A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Geometrija 4
Srdjan Vukmirovi¢
Matemati£ki fakultet, Beograd
februar 2015.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Sadrºaj
1 A�na geometrija (ponavljanje)
2 Projektivna ravanRealna projektivna ravan RP2
Realna projektivna prava RP1
Trotemenik i Dezargova teoremaDvorazmera
3 Projektivna preslikavanjaDe�nicija i osobineA�na preslikavanjaGrupe preslikavanja
4 HomologijeDe�nicija i osobineHomologije u pro²irenoj a�noj ravni
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
A�na geometrija ravni R2
Koordinatni sistem (reper) Oxy . Koordinate ta£ke M(x , y).
Prava je odredjena sa dve ta£ke.
Jedna£ina prave ax + by + c = 0.
Dve prave u ravni se seku ili su paralelne.
Kriva drugog reda je skup ta£aka koje zadovoljavaju jedna£inu:
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0. (1)
U prostoru je ravan zadata jedna£inom ax + by + cz + d = 0 iodredjena je sa tri ta£ke.
Dve ravni su ili paralelne, ili se seku po pravoj.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
A�na preslikavanja ravni
De�nicija
A�no preslikavanje ta£ku M(x , y) preslikava u ta£ku M(x ′, y ′):(x ′
y ′
)=
(a11 a12a21 a22
)(xy
)+
(b1b2
)(2)
gde je det(aij ) 6= 0.
Kolone matrice A = (aij ) su koordinate slika baznih vektora, aO ′(b1, b2) slika koordinatnog po£etka.
Osobine a�nih preslikavanja:
bijekcije su;
£uvaju kolinearnost, konkurentnost, paralelnost, razmeru;
mogu da preslikaju trougao u proizvoljan trougao (dokaz).
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Primer
Odrediti formule a�nog preslikavanja f koje ta£ke
A0(0, 0),B0(1, 0),C0(0, 1) slika redom u ta£ke A(1, 2), B(2,−4),C (3, 3).
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Homogene koordinate u a�noj ravni
De�nicija
Homogene koordinate ta£ke M(x , y) a�ne ravni R2 su ma koja
trojka (x1 : x2 : x3) takva da vaºi:
x =x1x3, y =
x2x3, x3 6= 0.
Vektor−→M = (x1, x2, x3) ∈ R3 je vektor predstavnik ta£ke M.
Prava p : ax + by + c = 0 u homogenim koordinatama postaje
p : ax1 + bx2 + cx3 = 0.
Trojka [a : b : c] predstavlja homogene koordinate prave p.
De�nicija
Prava p∞ : x3 = 0 naziva se beskona£no daleka prava, a svaka
ta£ka B∞(x1 : x2 : 0), koja joj pripada, beskona£no daleka ta£ka.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
A�na ravan dopunjena ta£kama beskona£no daleke prave x3 = 0naziva se dopunjena ili pro²irena a�na ravan i ozna£ava sa R̄2.
Paralelne prave a�ne ravni se seku u beskona£no dalekoj ta£kidopunjene a�ne ravni.
Primer
Odrediti presek pravih a : 2x − 5y + 6 = 0, b : 2x − 5y + 7 = 0 u i)
a�noj ravni; ii) dopunjenoj a�noj ravni.
Svaka prava dopunjene a�ne ravni ima jedinstvenu beskona£nodaleku ta£ku i to je njen presek sa pravom x3 = 0.
Primer
Odrediti beskona£no daleku ta£ku prave q : x + 4y − 1 = 0.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
De�nicija
Realna projektivna ravan je skup ta£aka RP2 := {(x1 : x2 : x3)},pri £emu ne mogu sve tri homogene koordinate biti jednake nuli.
Moºemo identi�kovati RP2 sa pro²irenom a�nom ravni.
RP2 := {(x1 : x2 : x3)} = {(x1 : x2 : x3) | x3 6= 0} ∪ {(x1 : x2 : 0)} =
= {(x1x3
:x2x3
: 1)} ∪ {(x1 : x2 : 0)} = R2 ∪ p∞ = R̄2.
