, sowerden Kalorimeter und Wasser bis zurTemperatur T2 erwärmt. Dabei ist die von derHeizung in der Zeit t abgegebene Wärme-menge Q

wobei U die Spannung und I die Stromstärkesind. Die vom Wasser aufgenommene Wär-memenge QW und die vom Kalorimeteraufgenommene Wärmemenge QK sind nachder Energieerhaltung gleich Q:

Daraus ergibt sich für die Wärmekapazitätdes Kalorimeters zu

3 Versuchsaufbau

3.0 GeräteKalorimeter (vakuumisoliert) mitelektrischer Heizung (ca. 10 Ω)Digitalthermometer (Auflösung 0,01 K)Laborwaage (Genauigkeit 0,1 g)StoppuhrMagnetrührer, MagnetrührstäbchenStromversorgungsgerät (Gleichspannung)Vielfachmessgeräte SchalterVerbindungskabel

3.1 Das Kalorimeter besteht aus einemdoppelwandigen Edelstahlgefäß und einemdurchsichtigen Deckel mit angestecktemHeizwiderstand und einem passenden Lochzur Aufnahme des Thermometers. Abb. 1zeigt das Schaltbild für den Anschluss derHeizung.

Wärmekapazität eines Kalorimeters W 4

Grundpraktikum I W 4 Wärmekapazität eines Kalorimeters

17

Abb. 1: Schaltbild des Versuchsaufbaus


Die Masse des Kalorimetergefäßes (ohneDeckel) mK ist zu bestimmen. Das Gefäß istmit etwa 500 ml Wasser zu füllen. Die Was-sertemperatur soll zu Versuchsbeginn etwagleich der Raumtemperatur sein; zu kaltesWasser kann später (vor dem eigentlichenVersuch) mit der Kalorimeterheizung nochetwas erwärmt werden. Die Wassermasse mist mit der Waage zu bestimmen.Die elektrische Schaltung wird entsprechendAbb. 1 aufgebaut. Die Schaltung ist demÜbungsleiter vor Inbetriebnahme vorzufüh-ren!Der Rührer muss während des gesamtenExperiments langsam und gleichmäßiglaufen. Die Heizung wird zur Probe einge-schaltet. Es ist eine Heizspannung von 12 Veinzustellen; anschließend wird der Strom mitdem Schalter ausgeschaltet. Das Strom-versorgungsgerät bleibt eingeschaltet, Strom-und Spannungsregler unverändert.Die Temperatur im Kalorimeter und dieRaumtemperatur sind zu notieren. Die Diffe-renz sollte kleiner als 2 K sein.

Die Temperaturmessung muss ab jetzt miteiner Auflösung von 0,01 K erfolgen. Wennerforderlich, ist am Thermometer der ent-

sprechende Messbereich zu wählen.Die Temperatur wird bei laufendem Rührerund ausgeschalteter Heizung etwa eineMinute lang beobachtet und ihr Wert T1 wirdnotiert. Nun wird die Stoppuhr gestartet unddie Heizung für eine Dauer von 5 Minuteneingeschaltet. Strom und Spannung werdenaller 30 s notiert. Einige Sekunden nach demAusschalten der Heizung wird die Tempera-tur konstant. Notieren Sie diesen Wert als T2.Beobachten Sie die Temperatur noch minde-stens eine Minute lang. Falls sie sich (sehrlangsam) ändert, kann daraus der systemati-sche Fehler abgeschätzt werden, der durchden unvollständigen adiabatischen Abschlussdes Kalorimetergefäßes entsteht.

Nach Beendigung des Versuches ist dasKalorimeter auszuleeren und zum Trocknenoffen stehen zu lassen!

5 Auswertung

Berechnen Sie die Wärmekapazität desKalorimeters CK und deren Messunsicherheitnach Gleichung (5). Es ist sowohl die absolu-te als auch die relative Unsicherheit an-zugeben.

Für die Einschätzung der Messunsicherheit ist

es günstig, die beiden Terme undU I tT T 2 1

sowie deren Unsicherheit zunächstm cW W

getrennt zu berechnen. Die Temperaturdiffe-renz T2 T1 kann zur Vereinfachung derFehlerrechnung als eine Messgröße ΔT mitder Messunsicherheit u(ΔT) betrachtet wer-den.Die spezifische Wärmekapazität des Wassersbeträgt 4187 J kg-1 K-1.

Grundpraktikum II M 2 Dichtebestimmung

18

.m

V (1)

.A M MF m g V g (2) *

*.W L

* *

* *

m m

m m

(7)

L N N Lm g V g m g V g (3)

* 1 /.

1 /L

L N

m m

(5)

1 /.

1 /W

L N

* *m m

(6)

1 /.

1 /L N

N

L

m m

(4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Dichte von drei Probekörpern istnach der Auftriebsmethode zu bestimmen.

1.2 Die Dichte von Ethanol ist mit Hilfeeines Pyknometers zu bestimmen.

1.3 Die Dichten von Ethanol und NaCl-Lösung sind mit der Dichtewaage nach Mohr-Westphal und mit dem Aräometer zu be-stimmen.

2 Grundlagen

Die Dichte ρ eines homogenen Stoffes ist dasVerhältnis seiner Masse m zu seinem Volu-men V :

2.0 AnalysenwaageDie Bestimmung der Masse zählt zu dengenauesten Messverfahren der Physik. Mitden Analysenwaagen im Praktikum lassensich relative Genauigkeiten bis zu 10-6 erzie-len. Bei solchen Präzisionsmessungen mussder Auftrieb in Luft berücksichtigt werden.Jeder Körper, der sich in einem Medium(Flüssigkeit oder Gas) befindet, erfährt einenAuftrieb. Die Auftriebskraft FA ist gleich derGewichtskraft des vom Körper verdrängtenMediums (ARCHIMEDESsches Prinzip):

Dabei sind mM und ρM Masse bzw. Dichte desvom Körper verdrängte Mediums, V seinVolumen und g = 9,81 ms-2 die Fallbeschleu-nigung. Bei einer Analysenwaage (Balkenwaage)wirkt der Auftrieb in Luft der Dichte ρL so-wohl auf den zu wiegenden Körper (Masse m,Dichte ρ) als auch auf die Wägestücke (MassemN, Dichte ρN). Im Kräftegleichgewicht ist

bzw. mit V = m/ρ und VN = mN/ρN

Diese Formel für die Korrektur des Luftauf-triebs gilt auch für moderne elektronischeAnalysenwaagen. Hier werden zwar bei derWägung keine Gewichtstücke mehr benutzt,jedoch wird die Anzeige der Waage (ent-spricht mN) mit Hilfe von Normalgewicht-stücken mit der standardisierten Dichte vonρN = 8000 kg/m3 geeicht bzw. justiert.

2.1 Auftriebsmethode Mit Hilfe des Auftriebes lässt sich relativeinfach die Dichte eines Körpers mit unbe-kanntem Volumen V bestimmen. Dazu wirdder Körper mit Hilfe einer Analysenwaage anLuft und in Wasser eingetaucht gewogen.m* bezeichne den Anzeigewert der Waage beiWägung in Luft. Nach (4) ist

Danach wird der Körper völlig unter Wassergetaucht und erneut gewogen, Anzeige m**:

(ρW - Dichte des Wassers).Aus den Gleichungen (5) und (6) folgt:

2.2 PyknometerEin Pyknometer ist ein Gefäß, mit dem einFlüssigkeitsvolumen sehr genau reproduzier-bar ist, da der durch die Krümmung derOberfläche verursachte Volumenfehler wegendes geringen Kapillarquerschnittes sehr klein

Dichtebestimmung M 2


19

Abb.1: Pyknometer

1~ ,

MV (13)

2 1 2

* 1 / 1 /

1 / 1 /

L Py L W

L N L N

m m m

(9)

3 1 3

* 1 / 1 /

1 / 1 /

L Py L

L N L N

m m m

(10) Abb.2: Mohr-Westphalsche Waage

1 1

* 1 /

1 /

L Py

L N

m m

(8)

3 3

2 2

.m

m

(11)

3 1.

2 1

* *

* * W L L

m m

m m

(12)

ist (Abb.1). So kann man damit über eineMessung der Masse sehr einfach und genaudie Dichte von Flüssigkeiten bestimmen.Dabei erfolgt erst eine Messung mit Luft, umdie Leermasse m1 des Pyknometers zu erhal-ten:

Danach wird die Masse des Pyknometers mitdestilliertem Wasser der Masse m2 und dannseine Masse mit der Messflüssigkeit derMasse m3 bestimmt (m* ist jeweils Anzeigeder Waage):

Wegen des konstanten Pyknometervolumensist außerdem

Mit Hilfe der Gleichungen (8) bis (11) lässtsich ρ berechnen:

2.3 Mohr-Westphalsche WaageDie Mohr-Westphalsche Waage ist eineungleicharmige Hebelwaage. Der rechteHebelarm ist durch Kerben in 10 gleicheTeile geteilt. Am Ende des Hebelarmes

befindet sich ein Senkkörper mit sehr genaudefiniertem Volumen. Wird der Senkkörperin eine Flüssigkeit getaucht, erfährt er einenAuftrieb, der durch die Gewichtskraft ent-sprechend aufgelegter Reiter kompensiertwerden kann. Zur original Mohr-Westphal-schen Waage (Abb. 2) gehören große, mitt-lere und kleine Reiter, deren Gewichtskräftesich wie 100 : 10 : 1 verhalten. Die relativeDichte ergibt sich aus der Position der Reiterin den Kerben 1 bis 10.Die moderneren, im Praktikum eingesetztenDichtewaagen verwenden einen in 100 Teileeingeteilten Waagebalken, zwei Reiter imVerhältnis 100 : 1 und ein zusätzlichesAnhängegewicht. Die Dichte kann direkt ander Stellung der Reiter abgelesen werden.

2.4 AräometerMit Hilfe eines Aräometers (Abb. 3) kannebenfalls die Dichte einer Flüssigkeit be-stimmt werden. Schwimmt das Aräometer inder Messflüssigkeit, ist die Gewichtskraft desAräometers FG gleich der Auftriebskraft FA.Nach (2) folgt für die Dichte der Messflüssig-keit

wobei VM das eingetauchte Volumen desAräometers ist. Die Skala, die sich am Aräo-meter befindet, zeigt unmittelbar die denEintauchtiefen entsprechende Dichte an.


20

Abb.3: Aräometer

3 Versuchsaufbau

3.1 Geräte zu Aufgabe 1:1 Analysenwaage mit Dichtebestimmungs-

einrichtung (Tauchkorb, Brücke, Becher-glas)

3 Probekörper1 Pinzette1 Spritzflasche mit H2O dest.

3.2 Geräte zu Aufgabe 2:1 Analysenwaage1 Pyknometer1 Pipette1 Spritzflasche mit H2O dest. 1 Flasche mit Ethanol

3.3 Geräte zu Aufgabe 3:1 Dichtewaage mit Senkkörper1 Senkglas (ca. 130 ml)2 Standzylinder (100 cm3)2 Aräometer2 Flaschen mit Ethanol und NaCl-Lösung1 Thermometer


Sehen Sie sich die Auszüge aus den Geräte-beschreibungen der Analysenwaage mit Dich-tebestimmungs-Set und der Dichtewaage an,die am Arbeitsplatz ausliegen!

4.1 Zur Bestimmung der Dichte festerKörper nach der Auftriebsmethode werdendie beiliegenden Probekörper zunächst inLuft gewogen (Bestimmung von m*). Danachwird das Becherglas mit Wasser auf dieBrücke gestellt, der Tauchkorb vorsichtig

eingehängt und die Waage auf Null abgegli-chen (mit Tariertaste). Jetzt stellt man denProbekörper mit der Pinzette auf den Tauch-korb, so dass der Körper völlig im Wassereintaucht. Das Ablesen der Waage ergibt m**.Dies ist für alle Probekörper durchzuführen.

Hinweise zur Messgenauigkeit:Die Reproduzierbarkeit der Messungen mitdem etwas wackeligem Gestell zur Dichte-bestimmung ist nicht so gut wie mit dernormal ausgestatteten Waage (TechnischeDaten). Bei der Wägung in Wasser könnendurch Luftbläschen und Spritzer größereFehler entstehen. Achten Sie darauf! FührenSie alle Wägungen mindestens 2...3 maldurch und schätzen Sie die Messunsicherheit.Eine systematische Fehlerquelle ist auch derAnstieg des Wasserspiegels beim Eintauchendes Probekörpers. Dadurch entsteht eingeringer zusätzlicher Auftrieb an den Halte-rungen des Tauchkorbes.

4.2 Zur Ermittlung der Flüssigkeitsdichtemüssen der Tauchkorb und die Brücke mitdem Becherglas entfernt werden. Bestimmen Sie die Leermasse des Pykno-meters m*

1, die Masse des Pyknometers mitdestilliertem Wasser m*

2 und die Masse desPyknometers mit der Messflüssigkeit m*

3 .

4.3 Messung Dichtewaage und Aräometer:Zunächst wird die Nullpunktseinstellung derDichtewaage kontrolliert und ggf. nach-justiert. Verfahren Sie hierzu entsprechendder ausliegenden Bedienungsanleitung.Für die Bestimmung der Dichte der beidenFlüssigkeiten muss der Senkkörper voll-ständig in diese eingetaucht sein. VermeidenSie Luftbläschen sowie die Berührung derGefäßwand! Die Waage wird durch Ver-schieben der Reiter abgeglichen. Dabei bleibtfür Dichten < 1 g/cm3 das Anhängegewichteingehängt, für Dichten > 1 g/cm3 wird esausgehängt.Die Temperaturen der Messflüssigkeit sind zumessen.Bei der Dichtebestimmung mit dem Aräo-meter werden die Messflüssigkeiten in dieentsprechenden Standzylinder, in denen sich

Grundpraktikum II M 4 Oberflächenspannung von Flüssigkeiten

21

die Aräometer befinden, gegossen und dieDichten abgelesen.

Die Messflüssigkeiten sind im Anschluss indie richtigen Behälter zurückzufüllen!

5 Auswertung

5.1 Die Dichte der Probekörper ist nach derGleichung (7) zu berechnen. Das Ergebnis istmit Tabellenwerten zu vergleichen. Umwelches Material könnte es sich bei denProbekörpern handeln?Die Dichte des Wassers W für die Raum-temperatur wird einer Tabelle entnommen.Für die Dichte der Luft wird der bei Normal-druck geltende Wert L = 0.0013 g/cm3

verwendet.

5.2 Die Dichte der Flüssigkeit ist nachGleichung (12) zu berechnen und mit demErgebnis der anderen Methoden sowie mitdem Tabellenwert zu vergleichen.

5.3 Die Dichten, die nach den zwei Metho-den ermittelt wurden, sind zu vergleichen.

Die Messunsicherheiten der verschiedenenMethoden zur Bestimmung der Dichte sindzu vergleichen.

6 Literatur

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

W. Schenk, F. Kremer: Physikalisches Prakti-kum. Springer, 2014

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Methoden zur Bestimmung derDichte von festen Körpern und Flüssigkeitenkennen Sie?

7.2 Welchen Einfluss hat der Auftrieb inLuft auf Wägungen?

7.3 Erläutern Sie die Messmethode mit demPyknometer! Worauf ist dabei besonders zuachten?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Oberflächenspannung von ver-schiedenen Flüssigkeiten ist mit Hilfe derAbreißmethode zu bestimmen.

1.2 Die Oberflächenspannung ist mit Hilfeder Steighöhe in Kapillaren zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Oberflächenspannung:Jedes einzelne Molekül einer Flüssigkeitwirkt innerhalb eines gewissen kugelförmigenBereiches anziehend auf seine Nachbarmole-küle (Kohäsion). Ein Molekül im Inneren der

Flüssigkeit übt nach allen Seiten gleicheanziehende Kräfte aus und wird von denumgebenden Molekülen ebenfalls gleich-mäßig angezogen, so dass die Resultierendedieser Kohäsionskräfte gleich Null ist. Befin-det sich das Molekül an der Oberfläche derFlüssigkeit, so werden die Kräfte nicht voll-ständig durch die Wechselwirkungskräfte mitdem angrenzenden Medium (Adhäsion)kompensiert (Abb.1). Es ergibt sich eineresultierende Kraft in das Innere der Flüssig-keit. Möchte man jetzt ein Molekül aus demInneren an die Oberfläche bringen, muss mandie nach innen wirkenden Kräfte überwinden.Ein Molekül an der Oberfläche besitzt des-halb eine höhere potentielle Energie. Die

Oberflächenspannung von Flüssigkeiten M 4


22

Abb.1: Kohäsionskräfte und Oberflächen-energie von Flüssigkeitsmolekülen.

W A . (1)

W A r h1 2 . (2)

W m g h r h g h2

2 . (3)

hr g

2

. (4)

Energie der Gesamtheit aller in der Oberfläche sitzenden Moleküle ist der Größe derOberfläche proportional und kann als Ober-flächenenergie bezeichnet werden. Will mandie Oberfläche um ΔA vergrößern, muss mander Flüssigkeit Energie zuführen, also ArbeitΔW verrichten:

Dabei ist σ die Oberflächenspannung, einevon der Temperatur abhängige Materialgröße.Die SI-Einheit ist N/m. In der Natur ist jedesSystem bestrebt, den Zustand kleinster poten-tieller Energie zu erreichen. Die Oberflächeeines Flüssigkeitsvolumens wird daher immereinen möglichst kleinen Wert annehmen.

2.2 Kapillarität:An einer Grenzfläche zwischen zwei Medienüben auch die verschiedenartigen MoleküleAnziehungskräfte aufeinander aus. Im Gegen-satz zur Kohäsion bezeichnet man die Anzie-hungskraft zwischen den Molekülen ver-schiedener Stoffe als Adhäsion.Die Oberfläche eines Festkörpers wird voneiner Flüssigkeit benetzt, wenn die Adhä-sionskräfte größer sind als die Kohäsions-kräfte innerhalb der Flüssigkeit. Die Flüssig-keit versucht dann, sich möglichst weit aufder Oberfläche auszubreiten. Taucht man eineKapillare mit dem Innendurchmesser 2r ineine benetzende Flüssigkeit (z.B. Glas inWasser), so steigt diese in der Kapillare nachoben (Kapillaraszension im Gegensatz zurKapillardepression bei nicht benetzendenFlüssigkeiten). Das ist folgendermaßen zu

erklären:Die Benetzung der Kapillarinnenwand führtzu einer Vergrößerung der freien Flüssigkeits-oberfläche und damit der Oberflächenenergie.Durch das Aufsteigen der Flüssigkeit imInneren der Kapillare wird die Größe derfreien Oberfläche wieder verringert, dafürerhöht sich aber die potentielle Energie. DerGleichgewichtszustand ist der Zustand mini-maler Energie. Die Höhe der Flüssigkeits-säule im Gleichgewicht kann man deshalb mitfolgender Überlegung berechnen:Steigt die Flüssigkeit um den kleinen BetragΔh, so verringert sich die freie Oberfläche umden Betrag 2πrΔh und damit nach (1) dieOberflächenenergie um

Dabei vergrößert sich die potentielle Energiedurch das Anheben der Flüssigkeit in derKapillare um

(Δm ist der Massenzuwachs und ρ die Dichteder Flüssigkeit in der Kapillare, g = 9,81 m/s2

die Fallbeschleunigung.)Im Energieminimum ist ΔW = ΔW2 ΔW1 = 0,daraus ergibt sich die Steighöhe h zu

Gl. (4) kann auch mit Hilfe des Gleichge-wichtes aus dem Druck durch die gekrümmteOberfläche und dem Schweredruck derFlüssigkeitssäule hergeleitet werden (sieheLiteraturangaben).

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:Federkraftmesser 50 mNGlasgefäß für SeifenlösungGlasgefäß für andere FlüssigkeitenMessring, mittlerer Radius (14,85 ± 0,05) mmhöhenverstellbarer Tisch2 Kapillaren (Ø ca. 0,6...1,2 mm)Gefäße mit Seifenlösung, Ethanol, ...


23

A r h 2 2 . (5)

W F h . (6)

F

r4. (7)

3.1 Zur Messung der Oberflächenspannungnach der Abreißmethode wird ein Messringmit dem Durchmesser 2r verwendet, derzunächst völlig in die Flüssigkeit eingetauchtund damit vollständig benetzt wird. Beimlangsamen Herausziehen aus der Flüssigkeitbildet sich am Ring ein zylindrischer Flüssig-keitsfilm mit dem Durchmesser 2r und derHöhe Δh. Da sich der Film sowohl an derInnen- als auch an der Außenfläche desRinges bildet, ergibt sich die Vergrößerungder Flüssigkeitsoberfläche zu:

Die dafür erforderliche Arbeit ist:

Setzt man Gleichung (5) und (6) in (1) ein,erhält man:

Die Kraft F wird mit einem Federkraftmessergemessen.

3.2 Die verwendeten Glaskapillaren wurdenin einem Säurebad gereinigt und dürfen nacherstmaliger Verwendung nicht austrocknen.Deshalb werden sie in destilliertem Wassergelagert. Der Innendurchmesser ist auf denKapillaren angegeben mit einer Genauigkeitvon 0,02 mm.


4.1 Um Verunreinigungen auszuschließen,sollten Messring und Glasgefäß zu Beginnunter heißem Wasser gründlich abgespültwerden.Der trockene Messring (evtl. Tropfen abtup-fen) wird an den Federkraftmesser angehängt.Der Federkraftmesser ist durch Verschiebendes Außenmantels auf Null (oder, falls nichtmöglich, auf einen ganzen Wert, z. B. 10 mN)zu stellen. Das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllte Glasgefäß wird auf denhöhenverstellbaren Tisch gestellt. DurchAnheben der Tischfläche lässt man den

Messring vollständig in die Flüssigkeiteintauchen.Zur Messung wird der Tisch langsam undohne Erschütterung abgesenkt und dabei dieAnzeige des Federkraftmessers beobachtet.Beim Abreißen der Verbindung zwischenFlüssigkeit und der Unterkante des Mess-ringes wird die Kraft F abgelesen. Die Mes-sung ist für jede Flüssigkeit 10 mal durch-zuführen. Beim Wechsel der Flüssigkeit sindGefäß und Bügel gründlich abzuspülen.

