1
8. Netzwerkanalyse
Grundlagen der Elektrotechnik GET 2
• Warum Knotenpotenzialanalyse?
• Die Knotenpotenzialanalyse
• Warum Maschenstromanalyse?
• Die Maschenstromanalyse
• Kriterien der klugen Methodenwahl[Buch GET 2: Seiten 276-323]
-333-
Die Knotenpotenzialanalyse I
Warum Knotenpotenzialanalyse?
(1) Vorteile / Nachteile:
• Verringerter Rechenaufwand (+):
Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150)z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden.
(2) Beim Knotenpotenzialverfahren müssen lediglichk – 1 Gleichungen für k – 1 Knotenpotenzialegelöst werden. Bei grossen Netzwerken gilt imRegelfall: k – 1 < z.
• Keine idealen Spannungsquellen zugelassen (–):
Als unabhängige Anregungen gelten vorerst nurideale/reale Stromquellen und reale Spannungs-quellen (letztere sind in reale Stromquellen umzuwandeln).
-334-
2
Die Knotenpotenzialanalyse II
Warum Knotenpotenzialanalyse?
(2) Vorgehensweise:
(1) Netzwerktopologie formalisieren:Stichwort «Digraph».
(2) Kirchhoffschen Gesetze formalisieren:Kompakte Darstellung für KCL.
(3) Knoteninzidenzmatrix(vollständige und reduzierte Variante)
(4) Zweigadmittanzmatrix
(5) Knotenadmittanzmatrix
(6) Gleichungssystem für Knotenpotentiale(herleiten und lösen)
(7) Algorithmus der Knotenpotenzialanalyse(am Netzwerk nachvollziehen)
(8) Zusammenfassung und Ausblick
-335-
1 2
4
3
i1
i2
i3
i4
i5
i6
k : Knotenpotenziale
iz : Zweigströme
1 2
4
3
Y6Y1
Y5
Y4
Y3
Y2
iq2iq1
i1
i2
i3
i4
i5
i6
Die Knotenpotenzialanalyse III
Die Netzwerktopologie
(1) Variablen:
Beziehung zwischen denabhängigen Variablen istnur durch die Topologiedes passiven Netzwerkesgegeben:
Stromquellen weglassen.
(2) Bezugssystem:
Abhängigen Variablen in einBezugssystem einbetten:
Knoten-Nummerierung k
Zweig-Nummerierung z
Zweigstromrichtung
Gerichteter Graph: «Digraph».
Scheitelwert-zeiger bzw. Effektivwert-zeiger.
-336-
3
1 2 3 4 5 6
i1
+ i2
i4
= 0
i2
+ i3
+ i4
+ i5
= 0
i5
i6
= 0
i1
i3
+ i6
= 0
1 2
4
3
i1
i2
i3
i4
i5
i6
Die Knotenpotenzialanalyse IV
Die Kirchhoffschen Gesetze
(1) Der Knotensatz (KCL):
Knoten / Zweige
Summe = 0 System ist linearabhängig!i
Knotenμ=1
n
= 0(KCL)
Kirchhoffcurrent law
(A) Aufstellen der Knotengleichungen:
k
z
-337-
1 2
4
3
i1
i2
i3
i4
i5
i6
Die Knotenpotenzialanalyse V
Die Kirchhoffschen Gesetze
(1) Der Knotensatz (KCL):
Summe = 0 System ist linear abhängig!
1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1
i1
i2
i3
i4
i5
i6
=
0
0
0
0
Ka[ ]
(B) Zugehörige Matrixgleichung:
AllgemeineKnoteninzidenzmatrix
Ka[ ] i = 0
(KCL)
Matrixschreibweise
(C) Allg. Knoteninzidenzmatrix (k z):
kij =
+1
1
0
: Zweig j in Knoten i
: Zweig j aus Knoten i
: berühren sich nicht
j
i z
k
Phasor: komplexer Vektor
-338-
4
K =
1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1
1 2
4
3
i1
i2
i3
i4
i5
i6
Bezugsknoten
Die Knotenpotenzialanalyse VI
Die Kirchhoffschen Gesetze
(2) Linear unabhängige Stromgleichungen:
K[ ] i = 0
(KCL)
linear unabhängig
Stromgleichungen werden linear unabhängig:
(i) Reduktion des Gleichungssystems um eine Knotengleichung.
(ii) Knoten wählen (Referenz, «datum»): frei wählbar, typischerweise wählt man Knoten mit vielen Zweigverbindungen (cf. Folie 343).