Geometrijski moºemo videti realnu projektivnu ravan kao skup(tzv. snop) pravih u R3.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Sve prave realne projektivne ravni £ine projektivnu ravan
R̃P2 := {[x1 : x2 : x3]}.koja se zove dualna projektivna ravan pravih.Geometrijski je moºemo videti kao skup svih ravni u prostoru R3
kroz koordinatni po£etak.Homogene koordinate prave p = AB se dobijaju vektorskimproizvodom −→p =
−→A ×
−→B .
Primer
Odrediti jedna£inu prave p = AB , ako je A(1, 2, 3), B(0, 1,−2).
U projektivnoj ravni se svake dve prave seku!
Homogene koordinate prese£ne ta£ke {P} = a ∩ b se dobijajuvektorskim proizvodom
−→P = −→a ×
−→b .
Primer (za doma¢i)
Odrediti presek P pravih a : 3x1 + 2x24x3 = 0 i
b : 3x1 + 2x24x3 = 0.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Iskaz I ′ dobijen zamenom re£i ta£ka i prava, odnosno pripada isadrºi u nekom iskazu I naziva se dualan iskaz.Upravo iz ovog razloga, ponekad se obe re£i: pripada i sadrºi,menjaju sa re£i je incidentno.I : Postoji jedinstvena prava p koja sadrºi ta£ke A i B.I ′ : Postoji jedinstvena ta£ka P koja pripada pravama a i b.
Teorema (Princip dualnosti u ravni)
Ako je iskaz I teorema projektivne ravni, tada je i njemu dualan
iskaz teorema projektivne ravni.
Dokaz: Videli smo da nema su²tinske razlike izmedju projektivnogprostora ta£aka i pravih (osim oblika zagrada i na£ina ozna£avanja).Presk pravih se traºi na isti na£in kao i spoj ta£aka. utVide¢emo razne dualne de�nicije: dvorazmera ta£aka i dvorazmerapravih; trotemenik i trostranik; kriva drugog reda i druge klase. . .
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Realna projektivna prava
Primetimo da ta£ka C pripada pravoj p = AB ako vaºi
−→C = α
−→A + β
−→B , (3)
za neke brojeve α, β ∈ R koji nisu istovremeno nula.
Primetimo da λ−→C = λα
−→A + λβ
−→B , λ 6= 0 predstavlja ista ta£ku.
Zato su (α : β) homogene koordinate na pravoj p.
Svaka prava projektivne ravni je tzv. realna projektivna pravaRP1 koju dobijamo dodavanjem beskona£no daleke ta£ke P∞ a�nojpravoj R:
p = RP1 = {(α : β)} = {(αβ
: 1)} ∪ {(1 : 0)} = R ∪ {P∞}.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Iz relacije (3) dobijamo da je model projektivne prave KRUG:
1√α2 + β2
C =α√
α2 + β2A +
β√α2 + β2
B = cosφA + sinφB.
Dakle, raspored ta£aka na projektivnoj pravoj je kao na krugu, pane postoji relacija izmedju, ve¢ relacija razdvojenosti parovata£aka.
Kaºemo da par ta£ka A,B razdvaja par ta£aka C ,D (A,B ÷ C ,D).
Dve ta£ke A,B razbijaju pravu AB na dve projektivne duºi - onukoja sadrºi ta£ku C i onu koja sadrºi D.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Trotemenik, £etvorotemenik, . . .
Tri prave koje nisu konkurentne razbijaju projektivnu ravan na 4oblasti! Zato ne govorimo o trouglu, ve¢ o trotemeniku.
De�nicija
Trotemenik ABC je �gura projektivne ravni koja se sastoji od tri
nekolinearne ta£ke A,B,C i tri prave AB,BC ,CA njima odredjene.
De�nicija
�etvorotemenik ABCD je �gura projektivne ravni koja se sastoji
od £etiri ta£ke od kojih nikoje tri nisu kolinearne i ²est pravih
odredjenih tim ta£kama (te prave se zovu ivice £etvorotemenika).