4.2 Die Kapillaren werden sorgfältig unterfließendem Wasser gespült und dann voll-ständig entleert (schräg halten und das Was-ser mit feuchtem Papierhandtuch aussaugen).Wenn sie verschmutzt sind, so dass kleineTröpfchen darin zurückbleiben, können sie inder Ausgabe gegen frisch gereinigte getauschtwerden.Zur Messung taucht man die Kapillare in dieMessflüssigkeit. Die Höhe der senkrechtenFlüssigkeitssäule über der äußeren Flüssig-keitsoberfläche wird mit einem Lineal be-stimmt. Die Messung ist mit beiden Kapilla-ren und mit jeder Flüssigkeit je fünf maldurchzuführen.

Die Messflüssigkeiten (außer Wasser) sindnach Versuchsende wieder in die Vorrats-behälter zurück zu füllen!

5 Auswertung

5.1 Aus den zehn Messwerten für die Kraftist jeweils der Mittelwert zu bilden und nachGleichung (7) die Oberflächenspannung σund die zugehörige Messunsicherheit zuberechnen. Der mittlere Radius des Mess-ringes beträgt r = ( 14,85 ± 0.05 ) mm.

5.2 Aus den Mittelwerten der gemessenenSteighöhen ist mit Hilfe von Gl. (4) jeweilsdie Oberflächenspannung zu berechnen. DieDichte von Wasser und Seifenlösung beträgt1,00 g/cm3, die von Ethanol 0,79 g/cm3.

Vergleichen Sie alle Ergebnisse und Messun-sicherheiten miteinander!

Grundpraktikum II M 6 Mathematisches und Physikalisches Pendel

24

M m g s sin . (1)

J m g s sin (3)

M J (2)

m g s

J0 (4)

TJ

m g s

2 . (5)

J m l s l 2 und . (6)

Abb.1 a - c: Physikalisches Pendel

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2006

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.1. de GruyterBerlin NewYork 2008

7 Kontrollfragen

7.1 Welche Form nimmt ein Wassertropfenan, wenn keinerlei äußere Kräfte auf ihnwirken? Warum? Worauf beruht die „norma-le“ Tropfenform?

7.2 Wovon hängt die Steighöhe einer Flüs-sigkeit in einer Kapillare ab?

7.3 Was ist Benetzung, wovon hängt sie ab?

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Erdbeschleunigung g ist mit Hilfeeines Fadenpendels (mathematisches Pendel)zu bestimmen.

1.2 Die Erdbeschleunigung g ist mit Hilfeeines physikalischen Pendels zu bestimmen.

2 Physikalische Grundlagen

Ein physikalisches Pendel ist ein starrerKörper, der drehbar um eine Achse A , dienicht durch den Massenmittelpunkt (Schwer-punkt) geht, gelagert ist (Abb.1). Wird dasPendel aus der Gleichgewichtslage um denWinkel ausgelenkt, so ergibt sich einrücktreibendes Drehmoment M:

Dabei bedeuten: m = Masse des Pendels, s =Abstand Schwerpunkt-Drehachse, g = Erdbe-schleunigung (9,81 m/s ² )Die Bewegungsgleichung des schwingendenPendels lautet:

wobei J das Trägheitsmoment des Pendels,bezogen auf die Drehachse A ist.Aus (1) und (2) folgt

und für kleine Winkel ( < 6°)

die Differenzialgleichung einer harmonischenSchwingung.Aus der Lösung dieser Differenzialgleichungergibt sich die Schwingungsdauer T :

Für ein mathematisches Pendel (ein Masse-punkt mit der Masse m hängt an einemmassenlosen Faden mit der Länge l ) ist

Die Schwingungsdauer des mathematischenPendels ist dann

Mathematisches und Physikalisches Pendel M 6


25

Tlg

2 . (7)

TJ

m g s

l

gr

2 2 . (8)

T T l lr r, . (10)

lr c s

sr

3 12

12

2 2 2

. (11)

lJ

msr . (9)

Als reduzierte Pendellänge lr eines physika-lisches Pendels bezeichnet man die Pendel-länge eines mathematischen Pendels, das diegleiche Schwingungsdauer hat wie das ent-sprechende physikalische Pendel. Aus

ergibt sich

Lässt man das physikalische Pendel um eineDrehachse A' schwingen, die zur Achse Aparallel ist und von ihr den Abstand lr hat(siehe Abb.1b), so ergibt sich die gleicheSchwingungsdauer wie bei der Schwingungum A:

Beweis: J0 bezeichne das Trägheitsmomentfür die Drehachse durch den Schwerpunkt.

Nach dem Satz von STEINER ist J J ms 02

und somit . Mit lJ

ms

J

mssr 0 l s sr

ergibt sich daraus (*). sJ

ms0

Analog ist für die Schwingung um den Dreh-

punkt A' . Ersetzt man s' mit l

J

mssr

0

(*), so wird . lJ ms

m J

J

mslr r

0

0

0

Mit Hilfe der Gleichheit der Schwingungs-dauer ist eine experimentelle Bestimmung derreduzierten Pendellänge möglich. Hieraufbasiert das Reversionspendel, welches früherzur Präzisionsbestimmung von g benutztwurde.Bei bekannter Masseverteilung des physika-lischen Pendels kann die reduzierte Pendel-

länge mit aus (9) berechnetJ r m 2d

werden. Für einen homogenen zylindrischenStab entsprechend Abb.1c ergibt sich:

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Fadenpendel(mathematisches Pendel)- physikalisches Pendel- Bandmaß- Messschieber- Stoppuhr

3.1 Das mathematische Pendel wird durchein Fadenpendel annähend realisiert. MitHilfe einer verschiebbaren Einspannungkönnen verschiedene Pendellängen eingestelltwerden. Die absolute Messung der Pendellän-ge ist wegen der räumlichen Ausdehnung derPendelkugel relativ ungenau, jedoch kann dierelative Änderung der Pendellänge mit Hilfeeiner Markierung an der Einspannung aneinem fest angebrachten Metalllineal sehrgenau abgelesen werden. Durch ein geeigne-tes Auswerteverfahren (siehe 5.2) kann damiteine hohe Genauigkeit bei der Bestimmungvon g erzielt werden.

3.2. Als physikalisches Pendel wird ein Stabmit kreisförmigen Querschnitt verwendet,dessen Drehachse durch eine verschiebbareSchneide gebildet wird. Die Stabmitte(Schwerpunkt) und die Lage der erstenDrehachse (A in Abb.1b) sind durch eineneingravierten Ring markiert. Die Massebeträgt ca. 3,5 kg.


4.1 Es werden mindestens fünf verschiedenePendellängen des Fadenpendels eingestellt,die entsprechenden Stellungen der Einspan-nung auf der Skale abgelesen und die da-zugehörigen Schwingungsdauern aus denZeiten für jeweils 20 Schwingungen ermittelt.


26

Tg

l hE

224

. (12)

TJ m s

m g sc sg s

2 202 2

(13)

Dabei dürfen die maximalen Amplituden 6°nicht überschreiten.

4.2. Die Schneide des physikalischen Pen-dels wird zunächst auf die äußere Ringmarkeeingestellt, der Abstand s0 zwischen Dreh-achse und Schwerpunkt (d. h. zwischenbeiden Ringmarken) bestimmt und die da-zugehörige Schwingungsdauer T0 aus der Zeitfür 50 Schwingungen ermittelt. Dann wird die Schneide auf der anderenHälfte des Stabes befestigt und die Schwin-gungsdauer T in Abhängigkeit von s gemes-sen; s wird dabei in 5 cm Schritten von 10 bis60 cm variiert. Zur Bestimmung von T wer-den die Zeiten für jeweils 20 Schwingungengestoppt; die maximalen Amplituden dürfennicht größer als 6° sein. Der Durchmesser 2r des Stabes wird mit demMessschieber gemessen und die Länge c(Abb.1c) mit dem Bandmaß.

5 Auswertung

5.1. Bezeichnet man den an der Einspannungabgelesenen Wert mit lE, so ist die Pendellän-ge l = lE + h, wobei h eine unbekannteKonstante ist. Mit Gl. (7) ist

Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung gwird das Quadrat der Schwingungsdauer inAbhängigkeit von lE graphisch dargestellt.Nach (12) ergibt dies eine Gerade mit demAnstieg 4π2/g. Dieser wird mittels linearerRegression ermittelt und daraus die Erd-beschleunigung g berechnet.

5.2. Die Schwingungsdauer T des physika-lischen Pendels wird in Abhängigkeit vomAbstand s zwischen Drehachse und Schwer-punkt grafisch dargestellt.Aus dieser Darstellung wird der Abstand s'ermittelt, bei dem T = T0 und s' s0 ist. Diereduzierte Pendellänge ist dann: lr = s0 + s'.

Die Erdbeschleunigung g wird mit Hilfe derGleichung (8) bestimmt (mit T =T0).Die reduzierte Pendellänge lr wird außerdemnach der Gleichung (11) berechnet, wobeis = s0 gesetzt wird. Mit diesem Wert für lr

wird ebenfalls g aus (8) bestimmt.

Vergleichen Sie die auf verschiedenen Wegenermittelten Werte der Erdbeschleunigung undderen Messunsicherheiten miteinander!

Zusatzaufgabe:Mit Hilfe des STEINERschen Satzes wird ausGleichung (5):

mit J0 dem Trägheitsmoment für s = 0 undc = J0/m einer Konstante. Bestimmen Sie g mit Hilfe von (13) durchnichtlineare Regression!

6 Literatur


Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a. 2006


7 Kontrollfragen

7.1 Warum soll die Auslenkung des Pendelsnicht größer als 6° sein?

7.2 Wie wird das Trägheitsmoment einesstarren Körpers für eine beliebige Drehachseberechnet?

7.3 Wie ist ein Reversionspendel aufgebaut?

Grundpraktikum II M 9 Erzwungene Schwingungen

27

0J C D (1)

202 0 (2)

( )

(( 1) )

exp( ).

exp( ( ))T

n T

n T

n Te konst

n T T

(6)

C J

D J

T

/ ( ) ,

/ ,

/ .

2

2

02

0 0

(3)

( )ln

(( 1) )

n TT

n T

(7)

2

02 sin( )B t (9)

0 cos( )te t (4)

202 2 2 , / .T (5)

sin( ) .A t (10)

2

2 2 2 2 2

0

.( ) 4

BA

(11)

1 Aufgabenstellung

1.1 An einem Drehpendel sind die Schwin-gungsdauer und die Dämpfungskonstante beizwei verschiedenen Dämpfungen zu be-stimmen.

1.2 Für beide Dämpfungen sind die Am-plituden des Drehpendels in Abhängigkeitvon der Erregerfrequenz des Motors zuermitteln (Resonanzkurven).


2.1 Die Bewegungsgleichung für die ge-dämpfte Schwingung eines Drehpendelslautet:

bzw.

mit

Es bedeuten: φ = Auslenkwinkel; = Win-kelgeschwindigkeit; = Winkelbeschleuni-gung; J = Trägheitsmoment des Drehpendels;C = Reibungskonstante; D = Direktions-moment der Feder; δ = Dämpfungskonstante;ω0 = Kreisfrequenz und T0 = Schwingungs-dauer der ungedämpften Schwingung.Eine Lösung der Differentialgleichung (1) ist:

mit

T ist die Schwingungsdauer und ω die Kreis-frequenz der gedämpften Schwingung, φ0 der

Maximalwert der Amplitude und t die Zeit.Das Verhältnis zweier aufeinander folgenderAmplituden ist konstant:

Der Ausdruck

heißt logarithmisches Dekrement; es charak-terisiert die Dämpfung.

2.2 Ein Drehpendel (siehe Abb. 1) habe dieEigenfrequenz f0 . Ein Motor mit einer ver-änderlichen Drehzahl (Frequenz f ', Kreis-frequenz ω' = 2 π f ') übt auf das Drehpendelein äußeres Drehmoment M = M0sin(ω't)aus und regt es so zum Mitschwingen an. DasPendel vollführt dann erzwungene Schwin-gungen, seine Bewegungsgleichung lautet

bzw.

mit B = M0/J. Nach dem Abklingen eines Ein-schwingvorganges schwingt das Drehpendelmit der Erregerfrequenz f '. Für diesen Fall istdie Lösung der inhomogenen Differentialglei-chung (9)

Für die Amplitude A des Drehpendels gilt

Die Amplitude erreicht ein Maximum bei

0 sin( )J C D M t (8)

2 2 20 2 , (12)

Erzwungene Schwingungen M 9


28

fT1

. (13)

man spricht von Resonanz. Bei kleinerDämpfung (δ ω) ist also im Resonanzfalldie Erregerfrequenz ω' gleich der Eigen-frequenz ω0. Die Phasenverschiebung zwi-schen den Schwingungen des Erregersystemsund des erregten Systems ist im ResonanzfallΔ = 90°.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Drehpendelgerät nach R. W. Pohl- regelbare Spannungsquelle für Motor und

Dämpfungsmagnetspule- Multimeter, analog- Schalter- Stoppuhr- Verbindungsleitungen- Diktiergerät

3.1 Beim Drehpendelgerät nach R. W. Pohl(Abb. 1) ist das Drehpendel, ein massivesRad aus Kupfer, über eine Feder und einGestänge mit dem Motor gekoppelt. EineKonstantspannungsquelle liefert die Betriebs-spannung (24 Volt) für den Motor; seineDrehzahl (Frequenz f ') wird durch zweiWiderstände (“grob” und “fein”) geregelt.Die Dämpfung des Drehpendels erfolgt durchWirbelströme, die mit Hilfe eines Elek-tromagneten erzeugt werden. Eine regelbareGleichspannungsquelle (ca. 0...5 V) liefertden Spulenstrom von maximal 1 A, der mitdem Multimeter gemessen wird.

Die Umlaufdauer T' des Motors ist mit einerStoppuhr zu messen; die Frequenz f ' ergibtsich dann aus


4.1 Zu Beginn wird die SchwingungsdauerT0 des ungedämpften Pendels durch Messungder Zeit für mindestens 10 Schwingungenmöglichst genau bestimmt.Die regelbare Gleichspannungsquelle (0...5V) wird über das Multimeter mit der Dämp-fungsmagnetspule verbunden, der Spulen-strom wird zunächst auf 250 mA eingestellt.Die Ruhelage des Zeigers am Drehpendel istauf Null zu bringen. Dann wird das Dreh-pendel aus seiner Ruhelage ausgelenkt undlosgelassen; die aufeinander folgenden Am-plituden A (in Skt) auf einer Seite sind ab-zulesen. Es ist empfehlenswert, die Mess-werte auf das Diktiergerät zu sprechen, da dieMessung sehr schnell vonstatten geht.Die Schwingungsdauer T1 ist durch Messungder Zeit für möglichst viele Schwingungen zubestimmen.Die Messung der Amplituden und derSchwingungsdauer T2 wird für den Spulen-strom 500 mA wiederholt.

4.2 Die Resonanzkurve soll ebenfalls für diebeiden Dämpfungen mit den Spulenströmen250 mA und 500 mA gemessen werden.Die Spannungsquelle ist auf 24 V einzustel-len und über einen Schalter mit dem Motor zuverbinden.Zur Aufnahme einer Resonanzkurve wird mitHilfe der Regelwiderstände “grob” und “fein”die Motorfrequenz f ' zwischen 0,1 Hz und 1Hz variiert. Für jede eingestellte Drehzahl istdie Umlaufzeit T' des Motors und die Am-plitude A des Drehpendels zu messen. ZurBestimmung dieser Amplituden muss manwarten, bis die jeweiligen Einschwingvorgän-ge abgeklungen sind. Die dafür mindestenserforderliche Zeit kann aus den Messungen zu

Abb.1: Drehpendel nach W. Pohl mit Wirbel-strombremse W und Motor M


29

4.1 abgeschätzt werden.In der Nähe der Resonanzfrequenz sollten dieMessungen in kleinen Schritten erfolgen.Für die kleinste Frequenz, für die größteFrequenz und für die Resonanzfrequenzwerden die jeweiligen Phasenwinkel Δφzwischen dem Erregersystem (Motor) unddem erregten System (Drehpendel) abge-schätzt.

5 Auswertung

5.1 Die bei verschiedener Dämpfung gemes-senen Schwingungsdauern und die Frequen-zen des Drehpendels und ihre Messunsi-cherheiten sind anzugeben.Für die Dämpfung mit 250 mA und 500 mAsind die maximalen Auslenkungen A inAbhängigkeit von der Zeit t grafisch dar-zustellen. Die logarithmischen Dekrementeδ·T und die Dämpfungskonstanten δ sind zubestimmen.

5.2 Die Amplituden A des Drehpendelssind für beide Dämpfungen in Abhängigkeitvon der Erregerfrequenz f' des Motorsgrafisch darzustellen (Resonanzkurven). DiePhasenwinkel Δ zwischen erregtem System(Drehpendel) und erregendem System (Mo-tor) für die kleinste und die größte Frequenzsowie für die Resonanzfrequenz sind an-zugeben.

5.3 Zusatzaufgaben (für Interessierte):Das logarithmische Dekrement ist aus demAnstieg der Funktion lnA (t) zu ermitteln.Die Konstanten B, ω0 und δ sind durchnichtlineare Regression der Resonanzkurvenmit der Modellgleichung (11) zu bestimmen.

6 Literatur

Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin etc. 2006



7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Resonanz, Dämpfung, Phasen-verschiebung?

7.2 Wovon hängen Höhe und Breite desResonanzmaximums ab?

7.3 Nennen Sie Beispiele für Resonanzphä-nomene (erwünschte und unerwünschte)!

Grundpraktikum II M10 QUINCKE'scher Versuch

30

Abb.1: Stehende Wellen in einer Luftsäule miteinem geschlossenen und einem offenen Ende[nach Hellenthal: Physik]

1 0 siny y t k x (1)

2 0 sin .y y t k x (2)

1 2

0

0

2 cos sin

2 22 cos sin .

y y y

y t k x

y t xT

(3)

1 Aufgabenstellung

1.1 Mit dem Resonanzrohr nach QUINCKE

ist die Schallgeschwindigkeit in Luft zubestimmen.

1.2 Aus der Schallgeschwindigkeit ist derAdiabatenexponent von Luft zu bestimmen.

1.3 Der Adiabatenexponent von Luft ist mitder Methode nach RÜCHARDT zu messen.

2 Grundlagen

2.1 Trifft eine in x-Richtung laufende ebeneSchallwelle der Amplitude y1

auf eine akustisch "harte" Grenzfläche (z.B.aus der Luft auf eine Wasseroberfläche), sowird die Welle reflektiert. Es entsteht einezurücklaufende Welle y2:

Hierbei ist ω = 2π/T die Kreisfrequenz, T diePeriodendauer, k = 2π/λ die Wellenzahl und λdie Wellenlänge. Das negative Vorzeichen in(2) entspricht einem Phasensprung von π, derbei dieser Reflexion auftritt. Die beiden Schallwellen überlagern sich unterAnwendung der Identität

zusin sin 2 cos sin2 2

Die resultierende Welle ist eine stehendeWelle; an den Stellen x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, ...ist zu jeder Zeit y = 0. Die Luftteilchen sindalso an diesen Stellen immer in Ruhe, manspricht von Schwingungsknoten. Jeweils in

der Mitte zwischen den Knoten befinden sichdie Stellen maximaler Auslenkung, dieSchwingungsbäuche. Bedeutung haben stehende Wellen z.B. beider Ausbildung von Eigenschwingungeneiner Luftsäule mit einem geschlossenen undeinem offenen Ende (gedackte Pfeife, Abb.1).Bei der vom geschlossenen Ende (harteGrenzfläche) her gebildeten stehenden Welletritt am Ende stets ein Knoten auf, da diereflektierte Welle gegenüber der einlaufendenum π = 180° phasenverschoben ist. Bei derReflexion am offenen Ende der Säule kommtes ebenfalls zur Ausbildung einer stehendenWelle, bei der an der Grenzfläche stets einSchwingungsbauch auftritt. Die von beidenEnden resultierenden stehenden Wellenüberlagern sich. Das Resultat ist wieder einestehende Welle, wenn die Resonanzbedin-gung erfüllt ist, d. h. wenn der Abstandzwischen den Enden gerade so groß ist, dassdie Knoten der beiden Wellen jeweils angleichen Orten entstehen. Wird, wie in einer Pfeife, die Luftsäule vonaußen her durch einen Luftstrom zum Mit-schwingen angeregt. so werden nur solcheSchallfrequenzen hörbar sein, für welche dieLänge l der Luftsäule gerade gleich dem(2n+1)/4 fachen der Wellenlänge λ ist.

Adiabatenexponent nach QUINCKE und RÜCHARDT M 10


31

2

0 0

0

.p

V

c T c

c p T

(8)

c f (5)

p p T

T 0

0 0

. (7)

.p

c

(6)

ln

2 1

4(4)

Im QUINCKEschen Resonanzrohr wird da-gegen durch eine äußere Schallquelle eineWelle mit einer definierten Frequenz f in dieLuftsäule eingestrahlt. Durch Variation derLänge der Luftsäule können Resonanzzustän-de („Schwingungsmoden”) mit

eingestellt werden, bei denen die Luftsäulemit maximaler Amplitude schwingt. Damitkann die Wellenlänge λ und mit

die Ausbreitungsgeschwindigkeit c derSchallwelle in Luft bestimmt werden.