(iii) Knoteninzidenzmatrix um Zeile 4 reduzieren:
reduzierte Knoteninziedenzmatrix [K] der Dimension (k – 1) z
Zeile 4 streichen
-339-
+
–
uzi z
1 2
4 = 0
3
i1
i2
i3
i4
i5
i6
Bezugsknoten
Die Knotenpotenzialanalyse VII
Die Kirchhoffschen Gesetze
(3) Zweigspannungen:
(A) Referenzen:
Bezugsknoten: 4 = 0
Assoziierte Zweiggrössen
(B) Berechnung der Zweigspannungen:
u1=
11
u2=
1+
22
u3=
23
u4=
1 24
u5=
2 35
u6=
36
Knoten / Zweigek
z
Zweige zum Bezugsknoten
-340-
5
u1
u2
u3
u4
u5
u6
=
1 0 0
1 1 0
0 1 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
1
2
3
1 2
4 = 0
3
i1
i2
i3
i4
i5
i6
Bezugsknoten
Die Knotenpotenzialanalyse VIII
Die Kirchhoffschen Gesetze
(3) Zweigspannungen:
u = B[ ]
(C) Zugehörige Matrixdarstellung:
(D) Bildungsgesetz der Matrix [B] z (k – 1) :
bji =
+1
1
0
: Zweig i aus Knoten j
: Zweig i in Knoten j
: berühren sich nicht
i
j
z
k
z (k – 1)Matrix
-341-
1 2
4 = 0
3
i1
i2
i3
i4
i5
i6
Bezugsknoten
Die Knotenpotenzialanalyse IX
Die Kirchhoffschen Gesetze
(3) Zweigspannungen:
u = K[ ]T
(E) Bezug zur Knoteninzidenzmatrix:
Vergleicht man das Bildungsgesetz derMatrix [B ] (cf. Folie 341) mit demjenigender Knoteninzidenzmatrix (Folie 338),
dann ergibt sich die folgende Matrixrelation:
Für die Zweigspannungen gilt demnach:
bji = kij
B[ ] = K[ ]T
negative, transponierteKnoteninzidenz-matrix
-342-
6
1
2
3
4
5
6
RK
1 2
4 = 0
3
Die Knotenpotenzialanalyse X
Die Kirchhoffschen Gesetze
(3) Zweigspannungen: (F) Zur Festlegung der Knotenspannungen:
Die Knotenspannungen gehen aus denDifferenzen der Knotenpotentiale zum Refe-renzknoten (RK) hervor. Der letztere ist inder Praxis oft der Masseknoten ( 4 = 0).
Lineare Unabhängigkeit des Gleichungs-systems für die Knotenpotenziale wird beik Knoten mit der Wahl des RK erzielt: Essind dadurch nur noch (k – 1) unbekannteKnotenpotenziale zu ermitteln.
Eine sichere Festlegung der Knotenpoten-ziale und des RK erfolgt über den Baum mitseinen zB = (k – 1) Baumzweigen (Folie 139).Die Baumzweigspannungen sind gerade dieKnotenspannungen (-potenziale), falls dieBaumzweige (der Baum) so gewählt werden,dass sie vom RK ausgehen (cf. Folie 340).
RK: Referenz-, bzw. Bezugsknoten
-343-
Merke: Mit dem linear unabhängige System von (k – 1) Baumzweigspannungen sind alle Spannungen im Netzwerk bestimmt.
Die Knotenpotenzialanalyse XI
Die Kirchhoffschen Gesetze
(3) Zweigspannungen: (G) Zum negativen Vorzeichen:
Der Zusammenhang zwischen den Zweigspan-nungen wird mittels der negativen, transponierten Knoteninzidenzmatrix wiedergegeben (positiv wäreirgendwie schöner).
Das negative Vorzeichen rührt von der Definitiondes Knotensatzes (KCL) her.
Bisher: Ströme, die in den Knoten fliessen wer-den positiv gezählt, die wegfliessenden entsprechendnegativ.
Die Multiplikation der Knotenregel (KCL) mit demFaktor –1 ergibt eine identische Knotenregel.
«Neue» Knotenregel: Ströme die wegfliessen zähltman positiv u.u. ist physikalischer, da es der Auf-fassung Strömungsfeldes mehr entspricht: Die Strom-dichtebilanz durch die Hüllfläche (rot) ergibt Null.