Dijagonalne ta£ke £etvorotemenika su preseci "nesusednih" ivica
P = AB × CD, Q = AC × BD, R = AD × BC .
Za £etiri ta£ke od kojih nikoje tri nisu kolinearne kaºemo da su uop²tem poloºaju.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Dvorazmera
De�nicija
Neka su A,B,C ,D kolinearne ta£ke i vaºi:
−→C = α
−→A + β
−→B ,
−→D = γ
−→A + δ
−→B . (4)
Dvorazmera ta£aka A,B,C i D je broj
(A,B,C ,D) :=β
α:δ
γ. (5)
De�nicija je "dobra" - ne zavisi od izbora vektora predstavnika.
Primer
A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 2), C (1 : 2 : 4), D(−1 : 1 : 2). Izra£unati(A,B,C ,D).
Dvorazmera (a, b, c , d) pravih se de�ni²e dualno.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Osobine dvorazmere:a) (A,B,C ,D) = (B,A,C ,D)−1
Dokaz: Ako zamenimo uloge ta£kama A i B u formuli (6) tadabrojevi α i β, odnosno γ i δ menjaju uloge, pa se dobija traºenotvrdjenje.b) (A,B,C ,D) = (C ,D,A,B).Dokaz: Relaciju (6) moºemo zapisati matri£no sa:(
CD
)=
(α βγ δ
)(AB
).
Oznake vektora smo izostavili radi jednostavnosti zapisa. �ta jeobjekat na levoj strani prethodne formule?Odatle, nalaºenjem inverzne matrice dobijamo:(
AB
)=
1∆
(δ −β−γ α
)(CD
), ∆ = αδ − βγ.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
To zna£i da je:
−→A =
δ
∆
−→C +
−β∆
−→D ,
−→B =
−γ∆
−→C +
α
∆
−→D . (6)
(C ,D,A,B) =−β∆δ∆
:α∆−γ∆
=β
α:δ
γ= (A,B,C ,D). (7)
c) Za razli£ite ta£ke vaºi (A,B,C ,D) 6= 0, 1. (za doma¢i)d) Ako su date ta£ke A,B i C i broj µ 6= 0, 1 tada postojijedinstvena ta£ka D takva da vaºi (A,B,C ,D) = µ. (za doma¢i, naprimeru)
De�nicija
Parovi ta£aka A,B i C ,D su harmonijski konjugovani (pi²emo
H(A,B;C ,D)) ako (A,B,C ,D) = −1.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Teorema
Ako su a, b, c , d konkurentne prave i A ∈ a,B ∈ b,C ∈ c,D ∈ dkolinearne ta£ke. Tada je (A,B,C ,D) = (a, b, c , d).
Dokaz: Po de�niciji vaºi:
(a, b, c , d) :=β
α:δ
γ
−→c = α−→a + β−→b ,
−→d = γ−→a + δ
−→b .
Pretpostavimo da A,B,C ,D ∈ p. Da bi odredili ta£ke A,B,C ,Dtraºimo preseke sa pravom p:
−→c ×−→p = α(−→a ×−→p ) + β(−→b ×−→p )
−→d ×−→p = γ(−→a ×−→p ) + δ(
−→b ×−→p ), tj.
−→C = α
−→A + β
−→B ,
−→D = γ
−→A + δ
−→B .
Zato je (A,B,C ,D) = βα : δ
γ = (a, b, c, d). ut
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Posledica prethodne teoreme je: dvorazmera je invarijantacentralnog projektovanja.
Teorema
A�no posmatrano, dvorazmera je odnos dve razmere:
(A,B,C ,D) =
−→AC−→CB
:
−→AD−→DB
.
Primer: Dokaz: Po²to su sve ta£ke kona£ne, tj. x3 6= 0,odaberimo vektore predstavnike svih ta£aka tako da im tre¢akoordinata bude jednaka jedan. Tada iz relacije
−→C = α
−→A + β
−→B ,
sledi α + β = 1.
