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Geometria Analıtica e Algebra Linear - 2013/1
Francisco Dutenhefner
www.mat.ufmg.br/˜chico
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Sistemas Lineares
{3x + y = 36x + 5y = −3
Matricialmente:
[3 16 5
] [xy
]=
[3−3
]AX = B
Matriz aumentada:
[3 1 36 5 −3
][ A
... B ]
Solucao: x = 2 e y = −3
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Sistemas Lineares
{3x + y = 36x + 5y = −3
Matricialmente:
[3 16 5
] [xy
]=
[3−3
]AX = B
Matriz aumentada:
[3 1 36 5 −3
][ A
... B ]
Solucao: x = 2 e y = −3
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Sistemas Lineares
{3x + y = 36x + 5y = −3
Matricialmente:
[3 16 5
] [xy
]=
[3−3
]AX = B
Matriz aumentada:
[3 1 36 5 −3
][ A
... B ]
Solucao: x = 2 e y = −3
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Sistemas Lineares
{3x + y = 36x + 5y = −3
Matricialmente:
[3 16 5
] [xy
]=
[3−3
]AX = B
Matriz aumentada:
[3 1 36 5 −3
][ A
... B ]
Solucao: x = 2 e y = −3
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Escalonamento
Operacoes elementares em linhas:
I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.
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Escalonamento
Operacoes elementares em linhas:
I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.
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Escalonamento
Operacoes elementares em linhas:
I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.
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Escalonamento
Operacoes elementares em linhas:
I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.
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Escalonamento
Operacoes elementares em linhas:
I Trocar da posicao de duas linhas. (Li ↔ Lj)
I Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. (Li ← αLi )
I Somar a uma linha um multiplo de outra linha.(Li ← Li + αLj)
Teorema: Operacoes elementares em linhas nao alteram oconjunto solucao do sistema linear.
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Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
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Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1
L3 ← L3 − 2L1 x + y + z = 5
−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 13: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/13.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 14: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/14.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 15: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/15.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5−y + 2z = −8
y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 16: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/16.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 17: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/17.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 18: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/18.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 19: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/19.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8
z = −19
![Page 20: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/20.jpg)
Escalonamento: exemplo 1x + y + z = 5
2x + y + 4z = 22x + 3y + z = −1
L2 ← L2 − 2L1L3 ← L3 − 2L1
x + y + z = 5−y + 2z = −8y − z = −11
L3 ← L3 + L2 x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
![Page 21: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/21.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 22: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/22.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 23: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/23.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8
⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 24: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/24.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8
⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 25: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/25.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8
= −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 26: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/26.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 27: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/27.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z
⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 28: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/28.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19
= 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 29: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/29.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 30: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/30.jpg)
Escalonamento: exemplo 1
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
Daı z = −19
Na segunda linha,−y + 2z = −8 ⇒ −y − 38 = −8 ⇒ y = −38 + 8 = −30.
Na primeira linha,x = 5− y − z ⇒ x = 5 + 30 + 19 = 54.
Solucao: x = 54, y = −30 e z = −19.
![Page 31: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/31.jpg)
Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19
![Page 32: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/32.jpg)
Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19
![Page 33: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/33.jpg)
Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19
![Page 34: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/34.jpg)
Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19
![Page 35: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/35.jpg)
Escalonamento
I Dado um sistema linear, ate que momento devemos aplicaroperacoes elementares nas suas linhas?
I Quando o sistema esta resolvido?
Observe que, durante o escalonamento, quando o sistema estasendo resolvido, a matriz A vira a matriz identidade, ou o maisproximo disso.
x + y + z = 5
−y + 2z = −8z = −19
1 1 1 50 −1 2 −80 0 1 −19
![Page 36: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/36.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 37: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/37.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 38: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/38.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 39: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/39.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 40: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/40.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 41: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/41.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 42: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/42.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 43: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/43.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida
Vamos escalonar ate:
I Linhas nulas ficarem na parte de baixo.
I O primeiro numero nao nulo em uma linha e o numero 1.(pivo)
I Os pivos estao posicionados de cima para baixo e da esquerdapara a direita.
