Geometria no Espaço IIGeometria no Espaço II(11º ano)(11º ano)
Modos de definir um planoModos de definir um plano
Um plano fica definido por:Um vector normal ao plano n (n1, n2, n3)eUm ponto do plano dado A (a1, a2, a3)
Sendo P (x, y, z) um ponto qualquer do plano
Equação do plano
n1x + n2y + n3z + d = 0
Sendo o vector normal ao plano:
n = (n1, n2, n3)
Equação do plano
Resultante de: = 0 (vectores perpendiculares, produto escalar nulo)
n1(x-a1)+ n2(y-a2)+ n3(z-a3) = 0
n1x - n1a1 + n2y - n2a2 + n3z -n3a2= 0
n1x + n2y + n3z + (- n1a1 - n2a2 -n3a3 ) = 0
d (- n1a1 - n2a2 -n3a3 )
n AP����������������������������
r
1
1
José MariaPlano_01
RECTA NO PLANO
r : x + y = 1
y
x
1O
y
1
z
1
x
José MariaPlano_02
Recta no plano
"traduz"
um plano no ESPAÇO
1O
y
1
z
1
x
José MariaPlano_02
Recta no plano
"traduz"
um plano no ESPAÇO
x
y
s
1 2
1
-2
-4
José MariaPlano_04
RECTA NO PLANO
s: y = 2x -4
z
y
x
1O
1
-4 1
2
Recta no plano s: y = 2x -4"traduz"
um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos zz)
José MariaPlano_05
z
y
x
1O
1
-4 1
2
Recta no plano s: y = 2x -4"traduz"
um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos zz)
José MariaPlano_05
y
z
t
x
1O
2
1
3
1
José MariaPlano_06
Recta no plano (yOz) t : z = -2y + 3 "traduz"
um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos xx)
y
z
t
x
1O
2
1
3
1
Recta no plano (yOz) t : z = -2y + 3 "traduz"
um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos xx)
José MariaPlano_06
n��������������
n
n
y
z
x
n
O
2
-1
1
1
O-1
1
(0, -2, 0)
(0, 0, 2)
(1, 0, 0)
2
Intersecção com o eixo Ox : y = 0 e z = 0 2x - 0 + 0 -2 = 0 x = 1 (1, 0, 0)
Intersecção com o eixo Oy : x = 0 e z = 0 2(0) - y + 0 -2 = 0 y = -2 (0, -2, 0)
Intersecção com o eixo Oz : x = 0 e y = 0 2(0) - 0 + z -2 = 0 z = 2 (0, 0, 2)
José MariaPlano_07
Plano definido por : 2x - y + z - 2 = 0
vector normal: = (2, -1, 1)
r
n
C
A
José MariaPlano_08
Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) é perpendicular ao vector (n) normal ao plano
n
s
A
D
C
José MariaPlano_09
Perpendicularidade entre rectas e planos
o vector director da recta (s) é colinear com o vector (n) normal ao plano
n
p
José MariaPlano_10
Paralelismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares
n
p
Perpendicularidade entre planos
os vectores normais aos planos são perpendiculares
José MariaPlano_11
Os planos são estritamente paralelos
José MariaPlano_12
Intersecção de dois planos e Resolução de sistemas
intersecção: conjunto vaziosistema: impossível
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
• Sistema impossível:
• 2 planos estritamente paralelos
• 2 vectores colineares
• 2 equações não equivalentes entre si
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
Sistema impossível:• (2 planos estritamente paralelos)
•
• vectores normais e (1,1,1)
(2,2,2)
n
n
��������������
��������������
1
2 2 2 3
x y z
x y z
d = 1
d = 3
intersecção: um planosistema: indeterminado
Intersecção de dois planos e Resolução de sistemas
José MariaPlano_20
Os planos são coincidentes
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
• Sistema possível e indeterminado:
• 2 planos paralelos coincidentes
• 2 vectores colineares
• 2 equações equivalentes entre si
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
Sistema indeterminado:
• (2 planos paralelos coincidentes)
•
• vectores normais e
1
2 2 2 2
x y z
x y z
(1,1,1)
(2,2,2)
n
n
��������������
�������������� d = 1
d = 2
Os planos são secantes
José MariaPlano_21
intersecção: uma rectasistema: indeterminado
Intersecção de dois planos e Resolução de sistemas
4
2
x z
y
rz
y
x
xOy
1
-2
1
1
3
4
X
A
4
A intersecção dos 2 planosé dada por um sistema:
- a intersecção é uma recta - o sistema é possível indeterminado
Intersecção de dois planos no espaço
José MariaPlano_24
1
2 5
x y z
x y z
r��������������
A = (3, -2, 0)
r�������������� = (-3, 1, 2)