2.2 Die Ausbreitung einer Schallwelle inLuft ist ein adiabatischer Vorgang, da dieDruckänderungen in der Welle so schnell vorsich gehen, dass kein Wärmeausgleich mitder Umgebung erfolgen kann. Die Aus-breitungsgeschwindigkeit c des Schalls hängtdeshalb von der Dichte ρ, vom Druck p undvom Adiabatenexponent κ ab:

Der Adiabatenexponent κ = cp /cV eines Gasesist das Verhältnis der spezifischen Wärme-kapazitäten bei Prozessführung unter kon-stantem Druck cp bzw. konstantem VolumencV. Es gilt stets cp > cV, da das Gas währendder Erwärmung bei konstantem Druck zusätz-lich Ausdehnungsarbeit leisten muss. DerWert des Adiabatenexponenten hängt nachder kinetischen Gastheorie davon ab, ob essich um ein-, zwei- oder mehratomige Gasehandelt.Betrachtet man Luft als ideales Gas, so hängtder Quotient p/ρ und damit die Schallge-schwindigkeit von der Temperatur ab:

Dabei bedeuten:T = Temperatur in Kρ0 = Dichte der Luft unter Normalbedingun-gen T0 und p0,

ρ0 = 1,293 kg m-3 ; T0 = 273,15 K = 0°C ; p0 = 0,1013 MPa = 760 Torr.

Aus den Gleichungen (6) und (7) folgt für dieBestimmung von κ:

2.3 Auch die wesentlich langsameren unddaher direkt beobachtbaren Schwingungeneiner Masse auf einer Gasfeder erlauben dieBestimmung von κ. Im Experiment nach E.RÜCHARDT (siehe Abb.3) befindet sich das zuuntersuchende Gas (hier Luft) im einer Glas-flasche mit dem Volumen V. Nach oben istdie Flasche durch ein Präzisionsglasohr mitdem Querschnitt A abgeschlossen, in demeine passgenaue Stahlkugel der Masse mnahezu luftdicht abschließend und reibungs-arm gleiten kann. Lässt man die Kugel vonoben in das Rohr fallen, so wird das Gasdarunter verdichtet und übt eine Gegenkraftauf die Kugel aus, so dass sie auf dem Luft-polster einige Schwingungen ausführt, ehe siewegen der unvermeidbaren Undichtigkeitlangsam nach unten sinkt.Sieht man von der Sinkbewegung ab, sobefindet sich die Kugel in Ruhelage, wennder Druck p gleich der Summe aus demäußerem Luftdruck pL und dem durch dasKugelgewicht hervorgerufenen Druck ist:

Schwingt die Kugel um den Weg z über dieRuhelage hinaus, so ändert sich der Druck umΔp, und es wirkt eine Kraft AΔp auf dieKugel. Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt

Wegen seiner Schnelligkeit ist der Vorgangadiabatisch. Aus

folgt durch Differentiation:

L

m gp p

A

(9)

2

2.d zA p m

dt (10)

const.p V (11)

.p

dp dVV

(12)


32

Abb.2: QUINCKEsches Resonanzrohr

Mit ΔV = Az wird für hinreichend kleine Δp

Aus (10) und (13) erhält man die Differential-gleichung einer harmonischen Schwingung

mit der Kreisfrequenz

Die Schwingungsdauer T lässt sich im Expe-riment leicht messen; daraus ergibt sich fürden Adiabatenexponent

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:

- QUINCKEsches Resonanzrohr mit Lautspre-cher und Hörschlauch

- Wechselspannungsgenerator- Stimmgabel 440 Hz- Glasflasche (ca. 10 L) mit Schwingungs-

röhre (d = 16,00 mm) und Stahlkugel- Magnetstab, Reinigungstab und -Tücher

3.1 Der Lautsprecher ist mit dem Generatorverbunden, an dem die Frequenz f und dieLautstärke variiert werden können. In einemoffenen Glasrohr (Resonanzrohr nach QUIN-CKE) befindet sich Wasser, dessen Oberflächevertikal verschoben werden kann, so dasseine Luftsäule mit veränderlicher Längeentsteht (Abb.2).

3.3 Eine Gummiplatte in der Glasflascheschützt sie vor der herabfallenden Stahlkugel.Das exakte Volumen ist auf einem Etikettangegeben. Der Magnetstab dient zum He-rausnehmen der Kugel durch die untereÖffnung.


4.1 Der Generator wird eingeschaltet unddie Frequenz auf f1 = 600 Hz eingestellt.Durch vertikales Verschieben der Wasser-oberfläche werden die Resonanzstellenaufgesucht. Die Lautstärke sollte so gewähltwerden, dass der Ton aus dem Lautsprecherkaum zu hören ist, die Resonanzstellen indem aus Schlauch und Trichter bestehendenHörrohr dagegen deutlich wahrnehmbar sind.Jede Resonanzstelle wird mindestens dreimalaufgesucht und die jeweilige Lage der Was-seroberfläche an der Skale abgelesen. Esempfiehlt sich, den Wasserbehälter zunächstrelativ schnell zu verschieben, und die so

.p A z

pV

(13)

22

20

p Ad z zm Vdt

(14)

22 .

p A

T mV

(15)

2

2 2

4 .p

V

c mVc A pT

(16)

Abb.3: Schwingungsröhre zurBestimmung von cp /cV

nach der Methode vonRÜCHARDT


33

gefundenen Resonanzstellen danach durchlangsameres Verschieben genau auszumes-sen.Die Messungen sind anschließend für f2 = 800Hz und f3 = 1000 Hz zu wiederholen.Die Raumtemperatur T ist zu ermitteln.Hinweis zur Einschätzung der Messunsi-cherheit: Der Generator ist alt, Toleranz-angaben des Herstellers haben keine Gültig-keit mehr. Die Genauigkeit der Frequenzkann durch den Vergleich mit einer Stimm-gabel abgeschätzt werden. Für die Stimm-gabel ist u(f )/f < 0,1 %.

4.3 Für die Messung der Schwingungsdauermüssen Schwingungsröhre und Stahlkugelmöglichst staubfrei sein. Die Röhre ist daherimmer mit einem Stopfen zu verschließen,wenn sie nicht verwendet wird. Die Stahlkugel wird mit dem Magnetstabüber die untere Öffnung aus der Flascheentnommen. Anschließend ist die Öffnungmit dem Stopfen dicht zu verschließen.Bestimmen Sie die Masse der Kugel sowieden Luftdruck und notieren Sie das Volumender Flasche.Lassen Sie die Kugel vorsichtig von oben indie Glasröhre fallen und messen Sie mit derStoppuhr die Zeit für etwa 10 Schwingungen.Die Messung ist fünf mal durchzuführen.Bei niedrigem Luftdruck wird die Kugelmöglicherweise nicht schwingen, sonderngleich in die Flasche fallen (leider hat derHersteller die Schwingungsröhre etwas kurzbemessen). In diesem Fall lassen Sie dieKugel nicht von ganz oben fallen, sondernhalten Sie sie mit dem Magneten von außenfest und starten den Fall 2...3 cm unterhalbder Rohröffnung. Wenn die Bewegung der Kugel durch Staub-partikel behindert wird, müssen Rohr undKugel mit einem fusselfreien Tuch abge-wischt werden. Ziehen Sie ein Tüchlein durchdie Öse des Reinigungstabes und wischen Siedamit das Glasrohr vorsichtig unter leichterDrehbewegung aus.

5 Auswertung

5.1 Aus den Einzelmessungen der Reso-nanzstellen werden die Mittelwerte gebildet.Für jede Frequenz werden die Orte der Reso-nanzstellen l in Abhängigkeit von derenNummer n grafisch dargestellt. Nach Glei-chung (4) liegen die Punkte auf einer Gera-den. Aus dem Anstieg der Geraden, der durchlineare Regression ermittelt wird, ist mitHilfe von Gleichung (5) die Schallgeschwin-digkeit zu berechnen.

5.2 Der Adiabatenexponent κ ist anhand desMittelwertes für die Schallgeschwindigkeit,der absoluten Temperatur T sowie der Wertefür T0, ρ0 und p0 nach (8) zu errechnen.

5.3 Der Adiabatenexponent κ ist nach (16)aus dem Mittelwert der gemessenen Schwin-gungsdauern zu berechnen. Dabei muss derDruck nach (9) eingesetzt werden!

6 Literatur

Walcher, W.: Praktikum der Physik. Teubner,Stuttgart, 1994


7 Kontrollfragen

7.1 Unter welchen Voraussetzungen kommtes bei der Interferenz zweier Wellen zu a)Auslöschung, b) Verstärkung, c) Ausbildungeiner stehenden Welle?

7.2 Wovon hängt die Schallgeschwindigkeitc in einem Gas ab?

7.3 Welche Bedeutung hat der Adiabaten-exponient κ und wie wird seine Größe nachder kinetischen Gastheorie erklärt?

Grundpraktikum II M 13 Dehnung

34

Abb.2: Spannungs-Dehnungs-Diagramm(schematisch)

1 Verhalten nach Hookeschem Gesetz2 Metall im Bereich (a) elastischer und (b)

plastischer Verformung3 Blutgefäß. (c) Verhalten nach Hookeschem

Gesetz, (d) VerfestigungAbb.1: Dehnung (Zug) und Scherung

FA

. (1)

l

l0

. (2)

1 Aufgabenstellung

Es ist der Elastizitätsmodul E von zweiMetallen und von Polyamid (Perlon) durchDehnungsmessungen zu bestimmen.


Eine wichtige Eigenschaft von Festkörpern istdie Elastizität. Ein Körper ist elastisch, wenner nach einer durch äußere Kräfte hervor-gerufenen Gestaltsänderung seine ursprüng-liche Gestalt wieder annimmt, sobald dieseKräfte wegfallen.Die elastischen Formänderungen könnendurch Dehnung, Stauchung, Biegung oderDrillung (Torsion) auftreten.Unter (mechanischer) Spannung versteht mandas Verhältnis aus Kraft und der Quer-schnittsfläche, an der die Kraft angreift:

Bei Normalspannungen σ steht die Kraft Fsenkrecht auf der Fläche A (Abb.1 links), beiTangentialspannungen τ verläuft sie parallelzur Fläche (Abb.1 rechts). Normalspannun-gen können als Zug- oder Druckspannungenwirksam werden, Tangentialspannungen alsScher- oder Torsionsspannungen.Die relative Längenänderung Δl/l0 bei Wir-kung einer Zugspannung (vergl. Abb.1) nennt

man Dehnung:

Das elastische Verhalten bei Zug- und Druck-belastungen wird im Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Abb.2) dargestellt. Innerhalb des Proportionalitätsbereiches giltdas HOOKEsche Gesetz:

Die elastische Verformung ist der verformen-den mechanischen Spannung proportional.

Feste Körper haben eine Elastizitätsgrenze.Bei Überschreiten dieser Grenze kommt es jenach Material zu unterschiedlichen Abwei-chungen vom HOOKEschen Gesetz. BeiMetallen tritt meist eine irreversible Verfor-mung auf (Plastizität). Bei biologischenMaterialien und bei Polymeren ist bei hohenSpannungen aufgrund des makromolekularenAufbaus oft eine Verfestigung zu beobachten.Das Überschreiten der Zerreißgrenze führtzum Materialbruch.Die meisten Polymere und viele Biomateria-lien (z. B. Muskelfasern) zeigen kein reineselastisches sondern sogenanntes viskoelasti-

Dehnung M 13

Grundpraktikum II M 13 Dehnung

35

1

E. (3)

sches Verhalten. Im Materialinneren tretengeschwindigkeitsabhängige Reibungskräfteauf (vergl. Versuch M14: Viskosität). DieDehnung hängt nicht nur von der Spannungsondern auch von der Zeit ab, wobei diemaximale Dehnung bei Wirkung einer kon-stanten Spannung asymptotisch erreicht wird.

Der Elastizitätsmodul E ist eine Material-größe. Im Bereich der Gültigkeit des HOO-KEschen Gesetzes stellt sein Kehrwert denProportionalitätsfaktor zwischen der relativenDehnung Δl/l0 eines Stabes und der anlie-genden mechanischen Spannung F/A dar.Mit (1) und (2) ergibt sich eine allgemeineForm des HOOKEschen Gesetzes zu:

Mit der Längenausdehnung verbunden isteine Verringerung des Querschnitts, die mitHilfe der elastischen MaterialkonstantenPOISSONsche Querkontraktionszahl beschrie-ben werden kann.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Wandhalterung mit Messuhr- Inbusschlüssel für die Messuhr- 2 Metalldrähte und Perlonfaden mit Haken

und Messmarke- Bandmaß- Mikrometerschraube- Massestücke- mit Schaumstoff gefüllter Eimer

Der zu vermessende Draht bzw. Faden kannin die obere Aufhängung der Apparatureingehängt werden. Auf ihm ist eine Mess-marke befestigt, diese wird unter den Fühlerder Messuhr geklemmt. Dazu ist der Fühlervorsichtig von Hand anzuheben. Sollte derMessbereich der Messuhr (0 bis 10 mm) nichtausreichen, so kann sie mittels einer Klemm-schraube in der Höhe verstellt werden. Am unteren Ende des Drahtes ist ein Hakenzum Einhängen der Massestücke angebracht.


Der zu vermessende Metalldraht wird einge-hängt und mit einem Massestück von 500 gvorbelastet. Es ist darauf zu achten, dass derMessbereich ausreicht, gegebenenfalls mussdie Messuhr in ihrer Höhe verstellt werden.Diese Stellung der Messuhr entspricht Δl = 0.Die Anfangslänge l0 wird mit dem Bandmaßbestimmt (freie Drahtlänge von der Klemm-schraube der oberer Aufhängung bis zurKlemmschraube der Messmarke). Der Durch-messer des Drahtes d wird an 5 verschiedenenStellen mit der Mikrometerschraube be-stimmt.Nun wird der Draht mit verschiedenen Mas-sestücken (200g bis 2000g in 200g-Schritten)belastet und die zugehörigen Längenänderun-gen Δl gemessen (Δl bezieht sich hierbeiimmer auf die Stellung der Messuhr imvorbelasteten Zustand l0).Der gesamte Messvorgang ist für beideMatalldrähte durchzuführen.

Die Längenänderung des Perlonfadens istwesentlich größer als die der Metalldrähte, siewird nicht mit der Messuhr gemessen sondernan einem Stahllineal abgelesen, welches unterder Messuhr angebracht ist. Der Perlonfadenwird eingehängt und mit 100 g vorbelastet.Sein Durchmesser wird an 5 verschiedenenStellen mit der Mikrometerschraube und dieLänge l0 mit dem Bandmaß bestimmt.

Es kann vorkommen, dass der Perlonfadenreißt! Stellen Sie deshalb den Eimer mitSchaumstoff-Füllung unter die Apparatur,ehe Sie weitere Massestücke anhängen!

Die Position der Messmarke a ist am Stahl-lineal abzulesen. Dieser Wert entspricht Δl=0.Danach wird der Faden schrittweise belastet(400 g bis 2000 g in 400 g-Schritten) und(nach 5 min) die Position a bestimmt. Unmittelbar nach dem Anhängen der Mas-sestücke kann man beobachten, dass dieLänge nicht sofort konstant ist, sondern,immer langsamer werdend, noch etwasanwächst (Viskoelastizität). Zwischen jeder

Grundpraktikum II M 14 Viskosität

36

Änderung der Gewichte und dem Ablesenvon a ist deshalb eine Wartezeit von 5 mineinzuhalten.

5 Auswertung

Aus den Mittelwerten der Drahtdurchmessersind die Querschnittsflächen zu berechnen.Im Fall des Perlonfadens sind aus den gemes-senen Abständen a die Längenänderungen Δlzu berechnen.Für jeden Messschritt werden die anliegendeZugspannung σ nach (1) und die Dehnung nach (2) berechnet. Die Kraft in Gleichung(1) ist die Gewichtskraft der Massestücke(g = 9,81 m/s2).Für jedes Material wird die Zugspannung σals Funktion der Dehnung des grafischdargestellt und der Elastizitätsmodul E alsKurvenanstieg aus dem Diagramm ermittelt.Mit Hilfe der ausliegenden Tabelle ist aus denermittelten Werten auf das Material derMetalldrähte zu schließen.Hinweis zur Fehlerrechnung:Die Standardabweichung des Anstieges derFunktion σ(ε) enthält alle zufälligen Abwei-

chungen der einzelnen Messpunkte. Systema-tische Messabweichungen und solche, die alleMesspunkte in gleicher Weise beeinflussen,müssen zusätzlich berücksichtigt werden.

6 Literatur



Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.1. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Was bedeutet elastisches Material-verhalten?

7.2 Was besagt das HOOKEsche Gesetz?Welche Arten der elastischer Verformunggibt es?

7.3 Welche Formen nichtlinearen elasti-schen Verhaltens können auftreten?

1 Aufgabenstellung

Es ist die Viskosität η von Rhizinusöl alsFunktion der Temperatur mit einem HÖPP-LER-Viskosimeter (Kugelfallmethode) zubestimmen.

2 Grundlagen

Reale Flüssigkeiten und Gase sind durchWechselwirkungskräfte zwischen den Mole-külen innerhalb des Stoffes (Kohäsion) undzu Molekülen anderer Stoffe an Grenzflächen

wie z.B. festen Wandungen (Adhäsion)gekennzeichnet. Bei idealen Flüssigkeitenoder Gasen werden solche Kräfte vernachläs-sigt.Strömt eine benetzende reale Flüssigkeitdurch ein starres konzentrisches Rohr, sostellt sich im Falle einer laminaren stationärenStrömung ein parabolisches Strömungsprofil(die Verteilung der Strömungsgeschwindig-keiten entlang des Rohrradius) ein (Abb.1).Durch Adhäsionskräfte haftet die Flüssigkeitam Rand und strömt in der Mitte am schnell-sten. Zur Modellierung stellt man sich dieStrömung als ineinander gleitende Zylinder

Viskosität M 14


37

2

9

2

1 2

r

sgt. (9)

K t1 2 . (10)

Abb.1: Laminare Strömung durch ein Rohr

F F FG R A . (2)

32

4.

3AF r g (3)

3

1

4.

3GF r g (4)

6RF rv (5)

3 31 2

4 46

3 3r g rv r g (6)

31 2

46 .

3rv r g (7)

2

9

2

1 2

r

vg . (8)

vor, die sich mit geringen Geschwindigkeits-unterschieden gegeneinander bewegen.Zwischen diesen Schichten tritt durch Kohä-sionskräfte Reibung auf. Ein Maß für dieseinnere Reibung ist die Viskosität η. Für ein langes dünnes Rohr wird das proZeiteinheit hindurchfließende Volumen (derVolumenstrom) bei einer gegebenen Druck-differenz Δp zwischen den Enden des Rohresdurch das Gesetz von Hagen und Poisseuillebeschrieben:

(l: Länge, r: Radius des Rohres). Die unge-wöhnlich starke Abhängigkeit vom Radiusergibt sich durch die inhomogene Geschwin-digkeitsverteilung (Abb.1).

Eine Flüssigkeit, bei der die Viskosität nichtvon der Strömung selbst sondern nur von derTemperatur abhängt, nennt man eineNEWTONsche Flüssigkeit. Beispiele für nicht-newtonsche Flüssigkeiten sind Farbe (leichtstreichbar, nicht tropfend) und Blut.

Sinkt ein kugelförmiger Körper (Radius r,Dichte ρ1) in einer viskösen Flüssigkeit(Dichte ρ2), so wirken die Gewichtskraft FG,die Auftriebskraft FA und die ReibungskraftFR und es gilt im stationären Zustand:

Nach ARCHIMEDES ist der Auftrieb gleichdem Gewicht des von der Kugel verdrängtenFlüssigkeitsvolumens:

Für die Gewichtskraft FG gilt:

Da die Reibungskraft FR entsprechend demGesetz von STOKES

proportional zur Geschwindigkeit v der Kugelist, stellt sich nach kurzer beschleunigterBewegung ein stationärer Zustand mit kon-stanter Fallgeschwindigkeit ein (wenn FR =FG FA erreicht ist). Aus Gleichung (2) folgt:

und:

Aus der Fallgeschwindigkeit v einer Kugel ineiner unendlich ausgedehnten ruhendenNEWTONschen Flüssigkeit kann demnach dieViskosität η der Flüssigkeit bestimmt werden.Die Umstellung von Gleichung (7) nach ηliefert:

Ersetzt man die Geschwindigkeit v durch denFallweg s und die Fallzeit t [v = s/t], so erhältman:

Alle unveränderlichen Größen können ineiner Konstanten K vereinigt werden, so dassfolgt:

In einem HÖPPLER-Viskosimeter fällt dieKugel nicht in einer unendlich ausgedehntenFlüssigkeit, sondern in einer Röhre, derenDurchmesser wenig größer als der Kugel-durchmesser ist. Um eine definierte Abroll-bewegung zu erzielen, wird der Zylinder um10° gegen die Normale geneigt. Beidesbeeinflusst die Kugelkonstante K, so dass bei

4

8

r pVt l

(1)


38

j eE

k TA

~ . (11)

0 eE

k TA

. (12)

industriell gefertigten Viskosimetern experi-mentell bestimmte Kugelkonstanten angege-ben werden.