B[ ] = K[ ]T
i 1i 2
i 3 n
μ
iKnotenμ
=1
3
= 0
-344-
7
i qμ =
Quellenströme iq
die in
den Knoten μ eintreten
bzw. austreten zählen.
i1 i3
1 2 3i2
i4
i5
i6
iq2iq1
Die Knotenpotenzialanalyse XII
Netzwerkanalyse
(1) Einfügen der Stromquellen in die Knotengleichungen:
(A) Knotengleichungen mit Stromquellen:
q1
q2
+ iq1
iq2
= 0 K i
Knoten / Zweige:k
z
K[ ] i = i q(KCL)
mit Stromquellen
i
q
-345-
i1
i2
i3
i4
i5
i6
u3
u5
u2
u4
u1
u6
Die Knotenpotenzialanalyse XIII
Netzwerkanalyse
(2) Die Zweigadmittanzmatrix:
(A) Zweigrelation:+
–
uzi z i z = Yz uz
i 1i 2i 3
=
Y 1 0 0
0 Y 2 0
0 0 Y 3
u1u2u 3
i = Yz u
(C) Zweigrelationen mittels Zweigadmittanzmatrix:
(B) Zweigrelationen bezüglich des Netzwerkes:
Die Zweigadmittanzmatrix ist eine (z z)-Diagonalmatrixkomplexe Zahl
komplexer Vektor (Phasor)
-346-
8
Die Knotenpotenzialanalyse XIV
Netzwerkanalyse
(3) Die Knotenadmittanzmatrix:
Y z u = i
(A) Rekapitulation der bisherigen Netzwerkbeziehungen:
u = K[ ]T
K[ ] i = i q
Zweigrelationen: Zweigspannungen:
Knotengleichungen:
K[ ] Y z K[ ]T( ) = i q
K[ ] Y z K[ ]T
= i q
Y z K[ ]
T( ) = i
Y k = K[ ] Y z K[ ]T
Y k = i q
(B) Knotenadmittanzmatrix:
(k – 1) (k – 1)Matrix
-347-
Die Knotenpotenzialanalyse XV
Netzwerkanalyse
(4) Die Knotenpotenzialgleichung:
T= 1, 2 ,…, k 1( )
Gleichungsystem für die (k – 1)Knotenpotenziale 1,…, k – 1.
Y k = i q
Y z u = i
u = K[ ]T
Gleichungsystem lösen mittels Cramerscher RegelGauss-Algorithmus, etc.
Knotenpotenziale
Zweigspannungen
Zweigströme
-348-
9
(1) Unabhängige Quellen weglassen reduziertes, passives Netzwerk
(2) Knoten und Zweige nummerieren Digraph
(3) Knoteninzidenzmatrix und Referenz reduzierte Knoteninzidenzmatrix [K ]
(4) Stromquellenvektor erstellen iq
(5) Zweigadmittanzmatrix erstellen [Yz]
(6) Knotenadmittanzmatrix ermitteln [Yk]
(7) Knotenpotenzialgleichung aufstellen [Yk]· = iq
(8) Knotenpotenzialgleichung lösen Matrixgleichung nach auflösen
(9) Zweigspannungen aus berechnen u
(10) Zweigströme aus u berechnen i
Die Knotenpotenzialanalyse XVI
Netzwerkanalyse
(5) Ein Algorithmus als Zusammenfassung:
Lösung: , u, i
-349-
Die Knotenpotenzialanalyse XVII
Beispielnetzwerk berechnen
(1) Schaltungstopologie aus Folie 336:
(A) (Reduzierte) Knoteninzidenzmatrix:
1 2
4
3
Y6Y1
Y5
Y4
Y3
Y2
iq2iq1
i1
i2
i3
i4
i5
i6
K =
1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Gesucht:
Die Stromstärke i3,Knoten 4 sei hierein Masseknoten.
(B) Stromquellenvektor:
iq=
iq1
0
iq2
-350-
10
=
1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Y1 0 0 0 0 0
0 Y2 0 0 0 0
0 0 Y 3 0 0 0
0 0 0 Y 4 0 0
0 0 0 0 Y5 0
0 0 0 0 0 Y6
1 0 0
1 1 0
0 1 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
Die Knotenpotenzialanalyse XVIII
Beispielnetzwerk berechnen
(2) Knotenadmittanzmatrix:
Knotenadmittanzmatrix
Y k = K[ ] Y z K[ ]T=
=
Y1+Y
2+Y
4( ) Y2+Y
4( ) 0
Y2+Y
4( ) Y2+Y
3+Y
4+Y
5( ) Y5
0 Y5
Y5+Y
6( )
Zweigadmittanzmatrix
-351-
Die Knotenpotenzialanalyse XIX
Beispielnetzwerk berechnen
(3) Knotenpotenzialgleichung:
Y1+Y
2+Y
4( ) Y2+Y
4( ) 0
Y2+Y
4( ) Y2+Y
3+Y
4+Y
5( ) Y5
0 Y5
Y5+Y
6( )
1
2
3
=
iq1
0
iq2
Das resultierende Gleichungssystem:
nach den unbekannten Potenzialen auflösen.