−→AC−→CB
=C − A
B − C=
A(α− 1) + βB
−αA + (1− β)B=β(B − A)
α(B − A)=β
α.
Sli£no je za drugu razmeru, pa dobijamo traºeno tvrdjenje. ut
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Posledica
Sredi²te duºi je konjugovano sa beskona£no dalekom ta£kom.
Na perspektivnim crteºima dvorazmera je vaºna invarijanta.
Primedba
Primetimo da se razdvojenost parova ta£aka moºe formalno uvesti
uz pomo¢ dvorazmere. Naime
A,B ÷ C ,D ⇔ (A,B,C ,D) < 0.
Ova de�nicija se poklapa razdvojenosti ta£aka na krugu, koju
moºemo uvesti aksiomatski (ili posmatrati intuitivno).
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Projektivna preslikavanja ravni RP2
De�nicija
Projektivno preslikavanje je ono koje preslikava ta£ku
M(x1 : x2 : x3) u ta£ku M ′(x ′1 : x ′2 : x ′3) formulama
λ
x ′1x ′2x ′3
=
p11 p12 p13p21 p22 p23p31 p32 p33
x1x2x3
, det(pij ) 6= 0. (8)
Broj λ 6= 0 sugeri²e da su u pitanju homogene koordinate.
Projektivno preslikavanje je indukovano linearnim preslikavanjemvektorskog prostora R3.
Preslikavanje (8) kra¢e zapisujemo
λx ′ = Px , (9)
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
a njemu inverzno preslikavanje sa
λx = Cx ′, gde je C = P−1. (10)
Matrice P i λP predstavljaju isto preslikavanje.
Kompoziciji preslikavanja odgovara mnoºenje matrica, a inverznompreslikavanju inverzna matrica.
Projektivna preslikavanje £ine projektivnu grupu PGl3(R). Tagrupa je osmodimenziona (opisana sa 8 parametara).
Projektivno preslikavanje slika £uva kolinearnost ikonkurentost. Ovo sledi iz toga ²to su kolinearne ta£kepredstavljene linearno zavisnim (LZ) vektorima, a linearnopreslikavanje LZ vektore slika u LZ vektore.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Osnovna teorema Projektivne geometrije
Teorema
Postoji jedinstveno projektivno preslikavanje ravni RP2 koje £etiri
ta£ke A,B,C ,D u op²tem poloºaju slika redom u ta£ke
A′,B ′,C ′,D ′, u op²tem poloºaju.
Dokaz: Posmatramo bazne ta£ke A0,B0,C0,D0, gde je
A0(1 : 0 : 0), B0(0 : 1 : 0), C0(0 : 0 : 1), D0(1 : 1 : 1).
Pokaºimo da postoji jedinstveno projektivno f : A0,B0,C0,D0 7→ A,B,C ,D.
Kako su ta£ke A,B,C nekolinearne, odgovaraju¢i vektori koordinata su nezavisni, pa
je vektor−→D mogu¢e izraziti u obliku
−→D = λ1
−→A + λ2
−→B + λ3
−→C ,
gde ni jedan od brojeva λ1, λ2, λ3 nije nula. Ako je, recimo, λ1 = 0, tada bi ta£keB,C ,D bile kolinearne, suprotno pretpostavci.
Neka je P matrica £ije su kolone redom λ1−→A , λ2
−→B i λ3
−→C . Preslikavanje f zadato sa
λx ′ = Px je traºeno preslikavanje. Za²to?
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Matica P je do na mnoºenje skalarom jedinstvena (po de�niciji matrice linearnogpreslikavanja), pa je f jedinstveno.
Na sli£an na£in se dobija preslikavanje g koje slika A0,B0,C0,D0 u A′,B′,C ′,D′, pa
je projektivno preslikavanje g ◦ f −1 jedinstveno preslikavanje iz tvrdjenja teoreme. ut
Primer
Odrediti projektivno preslikavanje ravni koje ta£ke A0,B0,C0,D0
slia u A(1 : 2 : 3), B(3 : 2 : 1), C (0 : 1 : 1), D(7 : 11 : 10).