Mikroskopisch lässt sich die Viskosität (wieauch einige andere Eigenschaften) von Flüs-sigkeiten mit Hilfe der Platzwechseltheorieverstehen. Die Teilchen werden durch Bin-dungskräfte an ihrem Platz gehalten undvollführen dort thermische Schwingungen miteiner sich ständig ändernden kinetischenEnergie. Um auf einen benachbarten Platz zugelangen, muss ein Teilchen eine Potential-schwelle überwinden, d. h. seine kinetischeEnergie muss größer als eine gewisse Anre-gungsenergie EA sein. Die Geschwindigkeitder Teilchen genügt der MAXWELL-BOLTZ-MANN-Verteilung, deshalb gilt für die Anzahlder Platzwechselvorgänge j :

Greift eine äußere Kraft an der Flüssigkeit an,so finden Platzwechsel bevorzugt in Richtungdes durch diese Kraft erzeugten Potentialge-fälles statt - die Flüssigkeitsschichten werdengegeneinander verschoben. Je größer j ist,desto schneller ist die Verschiebung. Deshalbgilt näherungsweise für die Viskosität:

Zur Herleitung von (11) siehe GRIMSEHL Bd.IV §132 und §140.Im Gegensatz zu Flüssigkeiten steigt in Gasendie Viskosität mit zunehmender Temperatur

sogar an, es gilt . ~ T

3 Versuchsaufbau

3.0 GeräteHÖPPLER-Viskosimeter2 StoppuhrenThermostat

3.1 Das HÖPPLER-Viskosimeter ist einPräzisionsmessinstrument. Es besteht aus

einem drehbar gelagerten geneigten zylindri-schen Fallrohr, das mit der zu untersuchendenFlüssigkeit gefüllt ist. Das Fallrohr wird voneinem Wasserbad umgeben, dessen Tempera-tur durch einen Thermostaten geregelt wird.Am Fallrohr befinden sich ringförmigeMessmarken, der Abstand zwischen derobersten und der untersten beträgt 100 mm.Das Instrument kann in die Messlage (Ther-mometer oben) oder in die Rücklauflage ge-schwenkt werden und rastet dabei am In-strumentenfuß jeweils definiert in 10°-Positi-on ein. Im Praktikum kann mit ausreichenderGenauigkeit in beiden Richtungen gemessenwerden. Das Fallrohr ist am oberen Ende durch einenHohlstopfen verschlossen, der etwas Luftenthält. Dadurch wird ein zu hoher Druckdurch die Ausdehnung der Messflüssigkeitbei Erwärmung vermieden. Bei Änderung derTemperatur und bei Versuchsende soll sichder Stopfen immer oben befinden (Messlage),damit die Luftblase im Stopfen bleibt.Das Viskosimeter wird mit einem Satz von 6Kugeln für verschiedene Viskositätsbereichegeliefert. Im Versuch wird Kugel Nr. 4verwendet. Jedes Viskosimeter hat eineeigene Prüfbescheinigung mit etwas unter-schiedlichen Kugelkonstanten!


Studieren Sie die am Arbeitsplatz ausliegen-den Kurzanleitungen zum Thermostaten undzum Viskosimeter. Schalten Sie zu Beginnauf keinen Fall die Thermostatheizung ein,das Wasserbad benötigt viel Zeit um wiederabzukühlen!Die Viskosität soll im Temperaturbereich vonRaumtemperatur bis 50°C bestimmt werden(etwa ein Messpunkt aller 5 K).Das Viskosimeter ist m. H. der Libelle hori-zontal auszurichten. Vor der ersten Messungmuss die Kugel einmal die Messstreckedurchlaufen, um die Messflüssigkeit zudurchmischen.


39

Die Messung der Fallzeiten zwischen deroberen und der unteren Ringmarke wird vonbeiden Studenten durchgeführt. Damit siesich gegenseitig nicht beeinflussen, startet(stoppt) der erste Student seine Uhr, wenn dieKugel mit ihrer unteren Fläche die obere(untere) Ringebene berührt. Der zweiteStudent beginnt die Messung, wenn die obereFläche der Kugel die obere Ringebene ver-lässt.Die Messungen sind bei jeder Temperaturvier mal durchzuführen. Falls das Fallen derKugel durch eine sehr große Luftblase behin-dert wird, ist der zuständige Assistent zuverständigen. Sie dürfen das Viskosimeternicht selbst öffnen!

Man beginnt zweckmäßigerweise bei Raum-temperatur. Der Thermostat ist einzuschalten,die Solltemperatur wird auf einen Wert unterRaumtemperatur gestellt, damit der Thermo-stat nur umwälzt. Falls erforderlich, muss vorder Messung ein Temperaturausgleich zwi-schen Thermostat und Viskosimeter abgewar-tet werden (etwa 10 min). Danach wird die Temperatur schrittweise (inSchritten von etwa 5 K) bis auf 50°C erhöhtund die Fallzeiten werden bestimmt. Nachjedem Erreichen der Solltemperatur amThermostaten muss mindestens noch weitere5 Minuten abgewartet werden ehe mit derMessung begonnen wird, damit auch dieFlüssigkeit im Messzylinder die Temperaturdes umgebenden Wasserbades annimmt.Während dieser Wartezeit soll die Kugeleinmal (ohne Zeitmessung) die Fallstreckedurchlaufen.

5 Auswertung

Berechnen Sie die Viskosität η nach Glei-chung (10) und stellen Sie η als Funktion derTemperatur graphisch dar.

Die Dichte der Kugel ρ1 und der Wert derKonstanten K sind der am Messplatz aus-liegenden Prüfbescheinigung zu entnehmen(Kugel Nr. 4).Dichte von Rhizinusöl: ρ2 = 0,96 g cm -3

Stellen Sie ln(η) in Abhängigkeit von 1000/Tgraphisch dar („Arrhenius-Plot”; T in Kel-vin). Bestimmen Sie EA entsprechend Gl.(12)aus dem mittels linearer Regression ermittel-ten Anstieg der Kurve und diskutieren Sie dasErgebnis. Um die Größenordnung zu beur-teilen, sollte man EA nicht in J sondern besserin eV und in kJ/mol angeben!

6 Literatur


Dieter Meschede: Gerthsen Physik, SpringerBerlin, 2010

Grimsehl: Lehrbuch der Physik Bd.IV. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft

7 Kontrollfragen

7.1 Wodurch unterscheiden sich reale undideale Flüssigkeiten?

7.2 Wie ist die Viskosität definiert undwelche Messverfahren gibt es dafür?

7.3 Wie beeinflusst innere Reibung dieStrömung in einem Rohr?

Grundpraktikum II M 15 Torsion

40

Abb.1: Scherbelastung Abb.2: Torsion eines zylindrischen Stabes

G . (1)

FA

. (2)

d d dM r F r A

r G r dr

2(3)

s r l . (4)

MG

lr r

Gr

l

r

2

23

0

4 d . (5)

DG r

l 4

2(6)

1 Aufgabenstellung

1.1 Das Direktionsmoment und der Tor-sionsmodul dreier Metallstäbe verschiedenerDicke ist zu bestimmen.

1.2 Das Direktionsmoment und der Tor-sionsmodul zweier Metalldrähte sind anhandder Schwingungsdauer eines Torsionspendelszu bestimmen.

2 Grundlagen

Greift an einem an seiner Unterseite fest-gehaltenen Würfel eine Kraft F (Schub- bzw.Scherkraft) tangential zur Deckfläche an, sowird er um den Winkel α geschert (Abb.1).Für kleine Winkel gilt das HOOKEsche Gesetzmit dem vom Material abhängigen Torsions-modul (auch Schub- oder Schermodul) G alsProportionalitätsfaktor:

Hierbei ist die Scherspannung τ der Quotientaus angreifender Kraft und Angriffsfläche:

Abb. 2 zeigt die Verdrillung eines obeneingespannten Stabes, dessen Länge l großgegen seinen Radius r sein soll, um denTorsionswinkel . Dabei wird eine ursprüng-lich senkrechte Faser des Zylindermantels umden Scherwinkel α verdreht.

Wir betrachten zunächst einen Hohlzylindermit dem Radius r' und der Dicke dr'. Zuseiner Verdrillung ist ein Drehmoment dMerforderlich, welches sich mit (1) und (2) zu

ergibt.Für den Bogen s' gilt bei kleinem Winkel α':

Durch Einsetzen in Gl. (3) und Integrationberechnet man das zur Verdrillung des Stabesnotwendige Drehmoment:

Dieses ist (im Bereich der Gültigkeit desHOOKEschen Gesetzes) proportional zumTorsionswinkel . Die Proportionalitätskon-stante

wird als Direktionsmoment bezeichnet undhat die Bedeutung einer Federkonstante füreine Torsionsfeder. D ist sowohl vom Materi-al als auch von der Geometrie des Stabesabhängig.

Torsion M 15


41

Abb.3: Torsionspendel

M J Jt

d

d

2

2 . (7)

M D (8)

d

d

2

2 0

t

DJ

. (9)

0 sin t (10)

M m g s cos . (13)

TJD

2

2

. (11)

DJ

T

4 2

2

, (12)

Zur Bestimmung des Torsionsmoduls nachGl. (5) kann man einfach das Drehmoment Mmessen, welches zur Verdrillung eines Stabesum einen bestimmten Winkel φ führt (stati-sche Methode). Bei einem Draht (dünner langer Stab) istdieses Drehmoment jedoch sehr klein, des-halb ist die dynamische Methode mit Hilfeder Messung der Schwingungsdauer einesTorsionspendels besser geeignet.Für die Drehbewegung des Torsionspendelsnach Abb.3 gilt (analog zum NEWTONschenGrundgesetz F=ma) das Grundgesetz

Hierbei sind J das Trägheitsmoment des

Pendels und die durch M d d2 2t

erfahrene Winkelbeschleunigung. Entsprechend (5) wirkt der Auslenkung umden Winkel φ das Drehmoment

entgegen. Das negative Vorzeichen berück-sichtigt die zu φ entgegengesetzte Richtungvon M'.Aus M = M' ergibt sich die Differentialglei-chung einer harmonischen Schwingung:

Die Lösung von (9) ist die harmonischeSchwingung

mit der Schwingungsdauer

Somit lässt sich aus der Schwingungsdauerdes Torsionspendels das Direktionsmomentdes Drahtes berechnen:

welches entsprechend Gl. (6) durch denTorsionsmodul G und die Abmessungen desDrahtes bestimmt ist.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte

- Torsionsgerät mit Winkeleinteilung undHebelstange mit Zeiger

- 3 Metallstäbe- Stativmaterial zum Einspannen der Stäbe- Wandhalterung mit Torsionspendel und

Schutzgehäuse- Stoppuhr- Bandmaß- Mikrometerschraube- Analysenwaage- 8 Massestücke (ca. 50 g) mit Haken

3.1 Das Torsionsgerät gestattet die Ver-drillung der eingespannten Stäbe durchangehängte Massestücke und die Messungdes Drehwinkels. Wird am Hebelarm s dieMasse m angehängt und dabei der Hebelarmum den Winkel φ aus der Horizontalenverdreht, so wirkt ein Drehmoment

3.2 Das Torsionspendel (siehe Abb.3)besteht aus einem am oberen Ende einge-spannten Draht mit der Länge l und demDurchmesser d = 2r und einer am unterenDrahtende befestigten Achse mit zwei Mas-sestücken (Gesamtmasse m, Abstand vonAchsmitte s). Diese Massestücke lassen sichauf der Achse verschieben, so dass unter-schiedliche Trägheitsmomente J eingestelltwerden können. Das Trägheitsmoment ergibt sich zu


42

TJ

D

m

Ds2

2

0

2

24 4

. (15)

J J m s 0

2 , (14)

wobei J0 das Trägheitsmoment des Torsions-pendels ohne Massestücke ist und s derAbstand der Massestücke von der Drehachse.Zu jedem Abstand si erhält man also einTrägheitsmoment Ji und eine Schwingungs-dauer Ti.


4.1 Die Längen l der Stäbe werden mit demBandmaß und deren Durchmesser d mit derMikrometerschraube bestimmt.Die Stäbe werden nacheinander auf einerSeite eingespannt und auf der anderen Seitemit dem Torsionsgerät verbunden. Im unbe-lasteten Zustand soll der Winkelzeiger aufNull stehen (horizontaler Hebelarm).Jeder Stab wird mit fünf verschiedenenDrehmomenten belastet, wobei der Torsions-winkel φ mindestens 10° höchstens 60°betragen soll. Die verwendete Hebelarmlänges, die Masse m und der Drehwinkel φ sind zuprotokollieren. Die genaue Masse wirdjeweils mit der Waage bestimmt.

4.2 Für jeden Torsionsdraht wird die Längel mit dem Bandmaß und der Durchmesser dan 5 verschiedenen Stellen des Drahtes mitder Mikrometerschraube gemessen.Die Gesamtmasse m der Massestücke wirdmit der Analysenwaage bestimmt.Auf der Achse sind durch Kerben vier Ab-stände s1...s4 vom Mittelpunkt festgelegt(20 mm, 30 mm, 40 mm, 50 mm). Für dieseAbstände werden die zugehörigen Schwin-gungsdauern T1...T4 ermittelt. Dazu wird mitder Stoppuhr die Zeit für 20 Schwingungengemessen und daraus T bestimmt.

5 Auswertung

5.1 Für jede Einzelmessung wird das Direk-tionsmoment D = M/φ mit Hilfe von Gl.(13) berechnet und für jeden Stab wird ausden Ergebnissen der Mittelwert gebildet.Die Direktionsmomente D der Stäbe sind in

Abhängigkeit vom Radius r graphisch dar-zustellen.Der Torsionsmodul G der Metallstäbe istnach Gleichung (6) für jeden der Stäbe zuberechnen und zu vergleichen. Aus einerTabelle ist das vermutliche Material der Stäbezu ermitteln.

5.2 Zur Bestimmung der Direktionsmomen-te wird das Quadrat der Schwingungsdauer T2

in Abhängigkeit vom Abstandsquadrat derMassestücke s2 für beide Drähte in einemgemeinsamen Diagramm dargestellt. Aus (12) und (14) ergibt sich:

Durch linearer Regression sind jeweils dasDirektionsmoment D und das Trägheits-moment J0 zu bestimmen.Aus D wird nach Gleichung (6) der Torsions-modul G berechnet.Aus den Torsionsmoduln wird an Hand vonTabellenwerten das vermutete Material derDrähte bestimmt.

6 Literatur


Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a.. 2006


7 Kontrollfragen

7.1 Welche Arten der elastischen Verfor-mung gibt es, welche Materialkonstantenspielen dabei eine Rolle?

7.2 Warum ist bei dem Versuch auf kleineAuslenkungen zu achten?

7.3 Was kennzeichnet harmonische Schwin-gungen?

Grundpraktikum II W 5 Kondensations- und Schmelzwärme von Wasser

43

2 1 ,dp

Q T V VdT

(5)

.Q U p V (1)

.V G Fl G FlQ U U p V V (2)

1 .VV G Fl G Fl

Qr U U p V V

m m (3)

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Kondensationswärme vonWasserdampf und die spezifische Schmelz-wärme von Eis sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die meisten Stoffe können verschiedeneAggregatzustände einnehmen (fest, flüssig,gasförmig). Da neben den Änderungen dieserAggregatzustände auch noch innerhalb desfesten Zustandes Änderungen der Modifikati-on möglich sind, spricht man allgemein vonPhasenumwandlungen.

Zur Beschreibung der Phasenumwandlunggasförmig-flüssig (Kondensation) mit Hilfeder VAN-DER-WAALSschen Zustandsglei-chung sowie zum Begriff Sättigungsdampf-druck siehe Kapitel Grundlagen zum VersuchW21 (Reales Gas).

Die Änderung eines Aggregatzustandes istsowohl mit einer Volumenänderung verbun-den als auch mit einer Änderung der innerenEnergie U des Stoffes. Diese enthält nebender kinetischen Energie der Teilchen aucheinen Anteil, der die Wechselwirkungen derTeilchen untereinander berücksichtigt. Dabeim Verdampfen eine Arbeit gegen dieseKräfte verrichtet wird (d. h. die innere Ener-gie in der Gasphase UG ist größer als in derflüssigen Phase UFl), muss beim Verdampfeneines Stoffes Energie - die Verdampfungs-wärme QV - zugeführt werden. Die gleicheEnergie wird als Kondensationswärme frei,wenn der Dampf wieder verflüssigt wird.Das selbe Betrachtung gilt für das Schmelzenfester (kristalliner) Stoffe. Die zugeführteEnergie - die Schmelzwärme QS - dient hierzur Überwindung der Bindungskräfte imKristallgitter. Die regelmäßige Ordnung inder festen Phase geht in den weniger ge-ordneten Zustand der flüssigen Phase über.

In amorphen festen Stoffen (Glas, Wachs,viele Kunststoffe) existiert keine regelmäßigeatomare Ordnung, daher gibt es auch keinegenau definierte Schmelztemperatur. DieseStoffe erweichen mit steigender Temperaturallmählich.

Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamikist

Mit den Indizes G für die Gasphase und Fl fürdie flüssige Phase ergibt sich

Dividiert man Gleichung (2) durch die Massem des Stoffes, so folgt

Die Größe rV heißt die spezifische Verdamp-fungswärme (oder Kondensationswärme)eines Stoffes und hat die Einheit J/kg.Bei der Phasenumwandlung fest-flüssig istdie Volumenänderung in der Regel ver-nachlässigbar klein. Daher gilt für die spezi-fische Schmelzwärme rS :

Siede- und Schmelztemperatur sind abhängigvom Druck. Die CLAUSIUS-CLAPEYRONscheGleichung

die meist nur für die Verdampfung formuliertwird, gilt auch für andere Phasenumwand-lungen. Sie verknüpft die Umwandlungs-wärme Q mit dem Anstieg der Druckkurve imPhasendiagramm (Dampfdruck- bzw.Schmelzdruckkurve) und der Volumen-änderung bei Umwandlung von Phase 1 inPhase 2. Eine Flüssigkeit siedet, wenn ihr Dampfdruck

1 .SS Fl fest

Qr U U

m m (4)

Kondensations- und Schmelzwärme von Wasser W 5


44

Q Q Q QV A W K (6)

2 1 2 .W W KV W S

D

m c Cr T T c T T

m

(8)

2

2 1 2 1

V D D W S

W W K

r m m c T T

m c T T C T T

(7)

(der Sättigungsdampfdruck pS) gleich demäußeren Luftdruck p0 ist. Die Siedetemperaturergibt sich aus der Dampfdruckkurve an derStelle pS = p0 und steigt deshalb mit zuneh-mendem Luftdruck deutlich an.Beim Schmelzen ist die Volumenänderungsehr klein und kann sowohl positiv (bei denmeisten Stoffen) als auch negativ (z.B. beiWassereis) sein. Aus (5) ergibt sich damit,dass die Druckabhängigkeit der Schmelz-temperatur dT/dp sehr klein ist und außerdembeide Vorzeichen annehmen kann, da dieSchmelzwärme immer positiv ist. Eis schmilzt z.B. bei 100 bar und -0,76 °C.Bei den üblichen Luftdruckschwankungenmuss daher die Temperaturabhängigkeit desSchmelzpunktes nicht berücksichtigt werden.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Kalorimeter (vakuumisoliert)- Laborkocher mit Siedegefäß- Magnetrührer, Rührstäbchen- Stativ mit Schlauch, Glasrohr zum Ein-

leiten des Dampfes und Kondenswasser-behälter (Erlmeyerkolben)

- Becherglas- Digitalthermometer- Stoppuhr- Waage (Genauigkeit 0,1 g)- Papierhandtücher zum Trocknen des Eises

3.1 Für die experimentelle Bestimmung derspezifischen Kondensationswärme rV desWasserdampfes wird ein Kalorimeter mitWasser der Masse mW und der Temperatur T1

gefüllt. Wird eine Menge Wasserdampf derMasse mD mit der Siedetemperatur TS in dasWasser eingeleitet, so kondensiert der Dampfdort und gibt dabei die KondensationswärmeQv=mDrV ab. Dann kühlt sich die Masse deskondensierten Wasserdampfes auf die Misch-temperatur T2 ab, wobei die Wärme QA =mD cW (TST2) abgegeben wird. Bei diesemVorgang werden das Wasser mit der MassemW und das Kalorimeter auf die Mischtempe-ratur erwärmt, sie nehmen die Wärmemengen

QW = mwcw(T2-T1) bzw. QK = CK(T2T1) auf.Aus der Energiebilanz

ergibt sich für die spezifische Kondensations-wärme rV:

3.2 Für die Bestimmung der spezifischenSchmelzwärme rS = QS/m wird Eis der MassemE mit der Temperatur TE = 0°C in dasKalorimeter gegeben. Das Wasser der MassemW im Kaloriemeter kühlt sich dabei von derTemperatur T1 auf die Mischtemperatur T2 ab.Bezeichnet man die Schmelzwärme mit QS,die vom geschmolzenen Eis aufgenommeneWärme mit QA und die von Wasser undKaloriemeter abgegebenen Wärmen mit QW

und QK, so ergibt sich analog zu 3.1 aus derEnergiebilanz


4.1 Das Siedegefäß (Wasserkessel) sollteetwa zu ¾ mit Wasser gefüllt sein.Bringen Sie das Wasser bei Schaltstufe 9 zumSieden. Der entstehende Dampf wird zu-nächst in das Becherglas geleitet, bis dieDampfleitung etwa die Temperatur desDampfes angenommen hat. Die Heizleistungwird dann auf Schaltstufe 3 reduziert und biszum Versuchsende nicht mehr geändert. Nacheiner Wartezeit von mindestens 3 min kannmit dem Einleiten von Dampf in das Kalori-meter begonnen werden. Das Dampfrohr soll möglichst tief in dasWasser im Kalorimeter eintauchen. Die

S A W KQ Q Q Q (9)

1 2 2 .W W KS W E

E

m c Cr T T c T T

m

(10)


45

Dampfleitung muss so verlaufen, dass in derLeitung kondensierender Dampf nicht in dasKalorimeter sondern in den Kondenswasser-behälter läuft. Die Dampfleitung darf imheißen Zustand nicht angefasst werden. Siewird mit dem gesamten Stativ bewegt. DieserVorgang sollte vorher bei kalter Dampf-leitung geübt werden.

Mit Hilfe der Waage sind zu bestimmen: DieMasse m0 des kompletten Kalorimeters (mitDeckel und Rührstäbchen) ohne Wasser unddie Masse m1 des kompletten Kalorimetersmit Wasser. Das Kalorimeter ist mit etwa 500ml möglichst kaltem Wasser zu füllen.