-352-
11
A[ ] x = b A[ ] = aij = a1,…,aj ,…,an
xT = x1,…, xi ,…, xn[ ]
bT = b1,…,bi ,…,bn[ ]
Die Knotenpotenzialanalyse XX
Beispielnetzwerk berechnen
(4) Knotenpotenzialgleichung lösen:
(A) Die Cramersche Regel:
xk =det A k( )
det A
A k( )
= A[ ]ak :=b
det A = 1( )i+ j
aij det Aijj=1
n
Lösung des Gleichungssystems
(B) Allgemeine Berechnung der Determinante: (hier nach der i-ten Zeile entwickelt)
det Aij = det A{ }Zeile iSpalte jstreichen
Unterdeterminante
-353-
Die Knotenpotenzialanalyse XXI
Beispielnetzwerk berechnen
(4) Knotenpotenzialgleichung lösen:
(C) Die Regel von Sarrus:
Für den häufigen Fall von 3 3-Matrizen kann die Determinante über ineinfacher Weise mit Hilfe der Sarrusschen Regel berechnet werden.
det A = det
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
a11 a12a21 a22a31 a32
=a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
+–addierensubtrahieren
Die ersten zwei Spalten kopieren
-354-
12
Die Knotenpotenzialanalyse XXII
Beispielnetzwerk berechnen
(4) Knotenpotenzialgleichung lösen:
(B) Gleichungssystem lösen :
det Y k = Y 1 +Y 2 +Y 4( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5( ) Y 5 +Y 6( )
Y 1 +Y 2 +Y 3( )Y52 Y 2 +Y 4( )2Y 5 +Y 6( )
det Yk2( )= det
Y 1 +Y 2 +Y 4( ) i q1 0
Y 2 +Y 4( ) 0 Y 5
0 i q2 Y 5 +Y 6( )
det Yk2( )= Y 1 +Y 2 +Y 4( )Y 5 i q2 + Y 2 +Y 4( ) Y 5 +Y 6( ) i q1
-355-
Die Knotenpotenzialanalyse XXIII
Beispielnetzwerk berechnen
(4) Knotenpotenzialgleichung lösen:
(B) Gleichungssystem lösen :
u3 = K[ ]T( )
3= 2
2 =det Yk
2( )
det Y k
=
=Y 2 +Y 4( ) i q1
Y 1 +Y 2 +Y 4
Y 5 +Y 6( )Y 5 i q2
Y 1 +Y 2 +Y 4( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5( ) Y 1 +Y 2 +Y 3
Y 5 +Y 6( )Y52 Y 2 +Y 4( )2
: Zweigspannung im Zweig #3 (siehe auch Folie 340)
-356-
13
Die Knotenpotenzialanalyse XXIV
Beispielnetzwerk berechnen
(4) Knotenpotenzialgleichung lösen:
(B) Gleichungssystem lösen :
i 3 =Y 3 Y 2 +Y 4( ) i q1
Y 1 +Y 2 +Y 4
Y 5 +Y 6( )Y 5 i q2
Y 1 +Y 2 +Y 4( ) Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5( ) Y 1 +Y 2 +Y 3
Y 5 +Y 6( )Y52 Y 2 +Y 4( )2
i 3 =Y 3u3 = Y 3 2
u3 = K[ ]T( )
3= 2 : Zweigspannung im Zweig #3
Aus diesem Ergebnis geht hervor, dass die Stromstärke i3 eine gewichteteÜberlagerung der beiden Quellenströme iq1 und iq2 ist. Der Nutzen dieserAussage wird in einem späteren Kapitel erschlossen (ab Folie 389).
-357-
Y1+Y
2+Y
4( ) Y2+Y
4( ) 0
Y2+Y
4( ) Y2+Y
3+Y
4+Y
5( ) Y5
0 Y5
Y5+Y
6( )
1
2
3
=
iq1
0
iq2
Die Knotenpotenzialanalyse XXV
Ausblick
(1) Direkte Ermittlung der Knotenadmittanzmatrix: (Knoten #4 Referenzknoten)
Einfacher Algorithmus:
Y =Summe aller am Knoten angreifenden Admittanzen.
Yμ =Negative Summe allerAdmittanzen die zwischenden Knoten und liegen.
1 2
4
3
Y6Y1
Y5
Y4
Y3
Y2
iq2iq1
i1
i2
i3
i4
i5
i6
-358-
14
1 2 3
i1
i2
i3
(i4)
i5
i6
u3
u5
u2
u4
u1
u6
i04
1 2 3
Y6Y1
Y5
Y3
Y2
iq2iq1
i1
i2
i3
i4i5
i6
i04
u6
Die Knotenpotenzialanalyse XXVI
Ausblick
(2) Der Einbezug einer
spannungsgesteuerten
Stromquellen (VCCS)(*):
• Die VCSS ist ein günstigerFall für den Einbezug in dieKnotenpotenzialanalyse: ImFall z.B. einer VCVS müsstedas Knotenpotenzialverfahrenmodifiziert werden.