Projektivno preslikavanje ravni sa 4 �ksne ta£ke u op²tem poloºajuje identitet.
Primer
a) Pravougaonik i trapez su projektivno ekvivalentni u R̄2.b) Dijagonalne ta£ke £etvorotemenika su medjusobno projektivno
ekvivalentne.
Projektivna preslikavanje ne £uvaju razmeru ni paralelnost.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Teorema
Projektivna preslikavanja £uvaju dvorazmeru.
Dokaz: Neka za slike A′,B ′,C ′,D ′ ta£aka A,B,C ,D vaºi
−→C ′ = α
−→A′ + β
−→B ′,
−→D ′ = γ
−→A′ + δ
−→B ′.
Primenom formula preslikavanja (9) na te relacije dobijamo
P−→C = αP
−→A + βP
−→B , P
−→D ′ = γP
−→A′ + δP
−→B ′.
Nakon mnoºenja matricom P−1 sleva, dobijamo
−→C = α
−→A + β
−→B ,
−→D = γ
−→A + δ
−→B
odakle je
(A,B,C ,D) =β
α:δ
γ= (A′,B ′,C ′,D ′).ut
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Posledica
Ako su tri ta£ke neke prave p �ksne pri projektivnom preslikavanju,
svaka ta£ka prave p je �ksna.
Ako su tri prave koje sadrºe ta£ku P �ksne pri projektivnom
preslikavanju, svaka prava kroz P je �ksna.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Teorema
Parovi ta£aka P,Q i R,S su harmonijski konjugovani ako i samo
ako postoji £etvorotemenik ABCD takav da su P i Q njegove
dijagonalne ta£ke, a R i S preseci prave PQ sa ivicama
£etvorotemenika kroz tre¢u dijagonalnu ta£ku.
Dokaz: (⇐= ) Pretpostavimo da takav £etvorotemenik ABCDpostoji i dokaºimo da su ta£ke P,Q,R i S harmonijski konjugovane.Moºemo pretpostaviti da £etvorotemenik ima kanonske koordinate:
A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 0), C (0 : 0 : 1), D(1 : 1 : 1).
Direktnim ra£unom dobijamo
P = AD×BC = (0 : 1 : 1), Q = AB×DC = (1 : 1 : 0), PQ = [1 : −1 : 1],
R = BD × AC = (1 : 2 : 1), S = AC × PQ = (1 : 0 : −1).
−→R = 1 ·
−→P + 1 ·
−→Q ,
−→R = −1 ·
−→P + 1 ·
−→Q
odakle je (P,Q,R, S) = −1, tj. H(P,Q,R,S).
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
(=⇒ ) Pretpostavimo da vaºi H(P,Q,R,S). Konstrui²imo traºeni£etvorotemenik.Neka su p1, p2 ∈ P i q1 ∈ Q proizvoljne prave.Ozna£imo
A = p1 × q1, C = AS × p2, D = QC × p1, B = p2 × q1.
Dokaºimo da je ABCD traºeni £etvorotemenik.Po konstrukciji su P i Q dijagonalne ta£ke.Po konstrukciji je S = PQ × AC . Da li je R = PQ × DB?Neka je R ′ = PQ × DB. Na osnovu dokazanog smera vaºiH(P,Q,R ′,S). Po pretpostavci vaºi H(P,Q,R, S). Zbogjedinstvenosti £etvrte harmonijske ta£ke R = R ′ = PQ × DB .Dakle, postoji traºeni £etvorotemenik ABCD. ut
Primer
Neka je ABCD trapez (AB ‖ CD), ne obavezno jednakokraki. Neka
je P = AD × BC , Q = BD × AC , E = AB × PQ, F = CD × PQ.Dokazati: a) H(P,Q,E ,F ); b) F = S(DC ),E = S(AB).