Der Rührer muss während des ganzen Experi-mentes gleichmäßig laufen. Zur Bestimmungvon rV wird insgesamt 18 min lang der Tem-peraturverlauf im Kalorimeter registriert,indem alle 30 s die Temperatur abgelesenwird:

- 5 min bevor der Dampf eingeleitet wird,

- 8 min während Dampf eingeleitet wird,

- 5 min nach Beendigung der Dampfein-leitung.

Die Masse mD des kondensierten Wasser-dampfes ist abschließend durch eine erneuteWägung des Kalorimeters zu ermitteln (Mas-se m2 des kompletten Kalorimeters). Für diegenaue Bestimmung der Siedetemperatur TS

wird der Luftdruck am Barometer abgelesen.

4.2 Das Eis für die Bestimmung derSchmelzwärme muss in großen Stücken(Eiswürfel) vorliegen und eine Temperaturvon 0 °C haben. Es wird in einem Isolierge-fäß zur Verfügung gestellt und muss vor derVerwendung mindestens 15 min in Eiswasserliegen, damit es auf 0 °C erwärmt wird.Das erwärmte Wasser aus dem 1. Versuchs-teil bleibt im Kalorimeter. Die Wassermasseist durch die letzte Wägung (m2) und dieWägung des leeren Kalorimeters (m0) bereitsbekannt. Alternativ (wenn der Versuch nichtunmittelbar nach 4.1 durchgeführt wird) sindetwa 500 ml 40...45 °C warmes Wassereinzufüllen und zu wiegen.) Der Rührer mussgleichmäßig laufen.

Die Temperatur ist wie im 1. Versuchsteil alle30 s abzulesen. Nach 5 min geben Sie gutabgetrocknete Eisstücke in das Kalorimeter,bis die Temperatur etwa 20 °C erreicht.Danach registrieren Sie die Temperatur nochweitere 5 min.Abschließend wird die Masse m3 = m2 + mE

durch eine nochmalige Wägung des kom-pletten Kalorimeters bestimmt.

Alternative VersuchsdurchführungDie Temperaturmessung in beiden Versuchs-teilen kann auch automatisch alle 5 s mitHilfe eines Mobile-Cassys mit Ni-CrNi-Adapter und Ni-CrNi-Thermoelement erfol-gen. Mobile-Cassy ist ein Handmessgerät derCassy-Serie mit eingebautem Datenlogger.Die Messwerte werden im internen Speicheraufgezeichnet und später am Computer mitdem Programm CassyLab ausgelesen. Diese Variante ist nur erlaubt, wenn Sie sichvor Praktikumsbeginn über die Bedienung desMobile-Cassys informiert haben unterwww.ld-didactic.de/documents/de-DE/GA/GA/5/524/524009Ad.pdf.

5 Auswertung

5.1 Der Temperaturverlauf T(t) im Kalori-meter wird in Abhängigkeit von der Zeitgrafisch dargestellt. Da die Mischung eineendliche Zeit beansprucht und in dieser Zeitauch ein Wärmeaustausch mit der Umgebungstattfindet, kann die Mischtemperatur T2 nichtunmittelbar gemessen werden. Der Wert fürT2, der sich im Falle eines sehr schnellen(d. h. adiabatischen) Temperaturausgleichseinstellen würde, sowie der Wert für dieTemperatur T1 unmittelbar vorher könnenentsprechend Abb.1 aus dem Temperatur-Zeit-Diagramm ermittelt werden. Dazu ist diesenkrechte Gerade BD so einzuzeichnen, dassdie Flächen ABC und CDE etwa gleich großsind. Aus diesem Diagramm werden dieTemperaturen T1 und T2 in den Punkten B undD abgelesen. Die Siedetemperatur TS ist für den gemesse-nen Luftdruck einer Tabelle zu entnehmen.

Grundpraktikum II W 6 Spezifische Wärmekapazität von Metallen

46

Abb.1: Temperatur-Zeit-Diagramm

cCm

Qm T

. (1)

Die Massen mW und mD sind aus den Massenm0…m2 zu berechnen. Die spezifische Kondensationswärme desWasserdampfes und ihre Messunsicherheitsind nach Gl.(8) zu berechnen.

Wärmekapazität CK des Kalorimetergefäßesmit Rührer: CK = (70 ± 8) J K1

spezifische Wärmekapazität des Wassers: cW = 4187 J kg-1 K-1

5.2 Auch für die Bestimmung der spezi-fischen Schmelzwärme sind die Temperatu-ren T1 und T2 aus einem Temperatur-Zeit-Diagramm entsprechend Abb.1 (jedoch mitfallendem Temperaturverlauf) zu ermitteln.

Die Berechnung erfolgt nach Gl. (10).

Vergleichen Sie beide Ergebnisse mit denLiteraturwerten!

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Beschreiben isotherme, isobare, adiaba-tische Zustandsänderungen!

7.2 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

7.3 Wann ist die Zustandsgleichung desidealen Gases und wann die VAN-DER-WAALS-Gleichung anwendbar?

7.4 Was besagt die Clausius-Clapeyron-Gleichung?

1 Aufgabenstellung

Die spezifische Wärmekapazität von dreiverschiedenen Metallen ist zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Wärmekapazität C ist definiert als dasVerhältnis zwischen der dem Körper zu-geführten Wärme Q und der dadurch hervor-gerufenen Temperaturerhöhung ΔT. Die

spezifische Wärmekapazität c ist die Wärme-kapazität pro Masseneinheit:

Für einfache Stoffe wie Gase und Metalleergibt sich die spezifische Wärme mit guterGenauigkeit aus der klassischen kinetischenWärmetheorie. Danach beträgt die mittlerekinetische Energie der Teilchen pro Freiheits-grad der Bewegung 1/2 kT. Nimmt man 6Freiheitsgrade für die Metallatome an, so

Spezifische Wärmekapazität von Metallen W 6


47

2

2 1 2 1

M W K

M M H

W W K

Q Q Q

m c T T

m c T T C T T

(4)

2 1

2

.W W K

M

M H

m c C T Tc

m T T

(5)

Q C T T m c T 2 1 (3)

ergibt sich die Regel von DULONG und PETIT

für die molare Wärmekapazität (Wärme-kapazität pro Stoffmenge) cm = C/n:

(NA: Avogadrokonstante, k: Boltzmannkon-stante R: Gaskonstante)

Um eine Substanz der Temperatur T1 auf eineTemperatur T2 = T1 + ΔT zu erwärmen, mussihr die Wärmemenge

zugeführt werden.Die Messung der spezifischen Wärmekapazi-tät geschieht in einem Mischungskalorimeter.Das Kalorimetergefäß hat die Wärmekapazi-tät CK. Im Kalorimetergefäß befindet sichWasser der Masse mW und der spezifischenWärmekapazität cW. Gefäß und Wasser habenzunächst die Temperatur T1. Dann wird einheißes Metallstück der Masse mM mit derTemperatur TH in das Kalorimeter eingeführt.Durch Wärmeaustausch stellt sich nacheiniger Zeit die Mischtemperatur T2 ein.Bei diesem Vorgang gibt der Metallkörper dieWärmemenge QM ab, das Wasser nimmt dieWärmemenge QW und das Kalorimeter dieWärmemenge QK auf. Nach dem Energie-erhaltungssatz gilt:

Für die spezifische Wärmekapazität cM desMetalls ergibt sich daraus:

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Kalorimeter (vakuumisoliert)

- Magnetrührer, Rührstäbchen- Digitalthermometer (Auflösung 0,01 K)- 3 Probekörper- Gefäß zur Erwärmung der Probekörper- Laborkocher- Stoppuhr- Laborwaage (Genauigkeit 0,1 g)

3.1 Das Kalorimeter besteht aus einemdoppelwandigen Edelstahlgefäß und einemdurchsichtigen Deckel mit einem passendenLoch zur Aufnahme des Thermometers. Derherausnehmbare innere Teil des Deckelsbesitzt einen Schlitz zum Einhängen desProbekörpers.


Zunächst werden die Massen der ProbekörpermM bestimmt. Die Masse des Kalorimeters (mit Rührstäb-chen) wird in leerem Zustand und nach demEinfüllen von etwa 500 ml Wasser bestimmt;die Wassermasse mW ergibt sich als Differenzaus diesen beiden Wägungen. Die Wasser-temperatur sollte möglichst etwas unterRaumtemperatur liegen.Üben Sie einmal, einen Probekörper mög-lichst schnell und ohne anzustoßen in dasKalorimeter einzuhängen.

Die Probekörper sind in siedendem Wasser zuerwärmen. Es ist darauf zu achten, dass dieKörper vollständig eintauchen und genügendlange (etwa 10 min) im Wasserbad verweilen,damit die Zuordnung der Siedetemperatur beigegebenem Luftdruck zur Körpertemperaturdes erwärmten Probekörpers gerechtfertigt ist.Die Probekörper dürfen weder den Rand nochden Boden des Gefäßes berühren.Während des gesamten Experiments muss derRührer gleichmäßig laufen.

Bei der Bestimmung der Temperaturen T1 undT2 für alle drei Probekörper soll der Wärme-austausch zwischen Kalorimeter und Umge-bung wie in Versuch W5, Abb.1, berück-sichtigt werden. Deshalb ist der Temperatur-

-1 -16 3 24,9 J mol K2m Ac N k R (2)


48

verlauf im Kalorimeter über einen längerenZeitraum zu registrieren, indem in Abständenvon 30 Sekunden die Anzeige des Thermo-meters protokolliert wird. Am besten gehtman nach folgendem Plan vor:

t / min

0 Beginn der Temperaturmessung(Vorperiode)

5 Körper 1 in Kalorimeter tauchen

10 Körper 1 herausnehmen


16 Körper 2 herausnehmen


23 Ende der Messung (Nachperiode)

Nach Beendigung der Messreihe wird dieMasse des wassergefüllten Kaloriemeters (imgleichen Zustand wie bei der Wägung zuBeginn) noch einmal bestimmt, um denEinfluss des mit den Probekörpern ver-schleppten Wassers abzuschätzen.Für die Bestimmung der Siedetemperatur TB

wird der Luftdruck am Barometer im Raumabgelesen und aus der Umrechnungstabelledie Siedetemperatur ermittelt.

5 Auswertung

Zur Bestimmung der Temperaturdifferenzen(T2 T1) wird der tatsächliche Temperatur-anstieg auf eine sehr kleine Anstiegszeitkorrigiert. Hierzu geht man analog zu Ver-such W5 vor (vergl. W5, Abb.1).Der Temperaturverlauf im Kalorimeter wirdin Abhängigkeit von der Zeit grafisch dar-gestellt. Die Bestimmung von T1 und T2 kannfür alle drei Probekörper in einem Diagrammvorgenommen werden. Die spezifische Wärmekapazität der Metalle

ist nach Gleichung (5) zu berechnen. Dabeisind folgende Werte zu verwenden:

spezifische Wärmekapazität des Wassers: cW = 4187 J kg-1 K-1

Wärmekapazität des Gefäßes mit Rührer: CK = (70 ± 8) J K-1

Die Siedetemperatur des Wassers ist anhanddes gemessenen Luftdrucks einer Tabelle zuentnehmen.Mit Hilfe der Messergebnisse (und unterBerücksichtigung von Aussehen und Ge-wicht) sind die unbekannten Metalle zubestimmen.Berechnen Sie aus der spezifischen Wärmedie molare Wärmekapazität der drei Metalleund diskutieren Sie das Ergebnis.

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Erläutern Sie die Begriffe Wärmekapazi-tät, Temperatur, abgeschlossenes thermo-dynamisches System, thermodynamischesGleichgewicht!

7.2 Nennen Sie Temperaturmessverfahren!

7.3 Erläutern Sie den ersten und zweitenHauptsatz der Thermodynamik!

7.4 Welche Modellvorstellungen gibt es zurmolaren Wärmekapazität?

Grundpraktikum II W 10 Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS

49

.L L

MD

M

(2)

g28,98 .

molM D (3)

LA LF V g m g

(4)

38gcmL L

a am g m g m g m g

(5)

3

1.

1 8 gcmL

a

L

m m

(6)

1 1

2 2

.M

M

(1)

1 Aufgabenstellung

Die relative Dampfdichte und die Molmassevon Ethanol sind zu bestimmen.


Nach der Formulierung des AVOGADROschenGesetzes 1811 (alle Gase besitzen bei glei-chem p und T die gleiche Teilchenzahl proVolumen) leistete JEAN B. A. DUMAS mit sei-nem Verfahren zur Bestimmung der Dampf-dichte 1826 einen wichtigen Beitrag auf demWeg zum Periodensystem der Elemente(MENDELEJEW 1869). Das Verfahren besitztheute keine praktische Bedeutung mehr,eignet sich aber gut zu Übungszwecken.

Die Dichten zweier idealer Gase verhaltensich wie ihre Molmassen:

Die relative Dampfdichte D eines Gases istdas Verhältnis der Dichte ρ des Gases zurLuftdichte ρL bei gleicher Temperatur undgleichem Druck:

Die Molmasse von Luft beträgt 28,98 g/mol,somit gilt:

Die Molmasse M eines Stoffes kann mit Hilfeder Bestimmung der relativen Dampfdichte Dermittelt werden.Zur Bestimmung der Massen wird eineelektronische Analysenwaage verwendet. Beisehr genauen Wägungen (wenn eine relativeGenauigkeit besser als 10-3 erwünscht ist)muss die Auftriebskraft berücksichtigt wer-

den, die der zu wägende Körper der Masse mund Dichte ρ in Luft mit der Dichte ρL erfährt.Die Auftriebskraft FA ist gleich der Gewichts-kraft der vom Körper verdrängten Luft:

V = m/ρ: verdrängtes Volumen; g = 9,81 m/s².

Ebenso erfährt das Prüfgewicht bei der Justie-rung der Waage einen Auftrieb. Die Dichtevon Prüfgewichten für Präzisionswagen iststandardisiert und beträgt 8000 kg/m3. Bezeichnet man die Anzeige der Waage mitma , so ist wegen des Kräftegleichgewichts

bzw.

Bei dem Verfahren nach DUMAS zur Be-stimmung der Dampfdichte befindet sich ineinem Glaskolben mit angesetztem Rohrzunächst Luft der Umgebungstemperatur T1.Nun wird eine ausreichende Menge der zuuntersuchenden Substanz (Ethanol) in denKolben gegeben und im Wasserbad erhitzt,bis sie restlos verdampft ist. Dabei verdrängtder Ethanoldampf die im Kolben verbliebeneLuft, so dass am Ende der Kolben vollständigmit Ethanoldampf der Temperatur T2 desWasserbades gefüllt ist. In diesem Zustandwird der Kolben durch Abschmelzen ver-schlossen, abgekühlt und gewogen. Danachwird der Kolben unter luftfreiem Wassergeöffnet. Dabei füllt das einströmende Wasserden Kolben fast vollständig; anhand seinerMasse kann das Volumen des Kolbens be-stimmt werden.Der Glaskolben habe die Masse mk, dieDichte ρk und das innere Volumen V. Mit ihmsind im Verlauf des Experimentes drei Wä-

Bestimmung der Dampfdichte nach DUMAS W 10


50

22

1

.E E

T

T (13)

2 1 3 2

2

3 1 1

w

E L

L

m m m mT

Dm m T

(14)1 3

1

1 8 gcmL K

k

L

m m

(7)

0 1 0

0 1

L

p T

p T

(15)

2 3

22 3

1

1 8gcm

1

1 8gcm

L Kk

L

L EE

L

m m

V

(8)

3 3

3

1

1 8gcm

1

1 8gcm

L Kk

L

L WW

L

m m

V

(9)

2 1 3 2

2

3 1

.

w

E L

L

m m m m

m m

(10)

1 1 2 2

1 2

p V p V

T T

(11)

1 2

1 1 2 2

.p p

T T

(12)

gungen durchzuführen; m1, m2 und m3 be-zeichnen die von der Waage angezeigtenWerte:

1. Wägung: offener Kolben mit Luft bei derTemperatur T1:

2. Wägung: verschlossener Kolben mitEthanol, ρE2 = Dichte von Ethanoldampf beider Temperatur T2:

3. Wägung: Kolben mit Wasser gefüllt, ρw =Dichte des Wassers bei T3 (T3T1):

Aus den Gleichungen (7), (8) und (9) folgt:

Da die relative Dampfdichte D das Verhält-nis der Dichten bei gleicher Temperatur undgleichem Druck ist, muss die Dichte vonEthanol entsprechend umgerechnet werden.Es gilt (für ideale Gase):

bzw.

Mit T1 der Raumtemperatur, T2 der Tempera-tur des gasförmigen Ethanols und p1 = p2

ergibt sich für die Ethanoldichte ρE bei T1:

Aus Gleichung (10) wird damit:

Die Dichte der Luft für die RaumtemperaturT1 und den Luftdruck p1 berechnet man nach

mit ρ0 = 0,001293 g /cm³: Dichte der Luft beiT0 = 273,15 K (= 0°C) und p0 = 101325 Pa.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Kolben mit Ansatzrohr- Stativ mit Halterung für den Kolben- Bunsenbrenner- Kocher mit Wassertopf- Wasserbehälter mit Thermometer- Pinzette- Fläschchen mit Ethanol (Reinheit 99,5 %)- 2 Waagen (0,1 mg und 0,1 g)

3.1 Für die 1. und 2. Wägung wird eineelektronische Analysenwaage mit einerGenauigkeit von 0,1 mg, für die 3. Wägung(Kolben mit Wasser) eine Waage mit einerGenauigkeit von 100 mg verwendet.Für das Füllen des Kolbens mit Wasser (3.Wägung) steht ein großer, mit Wasser gefüll-ter Behälter zur Verfügung. Es darf keinfrisches Leitungswasser verwendet werden, dadieses noch gelöste Gase enthält.


Arbeitsschutzhinweise:Arbeiten Sie nicht unmittelbar neben der


51

offenen Flamme mit Ethanol!Nachdem der Kolben in 4.2 aus dem Was-serbad entnommen wurde, darf er nichtwieder in die Flamme gehalten werden!Bei Undichtigkeiten könnte Luft angesaugtwerden; Gemische von 3,5…15 Vol%Ethanoldampf mit Luft sind explosiv!Während der Arbeit mit dem Brenner istdie Schutzbrille zu tragen!

Das Ansatzrohr des Kolbens wird am offenenEnde mit dem Bunsenbrenner erhitzt und dasRohrende mit der Pinzette zu einer Kapillareausgezogen. Die Kapillare wird an geeigneterStelle mit der Pinzette abgebrochen, optimalist ein Durchmesser von etwa 0,5 mm an derÖffnung. Die Masse des offenen Kolbens(mit Luft) ist zu bestimmen: 1. Wägung (m1).

Zum Einfüllen von etwa 2 ml Ethanol in denKolben wird dieser leicht erwärmt, die Kapil-lare in das Ethanol eingetaucht und dasEthanol durch Abkühlung des Kolbensangesaugt. Der Kolben ist nun mit der Halte-rung in das Wasserbad zu bringen, wobei derkugelförmige Teil des Kolbens völlig unter-tauchen muss. Das Wasser wird mit demKocher bis zum Sieden erwärmt; es muss biszum Abschmelzen der Kapillare weitersieden. Wenn das Ethanol vollständig ver-dampft ist (aus der Kapillare strömt nichtsmehr aus), wird die Öffnung der Kapillaremit dem Bunsenbrenner zugeschmolzen.Nach Trocknung und Abkühlung wird dieMasse des geschlossenen Kolbens mit Etha-nol bestimmt: 2. Wägung (m2).

Danach bringt man den Kolben in den gro-ßen, mit Wasser gefüllten Behälter und brichtdie Spitze unter Wasser ab. Der Kolben fülltsich mit Wasser, wobei das Ansatzrohrimmer unter Wasser bleiben muss!

Die Masse des abgetrockneten Kolbens mitWasser ist zu bestimmen: 3. Wägung (m3).Außerdem sind die Werte für die Raum-temperatur T1 , die Wassertemperatur T3 undden Luftdruck p1 zu ermitteln.

5 Auswertung

Die Siedetemperatur des Wassers T2 beimherrschenden Luftdruck p1 und die Dichte desWassers ρw bei der Temperatur T3 sind ausTabellen zu entnehmen. Die relative Dampfdichte D wird mit Hilfeder Gleichungen (14) und (15) berechnet unddie Molmasse M wird nach Gleichung (3)ermittelt.In der Fehlerbetrachtung sollen nicht nur dieUnsicherheiten der Messungen sondern auchalle systematischen Fehlerquellen (Es gibtmehrere!) quantitativ abgeschätzt werden.

6 Literatur

Ilberg: Physikalisches Praktikum. B.G. Teub-ner 1974

7 Kontrollfragen

7.1 Bei der 2. Wägung (nach dem Ab-schmelzen) ist zu beobachten, dass sichFlüssigkeit im Kolben befindet. Warum?

7.2 Warum wird zum Füllen des Kolbensvor der 3. Wägung kein (frisches) Leitungs-wasser benutzt, sondern abgestandenesWasser aus einem Behälter?