• Die VCCS im Zweig #4 ist einabhängiges Element und wirddeshalb im Digraph des pas-siven Netzwerkes belassen.
• Die Bezugsrichtung im Zweig#4 wurde hier belassen.
(*) VCCS: voltage controlled current source
i 4 = i 04 = S u6
-359-
Die Knotenpotenzialanalyse XXVII
Ausblick
(2) Der Einbezug einer spannungsgesteuerten Stromquellen (VCCS):
(A) Die Steuergrösse ist eine Zweigspannung:
i 4 = S u6
Y z =
Y1 0 0 0 0 0
0 Y2 0 0 0 0
0 0 Y 3 0 0 0
0 0 0 0 0 S
0 0 0 0 Y5 0
0 0 0 0 0 Y6
steuernderZweig #6
gesteuerterZweig #4
Merke: Die modifizierteZweigadmittanzmatrix istnicht mehr symmetrisch.
1 2 3
i1
i2
i3
(i4)
i5
i6
u3
u5
u2
u4
u1
u6
i04
S: Steilheit in A/V (Steuerparameter)
-360-
15
Die Knotenpotenzialanalyse XXVIII
Ausblick
(2) Der Einbezug einer spannungsgesteuerten Stromquellen (VCCS):
(B) Die Steuergrösse ist keine Zweigspannung:
i 4 = S u 31 = S u6 u1( )
Merke: Die modifizierteZweigadmittanzmatrix istnicht mehr symmetrisch.
1 2 3
i1
i2
i3
(i4)
i5
i6
u3
u5
u2
u4
u1
u6
i04
Steuergrösse
u31
Y z =
Y1 0 0 0 0 0
0 Y2 0 0 0 0
0 0 Y 3 0 0 0
+S 0 0 0 0 S
0 0 0 0 Y5 0
0 0 0 0 0 Y6
steuernderZweig #6
gesteuerterZweig #4
steuernderZweig #1
-361-
Die Knotenpotenzialanalyse XXIX
Ausblick
(2) Der Einbezug einer spannungsgesteuerten Stromquellen (VCCS):
(C) Direkte Verknüpfung mit der Knotenadmittanz-matrix:
Knotenpotenzialgleichung ist eigentlich eineKnotengleichung bezüglich der Knotenpoten-ziale (als Funktion der Knotenströme).
Die gesteuerte Stromquelle (VCCS) vorerstals konstante Stromquelle in den Quellenvektor(entsprechend der Knoten) eintragen.
Die gesteuerten Stromstärken im Quellen-vektor wieder auf die linke Seite bringen undgemäss ihren Steuergrössen dem entspr.Potenzial zuordnen, d.h. in der Matrix eintragen.
Die Knotenadmittanzmatrix wird dabei auchunsymmetrisch.
i 4 = S u6 = S 3
1 2 3
i1
i2
i3
(i4)
i5
i6
u3
u5
u2
u4
u1
u6
i04
-362-
16
Die Knotenpotenzialanalyse XXX
Ausblick
(2) Der Einbezug einer spannungsgesteuerten Stromquellen (VCCS):
(C) Direkte Verknüpfung mit der Knotenadmittanzmatrix:
Y1( )Y
2( )Y
2( )
Y1+Y
2( ) Y2
0
Y2
Y2+Y
3+Y
5( ) Y5
0 Y5
Y5+Y
6( )
1
2
3
=
iq1+ S
3
S3
iq2
Y1( )Y
2( )Y
2( )
Y1+Y
2( ) Y2
S
Y2
Y2+Y
3+Y
5( ) Y5+ S
0 Y5
Y5+Y
6( )
1
2
3
=
iq1
0
iq2
Im Quellen-vektor ein-tragen
Wieder aufdie andereSeite bringen.
-363-
Die Maschenstromanalyse I
Warum Maschenstromanalyse?
(1) Vorteile / Nachteile:
• Verringerter Rechenaufwand (+):
Netzwerk: k Knoten (1) Beim vollständigen Gleichungssystem (Folie 150)z Zweige müssen z Gleichungen gelöst werden.
(2) Beim Maschenstromverfahren müssen lediglichm = z – (k – 1) Gleichungen für m Maschenströmegelöst werden. Der verringerte Rechenaufwandergibt sich demnach aus der Tatsache: m < z.