I Se uma coluna contem um pivo, no resto da coluna soexistem zeros.
Exemplos:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
![Page 44: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/44.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
De o conjunto solucao do sistema linear:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
x + 5y = 2
z = 30 = 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
![Page 45: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/45.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
De o conjunto solucao do sistema linear:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
x + 5y = 2z = 30 = 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
![Page 46: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/46.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
De o conjunto solucao do sistema linear:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
x + 5y = 2z = 30 = 0
Solucao: z = 3
e x = 2− 5y para qualquer y .
y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
![Page 47: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/47.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
De o conjunto solucao do sistema linear:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
x + 5y = 2z = 30 = 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
![Page 48: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/48.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
De o conjunto solucao do sistema linear:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
x + 5y = 2z = 30 = 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
![Page 49: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/49.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 1
De o conjunto solucao do sistema linear:
A1 =
1 5 0 20 0 1 30 0 0 0
x + 5y = 2z = 30 = 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .
y e variavel livre (pode assumir qualquer valor)
S = { (x , y , z) = (2− 5t, t, 3), para todo t }
![Page 50: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/50.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
De o conjunto solucao do sistema linear:
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
x − z = −1
y + 2z = 4w = 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
![Page 51: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/51.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
De o conjunto solucao do sistema linear:
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
x − z = −1y + 2z = 4
w = 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
![Page 52: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/52.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
De o conjunto solucao do sistema linear:
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
x − z = −1y + 2z = 4
w = 1
Solucao: w = 1
, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
![Page 53: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/53.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
De o conjunto solucao do sistema linear:
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
x − z = −1y + 2z = 4
w = 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z
e x = −1 + z , para qualquer z .
z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
![Page 54: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/54.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
De o conjunto solucao do sistema linear:
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
x − z = −1y + 2z = 4
w = 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
![Page 55: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/55.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
De o conjunto solucao do sistema linear:
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
x − z = −1y + 2z = 4
w = 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
![Page 56: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/56.jpg)
Matriz Escalonada Reduzida: exemplo 2
De o conjunto solucao do sistema linear:
A2 =
1 0 −1 0 −10 1 2 0 40 0 0 1 1
x − z = −1y + 2z = 4
w = 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .
z e variavel livre (nao existe restricao sobre z)
S = { (x , y , z ,w) = (−1 + t, 4− 2t, t, 1), para todo t }
![Page 57: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/57.jpg)
Matriz escalonada reduzida: dica legal
A1 =
1 5 0 2
0 0 1 30 0 0 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .Nesta caso, y e variavel livre.
A2 =
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 4
0 0 0 1 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .Neste caso, z e variavel livre.
Observacao: quando a matriz esta na forma escalonada reduzida,e quando o sistema tem solucao, as variaveis livres estao nascolunas sem pivo.
![Page 58: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/58.jpg)
Matriz escalonada reduzida: dica legal
A1 =
1 5 0 2
0 0 1 30 0 0 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .Nesta caso, y e variavel livre.
A2 =
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 4
0 0 0 1 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .Neste caso, z e variavel livre.
Observacao: quando a matriz esta na forma escalonada reduzida,e quando o sistema tem solucao, as variaveis livres estao nascolunas sem pivo.
![Page 59: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/59.jpg)
Matriz escalonada reduzida: dica legal
A1 =
1 5 0 2
0 0 1 30 0 0 0
Solucao: z = 3 e x = 2− 5y para qualquer y .Nesta caso, y e variavel livre.
A2 =
1 0 −1 0 −1
0 1 2 0 4
0 0 0 1 1
Solucao: w = 1, y = 4− 2z e x = −1 + z , para qualquer z .Neste caso, z e variavel livre.
Observacao: quando a matriz esta na forma escalonada reduzida,e quando o sistema tem solucao, as variaveis livres estao nascolunas sem pivo.
![Page 60: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/60.jpg)
Exemplos passo a passo
I Vamos apresentar a solucao detalhada de tres sistemaslineares.
I Em cada um deles o escalonamento sera feito detalhadamente.
I Tente resolver sozinho estes exemplos.
