0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Gradiente Divergente Rotacional Propriedades Aplicações
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Gradiente:
O gradiente de uma função escalar é um vetor cujo módulo é a derivada direcional máxima no ponto considerado e cujo sentido é o sentido da derivada direcional máxima.
Derivada direcional:É a taxa de variação da função em uma direção e
sentido especificados.
ds - deslocamento infinitesimal na direção e sentidods - valor escalar de ds.
s
zyxzzyyxx
sd
d
s
),,(),,(lim
0
ds
dz
zds
dy
yds
dx
x
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Considerando-se a função: (x,y)=x2+y2
• A derivada direcional depende da direção e do sentido.
• Escolhendo-se dy/dx=-x0/y0
•Obtemos
ds
dz
zds
dy
yds
dx
xs yx
00
ds
dx
dx
dyy
ds
dxx
ds
dyy
ds
dxx 0000 2222
0220
000
ds
dx
y
xyx
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Podemos escolher:dy/dx=y0/x0
como: escolhemos então
20
202
00
yxs yx
22 dydxds dx
dy
2222
11
dx
dy
dx
dydx
dx
ds
21
1
ds
dx
)()1(2222 2/120000
00
fyx
ds
dxyx
dx
d
yx
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Se derivarmos f(a) em relação a a:
igualando-se a derivada a zero, obtém-se o máximo ou mínimo:
2)1(2
1)22()1(2
)( 2/3200
2/120
yxy
d
df
3 22
00
2
0
)1(
)22(
)1(
2
yxy
0)1(
)22(
)1(
23 22
00
2
0
yxy
0)1(
)()1(
)1(
2 200002
200
20
2
yxyy
yxy
0
0
x
y
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Portanto a variação máxima da função:
figura 1:
figura2:
22 yx
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Símbolos do Gradiente:
e grad
A derivada direcional em termos de gradiente é dada por:
ds
sd
ds
d
ds
d
cos
A equação acima permite-nos definir o gradiente em qualquer sistema de coordenadas
Coordenadas retangulares: dzkdyjdxisd ˆˆˆ
sddzdz
ddy
dy
ddx
dx
dd
Conseqüentemente:
dz
dk
dy
dj
dx
digrad ˆˆˆ
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Divergente:
Definição: div F ou F
É o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o volume encerrado pela superfície tende a zero
Integração Vetorial:- linha- superfície- volume
Maiores Interesses:• integral escalar de linha de um
vetor• integral escalar de superfície de um
vetor• integrais de volume de vetores e
escalaresSe F for um vetor a integral de linha é dada por:
ldFb
ac
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Integral de linha ao longo de uma curva fechada
ldFC
Pode ou não ser zero
Integral de Superfície e Superfície fechada
danFs
danF
S
Integral de Volume
dvJV dvFk
V
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
SvdanF
VFdiv
1lim
0
Para coordenadas cartesianas.
)ˆˆˆ(ˆˆˆ kFzjFyiFxx
ky
jx
iFdiv
x
F
y
F
x
FFdiv
Divergente:Definição: div F ou F
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
Rotacional:
É o limite da razão entre a integral e o seu produto vetorial com a normal dirigida para fora, sobre uma superfície fechada, e o volume encerrado pela superfície quando o volume tende a zero.
Sv
daFnV
FrotF 1
lim0
Em coordenadas retangulares:
zyx FFFzyx
kji
Frot
ˆˆˆ
0
01
41
4
Bt
B
cE
c
J
t
E
cB
E
O operador (nabla ou del)
Relações importantes:
ab
b
a
b
a
b
ac
dld
c
s
ldFdanF
Teorema de Stokes
s
V
danFdvF
Teorema do Divergente
Linearidade do Operador
GbFaGbFa
GbFaGbFa
baba
)(
,)(
,