(3) Vergleich zwischen Maschenstromanalyse undKnotenpotenzialanalyse: m = z – (k – 1) (k – 1).
• Keine idealen Stromquellen zugelassen (–):
Als unabhängige Anregungen gelten vorerst nurideale/reale Spannungsquellen und reale Strom-quellen (letztere sind in reale Spannungsquellenumzuwandeln).
-364-
17
Die Maschenstromanalyse II
Warum Maschenstromanalyse?
(2) Vorgehensweise:
(1) Netzwerktopologie formalisieren:Stichwort «Digraph».
(2) Ermittlung der unabhängigen Maschenmittels Baum.
(3) Kirchhoffschen Gesetze formalisieren:Kompakte Darstellung für KVL.
(4) Mascheninzidenzmatrix
(5) Zweigimpedanzmatrix
(6) Maschenimpedanzmatrix
(7) Gleichungssystem für Maschenströme(herleiten und lösen)
(8) Algorithmus der Maschenstromanalyse(als Zusammenfassung)
-365-
Die Maschenstromanalyse III
Die Netzwerktopologie
(1) Die Schaltung:
(2) Bezugssystem:
Knoten-Nummerie-rung 1…k.
Zweig-Nummerie-rung 1…z.
Zweigstromrichtung
«Digraph»Zweigimpedanzen: Zz1…Zz6
-366-
18
Die Maschenstromanalyse IV
Unabhängige Maschen(-gleichungen)
(1) Einführung eines Baumes:
• Der Baum ist der Teilgraph, welcher alle Knoten ver-bindet ohne eine Masche zu enthalten (Folie 137 ff.).
• Aus der Vielzahl möglicher Bäume wird derjenigegewählt, bei welchem die gesuchten Zweigströme möglichst in dessen Verbindungszweige liegen.
(2) Ermittlung von linear unabhängigen Maschen:
• Mit jedem neu eingeführten Verbindungszweig ent-steht eine der linear unabhängigen Maschen (siehe Folie 138).
• Der Masche wird einen Richtungssinn entsprechenddes eingeführten Verbindungszweigs zugeordnet.
• Es werden solange Verbindungszweige eingeführt, bis der vollständige Digraph erreicht ist.
-367-
Die Maschenstromanalyse V
Die Kirchhoffschen Gesetze
(1) Der Maschensatz (KVL):
Maschen / Zweige
1 2 3 4 5 6
u z1 u z2 +u z3 = 0
u z3 +u z4 +u z6 = 0
u z2 +u z5 +u z6 = 0
m
z
uz Mascheμ=1
n
= 0(KVL)
Kirchhoffvoltage law
(A) Aufstellen der Maschengleichungen:
-368-
19
Die Maschenstromanalyse VI
Die Kirchhoffschen Gesetze
(1) Der Maschensatz (KVL): (B) Aufstellen der zugehörigen Matrixgleichung:
mij =
+1:
1:
0 :
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
uz1uz2uz3uz4uz5uz6
=
0
0
0
M[ ] Mascheninzidenz-matrix
j
i z
m
M[ ] uz = 0(KVL)Matrix-Schreibweise
Bezugspfeil von Masche i undZweigstrom j ist gleichsinnig.
Bezugspfeil von Masche i undZweigstrom j ist gegensinnig.
Pfeile berühren sich nicht.
(C) Maschen-inzidenz-matrix:(m z)
-369-
Die Maschenstromanalyse VII
Die Kirchhoffschen Gesetze
(2) Die Maschenströme: (A) Berechnung der Maschenströme:
= i z1= i z2= i z3= i z4= i z5= i z6
i z1 i m1 1
i z2 i m1 i m3 2
i z3 i m1 i m2 3
i z4 i m2 4
i z5 i m3 5
i z6 i m2 i m3 6
Maschen / Zweige
m
z
Verbindungszweige im Baum
-370-
20
Die Maschenstromanalyse VIII
Die Kirchhoffschen Gesetze
(2) Die Maschenströme: (B) Zugehörige Matrixgleichung:
iz1
iz2
iz3
iz4
iz5
iz6
=
1 0 0
1 0 1
1 1 0
0 1 0
0 0 1
0 1 1
im1
im2
im3
cji =
+1:
1:
0 :
Bezugspfeil von Maschen- i undZweigstrom j ist gleichsinnig.
Bezugspfeil von Maschen- i undZweigstrom j ist gegensinnig.
