GLI INSIEMI
Presentazione a cura della Prof.ssa
anNUNZIAta DI BIASE
Concetto d’insiemeRappresentazione degli insiemiInsiemi uguali, diversi, disgiunti, finiti ed infinitiInsieme vuoto, unitario e coppiaSottoinsiemi ed insieme delle partiOperazioni con gli insiemiProva di verifica
Concetto d’insieme
La parola insieme è sinonimo di aggregato, collezione, raccolta…di oggetti.
Il concetto matematico di insieme è un concetto primitivo ossia non definibile.
Costituisce un insieme, dal punto di vista matematico, ogni raggruppamento di oggetti, persone, simboli, numeri o cose (che vengono detti elementi) aventi una proprietà caratteristica comune.
In un insieme non ha importanza né la natura degli elementi, né che essi siano dello stesso tipo e né l’ordine in cui essi sono disposti, ma quello che conta è che dato un insieme, si possa con “assoluta precisione” dire se un dato oggetto appartiene, oppure no, ad esso e che i suoi elementi siano tutti distinti tra loro.
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, C,…gli elementi con le lettere minuscole dello stesso alfabeto: a, b, c,…
Non sono insiemi i raggruppamenti individuati dalle seguenti proposizioni:i ragazzi simpatici della tua classe;le città più belle d’Italia;i fiumi più lunghi d’Europa;
perché i concetti di: bellezza, bruttezza, bontà, ecc. sono concetti soggettivi e possono dare adito ad equivoci o incertezze.
Sono insiemi invece i raggruppamenti individuati dalle seguenti frasi:le città della Campania con più di 10000 abitanti;i rettangoli che hanno la base lunga 25 cm;il computer in figura, i cui elementi sono:
Elementi
Unità centrale di elaborazione
Unità centrale di elaborazione
mon
itor
mon
itor
mou
sem
ouse
cd-romcd-rom
RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI
Gli insiemi si possono indicare nei seguenti modi:tabulare (o per elencazione), caratteristica, diagramma di Eulero-Venn.
Forma Tabulare: all’interno di una coppia di parentesi graffe, si elencano TUTTI gli elementi che appartengono all’insieme, separandoli con una virgola.
Es: l’insieme delle note musicali A = do, re, mi, fa, sol, la, si. Es: l’insieme delle lettere della parola
mamma; B = m, a.
Forma Caratteristica: all’’interno di una coppia di parentesi graffe, si scrive l’elemento generico dell’insieme e la proprietà caratteristica che li accomuna.
A = x / x è una nota musicale; B = x / x è una lettera della parola mamma.
Rappresentazione Eulero-Venn: Un insieme può anche essere rappresentato in modo grafico,
racchiudendo i suoi elementi all’interno di una linea chiusa non intrecciata. Gli elementi dell’insieme vengono evidenziati con punti interni alla linea, gli elementi che non appartengono all’insieme con punti esterni.
A B
do re mifa sol la si
m a
Insiemi uguali, diversi,disgiunti, finiti ed infiniti
Due insiemi si dicono: uguali quando sono formati dagli stessi elementi;
es: A = m, a; B = a, m e si scrive A = B ,diversi quando non tutti gli elementi sono uguali;
es: A = m, a; B = m, b; A = B,disgiunti quando nessun elemento di A appartiene a B;
es: A = m, a; B = c, d. Un insieme si dice:
finito quando si possono elencare tutti gli elementi; es: l’insieme dei fogli di un quaderno,
infinito in caso contrario;
es: gli insiemi numerici: N, Q a, R a, Z, Q, R.
Insieme vuoto, unitario e coppia
Un insieme si dice VUOTO quando non contiene elementi e si indica con il simbolo: oppure .
Es: l’insieme dei numeri pari che hanno 5 come ultima cifra; A = Un insieme si dice UNITARIO quando contiene solo un elemento.
Es: l’insieme dei numeri interi pari compresi tra 3 e 5; A = 4. Si chiama COPPIA un insieme formato da due elementi distinti.
Es: l’insieme formato dalle lettere della parola mamma; A = m, a.
Es: l’insieme formato dai due sportivi in figura.
Dati due insiemi A = 2, 4, 6, 8, 10 e B = 4, 8 , si dice che B è un sottoinsieme di A se TUTTI gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A.
Se invece B = 4, 9 si dice che B non è sottoinsieme di A, perché non tutti i suoi elementi appartengono ad A, infatti 4 appartiene ad A, ma 9 no. Si dice anche che B non è incluso in A.
A A
B B
B incluso in A B non incluso in A
L’insieme vuoto può essere considerato sottoinsieme di qualunque altro insieme.
Ogni insieme A ha almeno due sottoinsiemi: l’insieme A stesso e l’insieme vuoto; tali insiemi si dicono sottoinsiemi impropri di A.
Qualunque altro sottoinsieme che non sia improprio si dice proprio.