7.3 Nach dem Füllen bleibt eine kleineGasblase im Kolben. Warum? Schätzen Sieden Fehler ab, der dadurch entsteht!

Grundpraktikum II W 12 Luftfeuchtigkeit

52

U TT . (1)

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement f

p

pr

d

S

. (3)

fm

Va

d . (2)

1 Aufgabenstellung

1.1 Ein Kupfer-Konstantan-Thermoelementist zu kalibrieren.

1.2 Die relative Luftfeuchtigkeit ist mitHilfe eines Taupunkt-Hygrometers zu be-stimmen.

1.3 Das RAOULTsche Gesetz (Dampfdruck-erniedrigung in Lösungen) ist qualitativ zubestätigen.


2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempe-raturgradienten eine elektrische Potentialdif-ferenz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt),die jedoch nicht unmittelbar messbar ist.Vereinfacht gesehen, verhalten sich dieLadungsträger im Leiter wie die Teilcheneines idealen Gases: Ladungsträger von derwärmeren Seite mit höherer kinetischerEnergie diffundieren schneller zur kaltenSeite als umgekehrt; auf diese Weise entstehtauf der kalten Seite ein Überschuss an La-dungsträgern, der durch die entstehendePotentialdifferenz begrenzt wird.Verbindet man zwei verschiedene Leiter, z.B. Kupfer und Konstantan wie in Abb.1, zueinem Stromkreis und bringt die beidenKontaktstellen auf verschiedene Temperatu-ren T0 und T1, so entstehen in den beidenLeitern unterschiedliche innere Potentiale.Zwischen den Punkten A und B tritt die

Differenz der beiden Potentiale auf, diesogenannte Thermospannung. Dies wird alsSEEBECK-Effekt bezeichnet.(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und dasMessgerät, isotherm sein.) In vielen älteren Lehrbüchern wird die Ther-mospannung falsch als „Kontaktspannung“erklärt. Dies ist nicht richtig! (siehe Litera-turhinweis)

Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapazität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Compu-ter, Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen

2.2 Luftfeuchtigkeit nennt man den Gehaltder Luft an Wasserdampf. Die absolute Luftfeuchtigkeit fa ist dieWasserdampfmasse md pro Volumen V derLuft:

Die relative Luftfeuchtigkeit fr ist das Ver-hältnis der vorhandenen Wasserdampfmengezur Sättigungsmenge bzw. das Verhältnis desvorhandenen Dampfdruckes pd zum Sätti-gungsdampfdruck pS bei der vorliegendenTemperatur T :

Luftfeuchtigkeit W 12


53

fp T

p T

p

p Tr

d

S

S

S

( )

( )

( )

( ).

(5)

p

p

p p

px

n

n nS

S S L

S

,.2

1 2

(4)

Die relative Luftfeuchtigkeit wird meist inProzent angegeben.In einem geschlossenen Gefäß, in dem sichreines Wasser und darüber Luft befinden,verdampft ein Teil des Wassers, bis der Raumoberhalb der Flüssigkeit mit Wasserdampfgesättigt ist. Es bildet sich im thermodyna-mischen Gleichgewicht der Sättigungsdampf-druck pS aus, der nur von der Art der Flüs-sigkeit (hier Wasser) und von der Temperatur(etwa exponentiell) abhängt. Die relativeLuftfeuchtigkeit beträgt in diesem Fall100 %. Ist die Flüssigkeit im geschlossenen Gefäßeine wässrige Lösung, so ist der Sättigungs-dampfdruck über der Lösung entsprechenddem RAOULTschen Gesetz um Δp verringert.Diese Dampfdruckerniedrigung ist unabhän-gig von der Art des gelösten Stoffes, sie hängtnur von der Anzahl der gelösten Teilchen ab:

Dabei ist x der Molenbruch des gelöstenStoffes (n2: Menge der gelösten Teilchen, n1:Teilchenmenge des Lösungsmittels), pS ist derSättigungsdampfdruck des reinen Lösungs-mittels und pS,L der der Lösung. Bei derBestimmung von x muss die Dissoziation desgelösten Stoffes berücksichtigt werden. DasRaoultsche Gesetz gilt nur für n2 n1, beihöheren Konzentrationen x ist die beobachte-te Dampfdruckerniedrigung geringer. Infolgedes Raoultschen Gesetzes ist die Luftfeuch-tigkeit über einer Lösung kleiner als 100 %.

Ist bei der Temperatur T die Luftfeuchtigkeitim Raum kleiner als 100 %, so kann man100 %ige Luftfeuchtigkeit erreichen, indemman die Temperatur erniedrigt. Ab einerbestimmten Temperatur τ, dem Taupunkt,kondensiert der Wasserdampf und schneidetsich z. B. auf einer Oberfläche ab. Dies dientzur Messung der Luftfeuchtigkeit mit einemTaupunkthygrometer: Anhand der Tempera-tur τ kann der zugehörige Sättigungsdampf-druck pS(τ) ermittelt werden, der gleich demDampfdruck pd(T) ist. Die relative Luftfeuch-tigkeit fr ergibt sich dann aus

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Taupunkthygrometer (Alu-Grundkörper

mit Peltierkühler, Metallspiegel, Thermo-element und Lichtschranke, Abdeckhaube)

- Steuergerät für Lichtschranke- Stromversorgungsgerät für Peltierkühler- Kupfer-Konstantan-Thermoelement, eine

Lötstelle in Röhrchen mit Gallium- Becherglas, Isoliergefäß, flache Schale- Flasche mit 3 molarer CaCl2-Lösung- Sensor-Cassy mit μV-BOX

- Computer, CassyLab-Software

3.1 Zur Kalibrierung des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes dienen zweiFixpunkte: der Schmelzpunkt von Wasserund der von Gallium (TS = 29,76 °C). DieThermospannung wird mittels Sensor-Cassy/μV-Box und Computer gemessen.

Eine Kurzanleitung zur Benutzung der Cassy-Lab Software befindet sich im Anhang.

3.2 Das Taupunkthygrometer (Abb.2)besitzt eine abkühlbare, spiegelnde Metallflä-che (polierter Aluminiumblock), deren Tem-peratur gemessen und deren Bedeckung mitkondensiertem Wasserdampf beobachtetwerden kann. Zur Temperaturerniedrigungdient ein Halbleiterkühlelement (Nutzung desPeltier-Effektes), das mit Hilfe eines Strom-versorgungsgerätes als Konstantstromquellemit 0,1...1 A betrieben wird. Die Temperatur-messung erfolgt mit einem Kupfer-Konstantan-Thermoelement, dessen Mess-stelle sich im Aluminiumblock befindet unddie Vergleichsstelle bei 0°C in einem Eis-Wasser-Gemisch. Die Thermospannung wirdmit der μV-Box des Sensor-Cassy gemessenund mit Hilfe des Computers registriert.Zur reproduzierbaren Beobachtung derWasserdampf-Kondensation dient eineReflexlichtschranke mit Anzeige-LED und


54

Relaisausgang. Das Relais der Lichtschrankeermöglicht eine einfache Temperaturregelungzum Erreichen des Taupunktes, indem es denKühlerstrom entsprechend der Betauung desSpiegels automatisch ein- und ausschaltet.

3.3 Das Taupunkthygrometer befindet sichzusammen mit einer Schale mit Wasser bzw.3 molarer CaCl2-Lösung unter einer Plastik-haube.


4.1 Die Schaltung wird entsprechend Abb. 1aufgebaut. Als Spannungsmesser dient dieμV-Box des Sensor-Cassy. Starten Sie dasProgramm CASSYLab-W12 erst, nachdemdas Messgerät mit Strom versorgt ist. AlleEinstellungen im Programm (Messbereich,Messintervall etc.) sind bereits richtig vor-eingestellt. Mit der Taste F9 oder Mausklick

auf wird die Aufzeichnung einer Mess-reihe gestartet und auch wieder beendet.Das Isoliergefäß wird mit gestoßenem Eisund (nicht zuviel) Wasser gefüllt, das Becher-glas mit heißem Wasser. Die Vergleichs-Lötstelle des verwendeten Thermoelementswird in das Eis-Wasser-Gemisch getaucht.Zur Kalibrierung des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes wird eine Messreihegestartet und das Röhrchen mit Gallium indas heiße Wasser getaucht. Bei einer Tempe-ratur von T1 = 29,76°C schmilzt das Gallium,so dass die Spannungs-Zeit-Kurve einenHaltepunkt aufweist, bis das gesamte Galliumgeschmolzen ist. Bringt man danach dasRöhrchen in das Becherglas mit dem Eis-

Wasser-Gemisch, so zeigt der Spannungsver-lauf bei T1 = 29,76°C wieder einen Halte-punkt (evtl. erst nach einer Unterkühlung derGalliumschmelze). Aus dem Mittelwert derHaltepunkte beim Schmelzen und beimErstarren des Galliums wird mit (1) derSeebeck-Koeffizient α des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes berechnet.4.2 Die Versuchsanordnung ist entsprechendAbb.2 aufzubauen. Die Vergleichs-Lötstelledes Thermoelements des Taupunkthygro-meters muss sich im Eis-Wasser-Gemischbefinden. Die Thermospannung wird wieunter 4.1 mit Hilfe des Computers registriert.Der Schaltzustand der Lichtschranke wirddurch eine LED signalisiert. Die Komparator-schwelle wird so eingestellt, dass bei nichtbeschlagenem Spiegel gerade noch Reflexionangezeigt wird (LED leuchtet), bei beschlage-nem Spiegel jedoch die LED erlischt. Nach dem Start einer Messreihe in CassyLabwird die Stromversorgung des Kühlers einge-schaltet und die Thermospannung registriert(Kühlerstrom I 1 A mittels Stromreglereinstellen). Die LED der Lichtschrankeleuchtet. Wenn der Taupunkt unterschrittenwird, erlischt die LED und der Kühlerstromwird durch das Relais unterbrochen. DieTemperatur im Taupunkthygrometer steigtwieder; der Belag auf der Spiegelflächeverdampft, so dass die LED wieder aufleuch-tet und der Kühler automatisch wieder einge-schaltet wird. Auf diese Weise ergeben sich„Regelschwingungen“ um die Thermospan-nung, die dem Taupunkt entspricht. DieRegelung funktioniert am besten, wenn derKühlerstrom so eingestellt wird, dass Abkühl-

Abb.2: Versuchsaufbau zur Be-stimmung der Luftfeuchte


55

n nV n M

M1

H2O

CaCl2 CaCl2

H2O

. (7)

m m

V

n M n M

V

CaCl2 H2O

CaCl2 CaCl2 H2O H2O .

(6)

n n2 3 CaCl2 . (8)

und Aufheizgeschwindigkeit etwa gleichsind. (Warum?) Es werden etwa 10 Regel-schwingungen aufgezeichnet. Nach Beendi-gung der Messung ist der Kühler auszu-schalten.Die Thermospannung am Taupunkt ist durchMittelwertbildung im Programm CassyLab zubestimmen.

4.3 Zum Nachweis des Raoultschen Ge-setzes wird neben das Hygrometer eineSchale mit Wasser gestellt, dessen Tempera-tur gleich der Raumtemperatur ist. Hygro-meter und Wasserschale werden gemeinsammit der Plastikhaube abgedeckt. Die Luft-feuchtigkeit unter der Haube wird nun lang-sam bis auf nahezu 100 % ansteigen. Nach20…30 min wird die Messung gestartet undder Kühlerstrom eingeschaltet (günstig sindhier etwa 0,2…0,5 A). Die Thermospannungwird solange aufgezeichnet, bis sich derTaupunkt nicht mehr ändert (etwa 5 min). Der Versuch wird wiederholt, wobei dieSchale nun mit 3 molarer CaCl2-Lösunggefüllt ist. Die o.g. Wartezeit ist wiedereinzuhalten; die Messkurve wird in das selbeDiagramm geschrieben.Die Thermospannungen am Taupunkt werdendurch Mittelwertbildung im ProgrammCassyLab bestimmt.

Die CaCl2-Lösung wird nach Versuchs-ende wieder in die Flasche zurück gefüllt!

5 Auswertung

5.1 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Der Seebeck-Koeffizient α des Kupfer-Konstantan-Thermoelementes ist nach Gl. (1)zu berechnen.

5.2 Das Messdiagramm UT(t) ist auszudru-cken. Die Raumtemperatur und der Taupunktsind aus UT zu ermitteln. Die relative Luft-feuchtigkeit fr wird nach (5) berechnet, wobeidie Sättigungsdampfdrücke der beiliegendenTabelle entnommen werden.

5.3 Die Taupunkte und die relativen Luft-feuchtigkeiten über Wasser und 3 molarerCaCl2-Lösung (Dichte: 1,25 g cm-3, Dissozia-

tionsgrad 100%) werden wie unter 5.2 er-mittelt. Die durch Dampfdruckerniedrigungnach dem Raoultschen Gesetz zu erwartendeLuftfeuchtigkeit über der CaCl2-Lösung istmit Hilfe Gl. (4) zu berechnen. Die gemesse-nen Luftfeuchtigkeiten sind mit den theore-tisch erwarteten Werten zu vergleichen.

Hilfe zur Berechnung des Molenbruches:mCaCl2 und mH2O sind die Massen, nCaCl2 undnH2O die Stoffmengen und MCaCl2 und MH2O

die Molmassen der CaCl2- und der H2O-Moleküle in V = 1 l Salzlösung. Dann ist dieDichte der Lösung

Daraus ergibt sich die Teilchenmenge desLösungsmittels

Wegen der Dissoziation ist die Menge dergelösten Teilchen

6 Literatur


Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physika-lische Praktikum, Springer, Berlin u.a.. 2006

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie die Entstehung von Wetter-erscheinungen wie Regen, Nebel, Tau!

7.2 Wie funktioniert ein Thermoelement?

7.3 Bei welcher Temperatur siedet eineSalzlösung (in Wasser)?

Grundpraktikum II W 16 Wärmeleitung von Metallen

56

Abb. 1: Stationärer Temperaturgradient

J m

s m K

WK m

.2 (3)

ddQt

(1)

A

T T

x x2 1

2 1

. (4)

ATx

dd

. (2)

1 Aufgabenstellung

1.1 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonEisen und Messing nach dem stationärenAbsolutverfahren.

1.2 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit vonMessing nach dem stationären Vergleichs-verfahren.

2 Grundlagen

Auf der ungeordneten, thermischen Bewe-gung der Moleküle eines Körpers (BROWN-sche Bewegung) beruhen zwei grundlegendephysikalische Phänomene, die allgemein alsTransportvorgänge bezeichnet werden: dieWärmeleitung und die Diffusion. Während bei der Wärmeleitung thermischeEnergie vom wärmeren zum kälteren Bereichtransportiert wird, handelt es sich bei derDiffusion um einen auf einen Konzentrations-ausgleich gerichteten makroskopischenTeilchenstrom. Beide Prozesse sind mit einerZunahme an Entropie verbunden.Als Wärmestrom

bezeichnet man die pro Zeiteinheit trans-portierte Wärmemenge Q.

Besteht in einem Material ein Temperatur-gradient (in x-Richtung), so fließt durch einenQuerschnitt A der WärmestromDas Minuszeichen in (2) berücksichtigt, dassdie Wärmeleitung entgegengesetzt zumTemperaturgradient erfolgt. Die Materialkon-stante λ heißt Wärmeleitfähigkeit und hat dieSI-Einheit

Gleichung (2) ist analog zum 1. FICKschenGesetz der Diffusion (siehe Versuch W25).In Abb.1 sind zwei Wärmereservoire unter-schiedlicher aber fester Temperatur T1 und T2

(T1 > T2) gezeigt, die über einen Stab derLänge Δx = x2 - x1 thermisch miteinanderverbunden sind. Nach einiger Zeit stellt sichein stationäres Temperaturgefälle (T2-T1)/(x2-x1) über die gesamte Stablänge ein, d. h. derTemperaturgradient dT/dx = ΔT/Δx ist orts-unabhängig und der Wärmestrom ist zeitlichkonstant. Damit wird aus (2):

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Anordnung von Metallstäben mit Thermo-

elementen und Heizung (Abb.2)- Stromversorgungsgerät- 2 Vielfachmesser- Nanovoltmeter

Wärmeleitung von Metallen W 16

Grundpraktikum II W 16 Wärmeleitung von Metallen

57

Abb.2: Messanordnung zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit

- Messstellenumschalter- Verbindungsleitungen- Thermometer

3.1 Den Aufbau der Messanordnung zeigtAbb.2. Mit Hilfe des Heizers wird ein kon-stanter Wärmestrom Φ erzeugt, der durch denEisen- und Messingstab in die große Metall-platte (großes Wärmereservoir) fließt und sofür ein nahezu konstantes Temperaturgefällesorgt. Mit Hilfe der fest eingebauten Kupfer-Konstantan-Thermoelemente werden dieTemperaturdifferenzen ΔT = T2 - T1 ent-sprechend (4) gemessen, Δx ist der Abstandzwischen den Lötstellen der Thermoelemente.Die Temperaturdifferenzen ergeben sich ausden mit einem hochempfindlichen Nanovolt-meter gemessenen Thermospannungen UT

entsprechend

(siehe auch Versuch E10). Der schwachtemperaturabhängige Seebeck-Koeffizient αist einer Grafik zu entnehmen; die mittlereTemperatur der Thermoelemente ist hierfürzu schätzen.


Die Schaltung nach Abb.2 wird aufgebaut.Die Messungen werden bei zwei verschiede-nen Heizleistungen durchgeführt. Zuerst wirdeine Heizspannung von etwa 10 V eingestellt.Alle 2 Minuten sind die ThermospannungenUT, Fe und UT, Ms der beiden Thermoelementezu protokollieren. Nach Erreichen des statio-nären Zustandes (nach mindestens 30 Minu-ten) sind die Temperatur am Messaufbausowie Strom I und Spannung U am Heizer zumessen.Die Messung wird bei einer Heizspannungvon etwa 20 V zu wiederholt. (Dabei musswieder der stationäre Zustand abgewartetwerden.)

5 Auswertung

Für beide Messungen (10 V und 20 V) sinddie Thermospannungen UT, Fe und UT, Ms inAbhängigkeit von der Zeit graphisch dar-zustellen und zu diskutieren.Die Temperaturdifferenzen ΔTFe und ΔTMs im

T UT 1

(5)

Wärmelehre W 21 Reales Gas

58

U I . (6)

U I x

A T

. (7)

Fe

Fe Fe

Fe

A T

x. (8)

Ms Fe

Fe Fe Ms

Ms Ms Fe

A T x

A T x

. (9)

stationären Zustand sind nach Gl. (5) zuermitteln, wobei der Seebeck-Koeffizient αbei der geschätzten mittleren Temperatur desEisen- bzw. des Messingstabes eingesetztwerden muss.

Zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit gibtes bei der gegebenen Versuchsanordnungzwei Möglichkeiten:

5.1 Beim stationären Absolutverfahren gehtman davon aus, dass die elektrisch erzeugteHeizleistung nahezu vollständig durch Wär-meleitung durch den Eisen- und Messingstaban die Grundplatte abgeführt wird:

Damit ergibt sich aus (4):

5.2 Beim stationären Vergleichsverfahrennutzt man die Tatsache, dass der Eisen- undder Messingstab thermisch in Reihe ge-schaltet sind. Sie werden im stationärenZustand vom gleichen Wärmestrom durch-flossen. Ist die Wärmeleitfähigkeit von Eisenbekannt, so ergibt sich der Wärmestrom zu

Setzt man Φ in Gleichung (4) ein, so erhältman

Die Wärmeleitfähigkeiten von Eisen undMessing sind für beide Heizleistungen nachbeiden Verfahren (5.2 nur für Messing) zuberechnen.Die Ergebnisse sind miteinander und mitLiteraturwerten zu vergleichen. Die für beideVerfahren unterschiedlichen systematischenFehler sind abzuschätzen.Für die Berechnung sind folgende Werte zuverwenden:dFe = dMs = 30 mm (Durchmesser der Stäbe)

ΔxFe = 4,0 cm; ΔxMs = 5,0 cm

λFe = 52,3 W m-1 K-1 (für 5.2).

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Was ist Wärmeleitung? Welche Prozes-se spielen dabei eine Rolle?

7.2 Welche systematischen Fehler erkennenSie in der Messanordnung?

7.3 Erklären Sie die Funktionsweise einesThermoelements!

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Isothermen eines realen Gases(Schwefelhexafluorid SF6) sind für fünfverschiedenen Temperaturen aufzunehmenund der kritische Punkt ist aufzusuchen.

1.2 Aus den Messdaten sind die kritischenDaten pk, Vk und Tk, die Stoffmenge und dievan-der-Waals-Koeffizienten zu ermitteln.

1.3 Aus der Dampfdruckkurve pS(T) ist diespezifische Verdampfungswärme zu be-stimmen.

Reales Gas W 21


59

p V N k T n R T (1)

p V R Tm . (2)

pn aV

V nb n R T

2

2 (3)

pa

VV b R T

mm

2 . (4)

Abb.1: Isothermen eines realen Gases nachVAN DER WAALS (Clapeyron-Diagramm)

2 Grundlagen

Im Modell des idealen Gases werden dieGasteilchen als Punktmassen betrachtet, dienur durch ihre Masse und ihre Geschwindig-keit charakterisiert werden. Mit Hilfe derkinetischen Gastheorie findet man in diesemsehr einfachen Modell die Beziehung

zwischen den Zustandsgrößen Druck p,Volumen V und Temperatur T . Dabei bedeuten N : Teilchenanzahl k : Boltzmannkonstante n : Stoffmenge R = NA k : molare Gaskonstante NA : Avogadrokonstante

Führt man das Molvolumen Vm = V / n ein,so vereinfacht sich (1) zu

In vielen Fällen wird das Verhalten realerGase durch (2) recht genau beschrieben. Beigroßen Dichten (d. h. große Drücke oderkleine Temperaturen) gibt es jedoch deutlicheAbweichungen vom “idealen” Verhalten, diedurch das in diesem Fall nicht mehr ver-nachlässigbare Eigenvolumen der Teilchenund durch die vor allem bei kleinen Ab-ständen merklichen attraktiven Wechsel-wirkungen zwischen den Teilchen hervor-gerufen werden.Um zu einer für reale Gase besser geeigneteZustandsgleichung zu gelangen, muss man in(1) bzw. (2) entsprechende Korrekturenanbringen. Damit erhält man die Zustands-gleichung nach VAN DER WAALS

bzw. mit Hilfe des Molvolumens vereinfacht

Die Korrekturen berücksichtigen den Binnen-druck (Kohäsionsdruck) a/Vm

2 sowie das van

der Waals'sche Kovolumen b (das vierfacheEigenvolumen der Teilchen, welches für ihreBewegung nicht zur Verfügung steht).Die van-der-Waals-Gleichung beschreibtauch noch die flüssige Phase zufrieden-stellend. Die Isothermen im p-V-Diagramm(Abb.1) sind Hyperbeln 2. Grades. Für Tem-peraturen T1 < Tk verläuft eine reale Zu-standsänderung im ThermodynamischenGleichgewicht zwischen den Punkten A undB entlang einer Geraden (der “Maxwell-geraden”). Dabei kondensiert das Gas zurflüssigen Phase; in A ist nur Gas, in B nurFlüssigkeit vorhanden. Für T = Tk entartet derBereich zwischen A und B zu einem Punkt.Oberhalb Tk, der kritischen Temperatur, findetkein Phasenübergang mehr statt. Der graueBereich in Abb.1 kennzeichnet das Koexis-tenzgebiet von Flüssigkeit und Gas.