y + 2x -3 z = = -3 1 2
r��������������
r
z
y
x
3
0
1
1
1
2
3
- 51
3
2
5
A intersecção dos 2 planos é dada pelas equações cartesianas
a intersecção é uma recta
o sistema é possível indeterminado
Intersecção de dois planos no espaço
José MariaPlano_26
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
• Sistema indeterminado:
• (2 planos intersectam-se numa recta)
• vectores normais e
• OBS: Neste caso é necessário determinar a equação da recta de intersecção
1
2 5
x y z
x y z
(1,1,1)
(1, 1,2)
n
n
��������������
�������������� d = 1
d = 5
Ver resolução de sistema em ficheiro Acrobat Reader
“Posição relativa de 2 planos.pdf ”
Os 3 vectores normais são colineares,e as 3 equações não equivalentes
intersecção: conjunto vaziosistema: impossível
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
José MariaPlano_13
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• 3 planos estritamente paralelos
• 3 vectores normais colineares
• 3 equações não equivalentes entre si
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: conjunto vaziosistema: impossível
Os 3 vectores normais são colineares,e 2 equações são equivalentes entresi e não equivalentes com a 3ª
José MariaPlano_17
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• 2 planos coincidentes e paralelos ao terceiro
• 3 vectores normais colineares
• só 2 equações equivalentes
José MariaPlano_18
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: conjunto vaziosistema: impossível
Só 2 vectores normais são colinearese as 2 equações correspondentes nãosão equivalentes
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• 2 planos estritamente paralelos
• e
• o terceiro secante aos dois
• só 2 vectores normais colineares
• e as 2 equações não equivalentes
Os 3 vectores normais não sãocolineares
intersecção: conjunto vaziosistema: impossível
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
José MariaPlano_19
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• nenhum plano paralelo
• nem coincidente
• nenhum vector normal colinear entre si
Os 3 vectores normais são colineares,e as 3 equações são equivalentes entre si
intersecção: planosistema: indeterminado
José MariaPlano_14
planos coincidentes
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema possível e indeterminado
• 3 planos coincidentes
• 3 vectores normais colineares
• 3 equações equivalentes
José MariaPlano_15
Intersecção de três planos e Resolução de sistemasintersecção: rectasistema: indeterminadoSó 2 vectores normais são colinearese as 2 equações correspondentes sãoequivalentes
Os planos são secantes sendo dois deles coincidentes
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema possível e indeterminado:
• 2 planos coincidentes e 1 secante aos dois
• só 2 vectores colineares
• só 2 equações equivalentes
José MariaPlano_16
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: rectasistema: indeterminadoOs vectores normais não são colineares
Os três planos são secantes enão coincidentes
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
•Sistema possível e indeterminado:
•3 planos secantes segundo a mesma recta
• não há vectores colineares
• nem equações equivalentes
vector normal u = ( 1, 1, 1)
(0, 0, 0)
(0, 1, 0)
z
y
(0, 0, 1)
x
(0, 1, 1)
(1, 0, 0)
A = (1, 0, 1)
(1, 1, 0)
(1, 1, 1)
José MariaPlano_27
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: pontosistema: possível e determinado
x
z
( 2, 1, 1 )
( 0, 1, 1 )
( 1 ,1, 2 )
y
( 1, 1, 0 )
( 1, 2, 1 )
H
( 1, 0, 1 )
José MariaPlano_28
OCTAEDRO construído num cubo com aresta 2
intersecção: pontosistema: possível e determinado
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema possível e determinado:
• 3 planos secantes (intersectam-se num ponto)
• nenhum vector colinear
• nenhuma equação equivalente
Ver resolução dum sistema em ficheiro Word
“Posição relativa de 3 planos.pdf”