SOTTOINSIEMI
6 10 2
4 86 8
2 10 4 9
Insieme delle parti
Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti, e si indica con P (A), l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di A.
Il numero degli elementi dell’insieme delle parti di A, dipende dal numero degli elementi di A. Se A ha n elementi, P (A) ne ha 2n .
Sia A = . Poiché A non contiene elementi, l’unico suo sottoinsieme è l’insieme vuoto stesso, infatti 20 = 1 e P (A) = .
Sia A l’insieme delle consonanti della parola “mamma”; poiché
A = m, i soli sottoinsiemi che si possono formare sono i due insiemi impropri e A stesso, infatti 21 = 2 e P (A) = , A.
Sia A l’insieme delle lettere della parola “mamma”; poiché
A = m, a i sottoinsiemi che si possono formare sono quattro: due impropri e due propri, infatti 22 = 4, e P (A) = , A, m, a .
Sia A l’insieme dei numeri interi pari compresi tra uno e sette; poiché A = 2, 4, 6 i sottoinsiemi che si possono formare sono otto: due impropri e sei propri, infatti: 23 = 8 e
P (A) = , A, 2 , 4 , 6 , 2, 4 , 2, 6 , 4, 6 .
P (A)
E così via.
2 4A
6
2 4
6
Operazioni fra insiemi
Le OPERAZIONI tra due o più insiemi sono: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, prodotto cartesiano.
Dati due insiemi A = 2, 3, 4e B = 3, 5, si dice loro unione l’insieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è l’unione di A e B si scrive: D = AUB = 2, 3, 4, 5. L’unione gode della proprietà commutativa, perché invertendo l’ordine degli insiemi il risultato non cambia.
A B
D
2 3 4 3 5
2 3 4 5
Dati due A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice loro intersezione l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C è l’intersezione di A e B si scrive: C = A n B = 3. Se i due insiemi sono disgiunti l’intersezione è uguale al vuoto. L’intersezione gode della proprietà commutativa.
A C B
2 4 3 5
Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice insieme differenza l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B e si scrive A – B = 2, 4; invertendo gli insiemi si ottiene B – A = 5, da ciò si può dedurre che la differenza NON gode della proprietà commutativa, perché i risultati ottenuti sono diversi.
A B
C = A – B D = B – A
2 4 3 5
Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice differenza simmetrica l’insieme degli elementi di A e di B esclusi gli elementi comuni e si scrive: A B = 2, 4, 5. La differenza simmetrica gode della proprietà commutativa.
A
A B B
2 3 4
3 5
2 4 5
Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A x B l’insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene all’insieme A e il secondo all’insieme B.
Es: se A = 2, 3, 4 e B = 3, 4 allora A x B = (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 3), (4; 4); B x A = (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 2), (4; 3), (4; 4). Esso NON gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano può essere rappresentato nei seguenti modi:
diagramma cartesianodiagramma a freccetabella a doppia entratadiagramma ad albero
diagramma cartesiano A x B
B
4 ( 2 ; 4 ) ( 3 ; 4 ) ( 4 ; 4 )
3 ( 2 ; 3 ) ( 3 ; 3 ) (4 ; 3 )
2 3 4 A
diagramma sagittale ( o a frecce ) A x B
2
3
4
3
4
tabella a doppia entrata A x B
B 3 4 A
2 ( 2; 3) ( 2; 4)
3 ( 3; 3) (3; 4)
4 (4; 3) (4; 4)
diagramma ad albero A x B
( 2; 3)
2
(2; 4)
(3; 3)
3
(3; 4)
(4; 3)
4
(4; 4)
PROVA DI VERIFICA Ora prova tu: prendi penna e foglio e risolvi i seguenti esercizi.
Riconosci quale delle seguenti frasi individuano un insieme e rappresentalo nel modo che ritieni più opportuno:
il lago più piccolo d’Italia;
i triangoli;
i punti cardinali;
i libri di avventure più avvincenti;
i libri della biblioteca;
i tuoi amici più cari;
i poligoni che si disegnano più facilmente;
i mesi dell’anno.
Utilizzando le frecce associa i seguenti simboli alle loro descrizioni:
intersezione
diff. simmetrica
inclusione
unione
C
U
n
E’ dato il diagramma di Venn rappresentato in figura.
A
D
Di’ quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F):
V F V F
B è sottoinsieme di A A e D sono disgiunti
D è sottoinsieme di A B e D sono disgiunti
C è sottoinsieme di B B e C sono disgiunti
B C
Osserva le seguenti figure e per ognuna determina gli insiemi:
A; B; A U B; A n B; A – B; B – A; A B;
fig.1 E fig.2 F
5A B
6
1 2
3 4
5 B
8 6
4
A 3
1 2
Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F):
V F
1. A u B = B u A
2. A – B = B – A
3. A n B = B n A
4. A B = B A
5. A x B = B x A
La presentazione è terminata.