Am kritischen Punkt verschwinden dieUnterschiede in den physikalischen Eigen-schaften zwischen Flüssigkeit und Gas. Aus den kritischen Zustandsgrößen pk, Vk undTk, die experimentell bestimmt werden kön-nen, lassen sich die van-der-Waals-Koeffi-zienten a und b bestimmen. In diesem Punkt

sind 1. und 2. Ableitung und Null

p

V

2

2

p

V

(Horizontalwendepunkt). Aus Gl.(4) folgtdamit:


60

a p V b Vk m k m k 313

2, ,, (5)

limV

p V n R T

(6)

Q Tdp

dTV VG Fl (7)

Abb.2: Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes

mit Vm,k = Vk / n.Die Stoffmenge n kann mit Hilfe folgenderÜberlegung bestimmt werden: Mit wachsen-der Verdünnung (V ) nähern sich dieEigenschaften des realen Gases denen desidealen Gases immer mehr an. Es gilt also

Trägt man pV über 1/V graphisch auf undextrapoliert nach 1/V = 0 (gleichbedeutendmit V ), so kann man aus (6) die Stoff-menge n berechnen.

Im Bereich der Koexistenz von flüssiger undgasförmiger Phase herrscht (im thermodyna-mischen Gleichgewicht) ein konstanterDruck. Dieser heißt Sättigungsdampfdruck pS;er hängt von der Temperatur (und natürlichvom Stoff) ab. Trägt man die bei verschiede-nen Temperaturen gemessenen Sättigungs-dampfdrücke über der Temperatur auf, soerhält man die Dampfdruckkurve.Mit der CLAUSIUS-CLAPEYRON-Gleichung

kann aus der Dampfdruckkurve p(T ) und derDifferenz zwischen Gas- und Flüssigkeits-volumen (siehe Abb.1) die Verdampfungs-wärme Q bestimmt werden. Am kritischenPunkt wird VG = VFl , folglich wird die Ver-dampfungswärme dort Null. Für VG VFL istsie dagegen näherungsweise konstant.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:- Gerät zur Untersuchung des kritischen

Punktes - Umwälzthermostat

3.1 Das Gerät zur Untersuchung des kriti-schen Punktes (Abb.2) besteht aus einer mitQuecksilber gefüllten Kompressionskammermit aufgesetztem Messrohr aus besonders

druckfestem Glas. Das zu untersuchende GasSF6 wird mit einem Handrad in dieses Rohrhinein komprimiert. Am Messrohr ist eineSkale zur Volumenmessung angebracht, mitder Kompressionskammer verbunden ist einManometer zum Messen des Druckes bismaximal 50 bar = 50 105 Pa.Das Messrohr ist von einer transparentenWasserkammer umgeben, welche die Be-obachtung des Testgases gestattet. Die Tem-peratur des Wassers kann mit Hilfe desUmwälzthermostaten geregelt und mit einem(in Abb.2 nicht gezeigten) genauen Thermo-meter gemessen werden.Die kritische Temperatur von SF6 ist 45,6 °C.


Achtung!

Der Maximaldruck von 50 bar darf nichtüberschritten werden. Die Temperaturdarf 60 °C nicht übersteigen.

Nach Beendigung des Versuches ist einVolumen von etwa 4 cm3 einzustellen.


61

Die Isothermen sollen bei 4 Temperaturenunterhalb und einer oberhalb des kritischenPunktes aufgenommen werden (etwa 24 °C,31 °C, 38 °C, 45 °C und 55 °C). Warten Sienach Erreichen der Solltemperatur nocheinige Minuten, bis das Gas in dem dickwan-digen Glasrohr die Temperatur der Umge-bung angenommen hat.Beginnen Sie mit der Messung von p und Vbei V = 4 ml und verringern Sie das Volumenanfangs in Schritten von 0,4 ml. Bei V < 2 mlsollte die Schrittweite auf 0,2 ml und in derUmgebung der Punkte A und B (Abb.1) auf0,1 ml oder noch kleinere Werte verringertwerden. Die Messreihen sind bis zu einemDruck von annähernd 50 bar fortzusetzen(letzter Messpunkt: p = 50 bar einstellen undV ablesen).

Beobachten Sie die Effekte, die in der Nähedes kritischen Punktes auftreten. Beschreibenund erklären Sie Ihre Beobachtungen. Variie-ren Sie hierzu die Temperatur geringfügig(höchstens ± 1 K) um den kritischen Wert.Versuchen Sie, durch geschicktes Experimen-tieren die Veränderung bis nahe an dasvöllige Verschwinden der Phasengrenze zuverfolgen. Folgendes können Sie unter Ande-rem beobachten: übersättigten Dampf, kriti-sche Opaleszenz, Verringerung der Ober-flächenspannung und der Reflektivität derPhasengrenze.

Die kritischen Werte TK, pK und VK sind zuprotokollieren!

5 Auswertung

5.1 Die Isothermen sind in einem p-V-Diagramm graphisch darzustellen und derkritische Punkt ist einzuzeichnen.

5.2 Für die Bestimmung der Stoffmengetragen Sie in einem zweiten Diagramm füralle Messreihen pV über 1/V auf. Auf derlinken Seite (große Volumina, System istvollständig gasförmig) verlaufen diese Kur-ven annähernd linear. Extrapolieren Sie denlinearen Teil der Kurven bis 1/V=0 und

berechnen Sie aus den Werten von pV andieser Stelle jeweils die Stoffmenge n nachGl. (6), sowie deren Mittelwert. Die Extra-polation kann von Hand mit dem Lineal oderin Origin mittels linearer Regression dergeraden Kurventeile erfolgen.Berechnen Sie nach Gl. (5) die van-der-Waals-Koeffizienten a und b.Berechnen Sie die theoretische p-V-Kurveeines idealen Gases der gleichen Stoffmengebei 55 °C im untersuchten Volumenbereich(etwa 0,5...4,5 ml) und zeichnen Sie diesezusätzlich in das Diagramm mit den Mess-kurven aus 5.1 ein.

5.3 Zeichnen Sie die DampfdruckkurvepS (T ) und bestimmen Sie näherungsweiseden Anstieg der Kurve in jedem Messpunkt.Berechnen Sie mit Hilfe von Gl.(7) an jederMesstemperatur T < Tk die molare Verdamp-fungswärme Qm = Q/n. Dabei sind die Volu-mina VG und VFl dem p-V-Diagramm zuentnehmen. Die ermittelten Größen T, pS,dp/dT, VGVFl und Qm sind übersichtlich ineiner Tabelle darzustellen.

Diskutieren Sie alle Ergebnisse und verglei-chen Sie, soweit möglich, mit Literatur-werten.

6 Literatur



7 Kontrollfragen

7.1 Worin unterscheidet sich ein reales vomidealen Gas?

7.2 Welche Phänomene treten in der Nähedes kritischen Punktes auf?

7.3 Wie ist die „kritische Opaleszenz” zuerklären?

Grundpraktikum II E 7 Innenwiderstand von Spannungsquellen

62

Abb.2: Strom-Spannungs-Kennlinie einerSpannungsquelle mit konstantem Innenwider-stand.

Abb.1: Einfacher Stromkreis mit Ersatz-schaltbild einer Spannungsquelle

0 .i LU I R I R (1)

U I RK L . (2)

0 .K iU U I R (3)

IU

R RL i

0 . (4)

1 Aufgabenstellung

1.1 Die Strom-Spannungs-Kennlinienverschiedener Gleichspannungsquellen sindaufzunehmen.

1.2 Die Innenwiderstände dieser Spannungs-quellen sind zu bestimmen.

2 Grundlagen

Die Spannung UK an den Klemmen einerrealen Spannungsquelle ist in der Regel nichtkonstant, sondern von der abhängig von derStärke des Stromes I, den die Quelle liefert.(Daneben gibt es natürlich noch weitereEinflussgrößen wie z.B. Temperatur, Lade-zustand des Akkus oder Beleuchtungsstärkeder Solarzelle.) Die Spannung U0 der unbelasteten Span-nungsquelle (I = 0) nennt man Urspannungoder Leerlaufspannung (früher auch elektro-motorische Kraft, EMK). Jede Spannungs-quelle besitzt durch ihren inneren Aufbaueinen Innenwiderstand, den man in vielenFällen näherungsweise als konstant ansehenkann. Abbildung 1 zeigt das Ersatzschaltbildeiner realen Spannungsquelle: eine Reihen-schaltung der idealen Spannungsquelle U0 mitdem Innenwiderstand Ri.Mit dem Maschensatz ( KIRCHHOFFscheGesetze) folgt für den Stromkreis in Abb.1:

Der Spannungsabfall am Lastwiderstand istgleich der Klemmenspannung:

Damit ergibt sich aus (1):

Für den Strom folgt aus (2) und (3):

Aus Gl. (3) ist zu erkennen, dass die Klem-menspannung linear mit der Strombelastungsinkt. Der Strom wird gemäß Gl. (4) durchden veränderlichen Lastwiderstand RL und dieEigenschaften der Spannungsquelle (U0, Ri)bestimmt. Die grafische Darstellung desZusammenhangs zwischen Klemmenspan-nung und Strom wird als Strom-Spannungs-Kennlinie bezeichnet. Abbildung 2 zeigt eine solche Kennlinie füreine Spannungsquelle mit konstantem Innen-widerstand. Aus der Darstellung geht hervor,dass bei I = 0 die Klemmenspannung UK

gleich der Urspannung U0 ist. Mit abnehmen-dem Lastwiderstand RL steigt der Strom unddie Klemmenspannung sinkt, bis der Span-nungsabfall über Ri den Wert der Urspannungerreicht hat. Jetzt ist der Lastwiderstand Null

Innenwiderstand von Spannungsquellen E 7


63

P P PU

R Rg i Li L

02

. (8)

1 .

1

L L

iG i L

L

P R

RP R R

R

(9)

P U IL K (5)

P

U

R RRL

i L

L

0

2

2 . (6)

P

U

R RRi

i L

i

0

2

2 . (7)

und der Spannungsabfall am InnenwiderstandRi ist gleich der Urspannung U0. Diesen Fallnennt man Kurzschluss. Im Kurzschlussfallwird UK Null und es fließt der maximalmögliche Strom, der Kurzschlussstrom IK.Derartige Kennlinien weisen zum BeispielBatterien (Primärelemente) und Akkumulato-ren (Sekundärelemente) auf, da sie einenrelativ konstanten Innenwiderstand besitzen.Die Kennlinie einer Solarzelle ist nichtlinear,da sie keinen konstanten Innenwiderstandbesitzt. (Solarzellen sind spezielle Halbleiter-dioden, deren Physik im Rahmen diesesExperiments nicht näher betrachtet wird.)

Zur Messung der Spannung U0 werden dieKlemmen der Spannungsquelle mit einemVoltmeter verbunden (Abb.1: Voltmeter anStelle des Lastwiderstandes). In diesem Fallwird der Lastwiderstand RL durch den Innen-widerstand des Voltmeters gebildet. Die vomVoltmeter angezeigte Spannung UK kannunter Umständen signifikant kleiner sein alsdie zu messende Urspannung U0! Dies mussvor allem bei schwachen Spannungsquellenmit großen Innenwiderständen (z.B. Biopo-tentiale, EKG-Signal) berücksichtigt werden.Wenn die Größenordnung von Ri bekannt ist,kann man meist ein geeignetes Spannungs-messverfahren bzw. Messgerät auswählen,bei dem RL Ri ist. Dann gilt IRi UK

bzw. UK U0, d. h. die Urspannung U0 wirdnahezu unverfälscht gemessen. Alternativkann man die Leerlaufspannung auch mitHilfe einer Kompensationsschaltung un-mittelbar bei I = 0 messen.

Die von einer Spannungsquelle gelieferteelektrische Energie soll der Verbraucher(Widerstand RL) nutzen. Da der Verbraucher-oder Laststrom I aber auch durch die Span-nungsquelle fließt, nimmt diese (über denInnenwiderstand Ri) einen Teil der am ge-samten Umsatz beteiligten Leistung auf. Diean den Verbraucher abgegebene Leistung

kann mit Hilfe der Gleichungen (2) und (4)

umgeformt werden zu:

Analog gilt für die in der Spannungsquelleumgesetzte Leistung:

Die gesamte von der Spannungsquelle gelie-ferte Leistung ist damit:

Für den Wirkungsgrad η, das Verhältnis vonNutzleistung zur Gesamtleistung, folgt:

Nach Gleichung (9) steigt der Wirkungsgradmit wachsendem Verhältnis von RL zu Ri an.Um die Verluste innerhalb der Spannungs-quelle gering zu halten, sollte die BedingungRL Ri eingehalten werden, d.h. es muss inLeerlaufnähe gearbeitet werden. Diese Forde-rung gilt für Batterien und Akkus wegenderen endlicher Kapazität (entnehmbareLadung), die üblicherweise in Ah (Ampere-stunden) angegeben wird und die nicht mitder Kapazität eines Kondensators verwech-selt werden sollte.Anders ist die Situation bei Solarzellen, dadie Sonne ja ständig Energie nachliefert. Hierbesteht das Ziel darin, dem Verbraucher einemöglichst hohe Leistung zuzuführen. DerStrom, für den die Leistung PL maximal wird,ergibt sich aus der Bedingung dPL/dI = 0.Aus (5) folgt sich unter der Berücksichtigung,dass UK von I abhängt und mit (2):

L K KK L

dP dU dUU I I R

dI dI dI

(10)


64

Abb.3: Versuchsschaltung

Die Nullstelle und somit die maximaleLeistung ist bei

Diesen Fall nennt man (Leistungs-)Anpas-sung. Bei linearer Strom-Spannungs-Kenn-linie (Ri ist konstant) ergibt sich für denAnpassungsfall aus (11) und (3) die einfacheBeziehung RL = Ri.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte:verschiedene Gleichspannungsquellen:

Alkali-Mangan-Batterie, Bleiakku, Solarzellenmodul

verschiedene Lastwiderstände:Schiebewiderstand 140 Ω, Drehwider-stand 5 Ω, 4 Dekadenwiderstände 1/10/100/1000 Ω

2 Digitalmultimeter1 SchalterVerbindungsleitungen

3.1 Schaltungsaufbau:Zur Aufnahme der Strom-Spannungs-Kenn-linie dient die Schaltung nach Abb.3. AlsSpannungsmesser wird ein Messgerät mithohem Eingangswiderstand verwendet, sodass die Spannungsquelle bei geöffnetemSchalter nur mit einem vernachlässigbarkleinem Strom belastet wird.


Achtung!Bleiakkus liefern sehr hohe Ströme. Durcheinen Kurzschluss können Kabel ver-schmelzen! Falsch angeschlossene Mess-geräte können beschädigt werden! LassenSie die Schaltung vor dem Anschließen derSpannungsquellen kontrollieren!

Machen Sie sich zunächst mit der Funktions-weise der zu verwendenden Lastwiderständevertraut. Dazu stehen Ihnen die Multimeterzur Verfügung, mit denen Widerstände direktgemessen werden können.Die ungefähren Leerlaufspannungen U0 desBleiakkus und der Batterie stehen aufge-druckt an den Geräten. Damit diese beidenSpannungsquellen während der Messungnicht zu stark entladen werden, muss derStrom begrenzt werden auf 3 A für denBleiakku und 200 mA für die Batterie. Be-rechnen Sie aus diesen Werten die erforderli-chen Lastwiderstände RL und entscheiden Siedann, welche Widerstände Sie für die Batterieund den Akku verwenden wollen. Bauen Sie die Schaltung gemäß Abb.3 auf.Stellen Sie die veränderlichen Widerständevor Beginn der Messung so ein, dass diegenannten Ströme in keinem Fall überschrit-ten werden. Für die Kennlinie des Akkus werden minde-stens 10 etwa äquidistante Messpunktezwischen 0 und 3 A gewählt. Die dazugehöri-gen Klemmenspannungen Uk sowie dieUrspannung U0 (bei I = 0) sind zu messen.Für die Kennlinie der Batterie werden eben-falls mindestens 10 etwa äquidistante Mess-punkte zwischen 0 und 200 mA gewählt. Diedazugehörigen Klemmenspannungen Uk unddie Urspannung U0 sind zu messen.

Das Solarzellenmodul darf (im Gegensatz zuBatterie und Akku) bis zum Kurzschlussbelastet werden. Als Lastwiderstand werdendie vier Dekadenwiderstände (0 … 10000 Ω)verwendet. Das Modul muss während dergesamten Messzeit gleichmäßig beleuchtet

.L KR dU dI (11)


65

werden, da U0 und Ri von der Beleuchtungs-stärke abhängen! Es ist die gesamte I-U-Kennlinie, d. h. von der Leerlaufspannung biszum Kurzschlussstrom, aufzunehmen. Dabeisollen etwa 20, bezüglich der Stromstärkeetwa äquidistante Punkte gemessen werden.Messen Sie zuerst den Kurzschlussstrom undentscheiden Sie dann, bei welchen Strom-stärken die weiteren Messpunkte liegensollen. Neben der Stromstärke I und derKlemmenspannung Uk sind auch die Werteder zugehörigen Lastwiderstände RL zuprotokollieren.

5 Auswertung

Für alle Gleichspannungsquellen werden dieStrom-Spannungs-Kennlinien wie in Abb.2grafisch dargestellt.Für die beiden galvanischen Spannungs-quellen sind die Innenwiderstände aus demAnstieg der Regressionsgeraden in dengrafischen Darstellungen zu ermitteln. Aus dem Schnittpunkt der Geraden mit derOrdinate wird die Urspannung U0 bestimmtund dann aus diesen beiden Werten derKurzschlussstrom berechnet. Vergleichen Siedie so bestimmte Urspannung mit demgemessenen Wert! Wie ist die Genauigkeitdes berechneten Kurzschlussstromes zubewerten?Für den Solarzellenmodul werden die Innen-widerstände anhand der Messpunkte nachGleichung (3) und die abgegebene LeistungPL nach (5) berechnet. Der InnenwiderstandRi, der Lastwiderstand RL sowie die Leistung

PL sind in Abhängigkeit vom Strom grafischdarzustellen. Zeichnen Sie alle drei Kurven inein Diagramm (linke y-Achse: Widerstand,rechte y-Achse: Leistung) und diskutieren Siedie Lage des Maximums der Leistungskurve!

Zusatzaufgabe: Berechnen Sie mit Origin dendifferentiellen Innenwiderstand des Solarmo-duls dUK/dI, zeichnen Sie ihn als zusätzli-che Kurve in das Diagramm ein und verifizie-ren Sie Gleichung (11)!

6 Literatur


7 Kontrollfragen

7.1 Erklären Sie den Unterschied zwischender Klemmenspannung und der Urspannungeiner Spannungsquelle!

7.2 Erläutern Sie das Ersatzschaltbild einerSpannungsquelle!

7.3 Erläutern Sie die Begriffe Leerlauf,Kurzschluss und Anpassung.

7.4 Sie haben die Aufgabe, mit einemVoltmeter die Urspannung einer Spannungs-quelle mit dem Innenwiderstand Ri = 500 kΩzu bestimmen. Wie groß muss der Innen-widerstand des Messgerätes mindestens sein,damit der Messwert um nicht mehr als 1%vom wahren Wert abweicht?

Grundpraktikum II E 10 Thermospannung

66

Abb.2: Kompensationsschaltung

U TT . (1)

Abb.1: Kupfer-Konstantan-Thermoelement

1 Aufgabenstellung

Der SEEBECK-Koeffizient eines Thermo-elementes ist mit Hilfe einer Kompensations-methode zu bestimmen.

2 Grundlagen

2.1 Thermoelement: In einem (isolierten)elektrischen Leiter wird durch einen Tempe-raturgradienten eine elektrische Potentialdif-ferenz erzeugt (absoluter SEEBECK-Effekt),die jedoch nicht unmittelbar messbar ist.Vereinfacht gesehen, verhalten sich dieLadungsträger im Leiter wie die Teilcheneines idealen Gases: Ladungsträger von derwärmeren Seite mit höherer kinetischerEnergie diffundieren schneller zur kaltenSeite als umgekehrt; auf diese Weise entstehtauf der kalten Seite ein Überschuss an La-dungsträgern, der durch die entstehendePotentialdifferenz begrenzt wird.

Verbindet man zwei verschiedene Leiter zueinem Stromkreis (Abb.1) und bringt diebeiden Kontaktstellen auf verschiedeneTemperaturen T0 und T1, so entstehen in denbeiden Leitern unterschiedliche innere Poten-tiale. Zwischen den Punkten A und B tritt dieDifferenz der beiden Potentiale auf, diesogenannte Thermospannung. Dies wird alsSEEBECK-Effekt bezeichnet.

(Damit wirklich nur die durch Cu und Kon-stantan erzeugte Thermospannung gemessenwird, müssen alle anderen Verbindungenzwischen verschiedenen Leitern im Strom-kreis, also die Punkte A und B und das Mess-gerät, isotherm sein.)