I Entenda o algoritmo que esta sendo executado em cadaexemplo.
I Isto e muitoooo importante.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1
Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 1
3 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1
Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1
Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 1
3 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
Resolva o sistema linearx + 2y − z = 1
3x + y + 4z = 2−2x − 3y + z = 1
Solucao. Construa a matriz aumentada 1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Identifique, ou obtenha o pivo da primeira linha. 1 2 −1 1
3 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 67: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/67.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 68: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/68.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 69: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/69.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 1
0 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 70: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/70.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −1
0 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 71: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/71.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.
Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 72: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/72.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 73: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/73.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.
Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 74: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/74.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes.
L2 ↔ L3
![Page 75: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/75.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 13 1 4 2−2 −3 1 1
Zere a coluna deste pivo.
L2 ← L2 − 3L1
L3 ← L3 + 2L1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
Observe que a primeira coluna ficou pronta.Vamos para a segunda.
Identifique ou obtenha o pivo da segunda linha.Seja esperto !!! Sempre que possıvel, evite fracoes. L2 ↔ L3
![Page 76: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/76.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
L2 ↔ L3
1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1
Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
![Page 77: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/77.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
L2 ↔ L3
1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1
Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
![Page 78: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/78.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
L2 ↔ L3
1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1
Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
![Page 79: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/79.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 10 −5 7 −10 1 −1 3
L2 ↔ L3
1 2 −1 10 1 −1 30 −5 7 −1
Pronto, apareceu o pivo da segunda linha. 1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
![Page 80: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/80.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 82: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/82.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 83: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/83.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 84: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/84.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −5
0 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 85: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/85.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 86: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/86.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 87: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/87.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.
Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 88: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/88.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.
As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
![Page 89: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/89.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas.
Vamos para a terceira.
![Page 90: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/90.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 2 −1 1
0 1 −1 30 −5 7 −1
Zere a coluna deste pivo. Use a linha do pivo
L1 ← L1 − 2L2
L3 ← L3 + 5L2
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Usando a linha do pivo, a primeira coluna nao se altera.Entao nao estragamos o que ja estava pronto.As duas primeiras colunas estao prontas. Vamos para a terceira.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha.
L3 ←1
2L3 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 1 7
Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.
A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←
1
2L3
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.
A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←
1
2L3 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 1 7
Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.
A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←
1
2L3 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 1 7
Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.
A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←
1
2L3 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 1 7
Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.
A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←
1
2L3 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 1 7
Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.
A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 30 0 2 14
Identifique ou obtenha o pivo da terceira linha. L3 ←
1
2L3 1 0 1 −5
0 1 −1 3
0 0 1 7
Importante. Sempre use a linha do pivo para zerar a sua coluna.
A existencia dos zeros a esquerda do pivo, implica que, fazendoisso, nao estragamos o que ja estava pronto.
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Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 99: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/99.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 100: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/100.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 101: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/101.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 102: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/102.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −12
0 1 0 100 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 103: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/103.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −120 1 0 10
0 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 104: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/104.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 105: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/105.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 1
1 0 1 −50 1 −1 3
0 0 1 7
Usando a terceira linha, podemos zerar a coluna do pivo destaterceira linha.
L1 ← L1 − L3
L2 ← L2 + L3
1 0 0 −120 1 0 100 0 1 7
Solucao: x = −12 , y = 10 e z = 7 .
![Page 106: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/106.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.
x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1
x + y + 2z = 5y = −11
− 3y − z = −2
1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2
![Page 107: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/107.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.
x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1x + y + 2z = 5
y = −11− 3y − z = −2
1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2
![Page 108: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/108.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.
x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1
x + y + 2z = 5
y = −11− 3y − z = −2
1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2
![Page 109: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/109.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.
x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1
x + y + 2z = 5y = −11
− 3y − z = −2
1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2
![Page 110: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/110.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
Resolva o sistema linearx + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
Para este exemplo, durante o escalonamento vamos apresentartanto o sistema de equacoes quanto a matriz aumentada.