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
A�na i projektivna preslikavanja
A�no preslikavanje (2) nakon prelaska u homogene koordinatepostaje
λ
x ′1x ′2x ′3
=
a11 a12 b1a21 a22 b20 0 1
x1x2x3
. (11)
Matricu tog preslikavanja ozna£avamo sa Ab.Vidimo da je a�no preslikavanje specijalan slu£aj projektivnogpreslikavanja pro²irene a�ne ravni R̄2.
Teorema
Grupa a�nih preslikavanja je izomorfna podgrupi projektivnih
preslikavanja ravni R̄2 koje £uvaju beskona£no daleku pravu p∞.
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Dokaz: Projektivno preslikavanje λx ′ = Px £uva beskona£nodaleku pravu, ako i samo ako vaºi
λ
p11 p12 p13p21 p22 p23p31 p32 p33
x1x20
=
x ′1x ′20
za svako x1, x2 ∈ R.Drugim re£ima, slika proizvoljne beskona£no daleke ta£keB∞(x1 : x2 : 0) ∈ p∞ je beskona£no daleka ta£kaB ′(x ′1 : x ′2 : 0) ∈ p∞. To ne daje nikakav uslov za prve dve vrstematrice P , a za tre¢u vrstu dobijamo
p31x1 + p32x2 = 0, za svako x1, x2 ∈ R.
Dakle, uslov da se £uva beskona£no daleka prava je ekvivalentan sap31 = 0 = p32, p33 6= 0. Kako matrice P i λP predstavljaju istopreslikavanje moºemo pretpostaviti da je p33 = 1, odakle sleditvrdjenje. ut
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
�to je grupa ve¢a, to ona razlikuje manji broj objekata. Tako,projektivna grupa ne razlikuje elipsu, hiperbolu i parabolu.
Ve¢a grupa ima manje invarijanti. Recimo, izometrije £uvajuduºine (a time i razmeru i dvorazmeru). A�na preslikavanja £uvajurazmeru (a time i dvorazmeru), a projektivna samo dvorazmeru.
grupa matrica ekvivalentni objekti invarijante
projektivnaPGl2(R)
p11 p12 p13p21 p22 p23p31 p32 p33
svi £etvorouglovi,ovalne krive 2. reda
konkurentnost,kolinearnost,dvorazmera,tangentnost,
unutra²njost krive 2. reda
a�naAff2(R)
a11 a12 v1a21 a22 v20 0 1
svi trouglovi,svi paralelogrami,
sve elipse,sve hiperbole
paralelnost,razmera,
odnos povr²ina,bekona£no daleka prava,konjugovani dijametri
konformnaCon2(R)
s cosφ ∓s sinφ v1s sinφ ±s cosφ v2
0 0 1
sli£ni trouglovi,svi krugovi,sve parabole
uglovi,odnos duºina
izometrijeIsom2(R)
cosφ ∓ sinφ v1sinφ ± cosφ v20 0 1
podudarnitrouglovi
duºine,povr²ina
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Homologije
De�nicija
Ta£ka S je centar projektivnog preslikavanja f ako je svaka
prava kroz S �ksna, tj. f (a) = a, a 3 S .
Osa preslikavanja se de�ni²e dualno. Dakle, prava s je osaprojektivnog preslikavanja f ako je svaka ta£ka prave s �ksna, tj.f (A) = A, A ∈ s.
De�nicija
Projektivno preslikavanje koje ima osu i centar zove se homologija.
Homologija je odredjena sa centrom S , osom s i paromodgovaraju¢ih ta£aka M,M ′. (dokaz)
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Teorema
Projektivno preslikavanje ima osu ako i samo ako ima centar.
Dokaz: (=⇒) Neka f ima osu s. Neka je M 6∈ s ta£ka takva daM ′ = f (M) 6= M. Ozna£imo MM ′ × s = X .
f (MM ′) = f (MX ) = f (M)f (X ) = M ′X = MM ′,
pa je prava MM ′ �ksna. Na sli£an na£in postoji jo² jedna �ksnaprava NN ′. Neka je S = NN ′ ×MM ′.
f (S) = f (NN ′ ×MM ′) = f (NN ′)× f (MM ′) = NN ′ ×MM ′ = S .