Pfeile berühren sich nicht.
i
j
z
m
i z = C[ ] i m(z m)-Matrix
-371-
Die Maschenstromanalyse IX
Die Kirchhoffschen Gesetze
(2) Die Maschenströme:
i z = M[ ]Ti m
(C) Bezug zur Mascheninzidenzmatrix:
Vergleicht man das Bildungsgesetz derMatrix [M ] (cf. Folie 371) mit demjenigender Mascheninzidenzmatrix (Folie 369),
dann ergibt sich die folgende Matrixrelation:
Für die Zweigströme gilt demnach:
cji = mij
C[ ] = M[ ]T
transponierteMascheninzidenz-matrix
-372-
21
Die Maschenstromanalyse X
Netzwerkanalyse
(1) Die Zweigimpedanzmatrix:
Zweigspannungsquelle unter Berücksichti-gung der Verbraucherbezugspfeilordnung.
(A) Allgemeine Zweigrelationen:
uzμ = Z zμ i zμ uqμ
uzμ +uqμ = Z zμ i zμ
Zzμi zμ
Zzμ i zμ uqμ
uzμKμ Kμ+n
-373-
Die Maschenstromanalyse XI
Netzwerkanalyse
(1) Die Zweigimpedanzmatrix:
Zweigspannungs-quellenvektor.
(B) Zweigrelationen mittels Zweigimpedanzmatrix:
uz1uz2uz3
+
uq1uq2uq3
=
Z z1 0 0
0 Z z2 0
0 0 Z z3
i z1i z2i z3
uz +uq = Z z i z
Die Zweigimpedanzmatrix ist eine (m m)-Diagonalmatrix
-374-
22
Die Maschenstromanalyse XII
Netzwerkanalyse
(2) Die Maschenimpedanzmatrix:
(A) Rekapitulation der bisherigen Netzwerkbeziehungen:
Zweigrelationen: Zweigströme:
Maschengleichungen:
M[ ] Z z M[ ]T
Zm[ ]
i m = M[ ] uz= 0
+ M[ ] uqu qm
Zm[ ]= M[ ] Zz M[ ]T
(B) Maschenimpedanzmatrix:
m m
Matrix
Z z i z = uz +uq
i z = M[ ]Ti m
Z z M[ ]
Ti m = uz +uq
M[ ] uz = 0
uqm = M[ ] uq
Zm[ ] i m = uqmMaschenquellen-spannungen:
-375-
Die Maschenstromanalyse XIII
Netzwerkanalyse
(3) Die Maschenstromgleichung:
Zm[ ] i m = uqm
i mT= i m1, i m2 ,…, i mm( )
Gleichungsystem für die mMaschenströme im1,…, imm.
Gleichungsystem lösenmittels CramerscherRegel, Gauss-Algorith-mus, etc.
Maschenströme
Zweigströme
Zweig-spannungen
i z = M[ ]Ti m
uz = Z z i z uq
-376-
23
-377-
Die Maschenstromanalyse XIV
Netzwerkanalyse
(4) Ein Algorithmus als Zusammenfassung:
(1) Knoten und Zweige nummerieren Digraph
(2) Unabhängige Maschengleichungen Baum
(3) Mascheninzidenzmatrix [M ]
(4) Zweigimpedanzmatrix erstellen [Zz]
(5) Zweigspannungsquellenvektor uq
(6) Maschenimpedanzmatrix ermitteln [Zm] und Maschenquellen uqm
(7) Maschenstromgleichung aufstellen [Zm]·im = uqm
(8) Maschenstromgleichung lösen Matrixgleichung nach im auflösen
(9) Zweigströme aus im berechnen iz
(10) Zweigspannungen aus iz berechnen uz
Lösung: im, iz, uz
Die Maschenstromanalyse XV
Beispielnetzwerk berechnen
(1) Schaltungstopologie aus Folie 366:
Gesucht:
Die Stromstärke iz5
als Funktion derbeiden Quellen-spannungen.