x + y + 2z = 5
2x + 3y + 4z = −1x − 2y + z = 3
1 1 2 52 3 4 −11 −2 1 3
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1
x + y + 2z = 5y = −11
− 3y − z = −2
1 1 2 50 1 0 −110 −3 −1 −2
![Page 111: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/111.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + y + 2z = 5
y = −11− 3y − z = −2
1 1 2 5
0 1 0 −110 −3 −1 −2
L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2
x + 2z = 16
y = −11−z = −35
1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35
L3 ← −L3
![Page 112: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/112.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + y + 2z = 5
y = −11− 3y − z = −2
1 1 2 5
0 1 0 −110 −3 −1 −2
L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2
x + 2z = 16
y = −11−z = −35
1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35
L3 ← −L3
![Page 113: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/113.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + y + 2z = 5
y = −11− 3y − z = −2
1 1 2 5
0 1 0 −110 −3 −1 −2
L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2
x + 2z = 16
y = −11−z = −35
1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35
L3 ← −L3
![Page 114: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/114.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + y + 2z = 5
y = −11− 3y − z = −2
1 1 2 5
0 1 0 −110 −3 −1 −2
L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2
x + 2z = 16
y = −11−z = −35
1 0 2 160 1 0 −110 0 −1 −35
L3 ← −L3
![Page 115: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/115.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + 2z = 16
y = −11z = 35
1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35
L1 ← L1 − 2L3x = −54
y = −11z = 35
1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35
Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.
![Page 116: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/116.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + 2z = 16
y = −11z = 35
1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35
L1 ← L1 − 2L3
x = −54
y = −11z = 35
1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35
Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.
![Page 117: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/117.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + 2z = 16
y = −11z = 35
1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35
L1 ← L1 − 2L3
x = −54y = −11
z = 35
1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35
Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.
![Page 118: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/118.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 2
x + 2z = 16
y = −11z = 35
1 0 2 160 1 0 −11
0 0 1 35
L1 ← L1 − 2L3
x = −54y = −11
z = 35
1 0 0 −540 1 0 −110 0 1 35
Solucao: x = −54, y = −11 e z = 35.
![Page 119: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/119.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 3
Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.
x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1
x − 2y + z = 2−y − z = −5−y − z = −4
1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4
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Escalonamento. Exemplo detalhado 3
Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.
x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1x − 2y + z = 2
−y − z = −5−y − z = −4
1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4
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Escalonamento. Exemplo detalhado 3
Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.
x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1
x − 2y + z = 2
−y − z = −5−y − z = −4
1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4
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Escalonamento. Exemplo detalhado 3
Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.
x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1
x − 2y + z = 2−y − z = −5−y − z = −4
1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4
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Escalonamento. Exemplo detalhado 3
Resolva o sistema linearx − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
Aqui tambem vamos indicar o sistema de equacoes lineares e amatriz aumentada.
x − 2y + z = 2
2x − 5y + z = −13x − 7y + 2z = 2
1 −2 1 22 −5 1 −13 −7 2 2
L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − 3L1
x − 2y + z = 2−y − z = −5−y − z = −4
1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4
![Page 124: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/124.jpg)
Escalonamento. Exemplo detalhado 3
x − 2y + z = 2
−y − z = −5−y − z = −4
1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4
L2 e L3 sao incoerentes. Sistema impossıvel. S = ∅
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Escalonamento. Exemplo detalhado 3
x − 2y + z = 2
−y − z = −5−y − z = −4
1 −2 1 20 −1 −1 −50 −1 −1 −4
L2 e L3 sao incoerentes. Sistema impossıvel. S = ∅
![Page 126: Geometria Anal tica e Algebra Linear - 2013/1 Francisco ...150.164.25.15/~chico/aula02.pdfMatriz Escalonada Reduzida Vamos escalonar at e: I Linhas nulas carem na parte de baixo. I](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081602/613918fea4cdb41a985b7c88/html5/thumbnails/126.jpg)
Sugestao Final
I Refaca todos os exemplos desta aula.
I Tente escalonar sozinho, seguindo o algoritmo dado.
I Saber escanolar e fundamental para resolucao de sistemaslineares, calculo da matriz inversa e o calculo do determinante.
I E importante que voce domine o escalonamento.