Dokaºimo da je ta£ka S centar.1. slu£aj) Ako S 6∈ s, tada je svaka prava kroz S �ksna jer ima dve�ksne ta£ke - tav cku S i presek sa osom.2. slu£aj) Ako S ∈ s, tada su s,MM ′,NN ′ prave koje sadrºe S i�ksne su. Zbog £uvanja dvorazmere pravih, svaka prava kroz S je�ksna (vidi Posledicu).(⇐=) Sledi iz dualnosti ose i centra. ut
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Posmatrajmo sada homologiju f sa osom s i centrom S u pro²irenoja�noj ravni R̄2 = R2 ∪ p∞.Primetimo: i f −1 je homologija i ima istu osu i centar kao f .Protivosa u je prava koja se slika u beskona£no daleku pravu, tj.f (u) = p∞.Horizont v ′ je prava koja je slika beskona£no daleke prave, tj.f (p∞) = v ′. Primetimo da je v ′ protivosa preslikavanja f −1.
Lema
Za homologiju u pro²irenoj a�noj ravni vaºi
u ‖ s ‖ v ′.
Dokaz: Neka je s × u = A.
A ∈ s ⇒ f (A) = A, A ∈ u ⇒ f (A) ∈ p∞.
Dakle, A ∈ p∞, pa se prave s i u seku beskona£no daleko, tj. s ‖ u.v ′ je protivosa preslikavanja f −1 koje ima istu osu s ⇒ s ‖ v ′. ut
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
A�ne homologije
Lema
Jedine �ksne prave homologije f su osa s i prave kroz centar S .
Dokaz: Pretpostavimo suprotno, da je prava p �ksna (f (p) = p),a da nije jedna od navedenih. Neka su m, n 3 S , dve prave kojesadrºe centar i m, n 6= s. Njihovi preseci M,N sa p su �ksne ta£kepreslikavanja f . Po²to na osi s postoje jo² bar dve �ksne ta£ke S1,S, preslikavanje f ima 4 �ksne ta£ke u op²tem poloºaju. Zato je fidentitet. Ova kontradikcija dokazuje tvrdjenje. ut
Teorema
Neka je preslikavanje f homologija. Ono je a�no ako i samo ako
S ∈ p∞ ili s = p∞.
Dokaz: Podsetimo se da je projektivo preslikavanje f a�no ako isamo ako f (p∞) = p∞, tj. prava p∞ je �ksna. Ako je f ihomologija tada je na osnovu Leme sledi tvrdjenje. ut
A�na geometrija (ponavljanje) Projektivna ravan Projektivna preslikavanja Homologije
Kako izgledaju a�ne homologije?
S∞ ∈ p∞, s 6= p∞ (centar beskona£an, osa kona£na)
Zraci a�nosti MM ′, NN ′ . . . sadrºe S∞ (paralelni su), aodgovaraju¢e prave MN i M ′N ′ se seku na osi. Ovopreslikavanje zovemo a�nost.
s = p∞, S 6∈ p∞ (centar kona£an, osa beskona£na)
Odgovaraju¢e prave MN, M ′N ′ se seku na osi s = p∞, pa jeMN ‖ M ′N ′. Zato je 4SMN ∼ 4SM ′N ′ za ma koje M i N.Preslikavanje je homotetija sa centrom S i koe�cientom
λ =−−→SM ′/
−→SM.
s = p∞, S ∈ p∞ (i osa i centar beskona£ni)
MN ×M ′N ′ ∈ s = p∞, pa je MN ‖ M ′N ′;MM ′ × NN ′ = S ∈ p∞, pa je MM ′ ‖ NN ′.Dakle
−−→MM ′ =
−−→NN ′, tj. preslikavanje je translacija za vektor−−→
MM ′.