-378-
24
Die Maschenstromanalyse XVI
Beispielnetzwerk berechnen
(1) Schaltungstopologie aus Folie 366:
(A) Mascheninzidenzmatrix:
M[ ]=
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
(B) Maschenquellenspannungsvektor: uqm1uqm2uqm3
=
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
uq10
0
uq40
0
uqm1uqm2uqm3
=
uq1uq40
-379-
Die Maschenstromanalyse XVII
Beispielnetzwerk berechnen
(2) Maschenimpedanzmatrix:
(A) Zweigimpedanzen:
Zz1 = R1Zz2 = R2Zz3 = j L3Zz4 = R4 +
1j C4
Zz5 = R5 + j L5Zz6 = j L6 +
1j C6
-380-
25
Die Maschenstromanalyse XVIII
Beispielnetzwerk berechnen
(2) Maschenimpedanzmatrix:
=
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 1
Zz1 0 0 0 0 0
0 Zz2 0 0 0 0
0 0 Zz3 0 0 0
0 0 0 Zz4 0 0
0 0 0 0 Zz5 0
0 0 0 0 0 Zz6
1 0 0
1 0 1
1 1 0
0 1 0
0 0 1
0 1 1
Zm[ ]= M[ ] Zz M[ ]T=
=
Zz1+Z
z2+ Z
z3( ) Zz3
Zz2
Zz3
Zz3+Z
z4+ Z
z6( ) Zz6
Zz2
Zz6
Zz2+Z
z5+ Z
z6( )
Zweigimpedanzmatrix
Maschenimpedanz-matrix
-381-
Zz1+Z
z2+ Z
z3( ) Zz3
Zz2
Zz3
Zz3+Z
z4+ Z
z6( ) Zz6
Zz2
Zz6
Zz2+Z
z5+ Z
z6( )
im1
im2
im3
=
uq1
uq4
0
Die Maschenstromanalyse XIX
Beispielnetzwerk berechnen
(3) Maschenstromgleichung:
Das resultierende Gleichungssystem:
nach den unbekannten Maschenströmen auflösen.
-382-
26
Die Maschenstromanalyse XX
Beispielnetzwerk berechnen
(4) Maschenstromgleichung lösen:
i z5 = i m3
(A) Auflösen nach dem Strom i5:
Der Baum wurde gemäss Folie 367 so gewählt, dass der Strom iz5 in einem Verbin-dungszweig zu liegen kommt. Die Ströme in den Verbindungszweigen setzen sichgemäss des Bildungsgesetzes von linear unabhängigen Maschen (Folie 138) nuraus einem Maschenstrom zusammen.
i m3 =det Zm
3( )
det Zm
det Zm = Zz1 +Zz2 +Zz3( ) Zz3 +Zz4 +Zz6( ) Zz2 +Zz5 +Zz6( ) 2Zz2Zz3Zz6
Zz22 Zz3 +Zz4 +Zz6( ) Zz6
2 Zz1 +Zz2 +Zz3( ) Zz32 Zz2 +Zz5 +Zz6( )
Merke: Die Auflösung des Gleichungssystemsnach der gesuchten Grösse wird mit Hilfe derNetzwerkanalyse formal sehr einfach, dochergeben sich dabei meistens sehr komplizierteAusdrücke.
-383-
Die Maschenstromanalyse XXI
Beispielnetzwerk berechnen
(4) Maschenstromgleichung lösen:
(A) Auflösen nach dem Strom iz5:
det Zm3( )= det
Zz1 +Zz2 +Zz3( ) Zz3 uq1Zz3 Zz3 +Zz4 +Zz6( ) uq4Zz2 Zz6 0
=
det Zm3( )= Zz2Zz3uq4 Zz3Zz6uq1 Zz2 Zz3 +Zz4 +Zz6( )uq1
Zz6 Zz1 +Zz2 +Zz3( )uq4
= Zz2 Zz3 +Zz4 +Zz6( ) + Zz3Zz6 uq1
Zz6 Zz1 +Zz2 +Zz3( ) + Zz2Zz3 uq4
-384-
27
Die Maschenstromanalyse XXII
Ausblick
Direkte Ermittlung der Maschenimpedanzmatrix:
Zz1+Z
z2+ Z
z3( ) Zz3
Zz2
Zz3
Zz3+Z
z4+ Z
z6( ) Zz6
Zz2
Zz6
Zz2+Z
z5+ Z
z6( )
im1
im2
im3
=
uq1
uq4
0
Einfacher Algorithmus:
Z = Summe aller in der Masche vorkommenden Zweig-impedanzen.
Zμ = Summe aller Zweigimpedanzen die sowohl der -tenals auch der -ten Masche angehören. Das Vorzei-chen der Zweigimpedanz ist positiv, falls die Bezugs-pfeile der Maschen(-ströme) im gemeinsamen Zweiggleichsinnig sind; andernfalls ist es negativ.
M1
M2
M3
-385-
Netzwerkanalyse
Abschliessende Betrachtungen
k 1( ) < m = z k 1( )
k 1( ) > m = z k 1( )
Gegeben:
Ein Netzwerk mitk Knoten undz Zweigen
• Die Entscheidung welche der beiden Methoden derNetzwerkanalyse zur Anwendung kommen soll,hängt von zwei Kriterien ab:
(1) Welche Quellen dienen zur Anregung?
(2) Welche Topologie hat das Netzwerk?
Ideale StromquellenReale StromquellenReale Spannungsquellen
Ideale SpannungsquellenReale SpannungsquellenReale Stromquellen
Knotenpotenzialanalyse Maschenstromanalyse
Knotenpotenzial-analyse
Maschenstrom-analyse
-386-