In vielen älteren Lehrbüchern wird dieThermospannung falsch als „Kontaktspan-nung“ erklärt. Dies ist nicht richtig! (sieheLiteraturhinweis)

Die Thermospannung UT ist näherungsweiseproportional zur Temperaturdifferenz ΔT =T1 - T0 :

Der Koeffizient α heißt Thermokraft oderSeebeckkoeffizient und ist von beiden Mate-rialien abhängig.Thermoelemente werden häufig zur Tempera-turmessung verwendet. Sie sind preiswert,schnell (kleine Wärmekapizität) und bietenden Vorteil, dass sich die Thermospannungenunmittelbar als Eingangssignale für Compu-ter, Steuer- und Regelgeräte nutzen lassen.

2.2 Kompensationsschaltung: Die Messungder Urspannung einer Spannungsquelle ist nurmöglich, wenn der Quelle dabei kein Stromentnommen wird (siehe Versuch E 7). Strom-lose Spannungsmessungen lassen sich mitHilfe einer Kompensationsschaltung vorneh-men (Abb.2). Hierzu werden neben der zu messenden

Thermospannung E10


67

1 2

10 1

1 2

.

h

h

U I R I R

RU I R U

R R

(2)

Abb.3: Versuchsaufbau

.hh

UI

R (3)

11 1 .h h

RU R I U

R (4)

Spannungsquelle U0 eine Hilfsspannungs-quelle Uh (genau bekannte Spannung, gerin-ger Innenwiderstand), ein Spannungsteiler(bestehend aus den Teilwiderständen R1 undR2) und ein Galvanometer (hochempfindli-ches Amperemeter, Nullinstrument) benötigt.Wird jetzt durch Veränderung des Verhält-nisses zwischen R1 und R2 erreicht, dass derSpannungsabfall über R1 gleich der SpannungU0 ist, so wird der Spannungsquelle U0 keinStrom entnommen.Für die beiden Maschen in der Schaltung inAbb.2 gilt in diesem Fall nach der KIRCH-HOFFschen Regel:

Mit Hilfe des Galvanometers kann die Kom-pensationsschaltung genau abgeglichenwerden; U0 wird dann nach (2) berechnet.

3 Versuchsaufbau

3.0 Geräte- Halterung mit Thermoelement- Heizplatte mit Magnetrührer, Rührstäbchen- Isoliergefäß- kleiner Topf- Digitalthermometer- Stöpselwiderstand (Genauigkeit: 0,1 %)- elektron. Galvanometer (Nullinstrument)- Akkumulator- Digitalmultimeter (Spannungsmesser)- Verbindungsleitungen

3.1 Zur Bestimmung der Thermospannun-gen UT wird eine Kompensationsschaltungnach Abb.3 verwendet. Die linke Lötstelledes Thermoelementes wird mit Hilfe einesEis-Wasser-Gemisches im Isoliergefäß aufder konstanten Temperatur T0 = 0C gehalten;die Temperatur der rechten Lötstelle T1 kanndurch die Erwärmung des Wasserbades (imTopf) verändert werden. Für T1T0 = ΔT 0entsteht eine Thermospannung UT .Die Widerstände R (Gesamtwiderstand) undR1 (ein kleiner Teilwiderstand von R) werdendurch den Präzisions-Stöpselwiderstandgebildet. Dieser besteht aus einer Reihen-schaltung von vielen Einzelwiderständen(0,1 Ω; 0,2 Ω; 0,5 Ω; 1 Ω; ... ; 50 000 Ω).Durch Einstecken von Metallstöpseln kannman jeden Einzelwiderstand kurzschließenund damit den Gesamtwiderstand R ver-ändern. Außerdem kann mit Hilfe zweierAbgriffstöpsel über einem beliebigen, genaudefinierten Teilwiderstand R1 eine Spannungabgegriffen werden.Der Stöpselwiderstand ist an einen Akku mitder (Hilfs-) Spannung Uh angeschlossen, esfließt ein Strom Ih:

Uh wird mit einem genauen Voltmeter gemes-sen. Der Spannungsabfall U1 am WiderstandR1 zwischen den verstellbaren Abgriffspitzen(Abb.3) beträgt

Mit dieser (Gegen-) Spannung U1 kann dieThermospannung UT kompensiert werden: Esist U1 = UT, wenn der vom Galvanometer Gangezeigte Thermostrom IT gleich Null ist.


Achtung! Bevor der Akku an den Stöpsel-widerstand angeschlossen wird, muss dieSchaltung vom Betreuer überprüft werden!


68

d

d

U

TT . (5)

Beim Auf- und Abbau des Versuches sowiebeim Messen darf das Galvanometer nichtüberlastet werden!

Bauen Sie die Schaltung nach Abb.3 auf. DerGesamtwiderstand R des Stöpselwiderstandesist durch Einstecken von Stöpseln so ein-zurichten, dass der Strom Ih etwa 0,05 mAbeträgt. Dazu ist R mit Hilfe der aufgedruck-ten Akku-Spannung Uh zu berechnen.

Das Isoliergefäß ist mit einer Eis-Wasser-Mischung zu füllen, so dass die linke Löt-stelle eine Temperatur von T0 = 0C an-nimmt. Der Topf ist mit Wasser von ca. 5°Czu füllen (etwas Eis hinzugeben). Die Spannung Uh ist zu messen; Uh und derGesamtwiderstand R sind zu protokollieren!Der Widerstand R1 zwischen den Abgriff-stöpseln wird so gewählt, dass am Galvano-meter G ein negativer Ausschlag entsteht, d.h.U1 > UT. Erwärmt man dann das Wasserbad langsamunter ständigem Rühren, so steigt T1 unddamit die Thermospannung UT. Wenn IT = 0ist (Nulldurchgang am Galvanometer), istUT = U1. In diesem Moment ist die Tempera-tur T1 abzulesen. Danach wird die Gegen-spannung U1 mit Hilfe von R1 wieder erhöht(Linksausschlag am Galvanometer). Die weitere Erwärmung führt erneut zu IT = 0(also UT = U1), wobei beim Nulldurchgangdes Zeigers am Galvanometer wieder dieTemperatur T1 gemessen wird. Dieses Ver-fahren wird bis zur Siedetemperatur fortge-setzt. Zur Einstellung der Gegenspannungen U1

empfiehlt es sich, folgende Widerstandswertefür R1 zu wählen: 5Ω, 10Ω, 15Ω, 20Ω, …

5 Auswertung

Für alle Messpunkte wird die Thermospan-nung UT = U1 nach (4) berechnet und in

Abhängigkeit von der Temperatur T1 grafischdargestellt. Aus der grafischen Darstellung ist die Ther-mokraft (der Seebeckkoeffizient) α durchlineare Regression zu ermitteln. VergleichenSie das Ergebnis mit Literaturwerten!

Wurden die Messungen sehr sorgfältig durch-geführt, so sollte aus der Grafik zu erkennensein, dass die Thermospannung nicht exaktlinear mit der Temperatur ansteigt. Passen Sieeine Parabel oder einen Polynom höherenGrades an die Messwerte an und berechnenSie den Seebeckkoeffizient als Funktion derTemperatur durch Differenzieren:

Stellen Sie α als Funktion der Temperaturgrafisch dar.

6 Literatur

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experi-mentalphysik Bd.2 Elektromagnetismus. deGruyter, Berlin u.a., 2008

http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physik/Jaeckle/papers/thermospannung/

7 Kontrollfragen

7.1 Wie entsteht eine Thermospannung?

7.2 Welche Vorteile hat ein Thermoelementverglichen mit anderen Temperaturmess-verfahren?

7.3 Warum verwendet man zur Messung derThermospannung eine Kompensationsschal-tung?

Anhang Hinweise zur Bedienung von CASSY

69

Hinweise zur Bedienung des computergesteuerten Mess-werterfassungssystems CASSY

Allgemeines

Cassy-S, ein für die Lehre in Schulen und Universitäten konzipiertes universelles Messwert-Erfassungssystem, besteht aus verschiedenen Geräten mit serieller oder USB-Schnittstelle sowieder Windows-Software CASSY Lab 2. Im Praktikum kommen zum Einsatz:

• Sensor-Cassy ist ein zweikanaliges Messgerät für Strom und Spannung mit einer Auflösungvon 12 bit (1:4096) und einer maximalen Messrate von 100 kHz (105 Messwerte proSekunde). Mit Hilfe von Zubehör (aufzusteckende „Sensorboxen“ und verschiedeneSensoren) können damit fast alle denkbaren physikalischen Größen gemessen werden.

• Pocket-Cassy (nur mit Computer verwendbar) und Mobile-Cassy (ohne Computer einsetzbar)besitzen die gleiche Funktionalität, jedoch nur einen Messkanal, messen nur 104 bzw. 5Werte pro Sekunde und benötigen kein Netzteil (Stromversorgung über USB).

• Power-Cassy ist ein Leistungs-Funktionsgenerator, also eine computersteuerbare Strom- oderSpannungsquelle, die bei einer Abtastrate von 100 kHz maximal 10V / 1A liefert.

• Cassy-Display ist ein großformatiges Anzeigegerät. Es zeigt in Verbindung mit Sensor-Cassy(ohne Computer) gleichzeitig zwei Messwerte mit Einheit an.

Die Software CASSY Lab 2 steuert die Messung, stellt die Messergebnisse grafisch dar undbietet viele Möglichkeiten zur mathematischen Auswertung. Die Bedienung ist relativ einfachund erfordert nur wenige Grundkenntnisse. Die Software ist beim Hersteller unterhttp://www.ld-didactic.de frei verfügbar und kann daher auch zuhause zur Auswertung vomMessungen aus dem Praktikum verwendet werden.

Quick Start: Einschalten und Konfigurieren des Systems

Stellen Sie sicher, dass alle benötigten Cassy-Module zusammengesteckt, mit dem PCverbunden und mit Strom versorgt sind. Starten Sie nun das Programm “CASSY Lab 2". DasFenster CASSYs wird präsentiert und zeigt die vorgefundene Gerätekonfiguration.

Um eine Messung durchzuführen, muss der entsprechen-

de Eingang oder Ausgang angeklickt werden. Es er-scheint das Fenster Einstellungen (siehe nächste Seite).Im oberen Teil dieses Fensters bietet eine BaumstrukturZugriff auf alle Bereiche der Software: Unter CASSYs

sind alle Einstellungen zu den verwendeten Messgerätenzu finden, unter Rechner können aus den Messgrößenneue physikalische Größen berechnet werden, unterDarstellungen können die Messwerttabellen und Dia-gramme angepasst werden sowie neue Diagrammeangelegt werden.Im unteren Teil des Fensters stehen die Einstellungendes in der Baumstruktur markierten Knotens (hier wirdz.B. der Messbereich einer Messgröße eingestellt) unddie Messparameter.


70

Vor Aufnahme einer Messreihe sollte man hierden richtigen Messbereich einstellen und sinnvolleMessparameter auswählen: Aufnahme: automatisch bedeutet, dass der Com-puter mehrere Messpunkte nacheinander aufzeich-net. Neue Messreihe anhängen bewirkt, dass ineiner Grafik mehrere Messreihen (Messkurven)dargestellt werden können. Die wichtigste Größe,die hier auf einen sinnvollen Wert eingestelltwerden muss, ist das Mess-Intervall. Bei 10 μsentstehen pro Sekunde 100.000 Messwerte! AusIntervall und Messzeit ergibt sich die Anzahl derEinzelmessungen. Wenn bei Messzeit kein Werteingetragen ist, wird die Messreihe so langefortgesetzt, bis sie manuell gestoppt wird.Die Aufnahme einer Messreihe kann nun mit F9

oder durch Klick auf den Start/Stopp-Buttonbegonnen werden.

Grundlegende Bedienelemente

Buttonleiste mit Buttons für die Anzeigeinstrumente aller gemessenen und berechnetenGrößen

Anzeigeinstrument. Rechts-Klick: Messgröße und Messbereich einstellen

Umschalten zwischen mehreren Darstellungen. Durch Ziehen mit der Maus freieAnordnung auf dem Bildschirm.

Messwerte-Tabelle kann editiert werden. Rechts-Klick: Messwerte und Messreihenlöschen

Im Diagramm werden Punkte und Kurvenbereiche mit der Maus markiert. Rechts-Klick:Diagramm-Menü


71

Skala der Diagrammachsen mit Maus verschieben, mit Rechts-Klick ändern

Umschalten zwischen verschiedenen y-Achsen

Trennlinie verschieben

F4 Neue Messung (aktuelle Messung löschen)

F3 Gespeicherte Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) laden

F2 Aktuelle Messung (mit allen Einstellungen und Auswertungen) speichern

Diagramm oder Tabelle ausdrucken

F9 Eine Messreihe starten oder beenden (Einzelmessung bei manueller Aufnahme)

F5 Cassy-Module anzeigen (wie bei Programmstart)

F5 (2× drücken) Einstellungen bzw. Messparameter anzeigen

F6 Inhalt der Statuszeile (z. B. das Ergebnis einer Rechnung) groß darstellen

F7 Alle Anzeigeinstrumente ein/aus schalten

Das Anzeigeinstrument UA1 ein/aus schalten, Rechts-Klick: Einstellungen

Tipps und Tricks zu CASSY Lab 2

• Die Messparameter lassen sich am schnellsten durch Rechts-Klick auf den Start/Stopp-Button anzeigen, die Einstellung des Messbereiches durch Rechts-Klick auf dasentsprechende Messinstrument

• Mit Alt+T fügen Sie Text in das Diagramm ein, dabei ist immer das Ergebnis der letztenAuswertung voreingestellt. Machen Sie viel von dieser Möglichkeit Gebrauch!

• Skalierung der Achsen: Rechts-Klick auf eine Achse.

• Die Zoom-Funktion wird mit Alt+Z aufgerufen, Alt+A zeigt wieder alles an.

• Unter Einstellungen - Rechner - Formel kann eine neue physikalische Größe erzeugt werden,die aus Messgrößen berechnet oder manuell in die Wertetabelle eingetragen werden kann.Auf diese Weise kann z. B. aus Strom I(t) und Spannung U(t) der Widerstand R(t) alsFunktion der Zeit berechnet werden.

• Weitere Diagramme zur Darstellung gemessener und berechneter Größen werden unterEinstellungen - Darstellungen angelegt. Beispiel: Erzeugen Sie eine neue Darstellung mitdem Namen “Kennlinie”, dem gemessenen Strom auf der x-Achse und dem berechnetenWiderstand auf der y-Achse

• Die Auswertefunktionen (z. B. Mittelwertbildung, Regressionsanalyse, Integration) sindausführlich in der Hilfe zum Programm dokumentiert. Jede mathematische Auswertungbezieht sich immer auf einen Kurvenbereich, der mit der Maus markiert werden muss.

• Das Programm ist frei verfügbar (s.o.), Sie können Ihre Messergebnisse aus dem Praktikum(*.labx Dateien) auch am eigenen PC zuhause oder im Computerpool auswerten. Messwertekönnen als *.txt Dateien exportiert werden (Datei speichern und Dateityp Textexportauswählen) und mit anderen Programmen (Origin, Excel, ...) importiert werden.

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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Kurzanleitung zur Software ORIGIN

Für die Auswertung von Messergebnissen und die Anfertigung grafischer Darstellungen steht inallen Physikpraktika die professionelle Visualisierungs- und DatenanalysesoftwareOrigin 2016...2018 zur Verfügung. Die Uni Halle besitzt eine Campuslizenz dieser Software,die sich auch von zuhause aus (mit VPN) nutzen lässt. Den Link zum Download und eineInstallationsanleitung finden Sie auf der Seite des IT-Servicezentrums der Uni ori-gin.itz.uni-halle.de, Hilfe zum VPN unter itz.uni-halle.de/dienstleistungen/virtual_private_netwok.

1. Grundsätzliches

• Alle Daten, Rechnungen und Grafiken werden zusammen in einer Projektdatei gespeichert.Ein leeres Projekt (bei Programmstart) enthält nur die Arbeitsmappe Book1 mit einer x- undeiner y-Spalte zur Eingabe der Daten. Weitere Spalten erzeugt man mittels Rechtsklick in

den leeren Bereich oder mit ., weitere Arbeitsmappen mit Datei - Neu... oder .

• Die Sprache kann im Hilfe Menü kann auf Deutsch oder Englisch eingestellt werden.

• Eine Grafik erhält man am schnellsten, indem man eine oder mehrere y-Spalten markiert (in

den Spaltenkopf klicken) und Zeichnen wählt oder auf einen der Buttons klickt.

• Alle Objekte (z.B. Spaltennamen, Beschriftungen von Achsen, Skalierung von Achsen,Aussehen einer Kurve, Legende) kann man bearbeiten, indem man darauf doppelklickt.

2. Arbeitsmappen

• Die Dateneingabe funktioniert wie in Excel. Weitere Spalten erhält man mit .

• In den Spaltenkopf sollte man immer Langname und Einheiten eingetragen - sie werdenautomatisch in die Achsen-Beschriftung und in die Legende einer Grafik übernommen.

• Spalten als X oder Y setzen: Spalte markieren, Rechtsklick und Setzen als auswählen.

• Rechnen mit Spalten: Formel in das Feld F(x)= eintragen oder Rechtsklick in markierteSpalte und Spaltenwerte errechnen... wählen.

Syntax: Spalte A Spalte B col(A) col(B)

a b / (c + d) a * b / (c + d)

x2 x^2

x sqrt(x)

ex exp(x)

π pi

Anhang Kurzanleitung zur Software ORIGIN

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3. Grafiken

• Grafik-Fenster enthalten ein oder mehrere Koordinatensysteme, in Origin Layer genannt.

• Verschönern einer Grafik: Doppelklick auf die zu ändernden Dinge (siehe oben).

• Hinzufügen einer weiteren Kurve zu einem bereits existierenden Layer:

Weg1: in der Arbeitsmappe die zu zeichnenden Spalten auswählen und am rechten Rand mitder Maus in die Grafik ziehen

Weg 2: Doppelklick auf das “Layersymbol” links oben im Graph öffnet den DialogLayerinhalt. Dort links die Daten auswählen und den Button klicken.

• Hinzufügen eines weiteren Koordinatensystems oder einer zweiten Achse zu einer bestehen-

den Grafik: Grafik - Neuer Layer (Achsen) wählen oder einen der Buttons drücken.

• Eine Legende hinzufügen oder die bestehende Legende aktualisieren: Grafik - Legende

wählen oder drücken.

• Beliebigen Text in eine Grafik schreiben: drücken und in die Grafik klicken. Text

formatieren mit Format-Buttonleiste (z.B. hoch, tief, griechisch mit )

• Werte aus einer Grafik ablesen mit den Werkzeugen Bildschirmkoordinaten und

Datenkoordinaten .

• Glatte (runde) Kurven durch die Messpunkte zeichnen: Kurve doppelklicken; denDiagrammtyp “Linie + Symbol” wählen; Linie - Verbindung - Spline oder B-Spline

einstellen. Lineare Regression: Analysis - Anpassen - Linearer Fit wählen. Bei mehrerenKurven vorher im Menü Daten die richtige Kurve auswählen. Soll nur ein Teil der Kurve

angepasst werden, dann vorher mit den Werkzeugen Daten-Selektor und Punkte

maskieren den Bereich einschränken. Mit Linearer Fit: Grundpraktikum-Standard

wird die Regression sofort ausgeführt, alle Parameter sind bereits für die meistenAnwendungsfälle im Praktikum sinnvoll eingestellt.

4. Ausdruck von Grafiken und Arbeitsmappen

• Prüfen Sie Ihre Grafiken vor dem Ausdruck genau, vermeiden Sie mehrfache Korrektur-drucke! Im Praktikum werden mehrere 10.000 Seiten pro Jahr gedruckt - das kostet Geld undbelastet die Umwelt. Arbeitsmappen mit sehr vielen Daten (mehrere Seiten) sollen imPraktikum nicht gedruckt werden. Solche mit nur drei Zahlen können Sie abschreiben!

• Mehrere Grafiken und/oder Arbeitsmappen und Text auf einem A4-Blatt anordnen:

Datei - Neu... Layout wählen oder klicken; Rechtsklick auf die Layoutseite um Grafikenoder Arbeitsmappen hinzuzufügen.

• druckt eine Grafik, Arbeitsmappe oder ein Layout unmittelbar auf ein A4-Blatt.

Anhang Naturkonstanten

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Einige Naturkonstanten

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 2,997 924 58 108 m/s 300 000 km/s

Gravitationskonstante γ = 6,674 1(3) 1011 N m2 kg2

Fallbeschleunigung im Grundpraktikum g = 9,812 03(2) m/s2

Elementarladung e0 = 1,602 176 62(1) 1019 C

Elektronenruhemasse me = 9,109 383 6(1) 1031 kg

Atomare Masseneinheit u = 1,660 539 04(2) 1027 kg

elektrische Feldkonstante ε0 = 8,854 187 817 1012 A s V1 m1

(Dielektrizitätskonstante des Vakuums)

magnetische Feldkonstante μ0 = 4 π 107 V s A1 m1

(Permeabilität des Vakuums) 1,256 637 ... 106 V s A1 m1

Planck-Konstante h = 6,626 070 04(8) 1034 J s(Planckschen Wirkungsquantum) = 4,135 667 66(3) 1015 eV s

Avogadro-Konstante NA = 6,022 140 86(8) 1023 mol1

Boltzmann-Konstante k = 1,380 648 5(8) 1023 J/K

molare Gaskonstante R = 8,314 460(5) J mol1 K1

Faraday-Konstante F = 9,648 533 29(6) 104 C/mol

Quelle und weitere Daten: http://physics.nist.gov/cuu/

Download - Grundpraktikum Physik I und II · Praktikum (nur am vorherigen Praktikumstag) zu entnehmen. Zu Hause werden die physikalischen Grund-lagen zum Versuch studiert (Literaturangaben am

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