Giochiamo conle dimensioni
Bibliografia essenziale
• E. Abbott Flatlandia Ed Adelfi• R. Rucker La quarta dimensione Ed. Adelfi• R. Hersh Cos’è davvero la matematica Ed Baldini Castoldi• T. Banchoff Oltre la terza dimensione Ed. Zanichelli
premessa
• La matematica è umana. Fa parte dell’umanità ed è integrata nella realtà storico sociale dell’epoca
• La matematica non è infallibile. Al pari di tutte le scienze, la matematica, può avanzare compiendo errori, correggendoli e ricorrengendoli
Il davanti della matematica
Seguendo l’impostazione del sociologo americano E. Goffman, possiamo estendere anche alla matematica i concetti di davanti e dietro, tipici di tutte le attività umane
La matematica del davanti è precisa, formale, ordinata e astratta. E’ suddivisa in definizioni, teoremi e osservazioni.
la matematica del dietro è frammentaria, informale, intuitiva, procede per tentativi ed errori.
Dimensioni
• Noi parliamo di un mondo a tre dimensioni intendendo che ci possiamo muovere nello spazio con 3 gradi di libertà su/giù, avanti/dietro, destra/sinistra.
• In effetti la posizione sulla terra è perfettamente individuata da 3 informazioni: latitudine, longitudine e altezza sul livello del mare.
• In realtà normalmente sulla superficie terrestre abbiamo solo 2 gradi di libertà, almeno che non ci mettiamo a saltellare, se nuotiamo sott’acqua invece ne abbiamo proprio tre, se viaggiamo su di una pista solo uno.
Dimensione tempo
• Nella fisica di Einstein viene aggiunta la dimensione tempo. L’idea non è poi così strana se pensiamo che se vogliamo incontrarci con una persona dobbiamo fissare, per incontrarci veramente oltre alla posizione anche l’ora.
• Noi però qui vorremmo parlare della quarta dimensione spaziale e questa è difficilissima o meglio impossibile da visualizzare.
Quarta dimensione
Nessuno è in grado di indicarla.E’ un argomento di meditazione per filosofi e mistici.I fisici e i matematici la utilizzano per i loro calcoli.E’ parte integrante di molte serie teorie scientifiche.Viene abilmente e abbondantemente sfruttata nello spiritismo e nella fantascienza
Platone
• Possiamo in qualche modo comprenderla, ragionando per analogia. Questo è un metodo nient’affatto originale.
• Pensiamo a Platone e al mito della caverna.
• Anche lì persone tridimensionali sono convinte di essere ombre.
Scopriamo le caratteristiche di un cubo 4-dimensionale
Gioco numero 1:
Dal punto all’ipercubo
Vertici
Dim 0
spigoli
Dim 1
facce
Dim 2
volumi
Dim 3
Dim 4
Cubo 0-dim
punto1
Cubo 1-dim
segmento2 1
Cubo 2-dim
quadrato4 4 1
Cubo 3dim
cubo8 12 6 1
Cubo 4-dim
ipercubo16 32 24 8 1
GIOCO NUMERO 2:
Troviamo le misure delle diagonali di
un cubo 4-dimensionale
Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo, il quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma delle misure dei cateti elevate al quadrato.
a2 = b2 + c2
ab
c
• Diagonale di un quadrato di lato l = l√2
l2+ l2 = 2l2
• Diagonale di un cubo di lato l = l√3
2 l2+ l2 = 3l2
• Diagonale di un ipercubo di lato l = 2l
3l2+ l2 = 4l2
commento
• Un cubo a 4, 5 dimensioni esiste? Dove si trova? Se non esiste come abbiamo fatto a scoprire tante cose su di lui?
• E un 3-cubo esiste? Tutti gli oggetti fisici che chiamiamo cubi in realtà lo sono solo approssimativamente. Solo un 3-cubo matematico e veramente un cubo, dunque non c’è tanta differenza fra il chiedersi se esiste un 3- cubo o un 4-cubo
Rappresentazione di un cubo 3Dsu di un foglio
Utilizzo delle sezioniper rappresentare oggetti 3-dim
• I botanici del secolo scorso utilizzavano sottili sezioni messe fra vetrini e poi osservate al microscopio.
• Le linee altimetriche su una carta geografica.
• Con la TAC e la Risonanza Magnetica si ottiene una visione tridimensionale dell’organo malato facendo prima una serie di immagini, opportunamente distanziate e poi mettendole in sequenza e interpolando con il computer le parti mancanti.
Sviluppo dell’ipercubonello spazio tridimensionale
Proiezione centrale di un ipercubodallo spazio a 4 a quello a 3 dimensioni
Cosa cambia nella realtà se il numero di dimensioni è
diverso da tre?
• non possiamo sovrapporre il contorno di una mano destra con sinistra
• non possiamo vedere il contenuto di un recinto• non riusciamo a vedere il percorso del labirinto• non può esistere un organismo con un apparato
digerente con bocca distinta dall’ano
• non possiamo fare un nodo ad una fune
In una realtà a 2 dimensioni
Se la realtà avesse 4 dimensioni
• I chirurghi potrebbero eseguire operazioni senza tagliare la pelle.
• Potremmo trasformare una scarpa destra in una sinistra.
• Nessun nodo rimarrebbe tale, in una fune.
Cenni alla quarta dimensionenella letteratura e nell’arte
• Vari films di fantascienza et similia (es. Poltergeist di Spielberg)
• Paradiso di Dante• Ipercubo di Pierelli• Crocefissione di Salvador Dalì• Flatlandia di Abbott
Dante e l’ipersferail fisico romeno Horia-Roman Patapievici, ma anche altri studiosi pensano che il Paradiso di Dante sia una ipersfera
Partiamo da un punto sulla sfera, in cui localizziamo la Terra, e rappresentiamo i vari cieli celesti, a cominciare da quello della Luna, mediante circonferenze concentriche via via sempre più grandi fino ad arrivare a quella massima: il "Primum Mobile". Proseguiamo, poi, con le circonferenze corrispondenti ai cieli degli angeli, da quello angelico della Luna a quello dei Serafini, il più vicino a Dio, che diventano sempre più piccole fino a ridursi ad un punto: l'Empireo. Si otterrà il modello rappresentato dalla figura a lato. Così, il «ciel ch’è pura luce», oltre che la residenza di Dio, rappresenta il punto ai nostri "antipodi" nell'Universo.
Per capirci invece di parlare di una ipersfera con sezioni delle sfere , parliamo di una sfera con sezioni circonferenze